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全国中考数学压轴题精选(7)(含答案)

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中考数学28道压轴题含答案解析

中考数学28道压轴题含答案解析

中考数学选填压轴题练习一．根的判别式（共1小题）1．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（）A．﹣1B．1C．﹣1﹣2k D．2k﹣3【分析】首先根据关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，得判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，据此可对进行化简．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，整理得：﹣8k+8≥0，∴k≤1，∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，∴＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）＝﹣1．故选：A．二．函数的图象（共1小题）2．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．【解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟），小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟），设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米由图象可得：，解得：x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分），由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100，∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．故选：B．三．动点问题的函数图象（共1小题）3．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．D．【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO＝，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB＝，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，，∴PB＝PC，，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，∴OB＝，即AO＝OB＝，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．故选：A．四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）4．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x 轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC ＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为12，a的值为9．【分析】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D （﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．【解答】解：设A（m，），∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面积为9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案为：12，9．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）5．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（）A．y＝﹣B．C．D．【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．【解答】解：由题知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直线AC的函数表达式为y1＝k1x+b1，则，解得，所以．又因为点D为OA的中点，所以D（3，0），同理可得，直线BD的函数解析式为y2＝x﹣3，由得，x＝4，则y＝4﹣3＝1，所以点E坐标为（4，1）．将B，E两点坐标代入函数解析式得，，解得．所以，则，将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数解析式为：．故选：D．6．如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．（1）k＝；（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为4．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴，∴，∵C是OB的中点，∴OC＝BC＝AC＝2，如图，过点C作CP⊥OA于P，∴△OPC≌△APC（HL），∴，在Rt△OPC中，PC＝，∴C（，1）．∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，∴，解得k＝．故答案为：．（2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b（k≠0），则，解得，∴AC的解析式为y＝﹣x+2，∵AC∥BD，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，∴联立得，解得，，当D的坐标为（2+3，）时，BD2＝＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；当D的坐标为（2﹣3，）时，BD2＝+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；综上，OB2﹣BD2＝4．故答案为：4．六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）7．（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p﹣m与q﹣n的积为负数时，t的取值范围是（）A．或B．或C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得k1＝k2．令k1＝k2＝k，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达式，代入解不等式（p﹣m）（q﹣n）＜0并求出t的取值范围即可．【解答】解：∵y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴k1＝k2．令k1＝k2＝k（k＞0），则y＝k1x＝kx，＝．将点A（t，p）和点B（t+2，q）代入y＝kx，得；将点C（t，m）和点D（t+2，n）代入y＝，得．∴p﹣m＝kt﹣＝k（t﹣），q﹣n＝k（t+2）﹣＝k（t+2﹣），∴（p﹣m）（q﹣n）＝k2（t﹣）（t+2﹣）＜0，∴（t﹣）（t+2﹣）＜0．∵（t﹣）（t+2﹣）＝•＝＜0，∴＜0，∴t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0．①当t＜﹣3时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＜﹣3不符合要求，应舍去．②当﹣3＜t＜﹣2时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴﹣3＜t＜﹣2符合要求．③当﹣2＜t＜0时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴﹣2＜t＜0不符合要求，应舍去．④当0＜t＜1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴0＜t＜1符合要求．⑤当t＞1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＞1不符合要求，应舍去．综上，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．故选：D．七．二次函数图象与系数的关系（共3小题）8．（2023•乐至县）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（）A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．∴﹣＝﹣2，a+b+c＝0，∴b＝4a，∴a+b+c＝a+4a+c＝0，故5a+c＝0，故②正确，∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c取得最小值，∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m为任意实数），故③错误，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，∴y1＜y2，故④正确；故选：C．9．（2023•丹东）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程ax2+b（x﹣2）+c ＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．【解答】解：根据所给函数图象可知，a＞0，b＞0，c＜0，所以abc＜0，故①错误．因为抛物线y＝ax2+bx的图象可由抛物线y＝ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到，所以抛物线y＝ax2+bx的增减性与抛物线y＝ax2+bx+c的增减性一致．则当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，又x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，若x2＜﹣1，则E，F两点都在对称轴的左侧，此时y1＞y2．故②错误．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小．将A（﹣3，0）代入二次函数解析式得，9a﹣3b+c＝0，又，即b＝2a，所以9a﹣6a+c＝0，则c＝﹣3a．又抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），则点C坐标为（0，﹣3a），所以点C′坐标为（0，3a）．又当x＝﹣1时，y＝﹣4a，即D（﹣1，﹣4a）．设直线C′D的函数表达式为y＝kx+3a，将点D坐标代入得，﹣k+3a＝﹣4a，则k＝7a，所以直线C′D的函数表达式为y＝7ax+3a．将y＝0代入得，x＝．所以点P的坐标为（，0）．故③正确．将方程ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4整理得，ax2+bx+c＝2b﹣4，因为方程没有实数根，所以抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2b﹣4没有公共点，所以2b﹣4＜﹣4a，则2b﹣4＜﹣2b，解得b＜1，又b＞0，所以0＜b＜1．故④错误．所以正确的有③．故选：A．10．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A．2B．m2C．4D．2m2【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，若m＞0，则m2＝2m，∴m＝2，若m＜0时，则m2＝﹣2m，∴m＝﹣2．∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝，∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2．故选：A．八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）11．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac 的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，∵四边形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，设A（m，m），则B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值为﹣2，故选：B．九．二次函数与不等式（组）（共1小题）12．（2023•西宁）直线y1＝ax+b和抛物线（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②抛物线与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx＝ax+b有两个根x1＝﹣4，x2＝1；④若a ＞0，当x＜﹣4或x＞1时，y1＞y2.其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．②③D．①④【分析】根据直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．得到b＝4a，于是得到＝ax2+4ax，求得抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；根据Δ＝16a2＞0，得到抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；把b＝4a，代入ax2+bx＝ax+b得到x2+3x﹣4＝0，求得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；根据a＞0，得到抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，于是得到结论．【解答】解：∵直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．∴﹣4a+b＝0，∴b＝4a，∴＝ax2+4ax，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；∵＝ax2+4ax，∴Δ＝16a2＞0，∴抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；∵b＝4a，∴方程ax2+bx＝ax+b为ax2+4ax＝ax+4a得，整理得x2+3x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；∵a＞0，抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，∴当x＜﹣4或x＞1时，y1＜y2.故④错误，故选：B．一十．三角形中位线定理（共1小题）13．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 1.2.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是3≤S≤4．【分析】依据题意，根据三角形中位线定理可得DE＝AM＝1.2；设AM＝x，从而DE＝x，由DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，进而DE∥FG，DE＝FG，从而四边形DEFG是平行四边形，结合题意可得DE边上的高为（4﹣x），故四边形DEFG面积S＝4x﹣x2，进而利用二次函数的性质可得S的取值范围．【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，∴DE是三角形ABM的中位线．∴DE＝AM＝1.2．如图，设AM＝x，∴DE＝AM＝x．由题意得，DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，∴DE∥FG，DE＝FG．∴四边形DEFG是平行四边形．由题意，GF到AC的距离是x，BC＝＝8，∴DE边上的高为（4﹣x）．∴四边形DEFG面积S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4．∵2.4＜x≤6，∴3≤S≤4．故答案为：1.2；3≤S≤4．一十一．矩形的性质（共2小题）14．（2023•宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面积B．△ACD的面积C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积【分析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到问题的答案．【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，∵四边形BCDE是矩形，∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，∴S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故选：C．15．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为2或1+．【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：①如图1，当∠MND＝90°时，则MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB，∵M为对角线BD的中点，∴AN＝DN，∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2；如图2，当∠NMD＝90°时，则MN⊥BD，∵M为对角线BD的中点，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN，∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，∴BN＝AB＝，∴AD＝AN+DN＝1+，综上所述，AD的长为2或1+．故答案为：2或1+．一十二．正方形的性质（共2小题）16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（）A．B．C．D．【分析】由正方形ABCD的边长为4及BG＝3CG，可求出BG的长，进而求出AG的长，证△ADE∽△GAB，利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长，证△ABF≌△DAE，得AF＝DE，根据线段的和差求得EF的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AGB，∵BG＝3CG，∴BG＝3，∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，∴AG＝，∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△GAB，∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，∴4：5＝AE：3＝DE：4，∴AE＝，DE＝，又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°，又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝，∴EF＝AF﹣AE＝，∴tan∠EDF＝，故选：A．17．（2023•湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是4cm．（2）若，则tan∠DAH的值是3．【分析】（1）将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC＝11cm，即可求出BE的长；（2）由已知条件可以证明∠DAH＝∠CDG，从而得到tan∠DAH＝tan∠CDG，设AH＝x，DG＝5k，GH ＝4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH＝tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH 的值．【解答】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∵AE+FC＝11cm，∴BE+BF＝11cm，即BE+BE+EF＝11cm，即2BE+EF＝11cm，∵EF＝3cm，∴2BE+3cm＝11cm，∴BE＝4cm，故答案为：4；（2）设AH＝x，∵，∴可设DG＝5k，GH＝4k，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k，∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°，∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k，∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°，∵四边形ABCD对角互补，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠CDG＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠AHD＝∠CGD＝90°，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠CDG，∴tan∠DAH＝tan∠CDG，∴，即，整理得：x2+12kx﹣45k2＝0，解得x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去），∴tan∠DAH＝＝＝3．故答案为：3．一十三．正多边形和圆（共1小题）18．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝30度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为2（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作图如图所示，∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直线l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案为：30°；（2）取中间正六边形的中心为O，作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE＝，由图1知AG＝BF＝2PE＝2，OM＝PE＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴．∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2，故答案为：2．一十四．扇形面积的计算（共1小题）19．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为．【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r，连接OE，取ED的中点T，连接OT，在Rt△OET中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．一十五．轴对称-最短路线问题（共1小题）20．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（）A．P A+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM 是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB＝P A'+PB最小，即可得P A+PB 最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF 最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD＝（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形，∵P为CD中点，∴P为EM中点，∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动，由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB ＝P A'+PB最小，此时P A+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KE＝AE，TE＝BE，∴KT＝KE+TE＝AB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，∴S△ADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣2m+2，S梯形DKTC ＝（m+2﹣m）•2＝2，∴S四边形ABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；故选：A．一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）21．（2023•乐至县）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为+1．【分析】过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，在Rt△ABO 中利用斜边中线性质求出OE，根据OE+DE≥OD确定当D、O、E三点共线时OD最大，最大值为OD ＝OE+DE．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，∵等边三角形ABC的边长为2，∴AB＝2，∠ABC＝60°，由翻折可知：∠DBC＝∠ABC＝60°，DB＝AB＝2，∴∠DBF＝60°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴BF＝BD＝1，∴DF＝BF＝，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝OE＝AB＝1，∴EF＝BE+BF＝2，∴DE＝＝＝，∴OD≤DE+OE＝+1，∴当D、E、O三点共线时OD最大，最大值为+1．故答案为：+1．22．（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝cm．【分析】作EH⊥BC于点H，由CF＝4cm，FB′＝1cm，求得B′C＝5cm，由折叠得BC＝B′C＝5cm，由菱形的性质得BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，因为CB′⊥AD于点F，所以∠BCB′＝∠CFD ＝90°，则∠BCE＝∠B′CE＝45°，DF＝＝3cm，所以∠HEC＝∠BCE＝45°，则CH＝EH，由＝sin B＝sin D＝，＝cos B＝cos D＝，得CH＝EH＝BE，BH＝BE，于是得BE+BE ＝5，则BE＝cm．【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，∵CF＝4cm，FB′＝1cm，∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，∵CB′⊥AD于点F，∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），∴∠HEC＝∠BCE＝45°，∴CH＝EH，∵＝sin B＝sin D＝＝，＝cos B＝cos D＝＝，∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，∴BE+BE＝5，∴BE＝cm，故答案为：．一十七．旋转的性质（共1小题）23．（2023•西宁）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接P A，将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，连接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2，则BP＝2．【分析】过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，根据旋转的性质得到P A＝P A′，再证明△ABP≌△PHA′得到PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝4﹣x，然后在Rt△A′CH中利用勾股定理得到x2+（4﹣x）2＝（2）2，于是解方程求出x即可．【解答】解：过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，∵将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，∴P A＝P A′，∵∠P AB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，∴∠P AB＝∠A′PH，在△ABP和△PHA′中，，∴△ABP≌△PHA′（AAS），∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（2）2，解得x1＝x2＝2，即BP的长为2．故答案为：2．一十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）24．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝（结果用含k的代数式表示）．【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．【解答】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DF A，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DF A，∴∠FDE＝∠DF A，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k•AB，∴EC＝k•AB，∴＝，∴CF＝k2•AB，∴＝＝＝＝．方法二：如图，连接BF，∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB＝DF，∴BF⊥AC，设AB＝AC＝1，则BC＝k，设CF＝x，则AF＝1﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，∴x＝，∴AF＝1﹣x＝，∴＝．故答案为：．25．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为15．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH＝（1+4）×6＝15．故答案为：15．一十九．相似三角形的应用（共1小题）26．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB 的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【分析】过点B作BC⊥AH，垂足为C，再证明A字模型相似△AOH∽△ABC，从而可得＝，过点A作AD⊥BH，垂足为D，然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH，从而可得＝，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴＝，∴＝，∴+＝+，∴+＝，∴+＝1，解得：OH＝36，∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，故选：A．二十．解直角三角形（共1小题）27．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x 轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为（﹣2，0）；点D的坐标为（﹣1﹣2，2+）或（﹣1+2，2﹣）．【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC ＝，由三角形的面积公式得S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），此时OC＝﹣3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD为等边三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，进而再求出m即可得点D的坐标．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：∵点A（3，0），B（0，4），由两点间的距离公式得：AB＝＝5，设BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，∴＝2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC＝＝t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC＝﹣3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，即，整理得：t2﹣12t+20＝0，解得：t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），∴t＝2，此时OC＝﹣3＝2，∴点C的坐标为（﹣2，0），设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，∵△BCD为等边三角形，∵BD＝CD＝BC，∴，整理得：，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，整理得：n2﹣4n+1＝0，解得：n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，∴点D的坐标为或．故答案为：（﹣2，0）；或．二十一．解直角三角形的应用（共1小题）28．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故选：C．。

2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类(含解析)

2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类(含解析)

综合探究类1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E 与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．【解析】（1）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴90C F FAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF 是矩形，AB=4∴，∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ； （2）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分，∴OC EC ==∴CF =，故答案为：菱形，（3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒ ∵//,DE BC DEF ABC ≌ ∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒ ∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴= ∵2EF BC AE EF ==∴= ∴AEF ∆为等边三角形 ∴60FAE ABC ∠=︒=∠ ∴//BC AF ∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形 ∵90C ∠=︒∴四边形ACBF 为矩形．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，B ，C 为格点，D 为小正方形边的中点.（1）AC的长等于_________；+取得最小值时，请在如图所示（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD PQ的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.【解析】解：（1）由图可得：5=，故答案为：5；（2）如图，BC与网格线相交，得点P；取格点E，F，连接EF，与网格线相交，得点G，取格点M，N，连接MN，与网格线相交，得点H，连接GH，与AC相交，得点Q.连接PD，PQ.线段PD，PQ即为所求.如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，由计算可得：，，AC=5，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∴tan∠ACB=2，∵tan∠BCT=PT：TC=2，∴∠ACB=∠BCT，即BC平分∠ACT，根据画图可知：GH∥BC，∴∠ACB=∠CQH，∠BCT=∠GHC，∵∠BCT=∠BCA，∴∠CQH=∠GHC，∴CQ=CH，由题意可得：BS=CH，∴BS=CQ，又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，∴△BPS≌△CPQ，∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，∴所画图形符合要求.3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理； 数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）． 【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：2222122a b ab a b ab ++⨯=++， 图形的面积也可表示：22122c ab c ab +⨯=+， ∴a 2b 2ab c 2ab ，∴a2b2c 2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：a b2，大正方形的面积也可以表示为：221422c ab c ab +⨯=+，∴22a b c ab+=+，()2∴a2b22ab c22ab，∴a2b2c2；4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是，∠DCB的度数，∠ECD的度数是．②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．【解析】解：（1）①1459055∠=∠︒︒︒=﹣=，ACE DCB==﹣；∠∠-∠︒︒=︒ECD BCE BCD905535②结论：ACE DCB=；∠+∠︒ACB ECD∠=∠，180证明：∵90∠=∠-∠=∠-︒DCB ACB ACD ACB∠=∠-∠=∠-︒，90ACE ACB BCE ACB∴ACE DCB∠=∠∵9090180∠=∠+∠-∠=︒+︒-∠=︒-∠ACB ACD BCE ECD ECD ECD∴180=ACB ECD∠+∠︒（2）结论：当ACD与BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．理由：∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴ACD DCE ECB DCE∠+∠=∠+∠，∴ACE DCB∠=∠，∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴180=，∠+∠︒ACD ECB∵360=，ACD ECD ECB ACB∠+∠+∠+∠︒∴180ACB ECD=，∠+∠︒∴ACE DCB∠+∠︒=．ACB ECD∠=∠，180∴上述②中发现的结论依然成立．故答案为：（1）①55°，55°，35°；②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；（2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：=.(1)如图②，当点Q在DC上时，求证：PQ PB(2)如图③，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.【解析】(1)证明：过点P作//BCMN，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ，∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，在△QNP和△BMP中，∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ=BP．(2)成立.过点P作PN AB⊥于N,PN交CD于点M在正方形ABCD中//AB CD,45∠=ACD∴90∠=∠=∠=PMQ PNB CBN∴CBNM是矩形，∴CM BN=，∴CMP∆是等腰直角三角形，∴PM CM BN ==，∵90PBN BPN ∠+∠=，90BPN MPQ ∠+∠=∴MPQ PBN ∠=∠， 在PMQ ∆和BNP ∆中，90MPQ PBN PNB PMQ BN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴()PMQ BNP AAS ∆≅∆， ∴BP QP =；6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．【解析】（1）解：∵ABCD 是平行四边形， ∴'////AD BC EA ，'//AE DA ∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处 ∴'AED A ED ≌ ∴'AE A E = ∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形； （2）MC ME '=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE = ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒， 由折叠知：B C BC B B '''=∠=∠， ∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒， 又EC C E ''=， ∴Rt EC A Rt C EB '''≌ ∴C EA EC B '''∠=∠ ∴MC ME '=（3）∵Rt EC A Rt C EB '''≌，∴AC B E ''= 由折叠知：B E BE '=，∴AC BE '= ∵2(cm)4(cm)AC DC ''==， ∴()2428cm AB CD ==++=设cm DF x =，则()8cm FC FC x '==-在Rt DC F '中，由勾股定理得：2224(8)x x +=- 解得：3x =，即()3cm DF =如图，延长BA FC '，交于点G ，则AC G DC F ''∠=∠ ∴3tan tan 4AG DF AC G DC F AC DC ''∠=∠==='' ∴3(cm)2AG = ∴3156(cm)22EG =+= ∵//DF EG ，∴DNF ENG ∽ ∴152::3:25DN EN DF EG === 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA 'T 是平行四边形， 又∵AA '⊥ST ，∴边形SATA '是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处， ∴AT ＝A 'T ，在Rt△A 'TB 中，A 'T ＞BT ， ∴AT ＞10﹣AT ， ∴AT ＞5， ∵点T 在AB 上，∴当点T 与点B 重合时，AT 有最大值为10， ∴5＜AT ≤10，∴正确的数值为7，9， 故答案为：7，9． 8．综合与实践 问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB =，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．【解析】（1）∵ACD 和BCE 是两个等边三角形， ∴AC=CD，BC=CE ，∠ACD=∠ECB=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE, 即∠ACE=∠DCB， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=BD；（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°， 过点B 作BF⊥AC，交AC 的延长线于F ，∴∠BCF=180°-∠ACD -∠ECB=60°，∠F=90°， ∴∠CBF=30°， ∴CF=12BC=1cm ，=cm ，∴11522ABCSAC BF =⋅=⨯；（3）由题意得∠ACD=E C B '''∠=60°， ∵∠ACB '=90°， ∴30C CB ''∠=,∵C CB C B C E C B '''''''∠+∠=∠, ∴30C B C ''∠=, ∴C C C B '''==2cm ， ∴a=2.9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与： （1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号；（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ． （1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB与弦CD交于点F；②如图3，弦AB与弦CD不相交：③如图4，点B与点C重合．【解析】解：（1）连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴60∠=︒E（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD、OC、AC，如图：∵1===OD OC CD∴OCD为等边三角形∴60∠=︒COD∴30DAC∠=︒∴30∠=︒EBD∵90∠=︒ADB∴903060E∠=︒-︒=︒②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴903060∠=︒-︒=︒BED③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：如图：∵当点B与点C重合时，则直线BE与O只有一个公共点∴EB恰为O的切线∴90∠=︒ABE∵90CD=，2∠=︒，1ADBAD=∴30A∠=︒∴60∠=︒．E故答案是：（1）60∠=︒（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，E依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．11．综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？(3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G的形状．【解析】解：（1）矩形ABCD证明：设BE a =，AEF ∆等边三角形，60EAF ∴∠=︒，四边形ABCD 为矩形，90BAD ABE ∴∠=∠=︒，30BAE BAD EAF ∠=∠-∠=︒．在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，30BAE ∠=︒，BE a =，2sin BEAE a BAE ∴==∠，tan BEAB BAE ==∠，AE EC =，3BC BE EC a ∴=+=，∴BCAB ．（2）四边形B EFG '是平行四边形． 证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，B EF BFE ∴∠'=∠，EB F GFB ∠'=∠'，DB G FGB ∠'=∠'．由翻折的特性可知：BFE B FE ∠=∠'，DB G FB G ∠'=∠'，B EF B FE ∴∠'=∠'，FB G FGB ∠'=∠'，又EB F GFB ∠'=∠'，B FE FB G ∴∠'=∠'，//EF B G ∴'，又//B E FG '，∴四边形B EFG '是平行四边形．（3）△BB G '为直角三角形．证明：连接BB '交EF 于点M ，如图所示．//AD BC ，EB B FBB ∴∠'=∠'，BF B F ='，FBB FB B ∴∠'=∠'，EB B FB B ∴∠'=∠'．B EF B FE ∠'=∠'，∴△B EF '为等腰三角形，B M EF ∴'⊥，90∴∠=︒．BMFEF B G'，//∴∠'=∠=︒，90BB G BMF∴△BB G'为直角三角形．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．【解析】解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND，∵△ACD 沿DB 方向平移，∴MD '∥DN ，∴四边形MNDD '是平行四边形，∵∠BD 'M ＝90°，∴四边形MNDD '是矩形；（3）由图形（1）可得AB ＝10cm ，BD ＝8cm ， ∴AD6cm ，∵四边形MNDD '为正方形，∴D 'M ∥DN ，D 'M ＝D 'D ＝acm ，∴△BD 'M ∽△BDA ， ∴BD MD BD AD''=， ∴886a a -=， ∴a ＝247； （4）如图5，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，∵DP ＝DQ ，∴∠DQP ＝∠DPQ ，QG ＝PG ，又∵∠A ＝∠PDQ ，∴△DQP ∽△AQD ，∴∠ADQ ＝∠DPQ ，2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA，∴AG AD AD AB=，∴6 610 AG=，∴AG＝185，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣185＝125，∴PG＝QG＝125，∴AP＝AG﹣PG＝185﹣125＝65，故答案为：65．。

中考数学复习重难点与压轴题专题07 全等三角形旋转、一线三等角模型(重点突围)(原卷版)

中考数学复习重难点与压轴题专题07 全等三角形旋转、一线三等角模型(重点突围)(原卷版)

专题07 全等三角形旋转、一线三等角模型【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一 全等三角形旋转模型】 (1)【考向二 全等三角形一线三等角模型】 (6)【直击中考】【考向一 全等三角形旋转模型】 例题：（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图①，在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD AE =．则CE BD =．现将ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为()0180αα︒<<︒．如图②，连接CE ，BD ．(1)如图②，请直接写出CE 与BD 的数量关系．(2)将ADE 旋转至如图③所示位置时，请判断CE 与BD 的数量关系和位置关系，并加以证明．(3)在旋转的过程中，当BCD △的面积最大时，α=______．（直接写出答案即可）【变式训练】 一、选择题1．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC '，若90CC D '∠=︒，2CC '=，则线段BC '的长度为（ ）A ．2B ．52C ．6D ．52．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直角EPF ∠的顶点P 是BC的中点，将EPF ∠绕顶点P 旋转，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ．下列四个结论：①AE CF =；②PEF 是等腰直角三角形；③EF AP =；④12ABC AEPF S S =四边形△．在EPF ∠旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④3．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 是CD 边上一点（不与点D 重合）．点P 为DE 上一动点，PE PD <，将DPF ∠绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA 于H ，G 两点，有下列结论：①DH DE =；②DP DG =；③2DG DF DP +=；④DP DE DH DC ⋅=⋅，其中一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 二、填空题4．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB 为等腰三角形，5OA AB ==，点B到x 轴的距离为4，若将OAB 绕点O 逆时针旋转90︒，得到OA B ''△，则点B '的坐标为__________．5．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，DOE 的直角顶点O 在边BC 的中点处，其中90,45A DOE B ∠=∠=︒∠=︒，60D ∠=︒，DOE 绕点O 自由旋转，且OD ，OE 分别交AB ，AC 于点M ，N ，当4AN =，2NC =时，MN 的长为______．6．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，BC =2AB ，点P 为边AD 上的一个动点，线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BP '，连接PP ' ，CP '．当点P ' 落在边BC 上时，∠PP 'C 的度数为________； 当线段CP ' 的长度最小时，∠PP 'C 的度数为________三、解答题7．（2022·山东日照·校考二模）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．(1)如图1，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数；(2)如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．(3)当120α=︒时，若6AB =，31BP =，请直接写出点D 到CP 的距离为8．（2022·河北保定·校考一模）如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝102cm ，D 为AB边上一点，tan ∠ACD ＝15，点P 由C 点出发，以2cm /s 的速度向终点B 运动，连接PD ，将PD 绕点D 逆时针旋转90°，得到线段DQ ，连接PQ ．(1)填空：BC ＝ ，BD ＝ ；(2)点P 运动几秒，DQ 最短；(3)如图2，当Q 点运动到直线AB 下方时，连接BQ ，若S △BDQ ＝8，求tan ∠BDQ ；(4)在点P 运动过程中，若∠BPQ ＝15°，请直接写出BP 的长．9．（2022秋·九年级单元测试）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG （其中BD >2CE ），直线BG 与DE 交于点H ．(1)如图1，当点G 在CD 上时，请直接写出线段BG 与DE 的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEFG 绕点C 旋转一周．①如图2，当点E 在直线CD 右侧时，求证：2BH DH CH -=；②当∠DEC ＝45°时，若AB ＝3，CE ＝1，请直接写出线段DH 的长．10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 与DEF 中，90ACB EDF ∠=∠=︒，,BC AC ED FD ==，点D 在AB 上．(1)如图1，若点F 在AC 的延长线上，连接AE ，探究线段AF 、AE 、AD 之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若点D 与点A 重合，且32AC =，4DE =，将DEF 绕点D 旋转，连接BF ，点G 为BF 的中点，连接CG ，在旋转的过程中，求32CG BG +的最小值； (3)如图3，若点D 为AB 的中点，连接BF 、CE 交于点M ，CE 交AB 于点N ，且::7:9:10BC DE ME ＝，请直接写出ND CN 的值．11．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）综合实践问题情境在图1所示的直角三角形纸片ABC 中，O 是斜边AB 的中点．数学老师让同学们将ABC 绕中点O 做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．解决问题（1）“实践小组”的同学们将ABC 以点O 为中心按逆时针旋转，当点A 的对应点A '与C 重合时，BC 与它的对应边B C ''交于点D ．他们发现：OD B C '⊥．请你帮助他们写出证明过程．数学思考（2）在图2的基础上，“实践小组”的同学们继续将ABC 以点O 为中心进行逆时针旋转，当AB 的对应边A B AB ''⊥时，设A B ''与BC 交于点F ，B C ''与AB 交于点E ．他们认为ED FD AC +=．他们的认识是否正确？请说明理由．再探发现（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图3中连接OD ，他们认为DF ，DE 与OD 也具有一定的数量关系．请你写出这个数量关系______．（不要求证明）【考向二 全等三角形一线三等角模型】例题：（2023·全国·九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：(1)如图2，Rt ABC △中，90，ACB CB CA ∠=︒=，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌．(2)如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90，，CAD AC AD ∠=︒=，23DBA DAB AB ∠=∠=，求点C 到AB 边的距离．(3)如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若，10，6DEF B AB BE ∠=∠==，求EF DE 的值．【变式训练】一、选择题1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（ ）A ．3B ．2C ．94D ．92 二、解答题2．（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．(1)若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．(2)在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．3．（2022秋·云南昭通·八年级校考期末）在ABC 中，90o ACB AC BC ∠＝，＝，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ACD CEB ≌；②DE AD BE ＝＋．(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE -＝；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE AD BE 、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．4．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，在ABC 中，AB AC =，D A E ，，三点都在直线m 上，且9DE cm BDA AEC BAC =∠=∠=∠，．(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为 ___________，CE 与AD 的数量关系为 ___________；(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动，同时，点C 在线段EF 上以cm /s x 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为s t （）．是否存在x ，使得ABD △与EAC 全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．5．（2022秋·八年级课时练习）【问题解决】（1）已知∠ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．如图①，当∠BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC <180°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC =BC ，∠ACB =90°，点C 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（1，2），请求出点A 的坐标．。

2024年深圳中考数学压轴题

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2024年深圳中考数学压轴题一、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，以点A为圆心，半径为5的圆与x轴的位置关系是？A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定（答案）C。

解析：点A到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，即4，小于圆的半径5，所以圆与x轴相交。

二、若一个正方形的对角线长为12cm，则这个正方形的面积为？A. 36平方厘米B. 48平方厘米C. 72平方厘米D. 144平方厘米（答案）C。

解析：正方形的对角线将正方形分为两个等腰直角三角形，对角线作为斜边，长度为12cm。

根据勾股定理，正方形的边长为6√2cm，所以面积为(6√2)²=72平方厘米。

三、已知一元二次方程x²+2x-3=0的两个根为x1和x2，则x1+x2的值为？A. -1B. 1C. 2D. -2（答案）D。

解析：对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根的和为-b/a。

在此题中，a=1，b=2，所以x1+x2=-2/1=-2。

四、小明家有一个长方形花园，长为10米，宽为6米，他计划在花园的四周种上花，每米花需要5元，小明至少需要多少钱来买花？A. 160元B. 120元C. 80元D. 40元（答案）A。

解析：花园的周长为2×(10+6)=32米，每米花需要5元，所以总共需要32×5=160元。

五、若一个等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角为？A. 80°B. 50°C. 60°D. 40°（答案）B。

解析：等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，所以一个底角为(180°-80°)/2=50°。

六、小丽在做一个关于概率的实验，她抛掷一枚均匀的骰子两次，两次点数之和为7的概率是多少？A. 1/6B. 1/5C. 1/4D. 1/3（答案）A。

解析：抛掷一枚骰子两次，每次有6种可能的结果，总共有6×6=36种可能的结果。

几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，可求得∠ABO =30°，从而得出PE =12PB ，进而得出PD +12PB =PD +EP ，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12，∴OD =12，当x =0时，y =-3，∴OB =3，当y =0时，32x 2-32x -3=0，∴x 1=-1，x 2=2，∴A (-1,0)，∴OA =1，∵tan ∠ABO =OA OB =13=33，∴∠ABO =30°，∴PE =12PB ，∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ，当点P 在P 时，PD +PE 最小，最大值等于DF ，在Rt △ADF 中，∠DAF =90°-∠ABO =60°，AD =OD +PA =12+1=32，∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334，∴12PB +PD 最小=DF =334，故选：A ．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB ．3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =90°，∵∠EAB =∠EBC ，∴∠EAB +∠EBA =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，E∵∠G =90°，FG =BG =AB =4，∴OG =6，OA =OB =OE =2，∴OF =FG 2+OG 2=213，∴EF =OF -OE =213-2，故PE +PD 的长度最小值为213-2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E 的运动路线是解题的关键．4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，连接AB ，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，△ABC ≅△AB C ，根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ，即可求出PB +PD 的最小值．【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，证明△PBQ ≌△PBE SAS ，得出PE =PQ ，说明AP +PQ =AP +PE ，找出当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ最小，过点A作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置．6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点，根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长，求出EC 的长即可.【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′，N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，6连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点，与x 轴交于点C (3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,-1)，连接PD ，则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC ，过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0)，∴b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，令y =0，-x 2+2x +3=0，解得x =-1或3，∴A (-1，0)，令x =0，y =3，∴B (0，3)，∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵D(0，-1)，∴OD =1，BD =4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB =90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，7∴x =22，∴DH =22，∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC =90°，∴PJ =22PC ，∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，∵DP +PJ ≥DH ，∴DP +PJ ≥22，∴DP +PJ 的最小值为22，∴2PD +PC 的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC =∠OCB =45°，PJ =22PC 是解题的关键．9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．810(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，利用相似三角形，计算AG 的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD =12，∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD ，AB =4，BC =8，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足∠APB =12∠AGB ，则DP 的最小值．【答案】210-22【分析】由题意可知，∠AGB =90°，可得∠APB =12∠AGB =45°，可知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的9圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，可知△AOB 为等腰直角三角形，求得OA =22AB =22=OP ，AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，OD =OQ 2+QD 2=210，再由三角形三边关系可得：DP ≥OD -OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH =GH ，且EF ⊥BG∵E 为AB 中点，则EH 为△ABG 的中位线，∴EH ∥AG ，∴∠AGB =90°，∵∠APB =12∠AGB ，即∠APB =12∠AGB =45°，∴点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，则OA =OB =OP ，∵∠APB =45°，∴∠AOB =90°，则△AOB 为等腰直角三角形，∴OA =22AB =22=OP ，又∵E 为AB 中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =AE =BE ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，AD =BC =8，∴四边形AEOQ 是正方形，∴AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，∴OD =OQ 2+QD 2=210，由三角形三边关系可得：DP ≥OD-OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，∴DP 的最小值为210-22，故答案为：210-22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点G 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 和CD 边上的点，则四边形BEFG 周长的最小值为．【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G ，根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G∵EB =EB ,FG =FG ，∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ，∵EB +EF +FG ≥B G ，∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ，∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4，BB =16，BG =12，∴B G =162+122=20，∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM +PN 的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长，即可得出答案．【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP =∠MBP ，即Q 在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∴M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24，则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ，使BN BP=12，则BN =1，连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠DAB =60°，AD =CD =4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD =90°，则△MBC 面积的最小值为．【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM +ME ≥OF ，通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则13OM +ME ≥OF ，∵AB ∥CD ，∠DAB =60°，AD =CD =4，∴∠ADC =120°，∵AD =CD ，∴∠DAC =30°，∴∠CAB =30°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°，∴∠B =∠DAB ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴BC =AD =4，∵∠AMD =90°，AD =4，OA =OD ，∴OM =12AD =2，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =60°，∴∠DGO =∠CGF =30°，∵OF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ，∴DG =DO =2，∴OG =2OD ⋅cos30°=23，GF =3，OF =33，∴ME ≥OF -OM =33-2，∴当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值33-2，∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ，点M 为线段BD 上一动点，连接PM ,QM ，则PM +QM 的最小值为cm ．【答案】5【分析】如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，且点P 在BC 上，则PM +QM =P M+QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP QA 是平行四边形，P Q =AP =AB -BP ，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，14∴点P 在BC 上，∴P M =PM ，则PM +QM =P M +QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，∵点P 关于BD 的对称点P ，∠ABD =∠DBC =30°，∴PP ⊥BM ，BP =BP =1cm ，∴∠BP P =60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P =∠C =60°，∴PP ∥AC ，且PP =AQ =1cm ，∴四边形PP QA 是平行四边形，∴P Q =AP =AB -BP ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AD =3，∴AB =2AD =2×3=6，∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称-最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称-最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，DE =1，DF =2，若P 为对角线AC 上一动点，则EP +FP 的最小值为．【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ，连接EF 交BD 于点P ，则PF =PF ，由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时，EP +FP 有最小值，然后求得EF 的长度即可．【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ，则PF =PF ，连接EF '交BD 于点P ．∴EP +FP =EP +F P ．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F '在一条直线上时，EP +FP 的值最小，此时EP +FP =EP +F P =EF ．∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB =BC =CD =DA =3，AB ∥CD ，∵AF =2，AE =1，∴DF =AE =1，∴四边形AEF D 是平行四边形，∴EF =AD =3．∴EP +FP 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，可求出点A ，B 的坐标，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可求出点C 、D 的坐标，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标．【详解】解：直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，∴当y =0，x =-4，即A (-4,0)；当x =0，y =4，即B (0,4)，∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴C (-2,2)，D (0,2)，如图所示，过点C 关于x 轴的对称点C，∴C (-2,-2)，∴直线C D 的解析式为：y =2x +2，当y =0，x =-1，即P (-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA ,MC ,AC ，则△MAC 周长的最小值是．【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，AC =OA 2+OC 2=10，则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，从而得到CB =OC 2+OB 2=32，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，16∴当y =0时，0=x 2-4x +3解得x =1或x =3，即A 1,0 ,B 3,0 ；当x =0时，y =3，即C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，即MA =MB ，∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，∵AC =OA 2+OC 2=10，∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，∵CB =OC 2+OB 2=32，∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10，故答案为：32+10．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为．【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示，通过代换，将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ，得到当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示：∵PM ⊥AC ，PN ⊥CB ，∴∠PMC =∠PNC =90°，∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°，∴∠MPH =180°-∠MPN =60°，∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ，∴PN +12PM =PN +HP =NH ，∵MF =NH ，∴当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，∴MG =OP =2，在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG +GM =2+23，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3+3，∴HN =MF =3+3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，17∴MG =OP =2，由上同理可知：在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG -GM =23-2，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3-3，∴HN =MF =3-3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23，∴6-23≤PM +2PN ≤6+23．故答案为：6-23≤PM +2PN ≤6+23．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，此时点P 的坐标是；(3)点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出△BCQ 面积的最大值．【答案】(1)y =-x 2+3x +4；y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ，B 4,0 两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C 0,4 ，再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入，即可求解；(2)连接BC ，PB ，根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，从而得到当P 在直线AB 上三点共线时，AP +CP 的值最小，把x =32代入直线BC 的解析式，即可求解；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，可得QD =-d 2+4d ，从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8，即可求解；【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，∴a -b +4=016a +4b +4=0，解得：a =-1b =3 ，18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4；∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴C 0,4 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入得：4k +b =0b =4 ，解得：k =-1b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4；(2)如图，连接BC ，PB ，∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74，∴抛物线的对称轴为直线x =32，根据题意得：A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，∴AP =BP ，∴AP +CP =BP +CP ≥BC ，即当P 在直线AB 上时，AP +CP 的值最小，∴当x =32时，y =-32+4=52，∴P 32,52 ，故答案是：32,52 ；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ，∵B 4,0 ，∴OB =4，∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8，当d =2时，S ΔBCQ 取最大值，最大值为8，∴△BCQ 的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 ．(1)请直接写出直线BC 的关系式：(2)在直线BC 上是否存在点D，使得S △ABD =S △AOD 若存在，求出点D 坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D 11,0 ，P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA ,QD ．请直接写出QB -QD 的最大值：．19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点，可求出点B 的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设D (a ,2a +6)，分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ，由此即可求解；(3)△BPQ 是等腰直角三角形，设P (m ,0)(m >0)，可表示出QB ，再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值，可求得点R 的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，令x =0，则y =6，∴B (0,6)，且C -3,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =6-3k +b =0，解得，k =2b =6 ，∴直线BC 的解析式为y =2x +6，故答案为：y =2x +6．(2)解：由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6，直线AB 的解析式为y =-x +6，∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0)，∴OA =6,BO =6,OC =3，如图所示，点D 在直线BC 上，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，∴设D (a ,2a +6)，E (a ,0)，∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27，S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ，S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ，∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ，若S △ABD =S △AOD ，则27-92a =3a ，当a >0时，27-92a =3a ，解得，a =185，即D 185,665 ；当a <0时，27+92a =-3a ，解得，a =-185，即D -185,-65 ；综上所述，当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD ．(3)解：已知A (6,0),B (0,6),D (11,0)，设P (m ,0)(m >0)，∴在Rt △BOP 中，OB =6,OP =m ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，∠BPQ =90°，∴BP =QP ；如图所示，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中，∠BOP =∠PTQ =90°，∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°，∴∠BPO =∠PQT ，∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP，∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，∴OP =TQ =m ，OB =PT =6，∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ，∴AT =QT ，且QT ⊥x 轴，∴△ATQ 是等腰直角三角形，∠QAT =45°，则点Q 的轨迹在射线AQ 上，如图所示，作点D 关于直线AQ 的对称点R，连接QR ,BR ,AR ，A (6,0)，B (0,6)，D (11,0)，∵△ATQ 是等腰直角三角形，即∠QAT =45°，根据对称性质，∴∠QAR =45°，∴RA ⊥x 轴，且△DQA ≌△RQA ，∴AR =AD =11-6=5，则R (6,5)，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值；∴由勾股定理得：BR =62+(6-5)2=37，故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BPCQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ，理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE =DF ，由∠B =60°，可得DE =DF =32BD ，由AD =3BD ，求得sin A =DE AD=12，可证得∠A =30°；(2)延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，易证△BCH 为等边三角形，进而可证△BCF ≌△HCE SAS ，可得BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，可知∠AEH =∠CFG ，易证得△AEH ≌△CFG SAS ，可得AH =CG ，由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论；(3)由题意可知△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，可得CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，可知△ACQ ∽△MCN ，可得MN =32AQ ，由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ+13CQ 有最小值，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，可证△CBR ∽△MBT ，得BR CR =BT MT ，设BC =a 由等边三角形的性质，可得CM =32a ，进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，结合BR CR=BTMT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ，可得BQ CQ =213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，可求得BP CQ的值．【详解】(1)证明：过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，又∵∠B =60°，∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ，则DE =DF =32BD ，又∵AD =3BD ，∴sin A =DE AD =32BD3BD=12，∴∠A =30°；(2)BC =AB +CG ，理由如下：延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，∵∠ABC =60°，BH =BC ，∴△BCH 为等边三角形，∴CB =CH ，∠BCH =60°，∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，∴CE =CF ，∠ECF =60°，则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ，∴∠ECH =∠FCB ，∴△BCF ≌△HCE SAS ，∴BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，则∠AEH =∠CFG ，∵BF =FG ，∴BF =HE =FG ，又∵E 为AC 中点，∴AE =CE =CF ，∴△AEH ≌△CFG SAS ，∴AH =CG ，∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ；(3)∵∠ABC =60°，AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，则CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，∴sin ∠CQN =CN QN =313，cos ∠CQN =CQ QN =213，则∠ACM =∠QCN =90°，∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ，则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ，∴MN AQ =CM CA=32，即：MN =32AQ ，∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即：点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ +13CQ 有最小值，如下图，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，则∠BRC =∠BTM =90°，CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，又∵∠CBR =∠MBT ，∴△CBR ∽△MBT ，∴BR CR=BT MT ，∵△ABC 是等边三角形，设BC =a ∴∠ACB =60°，AC =BC =a ，则CM =32a ，∵∠ACM =90°，∴∠MCT =30°，则CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，则由BR CR=BT MT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ，整理得：133BQ CQ +23=4+333，得BQ CQ=213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，∴BP CQ =BQ CQ=213+33913．【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE ，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =2，BC =4，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．。

(完整)中考数学压轴题精选附答案

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一、解答题1．如图，已知正方形ABCD ，将AD 绕点A 逆时针方向旋转到AP 的位置，分别过点作，垂足分别为点E 、F ．(1)求证：；(2)联结，如果，求的正切值； (3)联结，如果，求n 的值．2．在ABC 中，AB BC =，45B ∠=︒，AD 为BC 边上的高． （1）如图1，若1AD =，求线段CD 的长度；（2）如图2，点E ，点F 在AB 边上，且满足AE BF =，连接CE ，CF 分别交线段AD 于点M ，点N ，若点M 为线段CE 的中点，求证：2AN CD AB +=；（3）在（2）问条件下，若2AC =，点K 为AC 边上一动点，点Р为ACF 内一点且满足ACP CAD ∠=∠，当PK PA +取最小值时，请直接写出CPK S △的值．3．如图，点D 、E 分别在等边△ABC 的边AB 、BC 上，且BD ＝CE ，CD ，AE 交于点F ． （1）求∠AFD 的度数；（2）如图2，若D ，E ，M ，N 分别是△ABC 各边上的三等分点，BM ，CD 交于Q ．若△ABC 的面积为S ，则四边形ANQF 的面积为______；（只写出答案即可，不要求写解题过程）（3）如图3，延长CD 到点P ，使∠BPD ＝30°，设AF ＝a ，CF ＝b ，请用含a ，b 的式子表示PC 的长，并说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（0，6）、（5，0），点P为线段OA上的一个动点，将矩形OABC在直线PC上方的部分沿直线PC翻折，点B落在点D处，点A落在点E处，直线CD交y轴于点F．（1）如图2，当点P与点A重合时，求点F的坐标；（2）点P从A向O运动的过程中，点D、P、C、B能否构成菱形，若能，求出符合条件的点D的坐标，若不能，请说明理由；（3）点P从A向O运动的过程中，当△DPC的重心刚好落在y轴上时，求出此时点P的坐标．5．问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′B′C′，则CC′＝；问题探究（2）如图②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA＋PB＋PC的最小值，并说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四边形ABCD内部有一点，满足∠APD＝120°，连接BP、CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．6．折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．①求证：DF∥BE；②求DF的长度．（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝23，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标．7．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD中，45=；∠=︒，且DE BFEAF=，求证：EG AG（2）如图2，正方形ABCD中，45∠=︒，延长EF交AB的延长线于点G，（1）中的EAF结论还成立吗？请说明理由；⊥，垂足为点Q，交AF于点N，连结DN，求（3）如图3在（2）的条件下，作GQ AE证：45∠=︒．NDC8．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（0，2），动点A从原点O出发，沿着x 轴正方向移动，△ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列），当点A与原点O重合时，得到等腰直角△OBC（此时点P与点C重合）．（1）BC＝；当OA＝2时，点P的坐标是；（2）设动点A的坐标为（t，0）（t≥0）．①点A在移动过程中，△ABP的顶点P在射线OC上吗？请说明理由；②用含t的代数式表示点P的坐标为：（，）；（3）分别过点P、A做x轴、y轴的平行线，两条平行线交于点Q，是否存在这样的Q，使得△AQB是等腰三角形？若存在，请直接写出Q的坐标，若不存在，请说明理由．9．抛物线y＝ax2+b经过点A（4，0），B（0，﹣4），直线EC过点E（4，﹣1），C （0，﹣3），点P是抛物线上点A、B间的动点（不含端点A、B），过P作PD⊥x轴于点D，连接PC、PE．（1）求抛物线与直线CE的解析式；（2）求证：PC+PD为定值；（3）若△PEC的面积为1，求满足条件的点P的坐标．10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，CD＝2m（m＞2），P为CD中点，以P为圆心，CP为半径作半圆P，交线段AC于点E，交线段AD于点F．（1）当E为CA中点时，①求证：E是弧CF的中点．②求此时m的值．（2）连结PF，若PF平行△ABC的某一边时求出满足条件的m值．（3）连结PE，将PE绕着点E顺时针旋转90°得到EP'，连结AP'，当AP'⊥AC时，求此时CE的长．11．已知抛物线214y x bx c =-++与直线AC 相交于A 、C 两点，且()2,0A -、()4,3C ．(1)填空：b =______，c =______；(2)长度为5的线段DE 在线段AC 上移动，点G 与点F 在上述抛物线上，且线段DG 与EF 始终平行于y 轴．①连接FG ，求四边形DEFG 的面积的最大值，并求出对应点D 的坐标；②CH AB ⊥，垂足为点H ，线段DE 在移动的过程中，是否存在点D ，使△DEG 与△ACH 相似？若存在，请求出此时点D 的坐标；若不存在，试说明理由． 12．如图，抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线经过点B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ，连接AC ，AP ，判定△APC 的形状，并说明理由；(3)在直线BC 上是否存在点M ，使AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍?若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC ，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣34x2＋bx＋c经过点A和点B．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．14．如图，已知二次函数的解析式为y=﹣12x2+bx+c，A(-1,0)，C(4,0)，P为二次函数上的动点．(1)求二次函数的解析式．(2)若P在第一象限上，求S△BCP的最大值．(3)在x轴上是否存在点Q，使得BQ=BP且BP⊥BQ若存在，请直接写出所有点Q的坐标，若不存在，请说明理由．15．（1）[感知]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．求∠FEG的度数．（2）[探究]把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC，其余条件不变，如图2，类比探究，可得：①∠FEG＝°；②猜想线段BF、AF、FG之间的数量关系，并说明理由．（3）[拓展]如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH 内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F．G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为．16．在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点A，B（点B 在点A的右侧）．抛物线顶点为C点，△ABC为等腰直角三角形．(1)求此抛物线解析式．(2)若直线与抛物线有两个交点，且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于6，求k的值．(3)若点，且点E，D关于点C对称，过点D作直线2l交抛物线于点M，N，过点E作直线轴，过点N作于点F，求证：点M，C，F三点共线．17．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左），交y轴于点C(1)当3a =时，①如图1，求△ABC 的面积； ②如图2，若抛物线上有一点P ，且，求点P 的坐标(2)过点B 且与抛物线仅有一个交点的直线y kx b =+交y 轴于点D ，求的值．18．已知：在⊙O 中，弦AC ⊥BD 于点E ，连接OC 、BC 、CD ．(1)如图1，求证：∠B ＋∠OCD ＝90°．(2)如图2，连接OE 、OD ，若EO 平分∠AED ，求证：2=CD OC ．(3)如图3，在（2）的条件下，延长OE 交⊙O 于点F ，连接FC 、FD ，点K 为OD 上一点，KC 交FD 于点H ，FD 交OC 于点G ，若CK ＝5，552DG =，∠ODF ＝2∠KCD 时，求FC 的长． 19．问题提出：如图①所示，在矩形AOCB 和矩形ODEF 中，CO FOk AO DO==，点A ，O ，D 不在同一直线上，连接,AD CF ．HO 是AOD △的中线，那么,HO CF 之间存在怎样的关系？HO CF的数量关(1)问题探究：先将问题特殊化，如图②所示，当1k=且90AOD∠=︒时，,系是________，位置关系是________．(2)问题拓展：再探究一般情形如图③所示，当1k=，90∠≠︒时，证明（1）中的结论AOD仍然成立．HO CF之间存在怎样的关系（数量关系用k表示）？(3)问题解决：回归图①所示，探究,20．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E 为直线CD上一点，连接AE；（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠ACD＝90°，E为CD中点，23AB=，求△BCE的面积；（2）如图2，若∠ACD＝90°，点E在线段CD上且∠DAE＋∠ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：2=；BC DF（3）如图3，AB＝1，∠BAC＝90°，∠ACD＝105°，若BE恰好平分∠AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当'+-''的值最小时，直接写出CQ的值．2CE AE CE【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)证明见解析；(2)2；3(3)30【解析】【分析】（1）作CG⊥CE，交FD延长线于G点，可根据题意得出四边形FECG为矩形，再结合矩形和正方形的性质推出△BCE≌△DCG，从而得到CE=CG，即四边形FECG为正方形，即可证得结论；（2）在（1）的基础之上，连接CF，首先通过旋转的性质和三角形的内角定理推出△CEF 和△DFP均为等腰直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质推出PF和EF之间的关系，从而表示出BE的长度，即可求出∠BCE的正切值，再根据余角的关系证明∠ABP=∠BCE，即可得出结论；（3）根据正方形的性质以及前面两个问题的求解过程推断出A、C、D、F四点共圆，即可得到在变化过程中，∠AFC始终为90°，从而在Rt△ACF中运用特殊角的三角函数值求解角度即可得出结论．(1)：如图所示，作CG⊥CE，交FD延长线于G点，∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，∴四边形FECG为矩形，∠G=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，BC=DC，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCG，即：∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG(AAS)，∴CE=CG，∴四边形FECG为正方形，∴CE=EF；(2)解：如图所示，连接CF，由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，则△CEF为等腰直角三角形，由旋转的性质得：∠PAD=n°，AP=AD，∴∠PAB=90°+n°，∠APD=12（180°-∠PAD）=90°-12n°，∵AP=AB，∴∠APB=12（180°-∠PAB）=45°-12n°，∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，∵DF⊥AB，∴∠DFP=90°，∴△DFP也为等腰直角三角形，PF=DF，∴△DFP∽△CEF，∵，∴，设PF= DF=x，则FE=CE=3x，由（1）知四边形CEFG为正方形，∴FG=FE=3x，∴DG=FG-DF=2x，∵△BCE≌△DCG，∴BE=DG=2x，∴在Rt△BEC中，，∵∠ABP+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，∴∠ABP=∠BCE，∴；(3)解：∵，∴如图所示，连接AF和对角线AC，由（2）可知，∠EFC=45°，∠EFD=90°，∴∠CFD=45°，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45°，AC2，∴∠CAD=∠CFD，∴点A、C、D、F四点共圆，∴∠AFC=∠ADC=90°，∵AF=22AB，∴AF=12AC，则在Rt△AFC中，，∵∠ACF为锐角，∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，∵∠CAD=45°，∴∠FAD=60°-45°=15°，∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，∴△AFP≌△AFD，∴∠FAD=∠FAP=15°，∴∠PAD=30°，∴n=30．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直角三角形等，掌握图形的基本性质和判定方法，具有较强的综合分析能力是解题关键．2．（121；（2）证明见解析；（321- 【解析】【分析】（1）证明,AD BD = 再利用勾股定理求解,,AB BC 从而可得答案；（2）如图，过E 作EH AD ⊥于,H 过F 作FQ BC ⊥于,Q 而,AD CD ⊥ 证明,EHM CDM ≌ 可得22,AE EH CD == 同理：22,BF FQ BQ == 而,AE BF = 再证明,FQC DCA ≌ 可得,FCQ CAD ∠=∠ 再证明,AF AN = 从而可得结论；（3）如图，记CP 与AB 的交点为,L 由（2）得：45,ACF BAD ∠=∠=︒ 证明,22.5,CF CA CAD =∠=︒ 可得CP 平分,ACF ∠ 则,A F 关于直线CP 对称，,PF PA = 过F 作FK AC ⊥于,K 则此时,PA PK PF PK FK +=+= 所以PA PK +最短，设,PK n = 则1,21,PF PA n AK ==-= 再利用勾股定理求解,n 即可得到答案.【详解】解：（1）45B ∠=︒，AD 为BC 边上的高，90,45,ADB B BAD ∴∠=︒∠=∠=︒221,112,AD BD AB ∴==+=AB BC =，2,2 1.BC CD BC BD ∴=-=（2）如图，过E 作EH AD ⊥于,H 过F 作FQ BC ⊥于,Q 而,AD CD ⊥则90,EHM CDM ∠=∠=︒ M 为CE 的中点，,HME DMC ∠=∠,EM CM ∴=,EHM CDM ∴≌,EH CD ∴=45,90,BAD AHE EHM ∠=︒∠=∠=︒22,AE EH CD ∴==同理：22,BF FQ BQ == 而,AE BF =,FQ BQ CD EH ∴===,BD CQ AD ∴==90,ADC CQF ∠=∠=︒,FQC DCA ∴≌,FCQ CAD ∴∠=∠,AB BC =,BAC BCA ∴∠=∠,BAD ACF ∴∠=∠ 而,B BAD ∠=∠,,B FCQ AFN ANF ACF CAD ∠+∠=∠∠=∠+∠,AFN ANF ∴∠=∠,AF AN ∴=2.AN CD AF AE AF BF AB ∴=+=+=（3）如图，记CP 与AB 的交点为,L 由（2）得：45,ACF BAD ∠=∠=︒,45,BA BC B =∠=︒67.5,BAC BCA ∴∠=∠=︒67.5,CFA BAC ∴∠=︒=∠,22.5,CF CA CAD ∴=∠=︒22.5,ACP CAD ∠=∠=︒CP ∴平分,ACF ∠,,CP AF AL FL ∴⊥=则,A F 关于直线CP 对称，,PF PA =过F 作FK AC ⊥于,K 则此时,PA PK PF PK FK +=+=所以PA PK +最短，2,AC ∴= 则2,CF = 而45,ACF ∠=︒1,CK FK ∴==设,PK n = 则1,21,PF PA n AK ==-=())222121,n n ∴-=+ 解得：21,n = )121121.22CPK S ∴=⨯⨯= 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，本题综合性较强，是压轴题，知识的系统化是解题的关键.3．（1）60°；（2）13S ；（3）a +2b ，理由见解析 【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质AB =AC =BC ，∠ABC =∠ACE =∠BAC =60°，且BD =CE ，可证△BDC ≌△CEA ，由三角形的外角性质可求∠AFD 的度数；（2）由等边三角形的性质可得BD =CE =AM =DN ，且AB =AC =BC ，∠ABC =∠ACE =∠BAC =60°，可证△ABM ≌△CAE ≌△BCD 和△BDQ ≌△CEF ，由全等三角形的性质和三等分点性质，可求四边形ANQF 的面积；（3）在AC 上截取AM =CE ，由题意可证△BHC ≌△CFA ，可得BH =CF =b ，AF =CH =a ，∠PHB =60°，即可求PC 的长．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形∴AB =AC =BC ，∠ABC =∠ACE =∠BAC =60°，且BD =CE ，∴△BDC≌△CEA（SAS），∴∠CAE=∠BCD，∵∠AFD=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACD=∠ACB，∴∠AFD=60°；（2）∵D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，∴BD=CE=AM=DN，且AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，∴△ABM≌△CAE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∠ABM=∠BCD，∠AMB=∠AEC=∠BDC，且BD=CE，∴△BDQ≌△CEF（ASA），∴S△BDQ=S△CEF，∵BD=DN，∴S△BDQ=S△DNQ=S△CEF，∵D，E是AB，BC上三等分点，∴S△BDC=S△CEA=13S△ABC=13S，∵四边形ANQF的面积=S△ABC-S△AEC-S△DNQ-S四边形DFEB=S-13S-13S=13S；（3）PC=a+2b．理由如下：如图，在AC上截取AM=CE，即AM=CE=BD，∵AM=CE=BD，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=CB．∴△CBD≌△ACE≌△BAM（SAS），∴∠CAE=∠BCD=∠ABM，且∠ABC=∠ACE，∴∠MBC=∠ACD，且BC=AC，∠EAC=∠BCD，∴△BHC≌△CFA（ASA），∴BH=CF=b，AF=CH=a，∵∠PHB=∠MBH+∠HCB=∠ABM+∠MBC=∠ABC，∴∠PHB=60°，且∠BPD=30°，∴∠PBH=90°，且∠BPH=30°，∴PH=2BH=2b，∴PC=PH+HC=a+2b．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．（1）F（0，3112）；（2）能，D（0，－31）；（3）P的坐标为（0，5）或（0，1）．【解析】【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质，求出AF=CF，设OF＝x，然后利用勾股定理求出x，即可得到答案；（2）当四边形DPBC为菱形时，PB∥DC，PD∥BC，利用菱形的性质和勾股定理求出31AP ，然后求出OD的长度，即可得到答案；（3）当重心在y轴上时，F一定是DC的中点，过D作DH⊥x轴于H，利用勾股定理求出DH=4，然后得到点D的坐标，即可求出点P的坐标．【详解】解：（1）如图：在矩形OABC中，OA∥BC，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AF＝FC，设OF＝x，∴AF＝FC＝6－x，∴(6－x)2＝x2＋52，解得：x＝31 12，∴F（0，31 12）（2）能，当四边形DPBC为菱形时，PB∥DC，PD∥BC，∴点D在y轴上，且PB＝BC＝6，在Rt△APB中，AP2＋AB2＝PB2，∴AP2＝62－(5)2，∴AP＝31，∵AO＝PD＝6，∴OD＝31，∴D（0，－31）；（3）当重心在y轴上时，F一定是DC的中点，过D作DH⊥x轴于H，∴OH＝OC5∴CH＝5∴DH2246(25)∴D5454）当D54）时，F（0，2），∴AP＝1（6－4）＝12∴OP＝5，∴P（0，5）当D（－5，－4）时，F(0，－2)，AP＝12（6＋4）＝5，∴OP＝1，∴P（0，1）综上，P的坐标为（0，5）或（0，1）．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．5．（1）2；（2）32；（3）存在，223 3【解析】【分析】（1）如图①，根据等边三角形的判定和性质解决问题即可．（2）如图②，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．易证PA＋PB＋PC＝PC＋PF＋EF，因为PC＋PF＋EF≥EC，推出当P，F在直线EC上时，PA＋PB＋PC的值最小，求出EC的长即可解决问题．（3）如图③−1中，将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是等边三角形，易知PQ＋BQ＋CQ＝EG＋GQ＋QC≥EC，推出EC的值最小时，QP＋QB＋QC的值最小，如图③−2中，延长BA交CD的延长线于J，作△ADJ的外接圆⊙O，将线段BO，BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，BE，连接EO′，OB，OP．易证△BEO′≌△BPO（SAS），推出EO′＝OP＝433，推出点E的运动轨迹是以O′为圆心，433为半径的圆，推出当点E在线段CO′上时，EC的值最小，最小值＝CO′−EO′．【详解】（1）如图①，由旋转的性质可知：△BCC′是等边三角形，∴CC′＝BC＝2，故答案为2．（2）如图②，将△ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到△BFE ，连接PF ，EC ．由旋转的性质可知：△PBF 是等边三角形，∴PB ＝PF ，∵PA ＝EF ，∴PA +PB +PC ＝PC +PF +EF ，∵PC +PF +EF ≥EC ，∴当P ，F 在直线EC 上时，PA +PB +PC 的值最小，根据旋转以及翻折的性质可得BC ＝BE ＝BA ＝3，∵,30EBF ABP ABP PBC ∠=∠∠+∠=︒，∴90FBP EBF PBC ∠+∠+=︒,∵EB ⊥BC ，∴EC ＝2BC ＝32，∴PA +PB +PC 的最小值为32．（3）如图③﹣1中，将△PBQ 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBG ，则PQ ＝EG ，△BQG 是等边三角形，∴BQ ＝QG ，PQ ＝EG ，∴PQ +BQ +CQ ＝EG +GQ +QC ≥EC ，∴EC 的值最小时，QP +QB +QC 的值最小，如图③﹣2中，延长BA 交CD 的延长线于J ，作△ADJ 的外接圆⊙O ，将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OB ，OP ．∵,,BO BO BE BP O BE OBP ==∠=∠''，∴△BEO ′≌△BPO （SAS ），∴EO ′＝OP ，∵∠APD +∠AJD ＝180°，∴A ，P ，D ，J 四点共圆，∴OP 43 ∴EO 43， ∴点E 的运动轨迹是以O 43为半径的圆， ∴当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值＝CO ′﹣EO ′，连接OO ′，延长OO ′到R ，使得O ′R ＝OO ′，连接BR ，则∠OBR ＝90°，作RH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，O ′T ⊥CH 于T ，OM ⊥BC 于M ．在Rt △OBM 中，BM ＝5，OM 113 ∴OB 22OM BM +113 ∴BR 3＝14，由△BHR ∽△OMB ， ∴RH BM ＝BR OB， ∴RH ＝3∵HR ∥O ′T ∥OM ，OO ′＝RO ′，∴TM ＝TH ，∴O ′T ＝2RH OM +133 ∴BT 22O B O T -''3，∴CO ，∴CO ′﹣EO∴QP +QB +QC 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6．（1）①见解析；②185；（2）在坐标平面内存在点2,03H ⎛⎫ ⎪⎝⎭或4,H ⎛ ⎝⎭或2H ⎫⎪⎝⎭或2H ⎛⎫+ ⎪⎝⎭使得以点E ，A ，G ，H 为顶点的四边形是菱形． 【解析】【分析】（1）①由折叠的性质可知EF =EC ，∠BEF =∠BEC ，E 是CD 的中点，得到DE =EC =EF ，则∠EDF =∠EFD ，即可证明∠EDF =∠BEC ，得到DF ∥BE ；②过点E 作EG ⊥DF 于G ，先证明△EGD ∽△BCE ，得到DE DG BE CE=，利用勾股定理求出5BE ，由此求解即可；（2）先证明△CDE ≌△AEO 得到AE =CE ，设OE x =，则AE CE OC OE x ==-=，由222AE OE OA =+，得到()2222x x =+，可求得E ⎛ ⎝⎭，AE =求出直线AC的解析式为y =+，设(,G a +，(),H m n ，然后分当AE 是菱形的对角线时，则AG =EG ，当AG 是菱形的对角线时，AE =EG ，当AH 为菱形对角线时，AE =AG ，三种情况进行讨论求解即可．【详解】解：（1）①由折叠的性质可知EF =EC ，∠BEF =∠BEC ，∵E 是CD 的中点，∴DE =EC =EF ，∴∠EDF =∠EFD ，∵∠FEC =∠EDF +∠EFD =∠BEF +∠BEC ，∴∠EDF =∠BEC ，∴DF ∥BE ；②如图所示，过点E 作EG ⊥DF 于G ，∴FD=2DG，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，∠C=90°，∵∠EGD=∠BCE，∠EDG=∠BEC，∴△EGD∽△BCE，∴DE DG BE CE=，∵E为CD中点，∴132DE CE CD===，∴225 BE BC CE=+=，∴353DG =，∴95 DG=，∴185 DF=；（2）∵2OA=，3OC=∴A（2，0），C（0，23∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA，∠ABC=90°，由折叠的性质可知CD=CB=OA，∠CDE=∠AOE=90°，又∵∠CED=∠AEO，∴△CDE≌△AOE（AAS），∴AE=CE，设OE x=，则3AE CE OC OE x==-=，∵222AE OE OA=+，∴()222232x x=+，解得23 x=∴23E⎛⎝⎭，43AE=设直线AC的解析式为y kx b=+，∴20k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴直线AC的解析式为y =+设(,G a +，(),H m n ，∴AGEG =当AE 是菱形的对角线时，则AG =EG ，∴()(222a -++=22a ⎛++ ⎝⎭，解得43a =， 由AE 与HG的中点坐标相同得：0222032a m ++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得230m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩； ∴2,03H ⎛⎫ ⎪⎝⎭当AG 是菱形的对角线时，AE =EG ，22163a ⎛++= ⎝⎭， 解得2a =或0a =（舍去），由AG 与EH的中点坐标相同得2202232m n ++⎧=⎪⎪= 解得4m n =⎧⎪⎨=⎪⎩∴4,H ⎛ ⎝⎭； 当AH 为菱形对角线时，AE =AG ，∴()()221623233a a -+-+=， 解得2323a =±， 由AH 与EG 的中点坐标相同得2022233230322m a a n ++⎧=⎪⎪⎨-++⎪+=⎪⎩， 解得2332323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或2332323m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩； ∴2323,233H ⎛⎫- ⎪⎝⎭或2323,233H ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； ∴综上所述，在坐标平面内存在点2,03H ⎛⎫ ⎪⎝⎭或234,3H ⎛⎫- ⎪⎝⎭或2323,233H ⎛⎫- ⎪⎝⎭或2323,233H ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭使得以点E ，A ，G ，H 为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定，矩形的性质，菱形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据半角旋转模型，把△ABF 逆时针旋转90°，则AB 与AD 重合，设F 对应的点为M ，即可证明AME AFE ≅，得到AEM AEF ∠=∠，再结合AEM EAG ∠=∠，可得AEM AEF ∠=∠，可得EG AG =；（2）结论依然成立，证明方法与（1）一样；（3）又等腰三角形三线合一的性质可得GQ 垂直平分EA ，可得△ANE 是等腰直角三角形，可得A 、D 、E 、N 四点共圆，根据圆周角45NDC EAN ∠=∠=︒【详解】（1）把△ABF 逆时针旋转90°，则AB 与AD 重合，设F 对应的点为M ，∴AMD AFB ≅∴90,,MDA FBA AM AF MAD FAB ∠=∠=︒=∠=∠∴M 、D 、C 三点共线∵45EAF ∠=︒∴45EAD FAB EAD MAD MAE ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴()AME AFE SAS ≅∴AEM AEG ∠=∠∵AB ∥CD∴AEM EAG ∠=∠∴AEG EAG ∠=∠∴EG AG =（2）结论依然成立，EG AG =把△ABF 逆时针旋转90°，则AB 与AD 重合，设F 对应的点为M ，∴AMD AFB ≅∴90,,MDA FBA AM AF MAD FAB ∠=∠=︒=∠=∠∴M 、D 、C 三点共线∵45EAF ∠=︒∴45EAD FAB EAD MAD MAE ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴()AME AFE SAS ≅∴AEM AEG ∠=∠∵AB ∥CD∴AEM EAG ∠=∠∴AEG EAG ∠=∠∴EG AG =（3）连接EN由（2）得EG AG =∵GQ AE ⊥∴GQ 垂直平分AE∴EN =AN∵45EAF ∠=︒∴90ANE ADE ∠=︒=∠∴A 、D 、E 、N 四点在以AE 为直径的同一个圆上，∴45NDC EAN ∠=∠=︒．【点睛】本题考查半角旋转模型，熟练根据模型做出辅助线是解题的关键．第（3）问根据四点共圆证明是本题的难点．8．（12 ；（2，2）；（2）① 在，理由见解析； ②22t +，22t +；（3）存在，（2，2）（6，4）【解析】【分析】（1）作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥OA 于N ，根据全等三角形的判定及性质可得：PMB PNA ≌，PM PN =，BM AN =，再依据正方形的判定及性质即可得出结果；（2）①利用角平分线的判定定理证明OP 平分AOB ∠即可；②由（1）可知：22OM OB OA t =+=+，即可得出点P 的坐标；（3）过点A 作平行于y 轴的直线交过点M 作平行于x 轴的直线于点Q ，连接QB ，由（1）（2）结论可知：2,2t Q t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得22t QA +=，根据点坐标及勾股定理确定QB 、AB 长度，然后分三种情况讨论三角形为等腰三角形，得出一元二次方程求解即可得．【详解】 解：（1）作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥OA 于N ．∵OBC 是等腰直角三角形，2OB =，∴222BC OC OB +=，∴2BC =∵90PMB PNA PNO MON ∠=∠=∠=∠=︒，∴90MPN BPA ∠=∠=︒，四边形PMON 是矩形，∴MPB NPA ∠=∠，∵PBA △是等腰直角三角形，∴PB PA =，在PMB △与PNA 中，PMB PNA MPB NPA PB PA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴PMB PNA ≌，∴PM PN =，BM AN =，∴24OB OA OM BM ON AN OM +=-++==，∴2OM ON ==，∴四边形PMON 是正方形，∴()2,2P ，2，（2，2）；（2）①由（1）可知：四边形PMON 是正方形，PM PN =，如图所示，∵PM OB ⊥，PN OA ⊥，∴OP 平分AOB ∠，∵45BOC ∠=︒，∴OC 平分AOB ∠，∴点P 在射线OC 上；②由（1）可知：22OM OB OA t =+=+， ∴22t OM ON +==， ∴22,22t t P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故答案为22,22t t ++； （3）如图，过点A 作平行于y 轴的直线交过点M 作平行于x 轴的直线于点Q ，连接QB ，由（1）可知：四边形PMON 是正方形，PM PN =，点()0,2B ，(),0A t ，由（2）可知：22,22t t P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴点2,2t Q t +⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴22t QA +=， 根据勾股定理可得：222252124t QB t t t +⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭ 22224AB t t ++①当QA QB =时，即22t += 化简可得：220t t -=，解得：2t =或0=t （题中已给，舍去）， ∴222t +=， 故点()2,2Q ；②当QA AB =时，即22t +， 化简可得：234120t t -+=， ()2443120∆=--⨯⨯<，方程无解，故这种情况不存在；③当QB AB =时，= 化简可得：24120t t --=，解得：6t =或2t =-（舍去）， ∴242t +=， 故点()6,4Q ；综上可得：点()6,4Q 或()2,2Q ．【点睛】题目主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质角平分线的性质、勾股定理等知识点，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．9．（1）2144y x =-，132y x =-；（2）见解析；（3）1(12)P +，2(13)P 【解析】【分析】（1）将A （4，0），B （0，﹣4）的坐标代入y ＝ax 2+b ，利用待定系数法得抛物线解析式，再将点E （4，﹣1），C （0，﹣3）的坐标代入y ＝mx +n 可得问题的答案；（2）设点21,44P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，0＜t ＜4，如图，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，从而得PF 、PD 、PC 、FC 的长度，从而得到答案；（3）设DP 与EC 的交点为G ，设21,44P x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，①当点G 在点P 上方时，根据三角形面积公式可得答案；②当点G 在点P 下方时，根据三角形面积公式可得答案． 【详解】解：（1）将A （4，0），B （0，﹣4）的坐标代入y ＝ax 2+b ，得1604a b b +=⎧⎨=-⎩，解得，144a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，∴抛物线的解析式为2144y x =-， 设直线CE 为y ＝mx +n ，将点E （4，﹣1），C （0，﹣3）的坐标代入y ＝mx +n 得，413m n n +=-⎧⎨=-⎩， 解得，123m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，∴直线CE 的解析式是132y x =-；（2）证明：设点21,44P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0＜t ＜4，如图，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，则PF ＝t ，221143144FC t t =-+=- ，2144PD t =- ，222222111111444PC t t t t ⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以221114544PC PD t t ⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 为定值；（3）解：方法一：设DP 与EC 的交点为G ，设21,44P x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，①如图，当点G 在点P 上方时，()2211115434122422PEC S x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯---=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦△ ，∵S △PEC ＝1 ， ∴()2151122x --+=， 解得：113x =+ ，213x =- （负根舍去）， ∴()213134342y =+-=- ，即1313,32P ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭， ②如图，当点G 在点P 下方时，()2211115443124222PEC S x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯---=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦△，∵S △PEC ＝1， ∴()2151122x --= ， 解得：317x =，417x =（负根舍去），∴()217174242y =⨯+-=-，即2717,22P ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述，满足条件的点有1313,32P ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2717,22P ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭． 方法二：如图，分别过点P ，E 作PF ⊥CE ，EH ⊥y 轴，垂足为F ，H ，PD 交CE 于点G ，在Rt △EHC 中，EH ＝4，HC ＝2， ∴2225CE EH HC +=， ∵S △PEC ＝1， ∴12CE PF ＝1， 即5PF =， ∵PF ⊥CE ，PG ⊥EH ， ∴△PFG ∽△CHE ， ∴PG ECPF EH= ， 255= ， 解得12PG =， ∴过点P 与直线CE 平行，且与直线CE 5的直线有两条：1522y x =- 或1722y x =- ，依题意得：21441522y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1x =（负根舍去），∴1x =+2y =- ，∴112P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 21441722y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1x =∴1x =+3y = ，∴2(13)P +，综上所述，满足条件的点有1(12)P +，2(13)P +-． 【点睛】此题考查的是二次函数综合题目，掌握待定系数法求解析式、由坐标得线段长度、相似三角形的判定与性质是解决此题关键．10．（1）①见解析；②5m =；（2）m的值为6；（3）CE =【解析】 【分析】（1）①连接DE ，证明ADC ∆是等腰三角形，根据“三线合一”的性质可得ADE CDE ∠=∠，证得EC EF =，从而可得结论；②根据勾股定理得到AC =，由E 为AC 中点得EC =DEC CBA ，由相似三角形的性质列出比例式，求出m 的值即可；（2）分PF //AC 和PF //BC 两种情况求解即可； （3）设CE =x ，作PG ⊥AC ，则2xGE =，AE x = 证明PGE EAP '≅得AP GE '=，再证明AP E BAC '，列比例式求出x 的值即可．【详解】解：（1）如图，连接DE∵CD是圆P的直径，∴∠DEC=90°，即DE⊥AC∵E为CA中点∴AE=CE∴AD=CD∴ADE CDE∠=∠∴EC EF=∴E是CF的中点；②在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，∴22224845AC AB BC=+=+=∵E是AC的中点∴114525 22EC AC==⨯=∵AB//CD，90B∠=︒∴90B DCB∠+∠=︒∴90DCB∠=︒，即90DCE BCA∠+∠=︒∵90CDE DCE∠+∠=︒∴CDE BCA∠=∠又90B DEC∠=∠=︒∴DEC CBA∆∆∽∴CE DCAB AC=，即252=445m解得，5m=；（2）分两种情况：①当PF//AC时，如图，则有PDF CDA∆∆∴PF PDAC CD =，即245PF m m=∴25=PF ∴25m =②当PF //BC 时，如图，过点A 作AH ⊥DC ，垂足为H ，则四边形AHCB 是矩形， ∴AH //BC ，HC =AB =4，AH =BC =8 ∴PF //AH ∵90DCB ∠=︒ ∴90FPD ∠=︒ ∴45PDF PFD ∠=∠=︒ ∴45HAD HDA ∠=∠=︒ ∴DH =AH ，即248m -= 解得，6m =综上，m 的值为25或6；（3）过点P 作PG AC ⊥于点G ，如图，∵PE =PC∴1,2GE CE EPG CPG =∠=∠∵90PEP '∠=︒ ∴90P EA PEG '∠+∠=︒ 又90PEG GPE ∠+∠=︒ ∴P EA EPG '∠=∠又90P AE PGE '∠=∠=︒，PE P E '= ∴P AE EPG '∆≅∆ ∴AP GE '=设CE x =，则,2x AE x GE AP '===∵90,90BCA DCA GPC PCH ∠+∠=︒∠+∠=︒ ∴GPC BCA ∠=∠ ∴EPG BCP ∠=∠ ∴P EA BCA '∠=∠ 又90P AE B '∠=∠=︒ ∴AP EBAC '∆∆∴AP ABAE BC'=48x=∴x =CE =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的基本概念，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线以及进行分类讨论是解答本题的关键．11．(1)1，3；(2)①4；D (0，1)；②存在这样的D 使△DEG 与△ACH相似，坐标为1⎛ ⎝ 【解析】 【分析】（1）将A (-2，0)，C (4，3)代入抛物线方程214y x bx c =-++得b 与c 的值即可；（2）①过D 作EF 垂线交FE 延长线于P ，过C 作CH LAB 于H ，从而求出EP =1，DP =2，再求出直线AC 的函数关系式，D （x ，12x +1），则E （x +2，12x +2），G （x ，2134x x -++），F （x +2，()()212234x x -++++），最后列出关于四边形DEFG 的面积的关系式，再求其最大值；②分∠DGE =∠CAH 及∠GDE =∠CAH 两种情况进行讨论，设1,12D m m ⎛+⎫ ⎪⎝⎭，则21,34G m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，根据三角函数值求出GD 的长，令其等于用坐标表示的GD 长，解方程求出满足要求的解即可，进而可得坐标． (1)将A (-2， 0)，C (4， 3)代入抛物线方程214y x bx c =-++得：()221443412204b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯--+=⎪⎩， 解得：13b c =⎧⎨=⎩，故答案为 1，3； (2)①解：如图，过D 作EF 垂线交FE 延长线于P ，过C 作CH ⊥AB 于H则DP AB ∥，∠EDP = ∠CAH ，且CH =3，AH =4+2=6， 故tan ∠EDP =tan ∠CAH =CH ：AH =12，又DE 5 ∴EP =1，DP =2设直线AC 方程y =kx +a ，将A ，C 坐标代入得：2043k a k a -+=⎧⎨+=⎩，解得112a k =⎧⎪⎨=⎪⎩，设D （x ，12x +1），则E （x +2，12x +2），G （x ，2134x x -++），F （x +2，()()212234x x -++++）， ∴1S S S ()2DEFG DPFG DEP DP GD FP EP =-=+- 22111131(2)(2)324242x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++-+-++++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2142x =-+ 故当x =0时，四边形面积最大为4，此时D （0，1）； ②解：由题意知，DG CH ∥ ∴GDE ACH ∠=∠ ∵6AH =，3CH = ∴2235AC AH CH +∴sinCH CAH AC ∠==1tan 2CH CAH AH ∠== 由题意知△DEG 与△ACH 相似分两种情况求解： 情况一：90DGE ∠=︒时，DEG CAH ∽ ∴1tan tan 2DG DEG CAH GE ∠==∠= ∴2GE DG =∵DE 解得1DG =设1,12D m m ⎛+⎫ ⎪⎝⎭，则21,34G m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭∴21131142m m m -++--=整理得2240m m --=∴m =解得11m =21m =当1m =(1112y =⨯+=∴1D ⎛ ⎝⎭； 情况二：90DEG ∠=︒时，DGE CAH ∽ ∴sin sinDE DGE CAH DG ∠==∠=∴5DG =∴21131542m m m -++--=整理得22120m m -+= ∵()224120=--⨯< ∴方程无解，此时不存在；综上所述，存在这样的D 使△DEG 与△ACH 相似，坐标为1⎛ ⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数与几何图形面积问题及二次函数与相似相结合问题，勾股定理，三角函数值等知识．解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质及几何图形有关性质．12．(1)(2)ACP △为直角三角形，理由见解析 (3)存在，点M 的坐标为或【解析】 【分析】(1)根据一次函数的解析式可求得()5,0B ，，再把这两点的坐标分别代入二次函数解析式，即可求得； (2) 抛物线的对称轴为直线3x =，可分别求得点A 、C 、P 的坐标，分别求得、、，根据勾股定理的逆定理即可证得；(3)分点M 在PA 左边和右边两种情况分别计算，根据两点间距离公式及等腰三角形判定与性质即可分别求得． (1) 解：由，得点B 的坐标为，点C 的坐标为.把()5,0B ，代入抛物线，得，解得1a =-，，∴抛物线的解析式为；(2)解：ACP △为直角三角形. 理由如下： 抛物线的对称轴为直线3x =， 当3x =时，， ∴点P 的坐标为，当0y =时，，得1x =或5，∴点A 的坐标为.∵， ∴. 同理，，，∴， ∴ACP △为直角三角形；(3)解：存在点M ，使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍. 分两种情况：①点M 在PA 左边时，如图， ∵，，∴，∴，M在直线上，∵点1M的坐标为.设点1根据题意，得，，∴，解得，M的坐标为.∴点1②点M在PA右边时，如图，此时，∴，∵，∴点P是的中点∵，，∴.综上所述，点M的坐标为或．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，解决(3)的关键是分两种情况分别计算13．(1)(2)E（23，53）(3)（﹣2，1）或（﹣2，3）或（﹣2，9）【解析】【分析】（1）由矩形的性质及已知，易得点A的坐标，把A、B两点的坐标代入解析式中可得关于b、c的方程组，解方程组即可；（2）设E（m，﹣34m2﹣32m+3），由题意易得BD、AB的长，则可把△BDE、△ABE的面积表示出来，由S△BDE＝4S△ABE得关于m的方程，解方程即可；（3）用待定系数法可求得直线DE的解析式；分三种情况：当P、B重合时，易得△APQ 是等腰直角三角形，从而问题解决；当点P在线段DB的延长线，且AP⊥AQ时，过点Q 作QM⊥AB交BA的延长线于点M，易证△PAB∽△AQM，设P（﹣2，t），由相似三角形的性质可得关于t的方程，解方程即可求得t；当PQ⊥AQ时，易得AP∥DE，则可求得直线AP的解析式，易得点P的坐标．(1)∵B（﹣2，3），矩形OABC，∴A（0，3），∵抛物线y＝﹣34x2+bx+c经过点A和点B，∴，∴，∴y＝﹣34x2﹣32x+3；(2)∵D（﹣2，﹣1），∴BD＝4，设E（m，﹣34m2﹣32m+3），∴S△BDE＝12×4×（m+2）＝2（m+2），∵AB＝2，∴，∵S△BDE＝4S△ABE，∴2（m+2）＝4（），。

2024届中考数学压轴题冲刺满分(含答案)

2024届中考数学压轴题冲刺满分(含答案)

压轴题【题型精讲】题型一：动态几何1(2021·江苏苏州·一模)如图，△ABC 内接于⊙O ，BC =12，∠A =60°，点D 为弧BC 上一动点，BE ⊥直线OD 于点E ．当点D 从点B 沿弧BC 运动到点C 时，点E 经过的路径长为()A.833π B.83π C.433π D.43π2(2021·山东威海·中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =2cm ，∠D =60°，点P ，Q 同时从点A 出发，点P 以1cm/s 的速度沿A -C -D 的方向运动，点Q 以2cm/s 的速度沿A -B -C -D 的方向运动，当其中一点到达D 点时，两点停止运动．设运动时间为x (s )，△APQ 的面积为y (cm 2)，则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是()A. B.C. D.3(2021·山东济南·三模)如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BC =10cm ，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 以2cm/s 的速度沿B →A →C 运动，终点为C ，点Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图2(曲线OM 和MN 均为抛物线的一部分)，给出以下结论：①AC =6cm ；②曲线MN 的解析式为y=-45t2+285t(4≤t≤7)；③线段PQ的长度的最大值为6510cm；④若△PQC与△ABC相似，则t=407秒，其中正确的说法是()A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③题型二：新定义问题4(2023·重庆·中考真题)在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n，x-y-z-m-n=x-y-z-m+n，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.35(2021·广西贺州·中考真题)如M=1,2,x，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变)．若集合N=x,1,2，我们说M=N．已知集合A=1,0,a，集合B=1a,a ,ba，若A=B，则b-a的值是()A.-1B.0C.1D.26(2021·湖北荆州·中考真题)定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m,p※q,n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：2,3※4,5=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1,x※5-2k,k=0有两个实数根，则k的取值范围是()A.k<54且k≠0 B.k≤54C.k≤54且k≠0 D.k≥54题型三：猜想和证明7(2023·四川巴中·中考真题)综合与实践．(1)提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．①∠BOC的度数是．②BD:CE=．(2)类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC=∠EDC=90°，且AB=AC，DE=DC，连接AD、BE并延长交于点O．①∠AOB的度数是．②AD:BE=．(3)问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上(不与A重合)，以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N 为BE的中点．①试说明△MND为等腰三角形．②求∠MND的度数．8(2020·河南驻马店·模拟预测)在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是直线AB上的一动点(不与点A,B重合)，连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．【问题发现】(1)如图(1)，当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是，位置关系是．【猜想证明】(2)如图(2)，当点D在边AB上且不是AB的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】(3)若AC=BC=22，其他条件不变，连接AE，BE．当△BCE是等边三角形时，直接写出△ADE的面积．题型四：阅读理解9(2023·江西新余·一模)定义：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c a≠0与y轴的交点坐标为0,c，那么我们把经过点0,c且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线y=x2+2x+1的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为．【深入探究】(2)经过点A-2,0和B x,0(x>-2)的抛物线y=-14x2+12mx+n与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．【拓展运用】(3)在(2)的条件下，设抛物线y =-14x 2+12mx +n 的顶点为P ，直线EF 垂直平分OC ，垂足为E ，交该抛物线的对称轴于点F ．①当∠CDF =45°时，求点P 的坐标．②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称，是否存在使点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．10(2023·山东青岛·二模)如图1，AD 是△ABC 的高，点E ，F 分别在边AB 和AC 上，且EF ∥BC ．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：AG AD=EFBC ．(1)如图2，在△ABC 中，BC =6，BC 边上的高为8，在△ABC 内放一个正方形MNGH ，使其一边GH 在BC 上，点M ，N 分别在AB ，AC 上，则正方形MNGH 的边长=；(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm ，底边长为120cm 的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm 分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边BC 的长度看作是第0层隔板的长度；①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度(单位：cm )随着层数(单位：层)的变化而变化．请完成下表：层数/层0123⋯隔板长度/cm120__________________⋯②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？题型五：开放探究11(2022·安徽滁州·二模)【证明体验】(1)如图1，AD 为△ABC 的角平分线，∠ADC =60°，点E 在线段AB 上，AE =AC ，求证：DE 平分∠ADB ；【思考探究】(2)如图2，在(1)的条件下，F 为AB 上一点，连接FC 交AD 于点G ．若FB =FC ，求证：DE 2=BD ⋅DG ；【拓展延伸】(3)如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，∠BCA =2∠DCA ，点E 在AC 上，∠EDC =∠ABC ，若BC =5，CD =25，AD =2AE ，求AC 的长．12(2022·浙江杭州·二模)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(-4，0)，(0，8)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF=3，过点F作MN⊥PE，截取FM=3，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．题型六：综合应用13(2024·河北邢台·三模)如图1至图3，▱ABCD中，AB=20，BC=15，点P在折线BA-AD上，连接PC，将▱ABCD沿PC向右上方折叠，折叠后得到△PCE或四边形PCEF．探究如图1，若∠A=90°，点P在BA上①当射线PE经过点D时，求证：△PDA≌△DCE；②当点E，A的距离最小时，求BP的长．尝试如图2，若∠A=90°，点P在AD上，当点F在CD的延长线上时，求tan∠PCE的值．延伸如图3，若∠A<90°，tan A=43，EF恰好经过点D时，直接写出AP的长．14(2024·福建宁德·二模)蹦床是一项运动员利用蹦床的反弹在空中表现杂技技巧的竞技运动，有“空中芭蕾”之美称．甲、乙两位蹦床运动员在某次训练过程中同时起跳，甲运动员着落蹦床后便停止运动，乙运动员着落蹦床后继续做放松运动，每次蹦床运动间隔停留时间忽略不计．图1是甲、乙两位运动员的运动高度S(m )与运动时间t (s )的二次函数图象，点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为52,0 ，点D 的坐标为(1,5)，且所有二次函数图象开口大小相同．(1)求甲运动员在这次训练中运动的最大高度；(2)图2是教练员观测到乙运动员在这次训练中，每次运动的最高点都在同一视线DE 上，教练员的视线与水平线的夹角为α．①若甲、乙运动员在2.4s 时运动高度相同，求直线DE 的表达式；②当α≤33.5°时，求乙在第二次蹦床运动中最大运动高度的取值范围．sin33.5°≈1120，cos33.5°≈2125，tan33.5°≈2315(2024·山东淄博·二模)如图1，抛物线y =ax 2+bx +3a ≠0 与x 轴交于点A -1,0 ，B 3,0 与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求该抛物线及直线BC的函数表达式；(2)如图2，在BC上方的抛物线上有一动点P(不与B，C重合)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，过点P作PE∥y轴，交BC于点E．在点P运动的过程中，请求出△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；(3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q 为顶点BC为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16(2024·江苏淮安·模拟预测)如图1，二次函数y=-14x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点B坐标为(6,0)，点C坐标为(0,3)，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．(1)求该二次函数的表达式；(2)如图2，过点P作PF⊥BC，垂足为F，当m为何值时，PF最大？最大值是多少？(3)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O 恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．【专题精练】一、单选题1(2023·四川宜宾·三模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为3+33；③BP存在最小值为33-3；④点P运动的路径长为22π．其中，正确的是()A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④2(2023·湖北十堰·三模)若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数y=x2 +2mx-m(m为常数)的图象上存在两个二倍点M x1，y1，N x2,y2，且x1<1<x2，则m的取值范围是()A.m<2B.m<1C.m<0D.m>03(2023·黑龙江大庆·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线DE的最小距离为()A.1B.35C.45D.344(2022·浙江宁波·二模)如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1,S2,S3,S4,S5，则下列判断正确的是()A.S1+S2=2S3B.S1+S4=S3C.S2+S4=2S3D.S1+S5=S35(2022·山东东营·中考真题)如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的是()①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB.A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④6(2022·辽宁抚顺·模拟预测)如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB=2CE=3AF，过F作FG⊥BE于P交BC于G，连接DP交BC于H，连BF、EF．下列结论：①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF=2∠PFE；④SΔPHGSΔPDE=23．其中正确的结论()A.只有①②③B.只有①②④C.只有③④D.①②③④7(2020·浙江金华·一模)如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点(都不与线段端点重合)，且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为3，其中正确的是()A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③8(21-22九年级上·广东深圳·期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE=1，∠DAM =45°，点F在射线AM上，且AF=2，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①CG=3434；②△AEG的周长为8；③△EGF的面积为1710．其中正确的是()A.①②③B.①③C.①②D.②③9(2021·广东深圳·二模)如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD=10S△CEF；③DC2=2DO⋅DF；④FCAE=63正确的有( )个．A.1B.2C.3D.410(2020·安徽滁州·模拟预测)在△EFG中，∠G=90°，EG=FG=22，正方形ABCD的边长为1，AD 与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是()A. B.C. D.二、填空题11(2024·陕西西安·二模)如图，菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，E为AB的中点，F为BC上一点，连接EF，作∠GEF=60°且△GEF面积为33，则DG的最小值为．12(2023·陕西咸阳·一模)如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(-8,6)，⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则PB+PN的最小值是．13(2023·天津河西·一模)如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点，DE=3CE，连接BE，与AC 相交于点M ，过点M 作MN ⊥BE ，交AD 于点N ，连接BN ，则点E 到BN 的距离为．14(2021·浙江湖州·二模)对某一个函数给出如下定义：若存在实数m >0，对于任意的函数值y ，都满足-m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y =-x 2+1-2≤x ≤t ,t ≥0 的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值n 满足是94≤n ≤52时，则t 的取值范围是．15(2023·湖北武汉·模拟预测)如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，延长AC 至点P ，使得CP =1．点E 在线段AB 上，且AE <12AB ，连接PE ，以PE 为边向右作等边△PEF ，过点E 作EM ∥AP 交FA 的延长线于点M ，点N 是MF 的中点，则四边形AEPN 的面积为．16(2023·浙江宁波·二模)如图，y =-2x +b 与y =k 1x (k 1>0,x >0)交于A 、B 两点，过B 作y 轴的垂线，垂足为C ，交y =k 2x (k 2>0,x >0)于点D ，点D 关于直线AB 的对称点E 恰好落在x 轴上，且AE ⊥x 轴，连接BE ，则k 1k 2=；若△ABE 的面积为15，则k 1的值为．三、解答题17(2024·陕西西安·模拟预测)如图，已知抛物线W 1：y =ax 2+bx -2与x 轴交于A ，D 两点，AD =5，点A 在直线l ：y =12x +12上．(1)求抛物线W 1的解析式；(2)将抛物线W 1沿x 轴翻折后得到抛物线W 2，W 2与直线l 交于A ，B 两点，点P 是抛物线W 2上A ，B 之间的一个动点(不与点A 、B 重合)，PM ⊥AB 于M ，PN ∥y 轴交AB 于N ，求MN 的最大值．18(2024·福建龙岩·模拟预测)在锐角∠MON 内部取一点A ，过点A 分别作AB ⊥OM 于点B ，作AC ⊥ON 于点C ，以AB 为直径作⊙P ，CA 的延长线与⊙P 交于点D ．(1)求证：∠MON +∠ABD =90°；(2)若OB =BD ，点D 在OP 的延长线上，求证：ON 是⊙P 的切线；(3)当tan ∠MON =1时，连接OA ，若CP ⊥OA 于点F ，求PFCF的值．19(2024·广东佛山·模拟预测)四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，点E 是AD上的一动点，连接AE ，BE ，DE ，其中BE 交AD 于点F ．(1)如1图，当AB =ED 时，①求证：△AEB ≌△EAD ；②若∠EAD =30°，连接BO ，EO ．求证：四边形ABOE 是菱形．(2)如2图，若BC =2AB =2，EFFB=k ，请用含k 的式子表示EA ⋅ED 的值．20(2024·黑龙江哈尔滨·一模)如图，抛物线y =-12x 2+bx 交x 轴正半轴于点A ，过顶点C 作CD ⊥x 轴于点D ,OA =CD ．(1)求抛物线的解析式；(2)若-2≤x ≤6时，则函数y 的取值范围是；(3)点P 为CD 右侧第一象限抛物线上一点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，点Q 为y 轴正半轴上一点，连接AQ 、HQ ，tan ∠OHQ =23，PQ 延长线交x 轴于点B ，点N 在y 轴负半轴上，连接BN 、AN ，若∠BQA =135°，∠ANB =45°求直线AN 的解析式．21(2024·吉林长春·一模)如图，在菱形ABCD 中，BC =10，tan B =43．点E 为线段BA 延长线上一点，且BE =15，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BE 向终点E 匀速运动．连结PC 、PD ，将△PCD 绕点P 按逆时针方向旋转90°得到△PC D ，设点P 运动的时间是t 秒(t >0)．(1)菱形ABCD 的面积是；(2)用含t 的代数式表示线段PA PA >0 的长；(3)当C 、A 、C 三点共线时，求t 的值；(4)当△EC D 是直角三角形时，直接写出t 的值．22(2024·吉林长春·一模)如图，在正方形ABCD 中，动点P 从点A 出发，沿A -B -C 运动到点C 停止．过点C 作DP 的垂线，垂足为点G ，延长CG 到点E ，使EG =CG ，连结DE ，AE ，直线EA 与DP 交于点F ．设∠ADP 为α，且0°<α<90°．(1)当α=10°时，∠ADE=°，∠DAE=°；(2)当点P在AB上时，①求sin F的值；②当△DEF为轴对称图形时，求α的大小；(3)若正方形ABCD的面积为4，直接写出△DAF面积的最大值．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)综合实践菱形ABCD中，点E在对角线BD上，点M在直线AB上，将线段ME绕点M顺时针旋转得到线段MF，旋转角∠EMF=∠BAD，连接BF．【问题发现】(1)如图1，当点M与点A重合时，线段BE、BF、BD之间的数量关系为．【类比探究】(2)如图2，当点M在AB边上时，∠EMF=60°时，求证：BM+BF=BE；【拓展延伸】(3)如图3，点M在BA延长线上，H为AD中点，当MH⊥BM，AM=74，BD=20时，设BE=x，BF=y，求y与x之间的数量关系．24(2023·吉林白城·模拟预测)下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．求证：EF=AE+ CF．证明：如图，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，则DE=DM,∠A=∠DCM,∠ADE=∠MDC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∴∠EDM=∠EDC+∠MDC=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°．∵∠EDF=45°,∴∠MDF=∠EDF=45°．又∵∠A=∠DCM=∠DCB=90°，∴点B，F，C，M在一条直线上．∵DF=DF,∴△EDF≌，∴EF=MF=CM+CF=+CF．【探究】(1)在图①中，若正方形ABCD的边长为3，AE=1，其他条件不变，求EF的长．压轴题【题型精讲】题型一：动态几何1(2021·江苏苏州·一模)如图，△ABC内接于⊙O，BC=12，∠A=60°，点D为弧BC上一动点，BE⊥直线OD于点E．当点D从点B沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为()A.833π B.83π C.433π D.43π【答案】A【分析】连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．首先判断出点E在以OB为直径的圆上运动，求出点D与C重合时∠EMB的度数，利用弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．∵OD⊥BE，∴∠OEB=90°，∴点E在以OB为直径的圆上运动，当点D与C重合时，∵∠BOC=2∠A=120°，∴∠BOE=60°，∴∠EMB=2∠BOE=120°，∵BC=12，OH⊥BC，∴BH=CH=6，∠BOH=∠COH=60°，∴OB=BHsin60°=43，∴点E的运动轨迹的长=240∙π×23180=833π，故选：A．【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹，属于中考常考题型．2(2021·山东威海·中考真题)如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A-C-D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A-B-C-D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是()A. B.C. D.【答案】A【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1<x≤2、2<x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，ACD都是等边三角形，∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x，作PE⊥AB于E，∴PE=AP∙sin∠PAE=32x，∴y=12×2x∙32x=32x2，故D选项不正确；如图2，当1<x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H，∴PF=CP·sin∠PCF=322-x，QH=BQ∙sin∠B=322x-2=3x-1，∴y=34×22-12×2×3x-1-12×4-2x∙322-x=-32x2+3x，故B选项不正确；当2<x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4，∴PQ=x-2，作AG ⊥CD 于G ，∴AG =AC ∙sin ∠ACD =32×2=3，∴y =12×x -2 ∙3=32x -3，故C 不正确．故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键．3(2021·山东济南·三模)如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BC =10cm ，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 以2cm/s 的速度沿B →A →C 运动，终点为C ，点Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图2(曲线OM 和MN 均为抛物线的一部分)，给出以下结论：①AC =6cm ；②曲线MN 的解析式为y =-45t 2+285t (4≤t ≤7)；③线段PQ 的长度的最大值为6510cm ；④若△PQC 与△ABC 相似，则t =407秒，其中正确的说法是()A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③【答案】A【分析】①根据图2可知：P 走完AB 用了4秒，得AB =2×4=8cm ，利用勾股定理得AC 的长；②当P 在AC 上时，4≤t ≤7，利用同角的三角函数表示高PD 的长，利用三角形面积公式可得y 与t 的关系式；③当P 与A 重合时，PQ 最大，如图4，此时t =4，求出PQ 的长；④当P 在AC 上时，ΔPQC 与ΔABC ，列比例式可得t 的值．【详解】解：①由图2可知：t =4时，y =485，∴AB =2×4=8cm ，∵∠A =90°，BC =10cm ，∴AC =6cm ，故①正确；②当P 在AC 上时，如图3，过P 作PD ⊥BC 于D ，此时：6+82=7，∴4≤t ≤7，由题意得：AB +AP =2t ，BQ =t ，∴PC =14-2t ，sin ∠C =PD PC =ABBC，∴PD =4(14-2t )5，∴y =S ΔBPQ =12BQ ∙PD =12t ∙4(14-2t )5=-45t 2+285t ，故②正确；③当P 与A 重合时，PQ 最大，如图4，此时t =4，∴BQ =4，过Q 作GH ⊥AB 于H ，sin ∠B =QH BQ =ACBC，∴QH 4=610，∴QH =125，同理：BH =165，∴AH =8-165=245，∴PQ =AH 2+QH 2=245 2+125 2=1255；∴线段PQ 的长度的最大值为1255，故③不正确；④若ΔPQC 与ΔABC 相似，点P 只有在线段AC 上，分两种情况：PC =14-2t ，QC =10-t ，i )当ΔCPQ ∽ΔCBA ，如图5，则PCCB =CQ AC，∴14-2t 10=10-t6，解得t =-8不合题意．ii )当ΔPQC ∽ΔABC 时，如图6，∴PCAC=QC BC ，t =407；∴若ΔPQC 与ΔABC 相似，则t =407秒，故④正确；其中正确的有：①②④，故选：A ．【点睛】本题是动点问题的图象问题，此类问题比较复杂，考查了二次函数的关系式、三角形相似的性质和判定、勾股定理、三角函数，解题的关键是学会读懂函数图象信息，并构建直角三角形，利用三角形相似或三角函数列方程解决问题．题型二：新定义问题4(2023·重庆·中考真题)在多项式x -y -z -m -n (其中x >y >z >m >n )中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x -y -|z -m |-n =x -y -z +m -n ，x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【详解】解：x -y -z -m -n =x -y -z -m -n ，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现-x ，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x -y -z -m -n =x -y -z -m -n ；x -y -z -m -n =x -y +z -m -n ；x -y -|z -m |-n =x -y -z +m -n ；x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x -y -z -m -n =x -y -z +m -n ；x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ；x -y -z -m -n =x -y +z -m +n ．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．5(2021·广西贺州·中考真题)如M =1,2,x ，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性(如x 必然存在)，互异性(如x ≠1，x ≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变)．若集合N=x ,1,2 ，我们说M =N ．已知集合A =1,0,a ，集合B =1a ,a ,b a ，若A =B ，则b -a 的值是()A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B 的元素通过分析，与A 的元素对应分类讨论即可．【详解】解：∵集合B 的元素1a ,ba，a ，可得，∴a ≠0，∴1a ≠0，ba =0，∴b =0，当1a =1时，a =1，A =1,0,1 ，B =1,1,0 ，不满足互异性，情况不存在，当1a =a 时，a =±1，a =1(舍)，a =-1时，A =1,0,-1 ，B =-1,1,0 ，满足题意，此时，b -a =1．故选：C【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。

中考数学压轴题100题及答案

中考数学压轴题100题及答案

中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；A P 图16(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G .当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。

中考数学压轴题 (附答案)

中考数学压轴题 (附答案)

一、中考数学压轴题1．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围． 2．已知：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求KG AK的值．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．5．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=︒．（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ∆的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ∆的面积为8时，求t 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．7．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．8．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．9．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．10．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC=-，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持BE n BG m =，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式．（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标．（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围． （2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．13．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.14．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ， 所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．15．已知：菱形 ABCD ，点 E 在线段 BC 上，连接 DE ，点 F 在线段 AB 上，连接 CF 、DF ， CF 与 DE 交于点 G ，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上．（1）求证：CD=CF ；（2）设∠CED = x ，∠DCF = y ，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，当 x =45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK ，顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部，连接 GK ，若 GK ∥CD ，CD =4 时，求线段 KG 的长．16．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．17．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）．（1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ；（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．18．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．19．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；（1）如图1，连接CO 并延长交O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF AB BF =，求证：BAF HAF ∠=∠；（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为O 上一点，连接ED 、OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=︒，若OF 3=，FH 4=，13623EBD S ∆=，连接OE ，求线段OE 的长．20．如图①，△ABC 是等腰直角三角形，在两腰AB 、AC 外侧作两个等边三角形ABD 和ACE ，AM 和AN 分别是等边三角形ABD 和ACE 的角平分线，连接CM 、BN ，CM 与AB 交于点P ．（1）求证：CM ＝BN ；（2）如图②，点F 为角平分线AN 上一点，且∠CPF ＝30°，求证：△APF ∽△AMC ； （3）在（2）的条件下，求PF BN的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线212y ax bx =++过D ，C ，E 三点．（1）当//DE AB 时，①求抛物线的解析式；②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．点E 的坐标． 22．如图，直角梯形ABCD 中，1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值； （2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，1O 与2O 外切？23．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0xy =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0xy =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ；（2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．24．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？ （2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.25．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEPS=，求sin APB ∠的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题 1．B解析：（1）直线x=0；（2）B （0，1a ）；（3）2-≤a ≤13-或13≤a 2 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；（2）根据题意得出点A 的坐标，再利用关于x 轴对称的点的坐标规律得出点B 坐标； （3）分a ＞0和a ＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a 的范围. 【详解】解：（1）在抛物线21y ax a=-中， 002a-=， ∴对称轴为直线x=0，即y 轴； （2）∵抛物线与y 轴交于点A ，∴A （0，1a-）， ∵点A 关于x 轴的对称点为点B ，∴B （0，1a）； （3）当a ＞0时，点A （0，1a-）在y 轴负半轴上， 当点P 恰好在抛物线上时，代入得：11a a a-=，解得：2a=或2-（舍），当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=或13-（舍），∴当13≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；当a＜0时，点A（0，1a-）在y轴正半轴上，同理可知：当点P恰好在抛物线上时，代入得：11aa a -=，解得：2a=（舍）或2-，当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=（舍）或13-，∴当2-≤a≤13-时，抛物线与线段PQ只有一个公共点；综上：若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，a的取值范围是2-≤a≤13 -或13≤a2.【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．2．A解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）15KG AK = 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得90AHG HAG ∠+∠=︒，进而得到90AGH ∠=︒，即可证明AG HD ⊥；（2）连接AC 、AD 、CF ，根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得HFA HAF ∠=∠，进而得到HF HA =，再根据已知HC HF =，得到HC HA =； （3）在DH 上截取DT HC =，过点C 作CM HD ⊥于点M ，通过证明AHC ≌ATD 得到AH AT =，进而得到HG CH GD +=，再根据F 为DG 中点，得到GF DF =，通过勾股定理逆用，证明90HCF ∠=︒，再通过解ACE △得1tan 3CAB ∠=，解△CDH 得1tan 2CDF ∠=，求得OF 、OH ，逆用勾股定理证明90HOF ∠=︒，易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=，最后求得KGAK的值． 【详解】（1）证明：如图，设HAG ∠为α，∵HAG BDC ∠=∠， ∴HAG BDC α∠=∠=， ∵CD AB ⊥，∴90BDC DBE ∠+∠=︒ ∴90DBE α∠=︒-，∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角， ∴90AHG ABD α∠=∠=︒-， ∴90AHG HAG ∠+∠=︒，∴18090AGH AHG HAG ∠=︒-∠-∠=︒ ∴AG HD ⊥（2）如图，连接AC 、AD 、CF ，∵AB 为直径，AB CD ⊥， ∴CE DE =， ∴AB 垂直平分CD ， ∴AC AD =，FC FD =，∴ACD ADC ∠=∠，FCD FDC ∠=∠，∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠，即ACF ADF ∠=∠， 设FCD FDC α∠=∠=，ACF ADF β∠=∠=， ∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH β∠=∠=， ∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=， ∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠， ∴2HFC α∠=， ∵HC HF =， ∴HCF HFC ∠=∠， ∴22αβ=， ∴αβ=， ∵AB 为直径， ∴90ADB ∠=︒， ∴90HDB β∠=︒-，∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角， ∴90HAB HDB β∠=∠=︒-， ∵AB CD ⊥，∴9090BFD αβ∠=︒-=︒-， ∵9090HFA BFD αβ∠=∠=︒-=︒-， ∴HFA HAF ∠=∠， ∴HF HA =， ∴HC HA =；（3）如图，在DH 上截取DT HC =，∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH ∠=∠， ∵AB 为直径，且AB CD ⊥ ∴AC =AD ， ∴AC AD =， ∴AHC ≌ATD ， ∴AH AT =， ∵AG HT ⊥， ∴HG TG =，∴HG CH GT DT GD +=+=， 设2HG k =，则4CH k =，GD 6k =， ∵F 为DG 中点， ∴3GF DF k ==，∴5HF HG GF k =+=，FD =CF =3k ，在HCF 中，由勾股定理逆定理得90HCF ∠=︒， 过点C 作CM HD ⊥于点M ， 由△HCF 面积，可求CM =125k ， ∴229=5MF CF CM k -=， ∴1tan 2CM CM CDF MD MF FD ∠===+， 解ACE △得1tan 3CAB ∠=， 易求OF ，OH ，由勾股定理逆定理得90HOF ∠=︒， 易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=， ∴15KG AK =． 【点睛】本题考查圆与三角形综合，主要考查知识点有同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆用，解直角三角形，锐角三角函数等，知识点跨度大，计算量多；熟练掌握圆的性质和三角形相关知识是解决本题的关键．3．B解析：（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】 【分析】()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；()2由题意设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BMC1SMK OB 2=⋅⋅，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2∠=，在RtQNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=+，2QN m 4sin QHN QH5∠+===，进行分析计算即可求解． 【详解】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 则直线BC 的表达式为：1y x 22=--， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC1113SMK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值，当bx 22a=-=-时， BMCS最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴， QHN OCA ∠∠∴=， 1tan QHN 2∠∴=，则sin QHN 5∠=将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQHm 6∠===+， 解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--． 【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．4．A解析：（1）详见解析；（2）y =（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====，根据勾股定理得到OF ===线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠， 即HOD EOA ∠=∠， HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x， ∴AF=4-x ， ∴FN=2-x ， ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+，∴248EF y x x =--+， ∵AM⊥A C ， ∴AE∥OB， ∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴()244804x x y x -+≤＝＜；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ， ∵∠EAO=90°， ∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形， 如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴241482x xPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xxx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴22EQ AO==∴24242()xAE ExQ-===，∴43x=，∴BF=2或43．【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．C解析：（1）12,16AD CD ==；（2）277和297. 【解析】 【分析】（1）根据题意由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时16秒求出CD ，再利用三角形面积公式求得AD 即可；（2）由题意可知只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时分当P 在Q 上方时以及当P 在Q 下方时两种情况运用数形结合思维进行分析得出答案. 【详解】解：（1）由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时36-20=16秒，即CD=16，而此时AMD ∆的面积为96，又因为90ADC ∠=︒，即有11169622CD AD AD =⨯=,解得12AD =. 所以12,16AD CD ==.（2）由题意可知Q 运动到点A 停止的时间为285，而P 运动到点D 停止的时间为6， 所以只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时以PQ 为底边，CD 为高，设运动时间为t ，则AP=2t ，QD=5t-16，（162855t ≤<）， ①当P 在Q 上方时，则有PQ=AD-AP-QD= 122516287t t t --+=-，可知CPQ ∆的面积为8时即11(287)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得277t =（满足条件）；②当P 在Q 下方时，则有PQ=QD-（AD-AP ）= 516(122)728t t t ---=-， 可知CPQ ∆的面积为8时即11(728)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得297t =（满足条件）. 所以当CPQ ∆的面积为8时，t 的值为277和297. 【点睛】本题考查四边形动点问题和一次函数结合，熟练掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合思维分析是解题的关键.6．A解析：（1）()1,1E -；（2）12m -≤≤-或01m ≤≤3）9t ≤≤. 【解析】 【分析】（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确定“倍增点”横坐标的范围；（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可． 【详解】（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，22(12)(20)1332DC =--+-=<⨯ ∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；()1,1E -到线段BC 的距离为1，22(12)(10)103EC =--+-=>,∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；()0,2F 到线段BC 的距离为2，22(02)(20)2232FC =-+-=<⨯ ∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点； （2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ， 当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤解方程222(2)8m m +-+=， 得1131m =+，2131m =- 当点在O 内部时，22224(2)3(44(2))m m m m ++-+≥--+-+解得：m≥0或m≤-2∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为1312m -≤≤-或0131m ≤≤+；（3）如图所示，当点G(1,0)为T "倍增点"时， T(9,0)，此时T 的横坐标为最大值， 当点H(0,1)为T “倍增点”时，则T(63-,0)，此时T 的横坐标为最小值；∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t -≤≤．【点睛】在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不等关系式，即可列不等式组求解范围．7．A解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45° 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解； （2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解； ②证明和推理过程同①的求解过程；（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍. 【详解】（1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。

中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学压轴题100题精选含答案【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED为直角梯形？若能，求t （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．图16【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。

深圳中考数学2024压轴题

深圳中考数学2024压轴题

深圳中考数学2024压轴题一、在直角三角形ABC中，角C为直角，AC等于3，BC等于4，将三角形ABC绕边AC旋转一周，所得圆锥的侧面积为：A. 12πB. 16πC. 20πD. 24π（答案）C解析：由勾股定理，AB等于5。

绕AC旋转一周，所得圆锥的底面半径为4，高为3，母线长为5。

圆锥侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长。

代入得侧面积为20π。

二、若关于x的一元二次方程ax平方加bx加c等于0有两个不相等的实数根，且其中一个根为0，则下列说法正确的是：A. a等于0B. b等于0C. c等于0D. b平方减4ac小于0（答案）C解析：一元二次方程有一个根为0，则代入方程得c等于0。

有两个不相等的实数根，则判别式b平方减4ac大于0，与选项D相反，所以D错误。

a为二次项系数，不为0，所以A 错误。

b为一次项系数，题目未给出其值，所以B错误。

三、在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC等于10，BD等于8，则四边形AOBC的周长为：A. 18B. 28C. 36D. 无法确定（答案）B解析：在平行四边形中，对角线互相平分，所以AO等于OC等于AC的一半为5，BO等于OD 等于BD的一半为4。

四边形AOBC的周长为AO加OC加BC加BO，由于BC等于AD，且AD等于BD减去BO再加上AO，即4加4加5等于13，所以四边形AOBC的周长为5加5加13加4等于28。

四、若函数y等于kx加b与y等于x分之m在第一象限有交点，则下列说法正确的是：A. k大于0，b大于0，m大于0B. k小于0，b小于0，m小于0C. k大于0，b小于0，m大于0D. k小于0，b大于0，m大于0（答案）D解析：函数y等于kx加b为一次函数，若k大于0，则函数图像为增函数，若b大于0，则与y轴交点在正半轴。

函数y等于x分之m为反比例函数，若m大于0，则函数图像在第一、三象限。

要使两函数在第一象限有交点，则一次函数图像需从第二象限穿过原点进入第一象限，即k小于0，b大于0。

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（角度问题）（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使P存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在直线上是否存在点，使说明理由．(3)为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线，垂足为，以点为圆心，，且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4．如图，已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，且．(1)求点B 的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)作直线，问抛物线上是否存在点M ，使得，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，，，与y 轴交于点C ，连接．()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)点P 在抛物线上，且，求点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D ，当的值最大时，求此时点P 的坐标及的最大值．∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式；(2)点P 是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且，请直接写出点M 的坐标．BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是AC 延长线上一点，的平分线CD 交⊙于点D ，连接BD ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．综合与实践：如图，抛物线与x 轴交于点和点，与y 轴交于点C ，连接，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D 位置时发现：如图1，点D 在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点D 位置时发现：点D 在抛物线上移动，连接，存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作轴，垂足为M ，点P 在直线P 作，，求的最大值，以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点得，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空：___________，___________；(2)点为直线上方抛物线上一动点．①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D ，使得？若存在，求出所有点不存在，请说明理由；(3)如图2，点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线OB 动点，EF 与直线OB 交于点G ．设和的面积分别为值．DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，．(1)求此抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标．(3)在(1)的条件下，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作于点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，连接交于点，当时，求的度数．15．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案：的值最大时，此时，。

中考数学压轴题含答案

中考数学压轴题含答案

中考数学压轴题含答案一、选择题1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.菱形B.平行四边形C.矩形（答案：C）2、如果一个三角形的三条边的平方相等，那么这个三角形一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形（答案：A）3、下列说法正确的是（）A.所有的质数都是奇数B.所有的偶数都是合数C.一个数的因数一定比它的倍数小D.自然数一定是正数（答案：A）二、填空题1、若a-b=2，a+b=7，则a²-b²=（答案：14）2、我们学过的数有整数和分数，整数的运算律在分数运算中（答案：同样适用）。

3、一个长方形的周长是20cm，长和宽的比是3:2，则长方形的面积是（答案：60平方厘米）。

三、解答题1、一个圆柱体底面半径为r，高为h，它的体积是多少？（答案：πr²h）2、有一块三角形的土地，底边长为120米，高为90米，这块土地的面积是多少？（答案：5400平方米）3、对于一个给定的整数n，如果它是3的倍数，那么我们就称它为“三的倍数”，否则我们就称它为“非三的倍数”。

现在有一个整数n，它是“三的倍数”，我们可以得出哪些结论？（答案：n+1、n+2、n+3、...、2n都是“三的倍数”，因为它们都可以被3整除。

）中考数学压轴题100题及答案在中考数学考试中，压轴题往往是最具挑战性和最能检验考生数学能力的题目。

为了帮助同学们更好地理解和掌握中考数学的压轴题，本文将分享100道经典的中考数学压轴题及其答案。

一、选择题1、在一个等边三角形中，边长为6，下列哪个选项的面积最接近这个等边三角形的面积？A. 20B. 25C. 30D. 35答案：B解析：等边三角形的面积可以通过计算得出，边长为6的等边三角形的面积为：436293约为28.2，因此选项B最接近。

2、如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数是多少？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C解析：根据多边形的内角和公式和外角和为360度，可列出方程求解。

数学中考压轴题分类精选70道(含答案)

数学中考压轴题分类精选70道(含答案)

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题例2 2012年苏州市中考第29题例3 2012年黄冈市中考第25题例4 2010年义乌市中考第24题例5 2009年临沂市中考第26题例6 2008年苏州市中考第29题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例2 2012年扬州市中考第27题例3 2012年临沂市中考第26题例4 2011年湖州市中考第24题例5 2011年盐城市中考第28题例6 2010年南通市中考第27题例7 2009年江西省中考第25题1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题例2 2012年广州市中考第24题例3 2012年杭州市中考第22题例4 2011年浙江省中考第23题例5 2010年北京市中考第24题例6 2009年嘉兴市中考第24题例7 2008年河南省中考第23题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题例2 2012年福州市中考第21题例3 2012年烟台市中考第26题例4 2011年上海市中考第24题例5 2011年江西省中考第24题例6 2010年山西省中考第26题例7 2009年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2012年上海市松江中考模拟第24题例2 2012年衢州市中考第24题例4 2011年义乌市中考第24题例5 2010年杭州市中考第24题例7 2009年广州市中考第25题1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题例2 2012年菏泽市中考第21题例3 2012年河南省中考第23题例4 2011年南通市中考第28题例5 2010年广州市中考第25题例6 2010年扬州市中考第28题例7 2009年兰州市中考第29题1.7 因动点产生的相切问题例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题例2 2012年河北省中考第25题例3 2012年无锡市中考第28题1.8 因动点产生的线段和差问题例1 2013年天津市中考第25题例2 2012年滨州市中考第24题例3 2012年山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2013年宁波市中考第26题例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2012年连云港市中考第26题例4 2010年上海市中考第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 2013年菏泽市中考第21题例2 2012年广东省中考第22题例3 2012年河北省中考第26题例4 2011年淮安市中考第28题例5 2011年山西省中考第26题例6 2011年重庆市中考第26题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2013年南京市中考第26题例2 2013年南昌市中考第25题例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题例2 2013年江西省中考第24题第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx 〔a ＞0〕经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕连结OM ，求∠AOM 的大小；〔3〕如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

中考数学专题复习――压轴题(含答案)

中考数学专题复习――压轴题(含答案)

中考数学专题复习――压轴题(含答案)中考数学专题复习――压轴题1.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.b4ac b2（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a,4a ）2.2. 已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，23)，C(0，2)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t 的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. 如图，在Rt△ABC中，A 90，AB 6，AC 8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ x，QR y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．H QC4.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN 为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？P 图35、如图1，已知双曲线y=BD 图2B图1k(k0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试x解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=k(k0)于P，Q两点，点P在第一x象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.6. 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 47.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4―6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k= 1，求BE2 DG2的值．28.如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t 0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2 t 4时，求S关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线上是否存在点P，使PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满．．AB．．足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．9.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△B EF的面积为S，求S的取值范围.10.如图，抛物线L1:y x2 2x 3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x 轴于C、D两点. （1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.11 20XX年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥――杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸．已知标准纸的短边长为a．．．．（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B 处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD:AB的值是，AD，AB的长分别是，．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长．（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M 90，MN MQ 2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．4开a2开8开开图1D FA ED GBE 图2CBF 图3C13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD ＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．C A E F B14．如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y （1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，则点P1的坐标为，点Q1的坐标为．k的图象上．x15．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.0)，A(6，0)，C(0，3)．动点Q从点16.将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O(0，2秒时，动点P从点A出发以3相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示OP，OQ；PQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D （2）当t 1时，如图1，将△O的坐标；（4）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．图117.如图16，在平面直角坐标系中，直线y x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y ax2x c(a 0)经过A，B，C三点．3（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．18.(20XX年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB1，OB ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C 的对应点为点D，抛物线y ax2 bx c过点A，E，D．（1）判断点E 是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19.(20XX年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线y 与直线y32x 3与x轴交于点A，点B，433x b相交于点B，点C，直线y x b与y轴交于点E．44（1）写出直线BC的解析式．（2）求△ABC的面积．（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A 向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？20.(20XX年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB sin∠OAB=. 5（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ,0）、点R（5k，0）（k1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S QMN，△QNR的面积S QNR，求S QMN∶S QNR的值.21.(20XX年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x 轴上，且OAOB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5,A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程x2 (m 2)x n 1 0的两根:(1) 求m，n的值(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式(3) 过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由`11 的值CMCNL`22.(20XX年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.b4ac b2（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a,4a ）223.(天津市20XX年)已知抛物线y 3ax2 2bx c，（Ⅰ）若a b 1，c 1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）若a b 1，且当1 x 1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；x2 1时，（Ⅲ）若a b c 0，且x1 0时，对应的y1 0；对应的y2 0，试判断当0 x 1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.(20XX年大庆市)如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．（1）求S△DBF；（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． .GAF①GAB② ECDC25. （20XX年上海市）已知AB 2，AD 4，DAB 90，AD∥BC （如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．AC B B E C备用图图1326. （20XX年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设A管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27. （20XX年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．2图①P28. （20XX年江苏省南通市）已知双曲线yk1与直线y x相交于A、B两点.第一象限x4k上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y 上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过Nxk（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y 于点E，交BD于点C.x（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA ＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.29. （20XX年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）图1 图2 图3 图4压轴题答案c 31. 解：（1）由已知得：解得1 b c 0c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为y x 2x 3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=S ABO S梯形BOFD S2111AO BO (BO DF) OF EF DF*****= 1 3 (3 4) 1 2 4 222==9（3）相似如图，222所以BD BE 20, DE 20即：BD BE DE,所以BDE是直角三角形222所以AOB DBE 90 ,且所以AOBAOBO,BDBE2DBE.2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，23)，∴tan OAB233，10 8∴ OAB 60当点A在线段AB上时，∵ OAB 60 ，TA=TA，∴△ATA是等边三角形，且TP TA ，∴TP (10 t)sin60113(10 t)，A P AP AT (10 t)，222∴S S A TP1 A P TP (10 t)2，282 当A与B重合时，AT=AB= 4，sin60所以此时6 t 10.(2)当点A在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA 与CB的交点)，当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，又由(1)中求得当A与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2 t 6.(3)S存在最大值1当6 t 10时，S ○(10 t)2，8在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，∴当t=6时，S的值最大是23.2当2 t 6时，由图○1，重叠部分的面积S S○ A TP S A EB ∵△AEB的高是A Bsin60 ，∴S31(10 t)2 (10 t 4)2 822( t2 4t 28) (t 2)2 43 88当t=2时，S的值最大是4；3当0 t 2，即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA与○CB的交点，F是TP与CB的交点)，∵ EFT FTP ETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴S11EF OC 4 23 43 22综上所述，S的最大值是4，此时t的值是0 t 2. 3. 解：（1）A Rt ，AB 6，AC 8，BC 10．1点D为AB中点，BD AB 3．DHB A 90，B B．△BHD∽△BAC，*****12 AC 8 ．，DH *****05（2）QR∥AB，QRC A 90．C C，△RQC∽△ABC，RQQCy10 x，，*****3x 6．5即y关于x的函数关系式为：y （3）存在，分三种情况：①当PQ PR时，过点P作PM QR于M，则QM RM．1 2 90，C 2 90，1 C．H QC84QM4cos 1 cosC ，，105QP51 3x 6 425 ，x 18．*****②当PQ RQ时，HQCQ312x 6 ，55x 6．③当PR QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC 的中点，11CR CE AC 2．24QRBAtanC ，CRCA3x 6156 ，x ．2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．524. 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴ △AMN ∽ △ABC．图1xAN∴ AM AN，即．43ABAC3∴ AN＝x．……………2分4∴ S=S MNP S AMN133x x x2．（0＜x＜4）……………3分2481MN．2（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC．由（1）知△AMN ∽ △ABC．BQD 图2xMN∴ AM MN，即．45ABBCx，45∴ OD x．…………………5分8∴ MN过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ OD5x．8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴ △BMQ∽△BCA．∴ BM QM．BCAC55 x25x，AB BM MA 25x x 4．∴ BM*****96．4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切． (7)分49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP．∴ x＝∴ AM AO 1．AM＝MB＝2．ABAP2故以下分两种情况讨论：3① 当0＜x≤2时，y SΔPMN x2．8∴ 当x＝2时，y最大3232 . ……………………………………8分82P② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵ 四边形AMPN是矩形，∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵ MN∥BC，∴ 四边形MBFN是平行四边形．∴ FN＝BM＝4－x．∴ PF x 4 x 2x 4．又△PEF ∽ △ACB．图4PF S PEF∴ ．AB S ABC∴ S PEF232x 2 ．……………………………………………… 9分23392y S MNP S PEF＝x2 x 2 x2 6x 6．……………………10分8282929 8当2＜x＜4时，y x 6x 6 x 2．88 38时，满足2＜x＜4，y最大2．……………………11分38综上所述，当x 时，y值最大，最大值是2．…………………………12分3k5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-）m∴ 当x(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ。

中考数学压轴题专项训练十套(含答案)

中考数学压轴题专项训练十套(含答案)

做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0<t<4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题23. （11分）如图，抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标．（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标．（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ．若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′，是否存在点P ，使点Q ′恰好在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，已知直线112y x=-+与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1，0)，交y轴于点E(0，-3)．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线，交直线CD于点H，交抛物线于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ． ①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．②连接PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG ．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题23. （11分）如图1，点A 为抛物线C 1：2122y x =-的顶点，点B 的坐标为(1，0)，直线AB 交抛物线C 1于另一点C ．（1）求点C 的坐标；（2）如图1，平行于y 轴的直线x =3交直线AB 于点D ，交抛物线C 1于点E ，平行于y 轴的直线x =a 交直线AB 于点F ，交抛物线C 1于点G ，若FG :DE =4:3，求a 的值；（3）如图2，将抛物线C 1向下平移m （m >0）个单位得到抛物线C 2，且抛物线C 2的顶点为P ，交x 轴负半轴于点M ，交射线AB 于点N ，NQ ⊥x 轴于点Q ，当NP 平分∠MNQ 时，求m 的值．图1 图2做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，，点B在x轴正半轴上，且∠ABO=30°．动点P在线段AB上，从点A向点B个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边三角形PMN．（1）求直线AB的解析式；（2）求等边三角形PMN的边长（用含有t的代数式表示），并求出当等边三角形PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边三角形PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．图2图1做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为( 2，2)，点B的坐标为(6，6)，抛物线经过A，O，B三点．连接OA，OB，AB，线段AB交y 轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），直线EF与抛物线交于M，N两点（点N在y轴右侧），连接ON，BN，当点F在线段OB 上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN 相似（点B，O，P分别与点O，A，N对应）的点P的坐标．做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为( 1，0)，(5，0)，(0，2)．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式．（2）点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向点B移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．设点P运动的时间为t（0≤t≤6）秒，△PBF的面积为S．①求S与t的函数关系式；②当t为何值时，△PBF的面积最大？最大面积是多少？（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．备用图做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-4，0)，点B的坐标是(0，b)（b>0）．P是直线AB上的一个动点，作PC ⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是(-1，m)，求m的值．（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D:DC=1:3时，求a的值．（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．23．（1）21433y x x =-+； （2）22102412311143422tt S t t t t t ⎧<⎪⎪=-<⎨⎪⎪-+-<<⎩≤≤（）（）（）； （3）存在，t =1或2．中考数学压轴题专项训练（二）参考答案23．（1）213222y x x =-++，(3 2)，D ； （2）123(0 2) 2) 2)，，，P P P --； （3）存在，点P的坐标为 (或．中考数学压轴题专项训练（三）参考答案中考数学压轴题专项训练（四）参考答案中考数学压轴题专项训练（六）参考答案中考数学压轴题专项训练（七）参考答案中考数学压轴题专项训练（八）参考答案中考数学压轴题专项训练（十）参考答案。

中考数学压轴题100题精选及答案全3篇

中考数学压轴题100题精选及答案全3篇

中考数学压轴题100题精选及答案全第一篇：数与代数1.下列各组数中，哪一组数最大？A. \frac{1}{2} ,\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}B. 0.99,0.999,0.9999,0.99999C. \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}D. 1,10^2,10^3,10^42. 一个整数，十位数与各位数的和为9，再去掉该整数中的各位数，十位数与剩下的数字的和为40，该整数为__________。

A. 45B. 54C. 63D. 723. 已知 a+b=2, ab=-1，求a^2+b^2的值。

A. 3B. 5C. 7D. 94. 解方程 2x-5=3x+1。

A. x=-3.5B. x=-2C. x=2D. x=3.55. 有两个数，各位数字相同，但顺序颠倒，若它们的和为110，这两个数分别是多少？A. 47,74B. 49,94C. 56,65D. 59,956. 若x-3y=-7，x+4y=1，则y的值为__________。

A. -2B. -1C. 0D. 17. 16÷(a-2)=4，则 a 的值为__________。

A. 6B. 8C. 10D. 128. 若a:b=5:3，b:c=7:4，则a∶b∶c=__________。

A. 35:21:12B. 25:15:12C. 25:21:16D. 35:15:169. 若a+3b=5，3a-5b=7，则 a 的值为__________。

A. -2B. -1C. 0D. 110. 已知x+y=3，xy=2，则y的值为__________。

A. 1B. 2C. 3D. 4第二篇：几何图形11. 已知正方形 ABCD 的边长为6，以 BC 为边，画一个正三角形 BCE，连接 AE，AD，请问△ADE 和正方形 ABCD 的面积之比是多少？A. \frac{2}{9}B. \frac{1}{2}C. \frac{4}{9}D.\frac{5}{6}12. 把一张纸平整地放在桌上，在纸的中央画一个圆形，请问可以用多少个直径为5 厘米的圆去覆盖这个圆形（圆覆盖圆）？A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知△ABC 是等腰三角形，AB=AC，E是BC中点，DE∥AC，AE=CD=2，求△ABC 的面积。

初三数学中考压轴题经典题型

初三数学中考压轴题经典题型

初三数学中考压轴题经典题型一、圆的相关压轴题1. 题目：已知圆O的半径为5，点A在圆O上，过点A作圆O 的切线AB，交x轴于点B，∠OAB = 30°，求点B的坐标。

（10分）2. 答案：因为AB是圆O的切线，所以∠OAB = 90°。

在Rt△OAB中，∠OAB = 30°，OA = 5。

根据三角函数关系，tan30° = OA/OB，即OB = OA/tan30° = 5/(√3/3)=5√3。

又因为点B在x 轴上，所以点B的坐标为(5√3,0)或(- 5√3,0)。

3. 解析：首先要明确切线的性质，即切线与半径垂直。

然后根据三角函数的定义来求解线段的长度，这里用到了正切函数。

由于点B可能在x轴正半轴也可能在负半轴，所以有两个答案。

二、二次函数与几何图形结合的压轴题1. 题目：二次函数y = ax²+bx + c的图象经过点A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PD垂直于x轴于点D，交直线BC于点E。

设点P的横坐标为m，当△PBE是等腰三角形时，求m的值。

（15分）2. 答案：先求出二次函数的解析式为y = x² - 2x - 3，直线BC的解析式为y = x - 3。

则点P(m,m² - 2m - 3)，点E(m,m - 3)。

PE = m² - 2m - 3-(m - 3) = m² - 3m 。

BE = √2 m - 3 。

当PB = PE时，利用两点间距离公式求出m的值；当PB = BE时，同理求出m的值；当PE = BE时，求出m的值。

经过计算可得m的值为1或2或3 - √3或3+√3。

3. 解析：第一步是求出二次函数和直线BC的解析式，这是后续计算的基础。

然后根据点的坐标表示出线段的长度。

对于等腰三角形的情况，需要分三种情况进行讨论，分别根据等腰三角形的两腰相等列出方程求解。

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全国中考数学压轴题精选(七)61.（08广东中山22题）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.（08广东中山22题解析）解：（1）…………………………1分等腰；…………………………2分（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对)所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分（3）由题意知，FP ∥AE ， ∴ ∠1＝∠PFB ，又∵ ∠1＝∠2＝30°， ∴ ∠PFB ＝∠2＝30°,∴ FP ＝BP .…………………………6分过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则F K B K ==∵ AF ＝t ，AB ＝8， ∴ FB ＝8－t ，1(8)2B K t =-.在Rt △BPK 中，1tan 2(8)tan 30)26PK BK t t =⋅∠=-︒=-. ……………………7分∴ △FBP 的面积11(8))226S FB PK t t =⋅⋅=⋅--，DCBAE图9 图10∴ S 与t 之间的函数关系式为：2(8)12S t =-，或24123S t t =-+分t 的取值范围为：08t ≤<. …………………………………………………………9分62.（08河北省卷26题）如图15，在R t ABC △中，90C ∠= ，50A B =，30A C =，D E F ，，分别是A C A B B C ，，的中点．点P 从点D 出发沿折线D E E F F C C D ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿B A 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线B C C A -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；（2）射线Q K 能否把四边形C D E F 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线E F F C -上，且点P 又恰好落在射线Q K 上时，求t 的值； （4）连结P G ，当P G A B ∥时，请直接．．写出t 的值．（08河北省卷26题解析）解：（1）25． （2）能．如图5，连结D F ，过点F 作FH AB ⊥于点H ， 由四边形C D E F 为矩形，可知Q K 过D F 的中点O 时，Q K 把矩形C D E F 分为面积相等的两部分（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），此时12.5QH OF ==．由20B F =，H B F C B A △∽△，得16H B =． 故12.5161748t +==．（3）①当点P 在E F 上6(25)7t ≤≤时，如图6．4QB t =，7D E EP t +=，由PQE BCA △∽△，得7202545030t t --=．21441t ∴=．图15B图6②当点P 在F C 上6(57)7t ≤≤时，如图7．已知4QB t =，从而5P B t =，由735P F t =-，20B F =，得573520t t =-+． 解得172t =．（4）如图8，213t =；如图9，39743t =．（注：判断P G A B ∥可分为以下几种情形：当6027t <≤时，点P 下行，点G 上行，可知其中存在P G A B ∥的时刻，如图8；此后，点G 继续上行到点F 时，4t =，而点P 却在下行到点E 再沿E F 上行，发现点P 在E F 上运动时不存在P G A B ∥；当6577t ≤≤时，点P G ，均在F C 上，也不存在P G A B ∥；由于点P 比点G 先到达点C 并继续沿C D 下行，所以在6787t <<中存在P G A B ∥的时刻，如图9；当810t ≤≤时，点P G ，均在C D 上，不存在P G A B ∥）63.（08湖北十堰25题）已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．B图8B图9（08湖北十堰25题解析）解：⑴对称轴是直线：1=x ，点B 的坐标是(3,0)． ……2分说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．⑵如图，连接PC ，∵点A 、B 的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)， ∴AB ＝4．∴．AB PC 242121=⨯==在Rt △POC 中，∵OP ＝PA －OA ＝2－1＝1， ∴．POPCOC 3122222=-=-=∴b ＝．3 ………………………………3分 当01=-=，y x 时，，a a 032=+--∴．a 33= ………………………………4分∴．x x y 3332332++-= ………………5分⑶存在．……………………………6分理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为),(y x M ．①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM ∥AB ，且CM ＝AB ． 由⑵知，AB ＝4，∴|x|＝4，3==OC y ．∴x ＝±4．∴点M 的坐标为)3,4()3,4(-或M ．…9分说明：少求一个点的坐标扣1分．②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方．过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠MNB ＝∠AOC ＝90°．∵四边形AMBC 是平行四边形，∴AC ＝MB ，且AC ∥MB ．∴∠CAO ＝∠MBN ．∴△AOC ≌△BNM ．∴BN ＝AO ＝1，MN ＝CO ＝ ∵OB ＝3，∴0N ＝3－1＝2．∴点M 的坐标为(2,M ． ……………………………12分说明：求点M 的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M 的坐标的方法均可，请参照给分．综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为123((2,M M M -．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。

64（08湖南株洲23题）如图（1），在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，-2），点B 的坐标为（3，-1），二次函数2y x =-的图象为1l .（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A 、B 两点，记抛物线为2l ，如图（2），求抛物线2l 的函数解析式及顶点C 的坐标.（3）设P 为y 轴上一点，且ABC ABP S S ∆∆=，求点P 的坐标.（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点Q ，使QAB ∆为等腰三角形. 若存在，请判断点Q 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.（08湖南株洲23题解析）（1）222345y x x y x x =-+-=-+-或等 （满足条件即可） ……1分y o x 图（1）yox图（2）l 1l 2（2）设2l 的解析式为2y x bx c =-++，联立方程组21193b c b c-=-++⎧⎨-=-++⎩，解得：911,22b c ==-，则2l 的解析式为291122yx x =-+-， ……3分点C 的坐标为（97,416-） ……4分（3）如答图23-1，过点A 、B 、C 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则2AD =，716C F =，1BE =，2D E =，54D F =，34F E=.得：1516A B C A B E D B C F E C F D S S S S ∆=--=梯形梯形梯形A . ……5分延长BA 交y 轴于点G ，直线AB 的解析式为1522y x =-，则点G 的坐标为（0，52-），设点P 的坐标为（0，h ）①当点P 位于点G 的下方时，52P G h =--，连结AP 、BP ，则52A B P B P G A P GS S S h ∆∆∆=-=--，又1516ABC ABP S S ∆∆==，得5516h =-，点P 的坐标为（0，5516-）. …… 6分②当点P 位于点G 的上方时，52P G h =+，同理2516h =-，点P 的坐标为（0，2516-）.综上所述所求点P 的坐标为（0，5516-）或（0，2516-） …… 7分(4) 作图痕迹如答图23-2所示.由图可知，满足条件的点有1Q 、2Q 、3Q 、4Q ，共4个可能的位置. …… 10分65（08四川达州23题）如图，将A O B △置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为(30)，，60ABO ∠=．（1）若A O B △的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标．答图23-2EF 答图23-1（2）若点C 的坐标为(10)-，，试猜想过D C ，的直线与A O B △的外接圆的位置关系，并加以说明． （3）二次函数的图象经过点O 和A求此函数的解析式．（08四川达州23题解析）解：（1）连结AD ，则∠ADO ＝∠B ＝600在Rt △ADO 中，∠ADO ＝600所以OD ＝OA÷3＝3÷3＝3 所以D 点的坐标是（0，3） （2）猜想是CD 与圆相切∵ ∠AOD 是直角，所以AD 是圆的直径又∵ Tan ∠CDO=CO/OD=1/3=3, ∠CDO ＝300∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt ∠ 即CD ⊥AD ∴ CD 切外接圆于点D（3）依题意可设二次函数的解析式为 ：y=α（x －0）(x －3)由此得顶点坐标的横坐标为：x=aa 23-=23;即顶点在OA 的垂直平分线上，作OA 的垂直平分线EF ，则得∠EFA ＝21∠B ＝300得到EF ＝3EA ＝323 可得一个顶点坐标为（23，323）同理可得另一个顶点坐标为（23，321-）分别将两顶点代入y=α（x －0）(x －3)可解得α的值分别为332-，932则得到二次函数的解析式是y=332-x(x －3)或y=932 x(x －3)66（08安徽芜湖24题）如图，已知 (4,0)A -，(0,4)B ，现以A 点为位似中心，相似比为9:4，将OB 向右侧放大，B 点的对应点为C ． (1) 求C 点坐标及直线BC 的解析式;(2) 一抛物线经过B 、C 两点，且顶点落在x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象; (3) 现将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交与另一点P ，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P ． 解:（08安徽芜湖24题解析）解： （1）过C 点向x 轴作垂线，垂足为D ，由位似图形性质可知： △ABO ∽△ACD ， ∴49A OB O A DC D==．由已知(4,0)A -，(0,4)B 可知： 4,4AO BO ==． ∴9AD C D ==．∴C 点坐标为(5,9)． ·················· 2分 直线BC 的解析是为：409450y x --=--化简得： 4y x =+·················································· 3分 （2）设抛物线解析式为2(0)y ax bx c a =++>，由题意得：24925540c a b c b ac =⎧⎪=++⎨⎪-=⎩， 解得： 111144a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,222125454a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴解得抛物线解析式为2144y x x =-+或22144255y x x =++．又∵22144255y x x =++的顶点在x 轴负半轴上，不合题意，故舍去．∴满足条件的抛物线解析式为244y x x =-+ ······························································ 5分 （准确画出函数244y x x =-+图象） ········································································· 7分 （3） 将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交与另一点P ，设P 到 直线AB 的距离为h ， 故P 点应在与直线AB平行，且相距1l 和2l 上． ····················· 8分 由平行线的性质可得：两条平行直线与y 轴的交点到直线BC的距离也为 如图，设1l 与y 轴交于E 点，过E 作EF ⊥BC 于F 点， 在Rt △BEF中EF h ==45EBF ABO ∠=∠= ，∴6B E =．∴可以求得直线1l 与y 轴交点坐标为(0,10) ··············································10分 同理可求得直线2l 与y 轴交点坐标为(0,2)- ································································ 11分 ∴两直线解析式1:10l y x =+；2:2l y x =-．根据题意列出方程组： ⑴24410y x x y x ⎧=-+⎨=+⎩；⑵2442y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩∴解得：11616x y =⎧⎨=⎩；2219x y =-⎧⎨=⎩；3320x y =⎧⎨=⎩；4431x y =⎧⎨=⎩∴满足条件的点P 有四个，它们分别是1(6,16)P ，2(1,9)P -，3(2,0)P ，4(3,1)P ········15分67（08湖北仙桃等4市25题）如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ,O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴正半轴上，点B 坐标为（2，23），∠BCO = 60°，BC OH ⊥于点H .动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点P 运动的时间为t 秒.（1） 求OH 的长；（2） 若OPQ ∆的面积为S （平方单位）. 求S 与t 之间的函数关系式.并求t 为何值时，OPQ ∆的面积最大，最大值是多少？（3） 设PQ 与OB 交于点M .①当△OPM 为等腰三角形时，求（2）中S 的值. ②探究线段OM（08湖北仙桃等4市25题解析）解：（1）∵AB ∥OC ∴ 090=∠=∠AOC OAB 在OAB Rt ∆中，2=AB ,32=AO ∴4=OB ， 060=∠ABO∴060=∠BOC 而060=∠BCO∴BOC ∆为等边三角形 ∴3223430cos 0=⨯==OB OH …（3分）（2）∵t PH OH OP -=-=32∴t OP x p 23330cos 0-== 2330sin 0t OP y p -==∴)233(2121t t x OQ S p -⋅⋅=⋅⋅==t t 23432+-（320<<t ）…………………………（6分）即433)3(432+--=t S∴当3=t 时，=最大S 433（3）①若OPM ∆为等腰三角形，则：（i ）若PM OM =，POC MOP MPO ∠=∠=∠ ∴PQ ∥OC∴p y OQ = 即23tt -=解得：332=t此时33233223)332(432=⨯+⨯-=S （ii ）若OM OP =，075=∠=∠OMP OPM∴045=∠OQP过P 点作OA PE ⊥，垂足为E ，则有： EP EQ = 即t t t 233)213(-=--解得：2=t此时332232432-=⨯+⨯-=S ……………………………………（9分）（iii ）若PM OP =，AOB PMO POM ∠=∠=∠∴PQ ∥OA此时Q 在AB 上，不满足题意.……………………………………………（10分）②线段OM 长的最大值为23……………………………………………………(12分)68（08湖南常德26题）如图9，在直线l 上摆放有△ABC 和直角梯形DEFG ，且CD ＝6㎝；在△ABC 中：∠C ＝90O ，∠A ＝300，AB ＝4㎝；在直角梯形DEFG 中：EF//DG ，∠DGF ＝90O,DG ＝6㎝，DE ＝4㎝，∠EDG ＝600。

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