线性微分方程的基本理论

x1 ( t ) W [ x1 ( t ), x2 ( t ), xk ( t )] x1 ( t )
( k 1) x1 (t )
x2 ( t ) x2 ( t )
( k 1) x2 (t )

xk ( t ) xk ( t )
( k 1) xk (t )
t 0 t 0
显然对所有的 t, 恒有 W [ x1 ( t ), x2 ( t )] 0,
但 x1 ( t ), x2 ( t ) ( , ) 上线性无关. 在 事实上, 假设存在恒等式
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 0,
则当 t 0 时, 有c2 0, 当 t 0 时, 有c1 0, 故x1 ( t ), x2 ( t ) ( , )上线性无关. 在
n n
a1 ( t )
d
n1
x
dt
n1
an1 ( t )
dx dt
an ( t ) x
L[e
t
n
]?
n1
[ a1 (t )
a2 (t )
n 2
an1 (t ) an (t )]e .
t
性质3.1 L(cx ) cL( x ) c 为常数. 性质3.2
或
在(a, b) 上有定义,
则在（a, b）上线性无关的充要条件为
x1 ( t ) x2 ( t )
或
x2 ( t ) x1 ( t )
在（a, b）上不恒为常数.
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例3: sin t , cos t在任何区间上都线性无关. 2 2 cos t ,1 sin t 在任何区间上都线性相关. 注3：函数组的线性相关与线性无关是 依赖于所取的区间。 例4: 函数x1 ( t ) t , x2 ( t ) t 在（ ， ） 上 是线性无关, 而在 (0, )和 ( , 0) 上是线性相关的.
这个解满足初始条件 x(t0 ) x(t0 ) x( n1) (t0 ) 0. 又 ( t ) 0 也是齐线性方程满足初始条件的解, 由解的惟一性知,
x( t ) c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) cn xn (t ) 0, t (a , b)
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d x dt
n
n
a1 ( t )
d
n1
x
dt
n1
……an1 ( t )
dx dt
an ( t ) x 0
定理3.4 若函数组 x1 ( t )，x2 ( t ), , xn ( t )是齐线性方程
在区间（a, b）上的n个线性无关的解, 则它们的Wronskian 行列式
x ( t0 ) c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t0 ) cn xn ( t 0 ) 0, x ( t0 ) c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t0 ) cn xn ( t 0 ) 0, x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) 0. 0 1 1 0 2 2 0 n n 0
称为这些函数的Wronskian行列式, 通常记做 W ( t ).
10
定理3.3 如果函数组 x1 ( t )，x2 ( t ), , xn ( t ) 在区间
(a, b) 上线性相关, 则在(a, b) 上它们的
Wronskian行列式恒等于零, 即 W ( t ) 0
证明: 由假设知存在一组不全为零的常数 c1 , c2 , , cn , 使得c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, t (a , b) 依次将此恒等式对 t 微分, 得到恒等式
线性无关的，因为如果
c0 c1t c2 t cnt 0
2 n
只有当所有的 ci 0( i 0,1, , n) 时才成立. 事实上, 如果至少有一个 ci 0, 左端多项式是一个不高于n次的多项式，
它最多可有n个不同的根 . 它在所考虑的
区间上不能有多于n个零点, 更不可能恒为零.
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定理3.3 如果函数组 x1 ( t )，x2 ( t ), , xn ( t ) 在区间 (a, b) 上线性相关, 则在(a, b) 上它们的 Wronskian行列式恒等于零, 即 W ( t ) 0 推论 3.1 如果函数组x1 ( t )，x2 ( t ), , xn ( t ) 的
由 c1 , c2 , , cn不全为零, 知矛盾, 从而定理得证.
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d x dt
n
n
a1 ( t )
d
n1
x
dt
n1
……an1 ( t )
dx dt
W [ x1 ( t )，x2 ( t ), , xn ( t )] 在该区间上任何点都不为零.
证明: 用反证法
假设有 t0 (a , b),使得W ( t0 ) 0.
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考虑关于c1 , c2 , , cn 的齐次线性代数方程组
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t0 ) cn xn ( t0 ) 0, c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t0 ) cn xn ( t0 ) 0, c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) 0. 0 2 2 0 n n 0 1 1
dx t
an ( t ) x f ( t )
方程存在唯一的解 x ( t ) 满足初始条件：
( t 0 ) x0 ,
d ( t0 ) dt x0
(1)
, ,
d
n 1
( t0 )
n 1
dt
x0
( n 1)
.
2
线性微分算子:
L[ x ] d x dt
,
c1 x1
( n1)
(t ) c2 x2
( n1)
( t ) cn xn
( n1)
( t ) 0,
上述n个恒等式所组成的方程组是关于 c1 , c2 , , cn 的齐次方程组, 它的系数行列式就是Wronskian 行列式, 由线性代数的知识知, 要使方程组存在 非零解, 则必有 W ( t ) 0.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) cn xn ( t ) 0, ......
c1 x1
( n1)
(t ) c2 x2
( n1)
( t ) cn xn
( n1)
( t ) 0,
11
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) cn xn ( t ) 0, c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) cn xn ( t ) 0,
Wronskian行列式在区间（a, b）上
某点处t0不等于0, 即 W ( t0 ) 0 ,
则该函数组在区间( a , b ) 上线性无关。
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注: 定理3.3的逆定理不一定成立.例
t2, x1 ( t ) 0, t 0 t 0 ,
0, x2 (t ) 2 t ,
如果存在不全为0的常数 c1 , , cn, 使得
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0
在(a, b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上 线性相关，不然称这些函数线性无关.
6
例2: 函数 1, t , t 2 , , t n 在任何区间上都是
基本解组: 如果齐线性微分方程的任意一个解 ( t ) 都可以表示为
ci xi ( t ) , 则称x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )
i 1
n
是齐线性微分方程的基本解组。
线性相关: 对定义在区间(a, b)上的函数组
x1 ( t ), x2 ( t ), , xn ( t )
7
注1：在函数 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t )中有一个函数
等于零, 则函数 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在（a, b）上线性相关。 注2：考虑到两个函数构成的函数组 x1 ( t ), x2 ( t )
如果
x1 ( t ) x2 ( t ) x2 ( t ) x1 ( t )
其系数行列式W ( t0 ) 0,故它有非零解 c1 , c2 , , cn , 现以这组解构造函数
x( t ) c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) cn xn ( t ), t (a , b)
由定理3.2 知, x ( t ) 是齐线性方程的解.
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x( t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ), t (a , b)
3.2
线性微分方程的基本理论
dx dt , , d x dt
n n
一、基本概念
未知函数x及其各阶导数
均为一次的n阶微分方程称为n阶线性微分方程.
d x dt
n n
a1 ( t )
d
n1
x
dt
n1
……an1 ( t )
dx dt
an ( t ) x f ( t ),
其中 ai (t )(i 1, 2 , n)及 f ( t ) 是区间 a t b n阶线性齐次微分方程:
L( x1 x2 ) L( x1 ) L( x2 ).
3
d x dt
n
n
a1 ( t )
d
n1
x
dt
n1
……an1 ( t )
dx dt
an ( t ) x 0
二、齐次线性方程解的性质和结构 定理3.2 (叠加原理) 如果x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )是齐线性微分方程的n个解， 则它的线性组合 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 也是方程的解，这里 c1 , , cn 是常数.
定理3.1：如果的系数 ai (t )(i 1, 2, , n)
及右端函数 f ( t )在区间 a t b 上连续，
则对任一个 t0 (a , b) 及任意的 x0 , x0 , x0
d x dt
n n
(1)
( n 1)
a1 ( t )
d
n 1
x
dt
n 1
……an1 ( t )
( t ) ( t ) c1[(sin t ) sin t ] c2 [(cos t ) cos t ] 0
所以均为方程的解.
5
d x dt
n
n
a1 ( t )
d
n1
x
dt
n1
……an1 ( t )
dx dt
an ( t ) x 0
1, 事实上 x2 ( t ) 1, x1 ( t ) t 0, t 0.
在区间 ( , )上不是常数, 分别在区间( , 0) 和 (0, ) 上是常数.
9
Wronskian 行列式:
由定义在区间（a, b）上的k个k 1次可微函数
x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 所作成的行列式
d x dt
n n
上的连续函数。
dx dt an ( t ) x 0.
1
a1 ( t )
d
n 1
x
dt
n 1
……an1 ( t )
t
2
d x dt
2
2
t
dx dt
(t n ) x 0
2 2
齐次线性方程。
d x dt
2
2
4 x sin t
非齐次的线性方程。
4
例1
验证 sin t ,cos t , ( t ) c1 sin t c2 cos t 是方程 x x 0 的解.
解: 分别将 sin t ,cos t , ( t ) c1 sin t c2 cos t
代入方程：
(sin t ) sin t 0
(cos t ) cos t 0