第3讲-电磁暂态程序基本解法

ub x vt Zib x vt
x x u u f t ub t v v x x i i f t ib t v v
目前波过程数值计算有很多种方 法，比较通用的是建立在行波基 础上的两种基本方法
u iZ 2ub ( x vt )=常数
且他所看到的线路上的实 际电压U和i之间的关系将 满足下图所示反行特性线 关系
u iZ 常数
i
（2）.均匀无损耗导线的等值暂态计算电路
如右图所示单根均匀无损导线。波阻抗为Z， 线路长为L，速度为v,则波在导线传播一次时间 为τ＝L/v. 端点上的电流正方向假定都是从端点流向线路。
积分形 式：
1 t uk (t ) um (t ) uk (t t ) um (t t ) ikm (t )dt C t t
同L的 求法：
1 ikm (t ) I C (t t ) [uk (t ) um (t )] RC
式中：
t RC 2C
把等值计算公式(4)(8)相结合起来，就可以得到单根 均匀无损线路完整的暂态计算电路，特点： a) 在整个分布参数线路的等值计算电路中，只包括集中 参数电阻和等值电流源，属于集中参数电路。 b) 在等值电路中线路两侧节点k和m各有自己独立回路 在拓扑结构上不在有任何联系，即两个端点k和m之 间的电磁联系是通过反映历史记录的等值电流源公式 (3)(7)来实现的。在电流源已知的情况下，用节点电 位法来求解电路是十分方便的
t x(t ) x(t t ) [ f (t t ) f (t )] 2
c、梯形积分法：
数值稳定性：上一时刻的计算误差在下一步计算时被削弱，尽 管每一步计算都有误差但逐步被削弱可使积累误差有限，则此 种积分方法稳定，否则不稳定。
对数值积分法的数值稳定性的考察表明，向后欧拉法和梯形积 分法具有很高的数值稳定性。
t
右边用梯形法进行数值积分：
t ikm (t ) ikm (t t ) [u L (t t ) u L (t )] 2L
化简：
1 ikm (t ) I L (t t ) [uk (t ) um (t )] RL
式中：
2L RL t
1 I L (t t ) ikm (t t ) [uk (t t ) um (t t )] RL
Z
等值计算电路
类似前行波，观察者可以随反行 波从末端节点m运动到始端节点 k，根据反行波特线型方程可以 得到式(5)或式(6),若设式(7)则 (5)(6)可改写成式(8),根据式(8), 可得端点K在t时刻的等值电路。
K
ikm (t )
I k (t τ )
uk (t )
Z
um (t τ )＋Z[imk （t-τ )]＝uk (t ) Zikm (t )
1 1 ikm (t ) uk (t ) um (t τ ) i mk （t-τ ) Z Z
1 Ik t－τ ）＝- um (t τ ) i mk （ （t-τ ) Z
1 ikm (t ) uk (t ) Ik t－τ ） (8) （ Z
等值计算电路特点
ikm(t)
k L
m R
Uk(t)
Um(t)
a
uk (t ) um (t ) uR (t ) uL (t ) uC (t )
由前面讨论的R、L、C等值计算等值可写成如下形式：
2 L t 2L t u k (t ) u m (t ) ( R )ikm (t ) I L (t t ) I C (t t ) t 2C t 2C
x k
Z,V,l m
uk (t)
ikm(t)
imk (t)
um(t)
uk (t τ )＋Zikm （t-τ )＝um (t ) Z[imk (t )]
1 1 imk (t ) um (t ) uk (t τ ) i km （t-τ ) Z Z
等值计算电路
对集中参数储能元件电感和电容，其暂态过程可以用常微分方 程描述！
x f ( x, t ) x(t0 ) x0
式中：

x0为初值。 数值求解时，常用的较简单的积分公式有矩形积分公式和梯形 积分公式。入下图所示：
f（t）
f（t）
f（t）
f(t－△t)
f(t－△t)
f(t－△t)
△S
△S
△S
t－△t
u iZ 2u f ( x vt ) u iZ 2ub ( x vt )
前行特性方程 反行特性方程
注意：此两式中u,i不是某一个前行波或者反行波的值，而 是导线各点的实际电压和电流
(u iZ )
和 (u iZ ) 具有行波的性质
• 行波特性方程中
u f ( x vt ) 和 ub ( x vt )
U
u iZ 常数
u iZ 2u f ( x vt ) 常数
且他所看到的线路上的实际电 压U和i之间的关系将满足下图所 示前行特性线关系
i
行波特性线方程的物理意义
反行特性线方程的物理 意义：
当观察者沿x的反方向以速度 V沿线路反行（x＋vt=c常数） 时，则他处于任意位置x的相 U 应时刻所观察到的（U－Z i） 的值始终保持不变，即:
分别表示以速率v沿着X方向行进的前行电压和 逆着X方向行进的反行电压，因此，行波特性 线方程说明：(u iZ ) 和 (u iZ ) 各作为一个整体来说：
具有行波的性质。
行波特性线方程的物理意义
前行特性线方程的物理意 义： 当观察者沿x的正方向以速度V 沿线路前行（x-vt=c常数）时， 则他处于任意位置x的相应时 刻所观察到的（U+Z i）的值始 终保持不变即:
第3讲电磁暂态程序的基本解法1
——集中参数元件的暂态等值计算电路
电力系统网络通常包括有各种集中参数元件（电阻、 电感等）和分布参数元件（输电线路），这些元 件可以是线性的，也可以是非线性的。本讲主要 介绍无耦合线性集中参数元件和元件和单导线线 路组成的网络中的电磁暂态数值计算解法。
电磁暂态程序基本数值解法可概括为：采用梯形积分法求解集 中参数电路的暂态过程，而采用贝杰龙特性线方法求解分布参 数的波过程，把两者结合起来，形成统一的暂态离散网络。
用△t离散化：
逐点求解电压和电流随时间变化的数值。即：根据t－ △t时间 经过电感的电流ikm (t－ △t)和电感两端的节点电位uk(t－ △t)、um(t－ △t)，求出t时刻的电流和节点电位ikm (t)、 uk(t)、um(t)，为此将上式两边积分：
1 t t t dikm (t ) L t t u L (t )dt 1 t ikm (t ) ikm (t t ) u L (t )dt L t t
（a）向前欧拉法
t
t－△t t
（b）向后欧拉法
t－△t t
（c）梯形积分法
几种数字积分法
a、向前欧拉法：
x(t ) x(t t ) f (t )dt x(t t ) tf (t t )
t
t
b、向后欧拉法：
x(t ) x(t t ) tf (t t )
更新历史项：
t uC (t ) uC (t t ) [ikm (t ) ikm (t t )] 2C
Is(t-△t)
暂态伴随电 路（暂态 计算离散 电路）：
ikm(t)
k m
Uk(t) Gs
b
Um(t)
5.单根均匀无损导线的暂 态等值计算电路
u f x vt Zi f x vt
1 I C (t t ) ikm (t t ) [uk (t t ) um (t t )] RC
RC是电感C的等值计算电阻，IC(t-△t)称为电容的历史电流源。如 下图所示：
Ic(t-△t)
暂态伴随电 路（暂态 计算离散 电路）：
ikm(t)
k m
Uk(t) Rc=△t/2c
两种建立在行波 基础上的方法 Bewloy网格法 贝杰龙数值计算法
建立在行波特性 线方程的原理基 础上，应用这种 方法求解节点电 压、电流时，可 以直接求出，无 需迭加，计算过 程大大简化，很 适合在计算机上 进行计算 可用等值线段代替储 能的集中参数元件电 感和电容L、C，是建 立在行波的多次折、 反射的基础上的。需 要把每一时刻在节点 上的折、反射波按到 达的时间先后进行迭 加，工作量大，主要 用于一些简单网络的 波过程分析
x k Z,V,l m
uk (t)
ikm(t)
imk (t)
um(t)
等值计算电路
根据前行特性方程的物 理概念，若观察者在t－τ 时刻从节点k出发，经过传 播时间τ＝L / V,在t时刻到 达m点，那么，所观察到的 （u＋Z i）值由始点（k 点）到终点（m点）都应保 持不变，则有式（1）或写 成式（2）
合并整 理得
ikm (t ) Gs [uk (t ) um (t )] I s (t t )
Gs为R－L－C串联支路的等值计算电导，Is(t-△t)为合成历史项：
1 Gs 2L t (R ) t 2C
2L t I s (t t ) Gs [( R )ikm (t t ) uk (t t ) um (t t ) t 2C 2uC (t t )]
K
ikm (t )
b
Um(t)
3. 电阻的暂态等值计算电路
ikm(t)
k
m
UR(t) R k 电阻电路
1 ikm (t ) [uk (t ) um (t )] R