物联网感知层安全概述(PPT 34张)
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椭圆曲线
椭圆曲线并非椭圆，之所以称为椭圆曲线是因为
它的曲线方程与计算椭圆周长的方程类似。一般来 讲，椭圆曲线的曲线方程是以下形式的三次方程： y2+axy+by=x3+cx2+dx+e (4.1) 其中a，b，c，d，e是满足某些简单条件的实数。 定义中包括一个称为无穷点的元素，记为O。 图4.4 是椭圆曲线的两个例子。
定义4.3.4 q阶有限域中阶为q1的元素称为本原域元素， 简称本原元． 本原元的意义是很明显的．如果q阶有限域中存在本原元a， 则所有非零元构成一个由a生成的q1阶循环群．那么q阶 有限域就可以表示为 { 0，1，a1，a2，…，aq2}．
2019/2/4 10
有限域上的椭圆曲线
2019/2/4
11
有限域上的椭圆曲线
椭圆曲线
4 P1 Q -2 -1 -2 - P1 -4 -4 -P1 2 R Q 0 1 2 3 -2 -1 -2 2 R 0 1 2 3 4 P1
(a) y2=x3-x
(b) y2=x3+x+1
图4.4 椭圆曲线的两个例子 2019/2/4 12
有限域上的椭圆曲线
2019/2/4 13
有限域上的椭圆曲线
椭圆曲线
③
设Q和R是椭圆曲线上x坐标不同的两点，Q+R的定义 如下： 画一条通过Q、R的直线与椭圆曲线交于P1（这一交 点是惟一的，除非所做的直线是Q点或R点的切线，此时分 别取P1=Q和P1=R）。由Q+R+P1=O得Q+R=-P1。 ④ 点Q的倍数定义如下： 在Q点做椭圆曲线的一条切线， 设切线与椭圆曲线交于点S，定义2Q=Q+Q=-S。类似地可 定义3Q=Q+Q+Q+，…，等。 以上定义的加法具有加法运算的一般性质，如交换律、 结合律等。
2019/2/4
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有限域
定义4.3.2 有限个元素构成的域称为有限域．域中元素 的个数称为有限域的阶． 例：当p是素数时，模p剩余类集合 { 0 , 1 ,2 ,p 1 } 构成p阶有限域GF(p) ，这也是最简单的一种有限域．
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有限域
定义4.3.3 设G是群，a是G中的一个元素，如果存在正 整数m，使得am=1，则称a是有限阶的元素，把最小的满 足am=1 的正整数m叫做元素a的阶，用|a|表示。
正是由于椭圆曲线具有丰富的群结构和多选择性，并可在保持和
RSA/DSA体制同样安全性能的前提下大大缩短密钥长度（目前160比特 足以保证安全性），因而在密码领域有着广阔的应用前景。表4.9给出
了椭圆曲线密码体制和RSA/DSA体制在保持同等安全的条件下各自所
需的密钥的长度。
域
2019/2/4
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有限域上的椭圆曲线
有限域上的椭圆曲线
密码中普遍采用的是有限域上的椭圆曲线，有限域上 的椭圆曲线是指曲线方程定义式(4.1)中，所有系数都是某 一有限域GF(p)中的元素（其中p为一大素数）。其中最为 常用的是由方程 p) p)≠0) (4.2)
y2≡x3+ax+b(mod
(a,b∈GF(p),4a3+27b2(mod 定义的曲线。
物联网感知层安全
课前回顾
3 物联网感知层安全 3.1物联网感知层安全概述 3.2RFID安全 RFID安全密码协议
本次课学习内容
3.2RFID安全 轻量级密码算法 1 椭圆曲线密码算法 2 RC4算法 3 Present算法 4 SM3算法 国家商用密码算法简介
椭圆曲线
椭圆曲线上的加法运算定义如下： 如果其上的3个点位于同 一直线上，那么它们的和为O。
进一步可如下定义椭圆曲线上的加法律（加法法则）：
①
②
O为加法单位元，即对椭圆曲线上任一点P，有P+O=P。
设P1=(x,y)是椭圆曲线上的一点, 它的加法逆元定义为P2=P1=(x, -y)。 这是因为P1、P2的连线延长到无穷远时，得到椭圆曲线上的 另一点O，即椭圆曲线上的3点P1、P2，O共线，所以 P1+P2+O=O，P1+P2=O，即P2=-P1。 由O+O=O，还可得O=-O
2019/2/4
4
轻量级密码算法——ECC
ECC特别适用于诸如以下实现中：
无线Modem的实现； web服务器的实现；
集成电路卡的实现；
……
轻量级密码算法——ECC
安全性高，其安全性依赖于椭圆曲线上的离散 对数困难问题；
运算速度快； 便于软硬件实现。
轻量级密码算法——ECC
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有限域上的椭圆曲线
有限域上的椭圆曲线
p=23，a=b=1，4a3+27b2(mod 23)≡8≠0 ，方程 (4.2)为y2≡x3+x+1，其图形是连续曲线，由图4.4(b)所示。 然而我们感兴趣的是曲线在第一象限中的整数点。设 Ep(a,b)表示方程(4.2)所定义的椭圆曲线上的点集 {(x,y)|0≤x<p,0≤y<p，且x,y均为整数}并上无穷远点O。本例 中E23(1,1)由表4.6给出，表中未给出O
轻量级密码算法——ECC
椭圆曲线密码体制
为保证RSA算法的安全性，它的密钥长度需一 再增大，使得它的运算负担越来越大。相比之下， 椭圆曲线密码体制ECC（elliptic curve cryptography）可用短得多的密钥获得同样的安全 性，因此具有广泛的应用前景。ECC已被IEEE公 钥密码标准P1363采用。
定义4.3.1 若代数系统<F, +, •>的二元运算满足: 1） <F, +>是交换群； 2） <F-{0}, •> 是交换群,其中0是+运算的单位元； 3）乘法在加法+运算上满足分配律，即对于任意a，b， cF，有 a• (b+c) = a•b+a•c和(b+c) •a=b•a+c•a； 则称F为一个域．
例4.12
wk.baidu.com
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有限域上的椭圆曲线
有限域上的椭圆曲线
一般来说，Ep(a,b)由以下方式产生：
① 对每一x(0≤x<p且x为整数），计算 x3+ax+b(mod p)。
②
决定①中求得的值在模p下是否有平方根， 如果没有，则曲线上没有与这一x相对应的点；如 果有，则求出两个平方根（y=0 时只有一个平方 根）。
椭圆曲线并非椭圆，之所以称为椭圆曲线是因为
它的曲线方程与计算椭圆周长的方程类似。一般来 讲，椭圆曲线的曲线方程是以下形式的三次方程： y2+axy+by=x3+cx2+dx+e (4.1) 其中a，b，c，d，e是满足某些简单条件的实数。 定义中包括一个称为无穷点的元素，记为O。 图4.4 是椭圆曲线的两个例子。
定义4.3.4 q阶有限域中阶为q1的元素称为本原域元素， 简称本原元． 本原元的意义是很明显的．如果q阶有限域中存在本原元a， 则所有非零元构成一个由a生成的q1阶循环群．那么q阶 有限域就可以表示为 { 0，1，a1，a2，…，aq2}．
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有限域上的椭圆曲线
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有限域上的椭圆曲线
椭圆曲线
4 P1 Q -2 -1 -2 - P1 -4 -4 -P1 2 R Q 0 1 2 3 -2 -1 -2 2 R 0 1 2 3 4 P1
(a) y2=x3-x
(b) y2=x3+x+1
图4.4 椭圆曲线的两个例子 2019/2/4 12
有限域上的椭圆曲线
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有限域上的椭圆曲线
椭圆曲线
③
设Q和R是椭圆曲线上x坐标不同的两点，Q+R的定义 如下： 画一条通过Q、R的直线与椭圆曲线交于P1（这一交 点是惟一的，除非所做的直线是Q点或R点的切线，此时分 别取P1=Q和P1=R）。由Q+R+P1=O得Q+R=-P1。 ④ 点Q的倍数定义如下： 在Q点做椭圆曲线的一条切线， 设切线与椭圆曲线交于点S，定义2Q=Q+Q=-S。类似地可 定义3Q=Q+Q+Q+，…，等。 以上定义的加法具有加法运算的一般性质，如交换律、 结合律等。
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有限域
定义4.3.2 有限个元素构成的域称为有限域．域中元素 的个数称为有限域的阶． 例：当p是素数时，模p剩余类集合 { 0 , 1 ,2 ,p 1 } 构成p阶有限域GF(p) ，这也是最简单的一种有限域．
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有限域
定义4.3.3 设G是群，a是G中的一个元素，如果存在正 整数m，使得am=1，则称a是有限阶的元素，把最小的满 足am=1 的正整数m叫做元素a的阶，用|a|表示。
正是由于椭圆曲线具有丰富的群结构和多选择性，并可在保持和
RSA/DSA体制同样安全性能的前提下大大缩短密钥长度（目前160比特 足以保证安全性），因而在密码领域有着广阔的应用前景。表4.9给出
了椭圆曲线密码体制和RSA/DSA体制在保持同等安全的条件下各自所
需的密钥的长度。
域
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有限域上的椭圆曲线
有限域上的椭圆曲线
密码中普遍采用的是有限域上的椭圆曲线，有限域上 的椭圆曲线是指曲线方程定义式(4.1)中，所有系数都是某 一有限域GF(p)中的元素（其中p为一大素数）。其中最为 常用的是由方程 p) p)≠0) (4.2)
y2≡x3+ax+b(mod
(a,b∈GF(p),4a3+27b2(mod 定义的曲线。
物联网感知层安全
课前回顾
3 物联网感知层安全 3.1物联网感知层安全概述 3.2RFID安全 RFID安全密码协议
本次课学习内容
3.2RFID安全 轻量级密码算法 1 椭圆曲线密码算法 2 RC4算法 3 Present算法 4 SM3算法 国家商用密码算法简介
椭圆曲线
椭圆曲线上的加法运算定义如下： 如果其上的3个点位于同 一直线上，那么它们的和为O。
进一步可如下定义椭圆曲线上的加法律（加法法则）：
①
②
O为加法单位元，即对椭圆曲线上任一点P，有P+O=P。
设P1=(x,y)是椭圆曲线上的一点, 它的加法逆元定义为P2=P1=(x, -y)。 这是因为P1、P2的连线延长到无穷远时，得到椭圆曲线上的 另一点O，即椭圆曲线上的3点P1、P2，O共线，所以 P1+P2+O=O，P1+P2=O，即P2=-P1。 由O+O=O，还可得O=-O
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轻量级密码算法——ECC
ECC特别适用于诸如以下实现中：
无线Modem的实现； web服务器的实现；
集成电路卡的实现；
……
轻量级密码算法——ECC
安全性高，其安全性依赖于椭圆曲线上的离散 对数困难问题；
运算速度快； 便于软硬件实现。
轻量级密码算法——ECC
2019/2/4
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有限域上的椭圆曲线
有限域上的椭圆曲线
p=23，a=b=1，4a3+27b2(mod 23)≡8≠0 ，方程 (4.2)为y2≡x3+x+1，其图形是连续曲线，由图4.4(b)所示。 然而我们感兴趣的是曲线在第一象限中的整数点。设 Ep(a,b)表示方程(4.2)所定义的椭圆曲线上的点集 {(x,y)|0≤x<p,0≤y<p，且x,y均为整数}并上无穷远点O。本例 中E23(1,1)由表4.6给出，表中未给出O
轻量级密码算法——ECC
椭圆曲线密码体制
为保证RSA算法的安全性，它的密钥长度需一 再增大，使得它的运算负担越来越大。相比之下， 椭圆曲线密码体制ECC（elliptic curve cryptography）可用短得多的密钥获得同样的安全 性，因此具有广泛的应用前景。ECC已被IEEE公 钥密码标准P1363采用。
定义4.3.1 若代数系统<F, +, •>的二元运算满足: 1） <F, +>是交换群； 2） <F-{0}, •> 是交换群,其中0是+运算的单位元； 3）乘法在加法+运算上满足分配律，即对于任意a，b， cF，有 a• (b+c) = a•b+a•c和(b+c) •a=b•a+c•a； 则称F为一个域．
例4.12
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有限域上的椭圆曲线
有限域上的椭圆曲线
一般来说，Ep(a,b)由以下方式产生：
① 对每一x(0≤x<p且x为整数），计算 x3+ax+b(mod p)。
②
决定①中求得的值在模p下是否有平方根， 如果没有，则曲线上没有与这一x相对应的点；如 果有，则求出两个平方根（y=0 时只有一个平方 根）。