专题07 静电场模型-高考物理模型系列之对象模型

模型界定
本模型主要归纳电场的产生、描述以及一种特殊电场＿＿匀强电场的性质，不涉及点电荷的电场．
模型破解
1.静电场的产生
静电场产生于带电体的周围．
2.静电场的基本性质
对放入其中的电荷产生力的作用
3.静电场的描述
(i)电场的力的性质
(I)电场强度
放入电场中某点的电荷所受的电场力与所带电荷量的比值，E=F/q．
电场强度是矢量，方向与放在该处的正电荷受力方向相同．
当空间几个带电体同时存在时，他们的电场互相叠加形成合电场．合电场的电场强度等于各个带电体单独存在时所产生的电场强度的适量和．
电场强度是绝对的，在场源电荷确定的情况下，空间每点场强的大小与方向都是唯一确定的．
④与电场力的关系：F=qE
(II)电场线
为了形象地描述电场，人为地在电场中画出一系列从正电荷（无限远）出发到无限远（负电荷）终止的曲线（或直线），使曲线上每一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致．
①电场线是起始于正电荷，终止于负电荷（或终止于无穷远处），或者电场线是起始于无穷远处，终止于负电荷.电场线不闭合.
②电场线上任一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致.
③电场线分布的疏密反映了电场的强弱，电场线分布密的地方电场强，电场线分布疏的地方电场弱.
④电场线永远不相交，因为电场中某一点的电场强度只有惟一确定的方向，只能有一条电场线通过该点.
⑤电场线不是客观存在的，它是为了形象地描述电场而假想的.
６电场线不是带电粒子的运动轨迹．一般情况下，带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只○
受电场力的带电粒子，只有同时满足以下两个条件时，两者才会重合：一是电场线为直线；二是电荷初速度为零，或速度方向与电场线平行．
(III)计算电场强度的四种方法
(a)计算电场强度的常用方法——公式法
E=F/q是电场强度的定义式：适用于任何电场，电场中某点的场强是确定值，其大小和方向与试探电荷无关，试探电荷q充当“测量工具”的作用.
E=kQ/r2是真空中点电荷电场场强的计算式，E由场源电荷Q和某点到场源电荷的距离r决定.
E=U/d是场强与电势差的关系式，只适用于匀强电场，注意式中的d为两点间的距离在场强方向的投影.
(b)计算多个电荷形成的电场场强的方法——叠加法
当空间的电场由几个点电荷共同激发的时候，空间某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和，其合成遵守矢量合成的平行四边形定则.
(c)计算特殊带电体产生场强的方法
补偿法
对于某些物理问题，当待求的A直接去解很困难或没有条件求解时，可设法补上一个B，补偿的原则是使A+B成为一个完整的模型，从而使A+B变得易于求解，而且，补上去的B也必须容易求解.那样，待求的A 便可从两者的差值中获得，问题就迎刃而解了，这就是解物理题时常用的补偿法.用这个方法可算出一些特殊的带电体所产生的电场强度.
微元法
在某些问题中，场源带电体的形状特殊，不能直接求解场源在空间某点所产生的总电场.可将场源带电体分割，在高中阶段，这类问题中分割后的微元常有部分微元关于待求点对称，就可以利用场的叠加及对称性来解题.
(d)计算感应电荷产生场强的有效方法——静电平衡法
根据静电平衡时导体内部场强处处为零的特点，外部场强与感应电荷产生的场强（附加电场）的合场强为零，可知E感=-E外，这样就可以把复杂问题变简单了.
(IV)E-x图象
在给定了电场的E-x图象后，可以由图线确定场强的变化情况，电势的变化情况，图中E-x图线与x轴所围图形面积表示电势差.在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况.
在这类题目中，还可以由E-x 图象假设某一种符合E-x 图线的电场，利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题.
(ii)电场的能的性质 (I)电势
电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，q /εϕ=.
电势是标量，无方向，但有正负.
当空间存在多个场源或存在多种电场时，空间某一点的电势等于各场单独存在时在该点产生的电势的代数和.
电场中两点间电势的差值叫做电势差，也叫电压.B A AB
U ϕϕ-=，A B BA U ϕϕ-=，
AB BA U U -=.
④电势是相对的，与零电势点位置的选取有关．
电势差是绝对的，只取决于电场本身与两点在电场中的位置． ⑤电势能与电势的关系：ϕε
q =
电场力做功与电势差的关系：AB AB qU W =
(II)等势面
电场中电势相等的点组成的面
等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直. 在同一等势面上移动电荷时电场力不做功. 电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面. ④任意两个等势面都不会相交.
⑤等差等势面越密的地方电场强度越大，即等势面分布的疏密可以描述电场的强弱. (III)比较电势高低的几种方法 利用电场线
沿电场线方向，电势越来越低. 利用电势差
判断出U AB 的正负，再由B A AB
U ϕϕ-=比较A ϕ、B ϕ的大小．
利用点电荷电场中电势分布
取无穷远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷近处电势高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷近处电势低. ④利用电势叠加
若有多个场源时，每个场源产生的电场中的电势已知或易于判定，可先将每个电场的电势先判定后叠加从而得到总电势. ⑤利用电场力做功情况
正电荷在电场力作用下移动时，电场力做正功，电荷由高电势处移向低电势处；正电荷克服电场力做功，电荷由低电势处移向高电势处.对于负电荷，情况正好相反. ⑥利用电势能
正电荷在电势高处电势能较大；负电荷在电势低处电势能较大. (IV)x -ϕ
图象
在电场的x -ϕ
图象中，除了可以直接从图中了解各点电势大小及变化情况，还可以从图线的斜率上了
解各点场强的大小及方向. 当x -ϕ
图象与粒子运动相结合时，可以涉及到的方面有粒子电性、电势能、电场力做功、动能、速度、
加速度等.
与E-x 图象类似，也可以由φ-x 图线的特征先假设是某一具有相同x -ϕ变化规律的电场，进而解决问
题.
(iii)场强与电势的关系
场强是描述电场的力的性质的物理量，数值上等于单位正电荷在该处受到的电场力.它是一个矢量.电势是描述电场的能的性质的物理量，数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能，它是一个标量.二者的大小之间无直接的联系，在一个确定的电场中，某一点的场强是确定的，但该点的电势却与零势面的选取有关系：在场强为零的位置电势可以不为零，如两等量同性点电荷连线的中点处，静电平衡状态下的导体内部等；在电势为零的位置场强也可以不为零.如等量异种点电荷连线的中垂面上各点.
严格说来，由x
d d U E ∆∆=
-==ϕ
ϕϕ12知场强是电势随空间的最大变化率，类似于加速度与速度的关系.当场强为零时，该点电势的变化率为零，若在某一区域内场强处处为零，则该区域内电势的变化率处处为零，即各点电势都相等；若空间某区域场强处处相同，则该区域内各点电势变化率相同，即沿任一方
向上电势随距离都是均匀变化的，即同一方向上相同距离的点间电势差相同，只是在不同方向上电势变化率不同，沿场强所在方向上电势变化率最大.电势变化最快.
例1.关于静电场，下列结论普遍成立的是（）
A电场强度大的地方电势高，电场强度小的地方电势低
B电场中任意两点之间的电势差只与这两点的场强有关
C在正电荷或负电荷产生的静电场中，场强方向都指向电势降低最快的方向
D将正点电荷从场强为零的一点移动到场强为零的另一点，电场力做功为零
【★答案★】C
例２.图为静电除尘器除尘机理的示意图。

尘埃在电场中通过某种机制带电，在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的。

下列表述正确的是
A.到达集尘极的尘埃带正电荷
B.电场方向由集尘极指向放电极
C.带电尘埃所受电场力的方向与电场方向相同
D.同一位置带电荷量越多的尘埃所受电场力越大
【★答案★】 BD
【解析】：放电极发出的电子在向集尘极运动过程中被尘埃吸附使尘埃带负电，受力与电场方向相反，AC 错误。

尘埃向集尘极迁移说明电场力方向指向集尘极，则场强方向由集尘极指向放电极，Ｂ正确．由F=Eq 知D正确。

例３.在静电场中，将一正电荷从a点移到b点，电场力做了负功，则
A ．b 点的电场强度一定比a 点大
B ．电场线方向一定从b 指向a
C ．b 点的电势一定比a 点高
D ．该电荷的动能一定减小 【★答案★】C
例５.空间有一沿x 轴对称分布的电场，其电场强度E 随X 变化的图像如图所示。

下列说法正确的是
（A ）O 点的电势最低 （B ）X 2点的电势最高 （C ）X 1和- X 1两点的电势相等 （D ）X 1和X 3两点的电势相等 【★答案★】 C
【解析】：解法一：电势差与电场强度的关系为U=Ed ，此表达式适用于匀强电场，图中为非匀强电场的场强E 与坐标x 的关系图像，当取一段极短长度Δx 时，可认为Δx 长度内的电场为匀强电场，因此图像所包围的面积表示电势差.图中从O 点沿+x 轴方向，场强为正值，位移为正值，所以图线与x 轴包围的面积表示的电势差为正，表示沿+x 轴方向的电势逐渐降低，即O 点电势依次大于x1点、x2点、x3点的电势，A 、B 、D 错误.而图中沿-x 轴方向，场强为负值、位移为负值，所以图线与x 轴包围的面积表示的电势差也为正，即沿-x 轴方向的电势也逐渐降低.因从-x1点移到x1点，E-x 图线在O 点两侧所包围的面积相等，表示这两点间的电势差为零，所以-x1和x1两点电势相等，C 正确.
解法二：此电场的分布类似于等量同种正点电荷连线的中垂线上的电场情况，故可按此电场来分析. 在连线的中垂线上，从中点向外电势降低，中点是中垂线上电势的最高点，所以ABD 错误.所有关于中点对称的点电势都相等，故C 正确
例６.空间某一静电场的电势 在x 轴上分布如图所示，x 轴上两点B 、C 点电场强度在x 方向上的分量分别是Bx E 、Cx E ，下列说法中正确的有
A ．Bx E 的大小大于Cx E 的大小
B ．Bx E 的方向沿x 轴正方向
C ．电荷在O 点受到的电场力在x 方向上的分量最大
D ．负电荷沿x 轴从B 移到C 的过程中，电场力先做正功，后做负功 【★答案★】 AD
例７.如图所示，均匀带电圆环的带电荷量为+Q ，半径为R ，圆心为O ，P 为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP=L ，P 点的场强为多少？
【★答案★】
【解析】：本题可采用微元法，即在圆环上取一小段△l ，设圆环上电荷的分布密度为ρ，则该小段的带电量△q=ρ×△l ，
在P 点产生的场强：E= k △q/r 2
而：r 2
=R 2
+L 2
，
P 点处的场强又可分解为：
,
因为圆环上电荷分布具有对称性，所以Y轴方向的合电场为0。

则P点的场强为：。

模型演练
1.如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB=BC,电场中的A、B、C三点的场强分别为E A、E B、
E C ，电势分别为ΦA、ΦB、φC，AB、BC间的电势差分别为U AB、U BC,则下列关系中正确的有
(A)ΦA＞ΦB＞φC (B) E C＞E B＞E A
(C) U AB＜U BC(D) U AB=U BC
【★答案★】 ABC
３.两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，正确描述电势 随位置x变化规律的是图
【★答案★】 A
【解析】：两个等量异号电荷的电场线如下图，
根据“沿电场线方向电势降低”的原理，从左侧无穷远处向右电势应升高，正电荷所在位置处最高；然后再慢慢减小，O点处电势为零，则O 点右侧电势为负，同理到达负电荷时电势最小，经过负电荷后，电势开始升高，直到无穷远处，电势为零；故A正确．
４.两带电量分别为q和－q的点电荷放在x轴上，相距为L，能正确反映两电荷连线上场强大小E与x 关系的是图（）
【★答案★】 A
4.匀强电场
场中各点电场强度的大小都相等，方向都相同的电场．
(i)场源
相距很近，带有等量异种电荷的一对平行金属板之间的电场，除边缘部分外，可以看做匀强电场.
(ii)电场线特点
匀强电场的电场线是间隔相等的平行线.
(iii)等势面特点
相互平行、等差等势面间距相等的平面
(iv)场强与电势差的关系
α
cos
l
U
d
U
E AB
AB=
=，其中ｄ为AB间沿场强方向上的距离，ɑ为AB连线与电场线间夹角．
α
cos
l
U
d
U
E AB
AB=
=只能用来在匀强电场中进行定量计算，在非匀强电场中E是电势随空间的变化率，
由
d
U
E AB
=得到的是AB间各点场强的平均值．
(v)匀强电场中三个推论
匀强电场中相互平行的直线上（包括同一直线）距离相等的点电势差相同.
E E E E
q －q q －q q －q q －q
O L x O L x O L x O L x
（A）（B）（C）（D）
匀强电场中相互平行的直线上，若AB 两点间距离l AB 是CD 两点间距离l CD 的n 倍，则AB 两点间电势差U AB 是CD 间电势差的n 倍，即：当l AB =nl CD 时，U AB =nU CD .
在匀强电场中同一直线上，若B 是A 、C 的中点，则B 点电势等于A 、C 两点电势的算术平均值，即：
2
B
A B ϕϕϕ+=
.
(v i)“等分法”确定匀强电场的方向
在匀强电场中，沿任一方向上电势均匀变化，相等长度上电势差相等.因此在已知电场中三点的电势时，可将电势差最大的两点连线均分，总可以找到一点，该点电势与第三点的电势相等，连结该点与第三点就得到一条等势线，从而可以确定了电场的方向.
此外也可以将电势差最小的两点连线延长，在连线的延长线上可以找与第三点的等势点，进而确定等势线、电场方向.
例８．如图所示，a 、b 、c 为电场中同一条水平电场线上的三点，c 为a 、b 的中点，a 、b 两点的电势分别为V 5=a ϕ，V 3=
b ϕ，则下列叙述正确的是
A ．c 点的电势一定为4 V
B ．a 点处的场强E a 一定大于b 点处的场强E b
C ．正电荷从c 点移动到b 点电势能一定减少
D ．负电荷在c 点受到的电场力的方向由c 指向b 【★答案★】 C
例９.图空间有一匀强电场，在电场中建立如图所示的直角坐标系O-xyz ，M 、N 、P 为电场中的三个点，M 点的坐标为（0，a ，0），N 点的坐标为（a ，0，0），P 点的坐标为a,a/2,a/2.已知电场方向平行于直线MN ，M 点电势为0，N 点电势为1 V ，则P 点的电势为（）
例8题图
A 22 V
B 23 V
C 41 V
D 4
3 V 【★答案★】 D
【解析】：由题意可知匀强电场方向沿MN 直线且由N 指向M.过P 点作直线MN 的垂面，交点为Q ，则Q 与P 点等电势.所以Q
点电势V V a a V NQ E V 432
22111=⋅-=⋅-=ϕ，D 正确. 例10.如图所示，空间中存在着匀强电场，正方体ABCDEFGH 中A 、B 、C 、H 四点电势分别为A ϕ＝4V ，B ϕ＝6V ，C ϕ＝9V ，H ϕ＝5V ．则下面说法正确的是
A ．把1C 正电荷从
B 点经G 点移到H 点，电场力做功一定是2J
B ．G 点电势可能为6V
C ．A 、G 两点的电势差AG U 与
D 、F 两点的电势差DF U 一定相等
D ．电场强度方向一定与D 、G 两点的连线垂直
【★答案★】 D
模型演练 ６
a 、
b 、
c 、
d 是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a 点的电势为20V ，b 点的电势为25V ，d 点的电势、c 点的电势可能为（ ）
A ．4V 、9V
B ．8V 、12V
C ．12V 、15V
D ．16V 、22V
【★答案★】 A
７.a 、b 、c 是匀强电场中同一平面上的三个点，各点的电势分别为ψa ＝10V ，ψb ＝2V ，ψc ＝6V ，则在下列各示意图中能正确表示该电场强度方向的是
【★答案★】 B
a b c
a b
c a E b c E
a b c A B C D 練７图
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