广东省肇庆市高三数学毕业班第一次模拟考试试题 文(肇庆一模)新人教A版

数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体底面积，h 为锥体高. 一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}M =，{3,4,5}N =，则=)(N M C UA ．{2}B ．{1，2}C ．{1，2，4}D ．{1，3，4，5} 2．函数)1(log 4)(22-+-=x x x f 的定义域是A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞ 3．设i 为虚数单位，则复数34iz i-=在复平面内所对应的点位于 A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 4．下列函数中，在区间(,0)-∞上为减函数的是A ．()2xf x = B ．()|1|f x x =- C ．()cos f x x = D ．1()f x x x=+5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值是A ．2B ．6C ．24D ．1206．某几何体的三视图如图2所示（单位：cm ），则该几何体的体积是A ．5033cm B ．503cmC ．2533cm D ．253cm 7．已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++= 相切，则圆C 的方程是 A ．22(1)2x y ++= B ．22(1)8x y ++= C ．22(1)2x y -+= D ．22(1)8x y -+=8．在锐角ABC ∆中，AB =3，AC =4，其面积ABC S ∆=BC =A ．5BCD9．已知e 为自然对数的底数，设函数()xf x xe =，则A ．1是)(x f 的极小值点B ．1-是)(x f 的极小值点C ．1是)(x f 的极大值点D ．1-是)(x f 的极大值点10．设向量),(21a a =，),(21b b =，定义一种向量积：),(),(),(22112121b a b a b b a a b a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=m ，)0,6(π=n ，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足+⊗=（其中O 为坐标原点），则()y f x =在区间]3,6[ππ上的最大值是A． B．．2 D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．已知{}n a 是递增的等差数列，12a =，n S 为其前n 项和，若126,,a a a 成等比数列，则5S = ▲ . 12．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切线方程为 ▲ . 13．已知变量,x y 满足约束条件1,31x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若z kx y =+的最大值为5，则实数k = ▲ .（ ） ▲14．（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为2cos 2(1sin )x t y t =⎧⎨=-⎩（其中t 为参数，且02t π≤<），则曲线C 的极坐标方程为 ▲ .15．（几何证明选讲选做题）如图3，在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，BC AD ⊥，AE DE ⊥，D 、E 为垂足，若AE =4，BE =1， 则AC = ▲ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 都是锐角，a =6，b =5 ，21sin =B . （1） 求sin A 和cos C 的值；（2） 设函数)2sin()(A x x f +=，求)2(πf 的值.17．（本小题满分13分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？ 据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的 茎叶图如图4所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名 成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和 不小于154分的概率． 18．（本小题满分13分）如图5，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点， 点V 是圆O 所在平面外一点，D 是AC 的中点，已知2AB =，2VA VB VC ===.（1）求证：OD //平面VBC ； （2）求证：AC ⊥平面VOD ；（3）求棱锥C ABV -的体积. 19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上.（1）求1a ，2a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）若211++=n n n n a a a b ，求证数列}{n b 的前n 项和601<n T ． 20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两圆C 1与C 2的圆心的距离之和等于4，其中C 1：023222=+-+y y x ，C 2：033222=-++y y x . 设点P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．问k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？21．（本小题满分14分）设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.肇庆市2014届高中毕业班第一次模拟考试数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题11．70 12．24-=x y 13．1-=k 或21=k （对1个得3分，对2个得5分） 14．θρsin 4= 15．10三、解答题16．（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 3sin 5a B Ab ==. （3分）∵A 、B 是锐角，∴4cos 5A == ， （4分）cos B ==， （5分） 由()C A B π=-+ ，得(cos cos[]cos())C A B A B π-+==-+ （6分）cos cos sin sin A B A B =-+ （7分）431552=-+⨯=（8分）（2）由（1）知4cos 5A =， ∴2sin 2cos 22cos 122f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11分） 24721525⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭（12分）17．（本小题满分13分）解：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. （2分） 因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02， 12， 22， 32， 42，52，62，72，82，92. （4分） （2）这10名学生的平均成绩为：x =110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71， （6分） 故样本方差为：2110s =⨯（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52. （8分） （3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法： （73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. （10分）其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. （12分） 故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：710p = （13分）18．（本小题满分13分）证明：（1）∵ O 、D 分别是AB 和AC 的中点，∴OD//BC . （1分） 又OD ⊄面VBC ，⊂BC 面VBC ，∴OD //平面VBC . （3分） （2）∵VA =VB ，O 为AB 中点，∴VO AB ⊥. （4分） 连接OC ，在VOA ∆和VOC ∆中，,,OA OC VO VO VA VC ===,∴VOA ∆≌∆VOC ，∴VOA ∠=∠VOC =90︒， ∴VO OC ⊥. （5分） ∵ABOC O =, AB ⊂平面ABC , OC ⊂平面ABC , ∴VO ⊥平面ABC . （6分）∵AC ⊂平面ABC ，∴AC VO ⊥. （7分） 又∵VA VC =，D 是AC 的中点，∴AC VD ⊥. （8分） ∵VO ⊂平面VOD ，VD ⊂平面VOD ，VO VD V =，∴ AC ⊥平面DOV . （9分）（3）由（2）知VO 是棱锥V ABC -的高，且VO =. （10分） 又∵点C 是弧的中点，∴CO AB ⊥，且1,2CO AB ==， ∴三角形ABC 的面积1121122ABC S AB CO ∆=⋅=⨯⨯=， （11分）∴棱锥V ABC -的体积为111333V ABC ABC V S VO -∆=⋅=⨯=， （12分）故棱锥C ABV -. （13分）19．（本小题满分14分）解：（1）∵点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上，∴2*2()n S n n n N =+∈， （1分）∴113a S ==， （2分）又21222228a a S +==+⨯=，∴25a =. （4分）（2）由（1）知，2*2()n S n n n N =+∈，当2≥n 时，12 1.n n n a S S n -=-=+ （6分） 由（1）知，11231+⨯==a 满足上式， （7分） 所以数列}{n a 的通项公式为21n a n =+. （8分） （3）由（2）得])52)(32(1)32)(12(1[41)52)(32)(12(1++-++=+++=n n n n n n n b n（11分）n n b b b T +++= 21])52)(32(1)32)(12(1971751751531[41++-++++⨯-⨯+⨯-⨯=n n n n （12分） ])52)(32(1531[41++-⨯=n n （13分） 601)52)(32(41601<++-=n n . （14分） 20．（本小题满分14分）解：（1）由已知得两圆的圆心坐标分别为12(0,C C . （1分）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴长为2的椭圆． （2分）它的短半轴长1b ==， （3分）故曲线C 的方程为2214y x +=． （4分） （2）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， （5分）∵042≠+k ，222412(4)16(3)0k k k ∆=++=+>，∴1,2222(4)k x k -=+，故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． （6分） 又1)()1)(1(212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y （7分）于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． （8分） 令041422=++-k k ，得21±=k . （9分） 因为2121y y x x +=⋅，所以当21±=k 时，有0=⋅，即⊥. （10分） 当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-． （11分）(AB x == （12分）而22212112()()4x x x x x x -=+-23224124134171717⨯=+⨯=， （13分） 所以46517AB =． （14分）21．（本小题满分14分） 解：（1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：故函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（a ，+∞）；单调递减区间为（-1，a ）；（4分） 因此)(x f 在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数()f x 在区间(2,0)-内恰有两个零点，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ， （5分）解得103a <<， 所以a 的取值范围是（0，31）. （6分）（2）当a =1时，131)(3--=x x x f . 由（1）可知，函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；31)1()(-=-=f x f 极大值. （7分）①当t +3<-1，即t <-4时，因为)(x f 在区间[t ，t +3]上单调递增，所以)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值为583311)3()3(31)3()(233max +++=-+-+=+=t t t t t t f x f ； （9分）②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f .（10分） 由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，有[t ，t +3]⊂ (]2,∞-，-1∈[t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(max -=-=f x f ； （11分）③当t +3>2，即t >-1时，由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间（1，+∞）上单调递增，所以)2()3(f t f >+，故)(x f 在[],3t t +上的最大值为58331)3()(23max +++=+=t t t t f x f . （13分）综上所述，当a =1时，)(x f 在[t ，t +3]上的最大值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23maxt t t t t t x f 或. （14分）。