高二数学 正态分布

例3:分别求正态总体N , 2 在区间:
, 、 2 , 2 、 3 , 3 、
内取值的概率.
解：同理，正态总体 N , 2 在区间: 2 , 2 、
内取值的概率是：
F 2 F 2 2 2 0.954
正态总体N , 2 在区间: 3 , 3 、
看表：表中，相应于 x0 的值( 取值小于 x0的概率，即：
x0
)
是指总体
x0 Px x0 ,
如图中，左边阴影部分：
由于标准正态曲线关于y 轴对称，表中
仅给出了对应与非负值 x0 的值x0 。
如果 x0 0，那么由下图中两个阴影部
分面积相等Biblioteka Baidu：
x0 1 x0 .
利用这个表，可求出标准正态总体在任
且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线，
向它无限靠近。
④当一定时，曲线的形状由 确定。 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小,曲线越“瘦高”，表示 总体的分布越集中；
（4）标准正态分布表
由于标准正态总体 N0,1在正态总体的
研究中有非常重要的地位，已专门制作了
“标准正态分布表” 见p58。
1
e
x 2
2 2
,
x
,
①
2
式中的实数 、 0是参数，分别表
示总体的期望与标准差。 E , D 2;
（总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，常用样本标准差去估 计）
（2）正态分布与正态曲线
若总体密度曲线就是或近似地是函数：
f x
1
e
x 2
2 2
,
x
,
的图象，
2
则其分布叫正态分布，常记作：N , 2 。
f x 的图象称为正态曲线。
画出三条正态曲线：
(1) 1, 0.5; (2) 0, 1; (3) 1, 2;
正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
指出：
当 0, 1 时，正态总体称为标准正态总
体，相应的函数表达式是：f x
1
x2
e 2 ,xR
相应的曲线称为标准正态曲线。2
（3）正态曲线的性质
观察：
性质：
曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
曲线关于直线x 对称，且在x 时位于最高点； 当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降。并
且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线， 向它无限靠近。
性质：
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
②曲线关于直线 x 对称，且在 x 时位于最高点； ③当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降。并
一区间 x1, x2 内取值的概率。
公式：p x2 x1
即，可用如图的蓝色阴影部分表示。
例1：求标准正态总体在1,2 内取值的概率。
解：
利用等式 p
x2 x1,
有：
p 2 1
21 1
2 11
0.9772 0.84131
0.8185.
变形
（5）正态总体N , 2 ，在任一区间取值概率。
2.6 正态分布
一、复习
1、回顾样本的频率分布与总体分布的关系： 由于总体分布通常不易知道，我们往
往是用样本的频率分布（即频率分布直方 图）去估计总体分布。
一般样本容量越大。这种估计就越精确。
2、从上一节得出的100个产品尺寸的频率分 布直方图可以看出，当样本容量无限大，分 组的组距无限缩小时，这个频率直方图就会 无限接近于一条光滑曲线-----总体密度曲线。
解: F3 3 1 1 0.8413 .
2
例3:分别求正态总体N , 2 在区间:
, 、 2 , 2 、 3 , 3 、
内取值的概率.
解：
F
1
F
1
所以，正态总体 N , 2 在区间: , 、
内取值的概率是：
F F 1 1 211
2 0.84131 0.683;
在实际遇到的许多随机现象都服从或近 似服从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果；
在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
3、观察上节总体密度曲线的形状，有什么特 征？
而具有这种特征的总体密度曲线，一 般可用一个我们不很熟悉的函数来表示或 近似表示其解析式。
二、正态分布
（1）正态函数的定义
产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，
两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲
线，一般就是或近似地是以下面一个特殊函
数的图象：
f x
正态分布 N4, 0.25 ，质检人员从该厂生产的
1000件零件中随机抽查一件， 测得它的外直 径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合 格？
解： 由于服从正态分布 N4，0.25
由正态分布的性质知，
正态分布N 4，0.25在4 3×0.5, 4 3×0.5之外取值的
概率只有0.003， 而5.7 2.5, 5.5
以外取值的概率只有0.3 ％。 由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），
通常称这些情况发生为小概率事件。 即事件在一次试验中几乎不可能发生。
②介绍假设试验方法的基本思想
首先，假设总体应是或近似为正态总体；
然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验 中发生的原理对试验结果进行分析。
例4：某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从
内取值的概率是：
F 3 F 3 3 3 0.997.
上述计算结果可用下表和图来表示：
区间
,
2 , 2
3 , 3
取值概率
68.3 oo 95.4 oo 99.7 oo
（6）假设检验方法的基本思想； ①小概率事件的含义：
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件.
据此可认为该批零件是不合格的。
对于一般的正态总体N , 2 ，在任一区
间a,b 内的取值概率如何进行计算呢？可否
通过查正态分布表来求出它呢？
一般的正态总体N , 2 ，均可以化为标
准正态总体N0,1 来研究。
对任一正态总体N , 2 来说， 取值小
于 x 的概率：
F
x
x
.
例2：已知正态总体N(1,4) , 求取值小于3的
概率.