扭转变形相对扭转角

开h3T22π3RT02
3. 抗扭性能比较
开 闭
3
R060
闭
Tl
2GπR03
开G3Th3l2πR 3T 0Gl3
闭 开3 R0 2 1200
在抗扭性能方面，闭口薄壁杆远比开口薄壁杆好
例 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，
Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。 AC=? 校核轴的刚度
解：1. 变形分析
T 1M A 18 N m 0
ABG T1lpI1.5010-2rad
dx GIP
rad m ——单位长度的扭转角
2、刚度条件：
max

Tmax GIP


maxTGmPIax1800

m
3、刚度条件应用：
1)、校核刚度；max ≤
T
2)、设计截面尺寸:
Ip

max
G[ ]
3)、确定外荷载: TmaxGpI[]
m
非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究
非圆截面杆扭转的分类： 1、自由扭转（纯扭转）， 2、约束扭转。
自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。
约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。
矩形截面杆自由扭转时应力分布特点
12 0
系数 , , 与 h/b 有关，见教材之表4-2
狭窄矩形截面扭转
狭长矩形
( h10),
1
3
推广应用
h－中心线总长
当 h10时
max

3T
h 2


3Tl
Gh
3
例： T,G, A,l 均相同的两根轴，分别为圆截面和正方形截面。
试求：两者的最大扭转切应力与扭转变形，并进行比较。
T
故 120
b
n 0
故n0 max
h
1、 横截面上角点处，切应力为零
1
2、 横截面边缘各点处，切应力 // 截面周边
3、 横截面周边长边中点处，切应力最大
矩形截面杆自由扭转时应力计算 （弹性力学解）
长边中点 最大
maxW Tt hTb2
1 max
Tl Tl GIt Ghb3
解：1)圆截面 circular
d
a
c max

16T
d 3
,
c

32Tl
Gd 4
.
a
2)矩形截面 square
m s a x T a30.2T0a83,
s
Tl
Ga4
0.1T4la14.
3)、两者的比值：d 2 a2, a d .
4
2
m m cs aa x x 16 0.20a38(
2
d
dx 2

T2 GIp
故maxddxmax1G T1pI
因T1 T2
m a (x 8 1 9 P 0 0 1a N 8 1 m ) 5 0 1 0 (- 1 3 m 0 2 4 )1 .π 0 8 0 .4 ( 0 ) 3 /m []
T 2 M C 1N 4 m 0
BCG T2lpI1.1710-2rad
AC A BBC 1 1 .- 2 5 1 0 . 1 0 1 7 - 2 0 . 3 1 3 - 2 r 0 ad
2. 刚度校核
1

d
dx 1

T1 GIp
t0, d ( A d cA ) o c o s( d s sA ) i s n i 0 n
sin2 co2s
s2 i n ; c2 o s
分析：
1) max,min:
450 , max ;
45°
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
B d2
A M e1
M e2
C
M e3
解：1.外力
Me1
9550P1 n
9554000764N0m 500
160 Me240M 0e130N 6m 0
Me34 20 4M 0 0e145N 80 m
2.扭矩图
3.直径d1的选取 按强度条件
450 , min;
2) max :
0 , max ; 横截面上！
´
结论：
若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；
若材料抗拉压能力差，构件沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。
§4-7 矩形截面杆的自由扭转
常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆和薄壁杆件 圆杆扭转时—— 横截面保持为平面； 非圆杆扭转时——横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。
)30.73, 7c
2
s
320.14124
0.886.
结论：无论是扭转强度，还是扭转刚度，圆形截面比正方
形截面要好。
例 比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能， 设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
τ
闭

T 2R02δ
闭
Tl
2GπR03
闭

T
2πR02
2. 开口薄壁圆管
轴的刚度足够
例 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率N1=400kW， 从动轮B，C 分别输出功率N2=160kW，N3=240kW。已知 [τ]=70MPa， [ ]=1º/m ，G=80GPa。
(1)试确定AB 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
d1
B d2
A
C
M e1
M e2
M e3
max
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16T
d13

458N0m
764N0m
d131 π [T ]63π 1 7 6 7 0 1660 480 .2 2 1 3 0 m 8.2 2 mm
按刚度条件 m axG 3d T 214180
d2 76mm 5.选同一直径时
dd18.64mm
6.将主动轮装在两从 动轮之间
受力合理
d1
B d2
A
C
M e1
M e2
M e3

458N0m
764N0m
d1
A d2
B
C
M e2
M e1
M e3

306N0m

458N0m
§4-6 圆轴扭转破坏分析
低碳钢试件：沿横截面断开。
69.3103m69.3mm
d1
B d2
C
M e1
M e2
M e3

458N0m
764N0m
按刚度条件
d 24G 3 π T 2 2 1 []8 40 8 3 0 1 2 49 0 5 π 1 2 8 1 8 0 7 0 6 1 3 0 m 7m 6 m
二、 扭转杆的变形计算
1、扭转变形：（相对扭转角）
d T 扭转变形与内力计算式
dx GI P
d T dx
GIP
T dx
L GIP
扭矩不变的等直轴
Tl GI p
扭转角单位：弧度（rad）
各段扭矩为不同值的阶梯轴
Tili GI pi
GIP——抗扭刚度。
d T
d 1 4G 3 π T 2 2 1 []8 40 8 3 1 0 2 79 0 6 π 1 2 4 1 8 0 80 .4 6 1 3 0 m 8.4 m 6 m
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A
d2
3

16T
π[]
3

164580 π70106
材料抗剪切能力差，构 件沿横截面因切应力而发生 破坏(塑性材料）；
铸铁试件：
沿与轴线约成45的螺旋 线断开。
材料抗拉能力差， 构件沿45斜截面因拉 应力而破坏（脆性材 料）。
´ e
n


x 设：ef 边的面积为 dA 则
b ´f t
eb 边的面积为dAcosα ef 边的面积为dAsinα
n0, dA (dcAo)ssin(dsAin)cos0