工程结构抗震设计第三章..
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k
第四节 多自由度弹性体系的地震反应
一、多自由度体系
mn kn
mi ki
m2
k2 k1 m1
（ a）
（ b）
多质点体系
二、多自由度体系的运动方程
先讨论两个自由度的体系。
m2 m2 x2(t) m2 x1(t) m1 D 1 S1 m1 I1
k2
m1 m1 k1
（ a）
xg(t) （ b）
（c）
取质点m1为隔离体 1 g ) I1 m1 ( x x 惯性力 弹性恢复力 S1 = ( k11 x1+ k12 x2) 阻尼力 1 c12 x 2 ) D1 (c11 x
工程结构抗震设计
第三章 结构地震反应分析与抗震验算
第一节
一、地震反应
二、影响地震反应的因素
1．地震地面运动特性 地震地面运动的三要素：
概 述
地震在结构中引起的振动，包括内力、变形和位移。
（1）地震动强度：地面运动加速度峰值大小
（2）地震动频谱特征：地震波主要周期
（3）地震动持续时间：
2．建筑结构动力特性 （1）自振周期：质量、刚度 （2）阻尼：
Tg 5Tg 6.0 T(s)
0 0.1
地震影响系数 谱曲线
（1）0<T<0.1s， 上升直线段： =[0.45+(1024.5)T]max （2）0.1sT Tg，水平直线段： =2 max （3）Tg<T<5Tg，
Tg 下降曲线段： T 2 max
由动量定理：冲量等于动量的增量
Pdt=mv mv0
若假设体系初始处于静止状态，v0=0，则
v=Pdt / m
0 Pdt / m 当x0=0和 x
t
g t x
x(t ) e
Pdt sin t m
xt t t d
2．杜哈默积分
dx( t ) e
自振周期
T 2 m k
自振周期与结构自身的质量和刚度有关：
m↗，T↗； k↗，T↘。
四、强迫振动
1．瞬时冲量及其引起的自由振动 瞬时冲量：质点上荷载P 作用时间dt
Pt
P t dt
g t x
xt
t d
xt
t
t
（a） 瞬时冲量及其引起的自由振动
t-
（b） 地震作用下的质点位移分析
=0
0.05 0.2 t
x0
单自由度体系自由振动曲线
a. 无阻尼 振幅始终不变 b. 有阻尼 振动逐渐衰减 越大振幅衰 减越快
2．自振周期与自振频率
（1）无阻尼 周期 频率 圆频率 （2）有阻尼 周期
T= 2
T 2 2 m k
f =1 T
=2 T =2 f
3 2 1 0 硬土 岩石 1 软土 Sa(m/s2) 4 M-里氏震级 R-震中距 M=7.75 R=80km M=6.75 R=30km M=5.75 R=16km
2
2
3
4
T(s)
0
1
2
3
4
T(s)
（a）场地条件的影响
（b）震中距的影响
各种因素对反应谱的影响
4.0 3.0 2.0
1.0 T(s)
Tg 0.5
1.0
1.5
2.0
反应谱曲线
场地的特征周期Tg：对应于反应谱曲线峰值的周期
地面振动的卓越周期：即自振周期，与Tg相符 当结构的自振周期与场地的卓越周期相等或接近时， 产生类共振现象。
四、设计反应谱
1．《抗震规范》采用 Sa/g与体系自振周期 T之间的 关系作为设计反应谱。 地震影响系数 地震作用
( t )
g d x 瞬时冲量：
g ( ) x
sin ( t )d
t- 地震作用下的质点位移分析
g d ， m=1， tt- Pdt x
t x(t ) 0 dxt
1 t g ( )e ( t ) sin (t )d x 0
k g (t ) x g
max
k仅与烈度有关。烈度每增加一度，k值增加一倍。
2．动力系数
Sa g (t ) x max
是质点最大反应加速度比地面最大加速度放大的倍数。 把Sa代入上式
2 1 t g ( )e | 0 x T g (t ) x max
注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取0.15g和0.30g 的地区。
3．抗震设计应用 （1）计算结构自振周期T （2）根据场地类别与设计地震分组确定特征周期Tg （3）由烈度确定水平地震影响系数 （4）计算地震作用 F=G
练习
1．一单自由度体系，层间刚度k=8106 kN/m，质点
质量 m=3200t ，体系阻尼比 =0.05 ，建筑场地为 II
对一般结构，阻尼较小（即1），通解：
x(t ) e t ( A cos t B sin t )
式中
1 2
A、B——待定常数，由运动初始状态确定。
若t =0时，体系初始位移为x(0)，
( 0) 初始速度为 x
A x ( 0)
(0) x(0) x B
质点最大绝对加速度
Sa a t max 2 t g e x 0 T
2 t T
2 t d sin T
max
水平地震作用的绝对最大值为
F=mSa
二、地震反应谱 地震反应谱：单自由度弹性体系地震反应与其自振 周期的关系曲线。
Sa与T 的关系曲线称加速度反应谱。
弹性恢复力： 阻尼力：
S k x t t D c x
根据达朗伯尔原理，则 或
g (t ) (t )] c x (t ) k x(t ) 0 m[ x x (t ) cx (t ) kx(t ) m g (t ) m x x
计算流程：
1．给定 g ，0，Ti x
2．计算at
3．确定Sa= atmax
4．绘制坐标点SaTn，0，Ti 5．设定新的Ti值，重复步骤2~4。
加速度反应谱计算示意图
3 2 1 0 0
S a (g )
=0
0.05 0.10 T (s ) 1 2 3 4
二自由度体系
由达朗贝尔原理，可得质点运动方程
1 c11 x 1 c12 x 2 k11 x1 k12 x2 m1 g m1 x x
上式就是地震作用下质点的运动微分方程。 简化
(t ) 2 x (t ) 2 x(t ) g (t ) x x
式中
k m
c c 2m 2 km
常系数二阶非齐次微分方程，全解=齐次解+特解。
三、自由振动
1．自由振动方程
(t ) 2 x (t ) 2 x(t ) 0 x
式中为杆件的柔度。惯性力可理解为一种反应地震 影响的等效荷载。将动力问题转变为静力问题。
质点绝对加速度
k a t x g t x t xt 2 xt m
将地震反应xt的表达式代入
t g e t sin t d at 0 x
类，设计地震分组第一组，设防烈度 8 度，设计 基本地震加速度为0.2g，求多遇地震作用。 2．其他条件同第1题，层间刚度改为k=8104 kN/m， 求多遇地震作用。
3．其他条件同第2题，设计地震分组改为第二组，
求多遇地震作用。
作业题
3.1 某单自由度体系如图所示，集中于屋盖的 重力荷载代表值为G=2800kN，柱抗侧刚度系 数k=4.0104kN/m，结构阻尼比=0.03，II类建 筑场地，设计地震分组为第一组，设防烈度 7 度，设计基本地震加速度为 0.15g 。求厂房 在多遇地震时水平地震作用。 G
上式就是非齐次微分方程的特解
称为杜哈默（Duhamel）积分。
五、基本运动方程的全解
0 x 0 x x( t ) e sin t x 0 cos t 1 t g ( )e ( t ) sin ( t )d 0 x
圆频率
比较
1 2
< ， T > T
（3）阻尼比
临界阻尼比：=1时， = 0，结构不发生振动 临界阻尼系数：
c c r 2m 2 km
阻尼比：结构的阻尼系数与其临界阻尼系数之比
=c/2 m= c/cr
（4）在实际结构中，=0.01~0.1，可近似取 = 即忽略阻尼的影响。
2 ( t ) T
sin
2 ( t )d | max T
与T之间的曲线为谱曲线。
3．标准反应谱 定义：对大量地震反应谱曲线进行分析、统计求出的 具有代表性的平均反应谱曲线，来作为设计的依据。 形状：取决于场地条件、震级、震中距等。
一般，场地越软，震中距越远，曲线的峰值越向右移， 即偏于长周期。
= Sa/g=k
F = mSa= m g=G
实质上是作用在单质点弹性体系上的地震作用
与结构重力量之比。
2．《抗震规范》给出的设计反应谱，由四部分组 成
2max
Tg T
2 max
0.45max
2 0.2 1 T 5Tg max
2．单自由度体系 单质点体系只作单向振动时，就形成一个单自由 度体系。
单质点体系
二、运动方程
地基水平运动时单质点弹性体系运动方程的推导。 x(t) g t m x
m D S xg(t) （a） （ b） I
地面位移引起的运动
取质点m作为隔离体 g t t ] I m [ x x 惯性力：
三、地震反应的计算方法
1．拟静力法，或称等效荷载法 1）振型分解反应谱法 2）底部剪力法 2．直接动力法，又称时程分析法
第二节 单自由度弹性体系的地震反应分析
一、单自由度体系
1．单质点体系 动力分析时将结构全部质量集中于一点，用无重 量弹性杆支承的体系。
（a）单层房屋及其简化体系
（b）水塔及其简化体系
阻尼调整系数2
0.05 2 1 0.08 1.6
注意：1 0时，取0；2 0.55 时，取0.55。
《规范》规定，水平地震影响系数max如下表
设 防 烈 度 地震影响 多遇地震 罕遇地震 6度 0.04 0.28 7度 0.08（0.12） 0.50（0.72） 8度 0.16（0.24） 0.90（1.20） 9度 0.32 1.40
t
第三节
单自由度弹性体系的水平地震 作用及其反应谱
一、水平地震作用的基本公式
质点上的惯性力
g (t ) (t )) kxt cx t I (t ) m( x x
阻尼力相对于弹性恢复力是可忽略的微量，则
I(t)=k x(t)
或
x(t)=I(t)/k= I(t)
单自由度体系自由振动位移
x t e
t
0 x 0 x sin t x 0 cos t
当无阻尼，即=0，代入上式得无阻尼自由振动位移
xt x0 cos t
xt
0 x
sint
El Centroµ Ø Õ ð S a· ´ Ó ¦ Æ ×ú Ç Ï ß
由上图可见 (1) 谱值随阻尼比增加减小 (2) 谱值随周期增加先急剧增加，后逐渐减小
三、地震系数与动力系数
F mS a mg g t x g
max
g t x
Sa
Gk
max
1．地震系数k
2 0.2 1 T 5Tg max （4）5Tg<T<6.0s，下降直线段：
来自百度文库 当T >6.0s时，设计反应谱须另行专门研究决定。
曲线下降段的衰减指数
0.05 0.9 0.3 6
直线下降段的下降斜率调整系数1
1 0.02 0.05 (4 32 )
第四节 多自由度弹性体系的地震反应
一、多自由度体系
mn kn
mi ki
m2
k2 k1 m1
（ a）
（ b）
多质点体系
二、多自由度体系的运动方程
先讨论两个自由度的体系。
m2 m2 x2(t) m2 x1(t) m1 D 1 S1 m1 I1
k2
m1 m1 k1
（ a）
xg(t) （ b）
（c）
取质点m1为隔离体 1 g ) I1 m1 ( x x 惯性力 弹性恢复力 S1 = ( k11 x1+ k12 x2) 阻尼力 1 c12 x 2 ) D1 (c11 x
工程结构抗震设计
第三章 结构地震反应分析与抗震验算
第一节
一、地震反应
二、影响地震反应的因素
1．地震地面运动特性 地震地面运动的三要素：
概 述
地震在结构中引起的振动，包括内力、变形和位移。
（1）地震动强度：地面运动加速度峰值大小
（2）地震动频谱特征：地震波主要周期
（3）地震动持续时间：
2．建筑结构动力特性 （1）自振周期：质量、刚度 （2）阻尼：
Tg 5Tg 6.0 T(s)
0 0.1
地震影响系数 谱曲线
（1）0<T<0.1s， 上升直线段： =[0.45+(1024.5)T]max （2）0.1sT Tg，水平直线段： =2 max （3）Tg<T<5Tg，
Tg 下降曲线段： T 2 max
由动量定理：冲量等于动量的增量
Pdt=mv mv0
若假设体系初始处于静止状态，v0=0，则
v=Pdt / m
0 Pdt / m 当x0=0和 x
t
g t x
x(t ) e
Pdt sin t m
xt t t d
2．杜哈默积分
dx( t ) e
自振周期
T 2 m k
自振周期与结构自身的质量和刚度有关：
m↗，T↗； k↗，T↘。
四、强迫振动
1．瞬时冲量及其引起的自由振动 瞬时冲量：质点上荷载P 作用时间dt
Pt
P t dt
g t x
xt
t d
xt
t
t
（a） 瞬时冲量及其引起的自由振动
t-
（b） 地震作用下的质点位移分析
=0
0.05 0.2 t
x0
单自由度体系自由振动曲线
a. 无阻尼 振幅始终不变 b. 有阻尼 振动逐渐衰减 越大振幅衰 减越快
2．自振周期与自振频率
（1）无阻尼 周期 频率 圆频率 （2）有阻尼 周期
T= 2
T 2 2 m k
f =1 T
=2 T =2 f
3 2 1 0 硬土 岩石 1 软土 Sa(m/s2) 4 M-里氏震级 R-震中距 M=7.75 R=80km M=6.75 R=30km M=5.75 R=16km
2
2
3
4
T(s)
0
1
2
3
4
T(s)
（a）场地条件的影响
（b）震中距的影响
各种因素对反应谱的影响
4.0 3.0 2.0
1.0 T(s)
Tg 0.5
1.0
1.5
2.0
反应谱曲线
场地的特征周期Tg：对应于反应谱曲线峰值的周期
地面振动的卓越周期：即自振周期，与Tg相符 当结构的自振周期与场地的卓越周期相等或接近时， 产生类共振现象。
四、设计反应谱
1．《抗震规范》采用 Sa/g与体系自振周期 T之间的 关系作为设计反应谱。 地震影响系数 地震作用
( t )
g d x 瞬时冲量：
g ( ) x
sin ( t )d
t- 地震作用下的质点位移分析
g d ， m=1， tt- Pdt x
t x(t ) 0 dxt
1 t g ( )e ( t ) sin (t )d x 0
k g (t ) x g
max
k仅与烈度有关。烈度每增加一度，k值增加一倍。
2．动力系数
Sa g (t ) x max
是质点最大反应加速度比地面最大加速度放大的倍数。 把Sa代入上式
2 1 t g ( )e | 0 x T g (t ) x max
注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取0.15g和0.30g 的地区。
3．抗震设计应用 （1）计算结构自振周期T （2）根据场地类别与设计地震分组确定特征周期Tg （3）由烈度确定水平地震影响系数 （4）计算地震作用 F=G
练习
1．一单自由度体系，层间刚度k=8106 kN/m，质点
质量 m=3200t ，体系阻尼比 =0.05 ，建筑场地为 II
对一般结构，阻尼较小（即1），通解：
x(t ) e t ( A cos t B sin t )
式中
1 2
A、B——待定常数，由运动初始状态确定。
若t =0时，体系初始位移为x(0)，
( 0) 初始速度为 x
A x ( 0)
(0) x(0) x B
质点最大绝对加速度
Sa a t max 2 t g e x 0 T
2 t T
2 t d sin T
max
水平地震作用的绝对最大值为
F=mSa
二、地震反应谱 地震反应谱：单自由度弹性体系地震反应与其自振 周期的关系曲线。
Sa与T 的关系曲线称加速度反应谱。
弹性恢复力： 阻尼力：
S k x t t D c x
根据达朗伯尔原理，则 或
g (t ) (t )] c x (t ) k x(t ) 0 m[ x x (t ) cx (t ) kx(t ) m g (t ) m x x
计算流程：
1．给定 g ，0，Ti x
2．计算at
3．确定Sa= atmax
4．绘制坐标点SaTn，0，Ti 5．设定新的Ti值，重复步骤2~4。
加速度反应谱计算示意图
3 2 1 0 0
S a (g )
=0
0.05 0.10 T (s ) 1 2 3 4
二自由度体系
由达朗贝尔原理，可得质点运动方程
1 c11 x 1 c12 x 2 k11 x1 k12 x2 m1 g m1 x x
上式就是地震作用下质点的运动微分方程。 简化
(t ) 2 x (t ) 2 x(t ) g (t ) x x
式中
k m
c c 2m 2 km
常系数二阶非齐次微分方程，全解=齐次解+特解。
三、自由振动
1．自由振动方程
(t ) 2 x (t ) 2 x(t ) 0 x
式中为杆件的柔度。惯性力可理解为一种反应地震 影响的等效荷载。将动力问题转变为静力问题。
质点绝对加速度
k a t x g t x t xt 2 xt m
将地震反应xt的表达式代入
t g e t sin t d at 0 x
类，设计地震分组第一组，设防烈度 8 度，设计 基本地震加速度为0.2g，求多遇地震作用。 2．其他条件同第1题，层间刚度改为k=8104 kN/m， 求多遇地震作用。
3．其他条件同第2题，设计地震分组改为第二组，
求多遇地震作用。
作业题
3.1 某单自由度体系如图所示，集中于屋盖的 重力荷载代表值为G=2800kN，柱抗侧刚度系 数k=4.0104kN/m，结构阻尼比=0.03，II类建 筑场地，设计地震分组为第一组，设防烈度 7 度，设计基本地震加速度为 0.15g 。求厂房 在多遇地震时水平地震作用。 G
上式就是非齐次微分方程的特解
称为杜哈默（Duhamel）积分。
五、基本运动方程的全解
0 x 0 x x( t ) e sin t x 0 cos t 1 t g ( )e ( t ) sin ( t )d 0 x
圆频率
比较
1 2
< ， T > T
（3）阻尼比
临界阻尼比：=1时， = 0，结构不发生振动 临界阻尼系数：
c c r 2m 2 km
阻尼比：结构的阻尼系数与其临界阻尼系数之比
=c/2 m= c/cr
（4）在实际结构中，=0.01~0.1，可近似取 = 即忽略阻尼的影响。
2 ( t ) T
sin
2 ( t )d | max T
与T之间的曲线为谱曲线。
3．标准反应谱 定义：对大量地震反应谱曲线进行分析、统计求出的 具有代表性的平均反应谱曲线，来作为设计的依据。 形状：取决于场地条件、震级、震中距等。
一般，场地越软，震中距越远，曲线的峰值越向右移， 即偏于长周期。
= Sa/g=k
F = mSa= m g=G
实质上是作用在单质点弹性体系上的地震作用
与结构重力量之比。
2．《抗震规范》给出的设计反应谱，由四部分组 成
2max
Tg T
2 max
0.45max
2 0.2 1 T 5Tg max
2．单自由度体系 单质点体系只作单向振动时，就形成一个单自由 度体系。
单质点体系
二、运动方程
地基水平运动时单质点弹性体系运动方程的推导。 x(t) g t m x
m D S xg(t) （a） （ b） I
地面位移引起的运动
取质点m作为隔离体 g t t ] I m [ x x 惯性力：
三、地震反应的计算方法
1．拟静力法，或称等效荷载法 1）振型分解反应谱法 2）底部剪力法 2．直接动力法，又称时程分析法
第二节 单自由度弹性体系的地震反应分析
一、单自由度体系
1．单质点体系 动力分析时将结构全部质量集中于一点，用无重 量弹性杆支承的体系。
（a）单层房屋及其简化体系
（b）水塔及其简化体系
阻尼调整系数2
0.05 2 1 0.08 1.6
注意：1 0时，取0；2 0.55 时，取0.55。
《规范》规定，水平地震影响系数max如下表
设 防 烈 度 地震影响 多遇地震 罕遇地震 6度 0.04 0.28 7度 0.08（0.12） 0.50（0.72） 8度 0.16（0.24） 0.90（1.20） 9度 0.32 1.40
t
第三节
单自由度弹性体系的水平地震 作用及其反应谱
一、水平地震作用的基本公式
质点上的惯性力
g (t ) (t )) kxt cx t I (t ) m( x x
阻尼力相对于弹性恢复力是可忽略的微量，则
I(t)=k x(t)
或
x(t)=I(t)/k= I(t)
单自由度体系自由振动位移
x t e
t
0 x 0 x sin t x 0 cos t
当无阻尼，即=0，代入上式得无阻尼自由振动位移
xt x0 cos t
xt
0 x
sint
El Centroµ Ø Õ ð S a· ´ Ó ¦ Æ ×ú Ç Ï ß
由上图可见 (1) 谱值随阻尼比增加减小 (2) 谱值随周期增加先急剧增加，后逐渐减小
三、地震系数与动力系数
F mS a mg g t x g
max
g t x
Sa
Gk
max
1．地震系数k
2 0.2 1 T 5Tg max （4）5Tg<T<6.0s，下降直线段：
来自百度文库 当T >6.0s时，设计反应谱须另行专门研究决定。
曲线下降段的衰减指数
0.05 0.9 0.3 6
直线下降段的下降斜率调整系数1
1 0.02 0.05 (4 32 )