数字巴特沃斯滤波器的设计
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目录
第1章摘要 (2)
第2章巴特沃斯滤波器的设计 (2)
第3章脉冲响应不变法 (4)
第4章 MATLAB简介 (7)
4.1 MATLAB介绍 (7)
4.2 MATLAB命令介绍 (8)
第5章仿真过程及仿真图 (8)
5.1 仿真程序 (8)
5.2 仿真波形 (9)
第6章设计结论 (10)
第7章结束语 (10)
参考文献 (11)
第1章 摘要
随着科学技术的发展,信号处理理论和分析方法已应用于许多领域和学科中。本题目是设计一个脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。在对信号进行分析与处理时,信号中经常伴有噪声。根据有用信号和噪声的不同特征,消除或削弱干扰噪声.提取有用信号的过程称为滤波,实现滤波功能的系统称为滤波器。从本质上说,滤波就是改变信号中各频率分量的相对幅度和相位。根据性质分为模拟滤波器和数字滤波器。前者处理的是连续时间信号,后者处理的是离散时间信号。
模拟滤波器的理论和设计方法已发展的相当成熟,如巴特沃斯滤波器,切比雪夫滤波器,椭圆滤波器,贝塞尔滤波器等,这些滤波器都有严格的设计公式,现成的曲线和图表供设计人员使用。设计要求要设计一个巴特沃斯滤波器,在用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。
第2章 巴特沃斯滤波器的设计
2.1巴特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点
巴特沃斯模拟滤波器幅度平方函数的形式是
()N c N c a j j j H 222)/(11)/(11ΩΩ+=ΩΩ+=Ω (5-6)
式中N 为整数,是滤波器的阶次。Ω=0时,)(Ωj H a =1时;当Ω=c Ω时,
)(c a j H Ω=1/2 ,所以c Ω又称为3dB 截止频率。
2.2幅度平方函数的极点分布及)(s H a 的构成
将幅度平方函数2)(Ωj H a 写成s 的函数 N
c s j N c a a j s j j s H s H 22)/(11)/(11
)()(Ω+=ΩΩ+=-=Ω(5-7) 此式表明幅度平方函数有2N 个极点,极点k s 用下式表示 )21221(2)212(2/1*)()1(N k j c c j N k j c N k e e e j s +++Ω=Ω=Ω-=πππ k=0,1,2,……(5-8)
这2N 个极点分布在s 平面半径为c Ω的圆上,角度间隔是π/N 弧度。N=3时,极点间隔为π/3弧度或60度。极点对虚轴是对称的,且不会落在虚轴上。当N 是奇数时,实轴上有极点;当N 为偶数时,则实轴上没有极点。巴特沃斯滤波器的N 个极点为 1,1,0;)21221(-⋯⋯=Ω=++N k e s N k j c k ,π (5-9)
则)(s H a 的表达式即滤波器的系统函数为 ∏-=-Ω=10)
()(N k k N c
a s
s s H (5-10) 2.3频率归一化问题
式(5-10)即为所求滤波器的系统函数,可看出)(s H a 与c Ω有关,即使滤波器的幅度衰减特性相同,只要c Ω不同,)(s H a 就不一样。为使设计统一,可将所以的频率归一化。这里采用对3dB 截止频率c Ω归一化。
2.4设计步骤
总结以上讨论,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下:
1)根据技术指标p s p Ω,,αα和s Ω,用式(5-17)求出N 。
2)按照(5-13),求出归一化极点,代入(5-12),得到归一化传输函数。也可以直接查表.
3)将)(p H a 去归一化。将p=s/c Ω代入)(p H a ,得到实际的滤波器传输函数
)(s H a 。如果技术指标没有给出3dB 截止频率c Ω,可以按照式(5-18)或(5-19)求出。
第3章 脉冲响应不变法
3.1脉冲响应不变法的核心
核心是通过对连续函数)(t h a 等间隔采样得到离散序列)(nt h a ,使)()(nT h n h a =(其中T 为采样间隔),因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法,转换步骤如下
)()()()()(z h n h nT h t h s H z a a a −−→−=−−−→−−−−→−变换等间隔采样拉氏逆变换
设模拟滤波器)(s H a 只有单阶极点,且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次,将)(s H a 用部分分式表示,则
∑=-=N
i i i a s s A s H 1)( 式中,i s 为)(s H a 的单阶极点。将)(s H a 进行拉氏逆变换得到
)()(t u e A t h t s N i i
a i ∑=
式中,)(t u 单阶阶跃函数。对)(t h a 进行等间隔采样,采样间隔为T ,得到
∑===N i snT i
a nt u e A nT h n h 1)()()(
对上式进行Z 变换,得到数字滤波器的系统函数
∑=--=N
i sT i z e A z H 111)( 由这一转换过程看出,它对部分分式表达的模拟系统函数更为方便,对任一极点i s ,)(s H a 到)(z H 得转换可直接用下式来完成
11--→-z
e A s s A sT i i i 从上述可以看出
1)S 平面的单极点i s s =变换到z 平面上sT e z =处的单级点。 2))(s H a 与)(z H 的部分分式的系数是相同的,都是i A 。
3)如果模拟滤波器是稳定的,所有极点i s 位于s 平面的左半平面,及极点的实部小于零,则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内,即模小于1,因此数字滤波器也是稳定的。
3.2)(ωj e H 与)(Ωj H a 的关系
下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器,s 平面和z 平面之间的映射关系,从而找到这种转换方法的优缺点。这里以采样信号)(t h a 作为桥梁,推导其映射关系。