数字巴特沃斯滤波器的设计

目录第1章摘要 (2)第2章巴特沃斯滤波器的设计 (2)第3章脉冲响应不变法 (4)第4章 MATLAB简介 (7)4.1 MATLAB介绍 (7)4.2 MATLAB命令介绍 (8)第5章仿真过程及仿真图 (8)5.1 仿真程序 (8)5.2 仿真波形 (9)第6章设计结论 (10)第7章结束语 (10)参考文献 (11)第1章 摘要随着科学技术的发展，信号处理理论和分析方法已应用于许多领域和学科中。

本题目是设计一个脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。

在对信号进行分析与处理时，信号中经常伴有噪声。

根据有用信号和噪声的不同特征，消除或削弱干扰噪声.提取有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。

从本质上说，滤波就是改变信号中各频率分量的相对幅度和相位。

根据性质分为模拟滤波器和数字滤波器。

前者处理的是连续时间信号，后者处理的是离散时间信号。

模拟滤波器的理论和设计方法已发展的相当成熟，如巴特沃斯滤波器，切比雪夫滤波器，椭圆滤波器，贝塞尔滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用。

设计要求要设计一个巴特沃斯滤波器，在用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。

第2章 巴特沃斯滤波器的设计2.1巴特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点巴特沃斯模拟滤波器幅度平方函数的形式是()N c N c a j j j H 222)/(11)/(11ΩΩ+=ΩΩ+=Ω （5-6）式中N 为整数，是滤波器的阶次。

Ω=0时，)(Ωj H a =1时；当Ω=c Ω时，)(c a j H Ω=1/2 ，所以c Ω又称为3dB 截止频率。

2.2幅度平方函数的极点分布及)(s H a 的构成将幅度平方函数2)(Ωj H a 写成s 的函数 Nc s j N c a a j s j j s H s H 22)/(11)/(11)()(Ω+=ΩΩ+=-=Ω（5-7） 此式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点k s 用下式表示 )21221(2)212(2/1*)()1(N k j c c j N k j c N k e e e j s +++Ω=Ω=Ω-=πππ k=0,1,2，……（5-8）这2N 个极点分布在s 平面半径为c Ω的圆上，角度间隔是π/N 弧度。

N=3时，极点间隔为π/3弧度或60度。

极点对虚轴是对称的，且不会落在虚轴上。

当N 是奇数时，实轴上有极点；当N 为偶数时，则实轴上没有极点。

巴特沃斯滤波器的N 个极点为 1,1,0;)21221(-⋯⋯=Ω=++N k e s N k j c k ，π （5-9）则)(s H a 的表达式即滤波器的系统函数为 ∏-=-Ω=10)()(N k k N ca ss s H （5-10） 2.3频率归一化问题式（5-10）即为所求滤波器的系统函数，可看出)(s H a 与c Ω有关，即使滤波器的幅度衰减特性相同，只要c Ω不同，)(s H a 就不一样。

为使设计统一，可将所以的频率归一化。

这里采用对3dB 截止频率c Ω归一化。

2.4设计步骤总结以上讨论，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：1）根据技术指标p s p Ω,,αα和s Ω，用式（5-17）求出N 。

2）按照（5-13），求出归一化极点，代入（5-12），得到归一化传输函数。

也可以直接查表.3)将)(p H a 去归一化。

将p=s/c Ω代入)(p H a ，得到实际的滤波器传输函数)(s H a 。

如果技术指标没有给出3dB 截止频率c Ω，可以按照式（5-18）或（5-19）求出。

第3章 脉冲响应不变法3.1脉冲响应不变法的核心核心是通过对连续函数)(t h a 等间隔采样得到离散序列)(nt h a ，使)()(nT h n h a =（其中T 为采样间隔）,因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，转换步骤如下)()()()()(z h n h nT h t h s H z a a a −−→−=−−−→−−−−→−变换等间隔采样拉氏逆变换设模拟滤波器)(s H a 只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将)(s H a 用部分分式表示，则∑=-=Ni i i a s s A s H 1)( 式中，i s 为)(s H a 的单阶极点。

将)(s H a 进行拉氏逆变换得到)()(t u e A t h t s N i ia i ∑=式中，)(t u 单阶阶跃函数。

对)(t h a 进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到∑===N i snT ia nt u e A nT h n h 1)()()(对上式进行Z 变换，得到数字滤波器的系统函数∑=--=Ni sT i z e A z H 111)( 由这一转换过程看出，它对部分分式表达的模拟系统函数更为方便，对任一极点i s ，)(s H a 到)(z H 得转换可直接用下式来完成11--→-ze A s s A sT i i i 从上述可以看出1）S 平面的单极点i s s =变换到z 平面上sT e z =处的单级点。

2）)(s H a 与)(z H 的部分分式的系数是相同的，都是i A 。

3）如果模拟滤波器是稳定的，所有极点i s 位于s 平面的左半平面，及极点的实部小于零，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即模小于1，因此数字滤波器也是稳定的。

3.2)(ωj e H 与)(Ωj H a 的关系下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，s 平面和z 平面之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。

这里以采样信号)(t h a 作为桥梁，推导其映射关系。

将)(t h a 的采样信号用)(t h a 表示，)()()(ˆnT t t h t h n a a-=∑+∞-∞=δ 对)(t h a 进行拉式逆变换，得到 snT n a st n a st a a e nT h dt e nT t t h dt e t h s H --∞∞--∞∞-∑⎰∑⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==)()()(ˆ)(ˆ)(ˆδ 式中，)(nT h a 是)(t h a 在采样点t=nT 时的幅度值，它与序列的幅度相等，即)()(nT h n h a =，因此得到sT sT e z e z n n snT n az H z n h e n h s H ==--===∑∑)()()()(ˆ上式说明采样信号的拉氏变换与相应的Z 变换之间的映射关系为sTe z = (6-8)已知模拟信号)(t h a 的傅立叶变换)(Ωj H a 和其采样信号)(t h a 的傅立叶变换)(Ωj H a 之间的关系满足 ∑∞-∞=Ω-Ω=Ωk s a a jk j H T j H )(1)(（6-9） 其中，T s /2π=Ω，将s=j Ω带入上式，得 ∑Ω-=ks a a jk s H T s H )(1)(（6-10） ∑Ω-=ks a jk s H T z H )(1)(（6-11） 上式表明将模拟信号)(t h a 的拉氏变换在s 平面上沿虚轴按照周期T s /2π=Ω延拓后，再按上式的映射关系映射到Z 平面上，就得到H(z)。

sTe z =可称为标准映射关系。

设 jw re z j s =Ω+=σ则得到： T w e r TΩ==σ (6-12)那么 1,01,01,0>><<==r r r σσσ上面关系式说明，s 平面左半平面映射z 平面单位圆内，s 平面的虚轴映射z 平面的单位圆上，s 平面右半平面映射z 平面单位圆外。

这说明：第一，如果)(s H a 因果稳定，转换后得到)(z H 仍因果稳定；第二，数字滤波器频率响应)(jwe H 模仿模拟滤波器的频率响应)(Ωj H a ，满足转换关系的两点要求。

3.3频率混叠现象实际上，任何一个模拟滤波器的频率响应都不是严格带限的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。

如果原模拟信号的频带不是限于+/-π/T 之间，则会在他的奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到z 平面上，在ω=+/-π附近产生频率混叠。

第4章 MATLAB 简介4.1 MATLAB 介绍设计平台MATLAB7.1 MATLAB 是美国 MathWorks 公司生产的一个为科学和工程计算专门设计的 交互式大型软件，是一个可以完成各种精确计算和数据处理的、可视化的、强大 的计算工具。

它集图示和精确计算于一身， 在应用数学、 物理、 化工、 机电工程、 医学、金融和其他需要进行复杂数值计算的领域得到了广泛应用。

它不仅是一个 在各类工程设计中便于使用的计算工具，而且也是一个在数学、数值分析和工程 计算等课程教学中的优秀的数学工具，在世界各地的高和大型计算机上运行，适 用于 Windows 、UNIX 等多种系统平台。

MATLAB 作为一种科学计算的高级语言之所以受欢迎， 就是因为它有丰富的 函数资源和工具箱资源，编程人员可以根据自己的需要选择函数，而无需再去编 写大量繁琐的程序代码，从而减轻了编程人员的工作负担，被称为第四代编程语 言的 MA TLAB 最大的特点就是简洁开放的程序代码和直观实用的开发环境4.2 MATLAB命令介绍Buttord—此函数是用来计算阶数N和3dB边缘频率矢量Butter—butter函数在知道了N和Ws来计算H(z)分子、分母多项式系数把buttord函数和butter函数结合起来，就可以设计任意的巴特沃斯滤波器。

Freqz—计算H(z)的幅频响应Subplot—分割figure，创建子坐标系Plot—一维曲线绘图Xlabel—x轴注解Ylabel—y轴注解Title—标题注解Axis—横纵坐标范围Grid on—显示网格Pha—计算显示相位第5章仿真过程及仿真图5.1 MATLAB程序Fs=1000; fp=100; fs=300; Ap=3; As=20;Wp=fp/(Fs/2);%计算归一化角频率Ws=fs/(Fs/2);[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As);%计算阶数和截止频率[b,a]=butter(N,Wc);%计算H(z)分子、分母多项式系数[H,F]=freqz(b,a,500,Fs);%计算H(z)的幅频响应,freqz(b,a,计算点数,采样速率) subplot(2,2,2)plot(F,20*log10(abs(H)))xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(dB)')axis([0 500 -30 3]);grid onsubplot(2,2,1)plot(F,abs(H));xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度');title('低通滤波器')grid on;subplot(2,2,3)pha=angle(H)*180/pi;plot(F,pha);xlabel('频率(Hz)');ylabel('相位(dB)')grid on5.2仿真波形图5.2 幅度和相位波形图第6章 设计结论首先，这个滤波器的设计的整体思路是先设计一个巴特沃斯低通滤波器，因为模拟滤波器的设计已经很成熟了，有严格的设计思路，现成的公式和图表以及曲线可以查阅。