完整版三角形中位线中的常见辅助线

三角形中位线中的常见辅助线

知识梳理

知识点一中点

一、与中点有关的概念

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线

定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.

直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半

斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形

、与中点有关的辅助线

方法一：倍长中线

解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段, 从而达到将条件进行转化的目的。

方法二：构造中位线

解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一

解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口

方法四：构造斜边中线

解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现 两个等腰三角形，从而转化线段关系。

常见考点 构造三角形中位线

考点说明：

① 凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取 四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角

三角形斜边中点或其他线段中点

；

② 延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

题中有中点，莫忘中位线 ”.与此很相近的几何思想是 题中有中线，莫忘加倍延 ”，这两个是常用几何思 想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来•平移也有类似作用.

其他位置的也要能看出

其他位置的也要能看出

典型例题

【例1】已知：AD是厶ABC的中线，AE是厶ABD的中线，且AB BD，求证：AC

2AE .

举一反三

1.如右下图，在ABC中，若B 2 C , AD BC , E为BC边的中点.求证：AB2DE .

D E

1

2.在 ABC 中，ACB 90 , AC - BC ，以BC 为底作等腰直角 BCD , E 是CD 的中点，求证：AE EB 且 AE BE .

举一反三

1.

已知四边形 ABCD 中，AC BD , E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ； EF

交BD 于N , AC 和BD 交于G 点•求证： GMN GNM .

F

【例2】已知四边形ABCD 的对角线AC

BD ，E 、F 分别是 AD 、BC 的中点，连结EF 分别交 AC 、BD

于 M 、N ，求证：/ AMN

/ BNM .

2.已知：在ABC中，BC AC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且AD BC，连结DC •过AB、

DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、

(1)如图1,当点D旋转到BC的延长线上时，点

求证：AMF BNE

(2)当点D旋

转到图2中的位置时，AMF与

BC分别相交于点M、N •

N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF ,

BNE有何数量关系？请证明.

【例3】如图，在五边形ABCDE中，ABC

BF EF .

AED 90 , BAC EAD , F为CD的中点.求证:

举一反三

1•如图所示，在三角形 ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长 CA 、CB 到点E 、F ,使DE=DF .过E 、 F 分 别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点 P ,设线段PA 、PB 的中点分别为 M 、N .求证： (1) DEM 也 FDN ;

(2)

PAE PBF .

证：PM PN

3.已知：在

ABC

中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形 ABM ，和 CAN

P 是边BC 的中点•求

F

4.

如图所示，已知 ABD 和ACE 都是直角三角形，且 ABD ACE 90 ,连接DE ，设M 为DE 的中 占

八、、♦

(1) 求证 MB MC .

(2) 设 BAD CAE ，固定Rt ABD ，让Rt ACE 移至图示位置，此时 MB 的结论.

D

E

D

MC 是否成立？请证明你

5. 在厶

ABC中，

AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME

(1)如图1所示，若AB=AC，贝U MD和ME的数量关系是

(2) 如图2所示，若AB^AC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程;

(3) 在任意△ ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ ABC 点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，并直接判断△ MED 的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中的形状.

【例4】 以 ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰Rt ACE , BAD CAE 90 连接DE , M 、N 分别是BC 、DE 的中点•探究： AM 与DE 的位置关系及数量关系.

;线段AM 与DE 的数量关系

90)后，如图②所示，(1)问中得到的

两个结论是否发生改变？并说明理由.

举一反三

1. (1)如图1, BD 、CE 分别是A ABC 的外角平分线，过点 A 作AD BD 、AE CE ,垂足分别为D 、E , 1

连接 DE •求证： DE // BC , DE AB BC AC

2

(2) 如图2, BD 、CE 分别是△ ABC 的内角平分线，其他条件不变； (3)

如图3, BD

ABC 的内角平分线，CE ABC 的外角平分线，其他条

件不变。则在图 2、图

3两种情况下，DE 、BC 还平行吗？它与 △ ABC 三边又有怎样的数量关系？请你写出猜测，并给与证明.

(1)如图① 当ABC 为直角三角形时， AM 与DE 的位置关系是 (2)将图①中的等腰 Rt ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转 (0 E

图① E

图②