数值分析课程总结

课程内容

1误差

了解误差的来源与分类及误差的基本概念与性质；

熟悉绝对误差及绝对误差限、相对误差及相对误差限和有效数字之间的关系；

掌握一元和二元函数的误差估计式并会应用；

熟悉减小误差的积累和传播应注意的几大原则和通常做法。

2插值法

掌握Lagrange 插值、Newton 插值；

理解Hermite 插值的构造和计算；

掌握这些插值函数的余项表达式的求法、形式、作用及估计；

了解用插值基函数思想求任何插值条件的插值函数问题；

了解分段插值及三次样条函数插值的构造思想、特点和计算方法；

了解差商和差分、等距结点插值的基本性质。

3曲线拟合与函数逼近

掌握曲线拟合的有关概念、意义和推导过程；

掌握应用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解；

了解函数逼近的有关概念、意义和推导过程；

掌握求解最佳一致逼近和最佳平方逼近函数的方法；

熟悉求连续函数的最佳平方逼近及由离散点求曲线拟合的方法；

了解正交多项式特点及性质，会求连续函数的最佳一致多项式逼近。

4数值积分与数值微分

理解机械求积公式及代数精度概念；

掌握确定求积公式的代数精度的方法；

掌握Newton-Cotes 求积公式、特点及余项形式；

了解Romberg算法及Gauss 求积公式的构造技术、特点及余项形式；

掌握复化梯形求积公式、复化Simpson 求积公式的构造技术及余项形式；

了解上述求积公式的适用类型并会熟练使用这些公式做数值积；

了解数值微分法以及Newton-Cotes 求积公式、Gauss 求积公式的稳定性问题。5非线性方程的数值解法

掌握求非线性方程根的对分区间法、简单迭代法、Newton 迭代法；

理解这些方法的构造特点、收敛速度及适用范围并掌握压缩映射原理；

了解Newton 迭代法的变形如Newton 下山法、割线法及迭代法加速技术；

了解局部收敛及收敛阶的概念；

6求解线性方程组的直接解法

掌握解线性方程组的Gauss 消元法、列主元法、LU 分解；

理解这些方法的构造过程和特点以及适用的线性方程组；

了解全主元消元法、平方根法，知道直接解法的误差分析；

了解特殊线性方程组求解的追赶法。

7求解线性方程组的间接方法

掌握向量范数、矩阵范数的基本概念与性质；

熟悉用范数来分析方程组的性态及稳定性；

掌握线性方程组的误差分析与解的改善；

了解病态方程组概念并会判断；

能判别Jocobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的敛散性并会应用迭代求解。