文科概率大题(几何概率、古典概型)

几何概型

1.已知地铁列车每 是 ( ) A.110 B.19 C.111 D.18

2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( ) A.116 B.18 C.14 D.12

3．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为9

10，那么该台

每小时约有________分钟的广告．

4.(2009·辽宁高考ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 5．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是 ( ) A.12 B.14 C.18 D.116 6．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ( ) A.13 B.23 C.19 D.29

7．在区域⎩⎨⎧

x ＋y －2≤0，x －y ＋

2≥0，

y ≥0

内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为

( )

A.π2

B.π8

C.π6

D.π4 8．(2010·济南模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R.

(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；

(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．

10. 1 cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( )

11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．

A.14

B.13

C.12

D.23

12．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．

答案

1解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝

1

10

.答案：A 2解析：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14.答案：C

3解析：60×(1－9

10)＝6分钟．答案：6

4解析：对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1时，其是以O 为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝1

2π，那么满足条件的概

率为：1－1

2π2＝1－π

4.答案：B

5解析：由题知该方程有实根满足条件⎩⎪⎨⎪

⎧

－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，

a 2－4

b 2≥0，

作平面

区域如右图：由图知阴 影面积为1，总的事件对应面积为正方 形的面积，故概率为1

4.

答案：B

6解析：作出两集合表示的平面区域如图所示．容易得出 Ω所表示的平面区域为三角形AOB 及其边界，A 表示的 区域为三角形OCD 及其边界．

容易求得D (4,2)恰为直线x ＝4，x －2y ＝0，x ＋y ＝6三线的交点． 则可得S △AOB ＝12×6×6＝18，S △OCD ＝1

2×4×2＝4.

所以点P 落在区域A 的概率为418＝2

9

. 答案：D

7解析：区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为

P＝

S半圆

S△ABC

＝

π

2

1

2×22×2

＝

π

4.

答案：D

8解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC相交出三个扇形(如图所示)，

当P落在阴影部分时符合要求．

∴P＝3×(

1

2×

π

3×1

2)

3

4×2

2

＝

3π

6.

答案：

3 6π

9解：(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素，

∴a，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，

即基本事件总数为12.

设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A，

当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a＞b.

当a＞b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，

即A包含的基本事件数为6，

∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率

P(A)＝6

12＝

1

2.

(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，

这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6.

设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为

M＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，

a＜

b}，

即图中阴影部分的梯形，其面积

S M＝6－1

2×2×2＝4.