注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足.
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(a , b ) 内至少有一点(a b ) ，使等式
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y f (a ) ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB,
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
x 例2 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x 证 设 f ( x ) ln(1 x ),
第六章 微分中值定理及其应用
第一节 拉格朗日中值定理和函 数的单调性 一 罗尔定理与拉格朗日定 理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 在开区间(a , b ) 内可导, 且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ) , 那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零，
x x0
则f在点x0可导, 且f ( x0 ) lim f ( x).
x x0
二 单调函数
单调性的判别法
y
y f ( x) B
A
y
y f ( x)
o
a
b
x
o
x
定理 设函数 y f ( x)在 I上可导, 则f ( x)在I上
递增(减)的充要条件是 f ( x) 0( 0).
从而是f的极值点 .又f在(a, b)内可导, f在点处 可导, 故由费马定理推知 f ( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外, 满足罗尔定理 的一切条件, 但在区间[-2， 2]内找不到一点能
' f 即 ( ) 0
证 f ( x ) 在 [a , b] 连续,必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x ) 0. (a , b), 都有 f () 0. ( 2) 若 M m . f (a ) f (b ), 最值不可能同时在端点 取得. 设 M f (a ), 则在 (a , b) 内至少存在一点 使 f ( ) M .
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
ห้องสมุดไป่ตู้
拉格朗日中值公式
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
M
A
y f ( x)
B
N
o a
1
x
2 b
x
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b). f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba 推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零 ,
推论2 若函数f和g均在区间I上可导, 且f ( x) g ( x), 则在区间I上f ( x)与g ( x)只相差某一常数 ,即 f ( x) g ( x) c (c为某一常数) 推论3 (导数极限定理 ) 设函数f在点x0的某邻域 U ( x0 )内连续, 在U ( x0 )内可导, 且 lim f ( x)极限存在,
使 f ( x ) 0. 1 x , x (0,1] 又例如, y ; 0, x 0
y x , x [0,1].
几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y f ( x)
o a
1
2
b
x
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导, 那末在
所得曲线a , b两端点的函数值相等 .
作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x ) f ( x ) [ f (a ) ( x a )]. ba
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 F () 0.
f (b) f (a ) 即 f ( ) 0 ba
( x1 , x2 ) I , 使得 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )(x2 x1 ) 0
由此证得f在I上为增函数 .
f ( x )在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
1 f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
证 若f为增函数, 则对每一x0 I , 当x x0时, 有 f ( x) f ( x0 ) 0.令x x0 , 即得f ( x0 ) 0. x x0 反之, 若f ( x)在区间I上恒有f ( x0 ) 0, 则对任意 x1 , x2 I (设x1 x2 ), 应用拉格朗日定理 , 存在
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 .
例1
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2
1 1 x
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0.
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y f (a ) ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB,
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
x 例2 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x 证 设 f ( x ) ln(1 x ),
第六章 微分中值定理及其应用
第一节 拉格朗日中值定理和函 数的单调性 一 罗尔定理与拉格朗日定 理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 在开区间(a , b ) 内可导, 且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ) , 那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零，
x x0
则f在点x0可导, 且f ( x0 ) lim f ( x).
x x0
二 单调函数
单调性的判别法
y
y f ( x) B
A
y
y f ( x)
o
a
b
x
o
x
定理 设函数 y f ( x)在 I上可导, 则f ( x)在I上
递增(减)的充要条件是 f ( x) 0( 0).
从而是f的极值点 .又f在(a, b)内可导, f在点处 可导, 故由费马定理推知 f ( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外, 满足罗尔定理 的一切条件, 但在区间[-2， 2]内找不到一点能
' f 即 ( ) 0
证 f ( x ) 在 [a , b] 连续,必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x ) 0. (a , b), 都有 f () 0. ( 2) 若 M m . f (a ) f (b ), 最值不可能同时在端点 取得. 设 M f (a ), 则在 (a , b) 内至少存在一点 使 f ( ) M .
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
ห้องสมุดไป่ตู้
拉格朗日中值公式
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
M
A
y f ( x)
B
N
o a
1
x
2 b
x
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b). f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba 推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零 ,
推论2 若函数f和g均在区间I上可导, 且f ( x) g ( x), 则在区间I上f ( x)与g ( x)只相差某一常数 ,即 f ( x) g ( x) c (c为某一常数) 推论3 (导数极限定理 ) 设函数f在点x0的某邻域 U ( x0 )内连续, 在U ( x0 )内可导, 且 lim f ( x)极限存在,
使 f ( x ) 0. 1 x , x (0,1] 又例如, y ; 0, x 0
y x , x [0,1].
几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y f ( x)
o a
1
2
b
x
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导, 那末在
所得曲线a , b两端点的函数值相等 .
作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x ) f ( x ) [ f (a ) ( x a )]. ba
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 F () 0.
f (b) f (a ) 即 f ( ) 0 ba
( x1 , x2 ) I , 使得 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )(x2 x1 ) 0
由此证得f在I上为增函数 .
f ( x )在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
1 f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
证 若f为增函数, 则对每一x0 I , 当x x0时, 有 f ( x) f ( x0 ) 0.令x x0 , 即得f ( x0 ) 0. x x0 反之, 若f ( x)在区间I上恒有f ( x0 ) 0, 则对任意 x1 , x2 I (设x1 x2 ), 应用拉格朗日定理 , 存在
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 .
例1
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2
1 1 x
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0.