第2章单因素优选法精品PPT课件
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2 单因素优选法
----本章主要内容 掌握单因素试验设计的常用方法
1
2 单因素优选法
优选法概念
优选法就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学 原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速 地找到最佳点的一类科学方法。
优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形 式表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题。
x2 3(b a)x (b a)2 0
整理可得 x＝0.382(b－a)
0.618或(1－0.618)＝0.382这正是黄金分割常数。
14
2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----做法
第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上， 第二个试验点x2取成x1的对称点，则： x1＝(大－小)×0.618＋小＝(b－a)×0.618＋a x2＝(大＋小)－第一点(即前一点)＝(b＋a)－x1
N
30
试验转速：
420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720
★
4
2 单因素优选法
2.1 均分法
使用范围： 这种方法的特点是对所试验的范围进行“普查”，常 常应用于对目标函数的性质没有掌握或很少掌握的情 况。即假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决 于试验点数目的多少。
2.2 平分法(对分法)
例2-2 乳化油加碱量的优选。 高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软
性，而油脂乳化需加碱加热。某纺织厂以前乳 化油脂加烧碱1％，需加热处理4小时，但知道 多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会皂化， 所以加碱量优选范围为1％~4.4％。
解：过程见书P37。 8
2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)
假定f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，但f(x)的表
达式是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点
x0的数值f(x0)。应用单因素优选法，就是用尽量少的
试验次数来确定f(x)的最佳点。
2
2 单因素优选法
2.1 均分法
它是在试验范围[a, b]内，根据精度要求和实际情况， 均匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并 相互比较，以求得最优点的方法。
5
2 单因素优选法
2.2 平分法(对分法)
平分法：适用于试验范围(a,b)内，目标函数为单调 （连续或间断）的情况下，求最优点的方法。
f(x)
f(x)
a
b
图2-1 连续单调
a
b
图2-2 间断单调
6
2 单因素优选法
2.2 平分法(对分法)
每次选取因素所在试验范围（a, b）的中点处C做试验。
计算公式： C =—（—a—+ —b )— 2
10
2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----由来
1 设x1 和x2 是因素范围［a,b］内的任意两个试点， C点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点 称为好点，把效果较差的点称为差点。则：最优点与 好点必在差点同侧，因而我们把因素范围被差点所分 成的两部分中好点所在的那部分称为存优范围。即可 以去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。
本方法是在试验范围［a, b］内，首先安排两 个试验点，再根据两点试验结果，留下好点， 去掉不好点所在的一段范围，再在余下的范围 内寻找好点，去掉不好的点，如此继续地作下 去，直到找到最优点为止。
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2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)
0.618法要求试验结果目标函数f(x)是单峰函 数，即在试验范围内只有一个最优点 d，其效 果f(d)最好，比 d 大或小的点都差，且距最 优点 d 越远的试验效果越差。
如何安排两个试验点？ 合理地缩小存优范围
11
2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----由来
2 安排两个试点时应该使两个试点关于因素范围的 中点对称----对称原则。
则无论哪点差，划去的长度都一样。
3 最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的 比例数（“成比例地舍去”原则）。
12
2 单因素优选法
(2) x2是好点 ，则划去（x1,b），保留（a,x1）。 第三个试验点x3应是好点x2的对称点。
x3＝大＋小－前一点 ＝ x1＋a－x2
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2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----做法
(3) 如果f(x1)和f(x2)一样，则应该具体分析，看 最优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以 同时划掉（a,x2）和（x1,b），仅留中点的(x2,x1)， 把x2看成新a，x1看成新b，然后在范围（x2,x1）内 0.382、0.618处重新安排两次试验试验。
作法：如试验范围L＝b－a，试验点间隔为N，则试验 点n为(包含两个端点)：
n L 1 ba 1
N
N
3
2 单因素优选法
2.1 均分法
例2-1 对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范 围为420转/分~720转/分，拟经过试验找出能使光洁度最佳 的砂轮转速值。
Leabharlann Baidu
N = 30 转/分
n = —b—- —a — + 1 = —7—20—-—42—0 — +1 = 11
第三个试验点的安排有三种情形：
15
2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----做法
(1) x1是好点 ，则划去（a,x2），保留（x2,b）。 x1的对称点x3，在x3安排第三次试验。
x3＝大＋小－前一点 ＝ b＋x2－x1
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2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----做法
d = —（—c—+ —b )—
d
2
a
c ×
★
×
b
根据试验结果，如下次试验 在高处（取值大些），就把 此试验点（中点）以下的一 半范围划去；如下次试验在 低处（取值小些），就把此 试验点（中点）以上的一半 范围划去。
每试验一次，试验范围缩 小一半，重复做下去，直 到找出满意的试验点为止。
7
2 单因素优选法
13
2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----由来
x 即第一次舍去的长度 b a 即第一次总长度
(b
(b x) (a x) 即第二次舍去的长度x1 x 2 a) x 即第二次总长度(去掉第一段后剩余的长度)
它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍 去的比例数。对这个等式进行变形可得
2.3 黄金分割法(0.618法)----由来
两个试验点位置的确定：
设第一次舍去的长度为 x ，则：
x 即第一次舍去的长度 b a 即第一次总长度
x1 x2 x1 a
(b x) (a x) 即第二次舍去的长度x1 x 2 (b a) x 即第二次总长度(去掉第一段后剩余的长度)
----本章主要内容 掌握单因素试验设计的常用方法
1
2 单因素优选法
优选法概念
优选法就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学 原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速 地找到最佳点的一类科学方法。
优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形 式表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题。
x2 3(b a)x (b a)2 0
整理可得 x＝0.382(b－a)
0.618或(1－0.618)＝0.382这正是黄金分割常数。
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2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----做法
第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上， 第二个试验点x2取成x1的对称点，则： x1＝(大－小)×0.618＋小＝(b－a)×0.618＋a x2＝(大＋小)－第一点(即前一点)＝(b＋a)－x1
N
30
试验转速：
420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720
★
4
2 单因素优选法
2.1 均分法
使用范围： 这种方法的特点是对所试验的范围进行“普查”，常 常应用于对目标函数的性质没有掌握或很少掌握的情 况。即假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决 于试验点数目的多少。
2.2 平分法(对分法)
例2-2 乳化油加碱量的优选。 高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软
性，而油脂乳化需加碱加热。某纺织厂以前乳 化油脂加烧碱1％，需加热处理4小时，但知道 多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会皂化， 所以加碱量优选范围为1％~4.4％。
解：过程见书P37。 8
2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)
假定f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，但f(x)的表
达式是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点
x0的数值f(x0)。应用单因素优选法，就是用尽量少的
试验次数来确定f(x)的最佳点。
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2 单因素优选法
2.1 均分法
它是在试验范围[a, b]内，根据精度要求和实际情况， 均匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并 相互比较，以求得最优点的方法。
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2 单因素优选法
2.2 平分法(对分法)
平分法：适用于试验范围(a,b)内，目标函数为单调 （连续或间断）的情况下，求最优点的方法。
f(x)
f(x)
a
b
图2-1 连续单调
a
b
图2-2 间断单调
6
2 单因素优选法
2.2 平分法(对分法)
每次选取因素所在试验范围（a, b）的中点处C做试验。
计算公式： C =—（—a—+ —b )— 2
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2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----由来
1 设x1 和x2 是因素范围［a,b］内的任意两个试点， C点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点 称为好点，把效果较差的点称为差点。则：最优点与 好点必在差点同侧，因而我们把因素范围被差点所分 成的两部分中好点所在的那部分称为存优范围。即可 以去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。
本方法是在试验范围［a, b］内，首先安排两 个试验点，再根据两点试验结果，留下好点， 去掉不好点所在的一段范围，再在余下的范围 内寻找好点，去掉不好的点，如此继续地作下 去，直到找到最优点为止。
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2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)
0.618法要求试验结果目标函数f(x)是单峰函 数，即在试验范围内只有一个最优点 d，其效 果f(d)最好，比 d 大或小的点都差，且距最 优点 d 越远的试验效果越差。
如何安排两个试验点？ 合理地缩小存优范围
11
2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----由来
2 安排两个试点时应该使两个试点关于因素范围的 中点对称----对称原则。
则无论哪点差，划去的长度都一样。
3 最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的 比例数（“成比例地舍去”原则）。
12
2 单因素优选法
(2) x2是好点 ，则划去（x1,b），保留（a,x1）。 第三个试验点x3应是好点x2的对称点。
x3＝大＋小－前一点 ＝ x1＋a－x2
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2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----做法
(3) 如果f(x1)和f(x2)一样，则应该具体分析，看 最优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以 同时划掉（a,x2）和（x1,b），仅留中点的(x2,x1)， 把x2看成新a，x1看成新b，然后在范围（x2,x1）内 0.382、0.618处重新安排两次试验试验。
作法：如试验范围L＝b－a，试验点间隔为N，则试验 点n为(包含两个端点)：
n L 1 ba 1
N
N
3
2 单因素优选法
2.1 均分法
例2-1 对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范 围为420转/分~720转/分，拟经过试验找出能使光洁度最佳 的砂轮转速值。
Leabharlann Baidu
N = 30 转/分
n = —b—- —a — + 1 = —7—20—-—42—0 — +1 = 11
第三个试验点的安排有三种情形：
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2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----做法
(1) x1是好点 ，则划去（a,x2），保留（x2,b）。 x1的对称点x3，在x3安排第三次试验。
x3＝大＋小－前一点 ＝ b＋x2－x1
16
2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----做法
d = —（—c—+ —b )—
d
2
a
c ×
★
×
b
根据试验结果，如下次试验 在高处（取值大些），就把 此试验点（中点）以下的一 半范围划去；如下次试验在 低处（取值小些），就把此 试验点（中点）以上的一半 范围划去。
每试验一次，试验范围缩 小一半，重复做下去，直 到找出满意的试验点为止。
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2 单因素优选法
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2 单因素优选法
2.3 黄金分割法(0.618法)----由来
x 即第一次舍去的长度 b a 即第一次总长度
(b
(b x) (a x) 即第二次舍去的长度x1 x 2 a) x 即第二次总长度(去掉第一段后剩余的长度)
它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍 去的比例数。对这个等式进行变形可得
2.3 黄金分割法(0.618法)----由来
两个试验点位置的确定：
设第一次舍去的长度为 x ，则：
x 即第一次舍去的长度 b a 即第一次总长度
x1 x2 x1 a
(b x) (a x) 即第二次舍去的长度x1 x 2 (b a) x 即第二次总长度(去掉第一段后剩余的长度)