高等代数与解析几何第七章线性变换与相似矩阵答案

习题
习题判别下列变换是否线性变换？
（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，
解：当时，显然是的线性变换；
当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（Ⅱ），；
解：当时，显然是的线性变换；
当时，有，，则，即此时不是的线性变换。

（2）在中，
（Ⅰ），
解：不是的线性变换。

因对于，有，，所以。

（Ⅱ）；
解：是的线性变换。

设，其中，，则有
，。

（3）在中，
（Ⅰ），
解：是的线性变换：设，则
，
，。

（Ⅱ），其中是中的固定数；
解：是的线性变换：设，则
，
，。

（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。

因为取，时，有，，即。

（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。

解：是的线性变换。

对，，有
，。

习题在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。

证明（表示恒等变换），
，
；
并说明是否成立。

证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。

因为，
，所以。

因为，
，所以。

因为，
，所以。

习题在中，，，证明。

证明：在中任取一多项式，有。

所以。

习题设，是上的线性变换。

若，证明。

证明：用数学归纳法证明。

当时，有
命题成立。

假设等式对成立，即。

下面证明等式对也成立。

因有
，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。

习题证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。

证明：（1）设都是的逆变换，则有，。

进而。

即的逆变换唯一。

（2）因，都是上的可逆线性变换，则有
，同理有
由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。

习题设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。

证明，，，线性无关。

证明：设，依次用可得
，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。

有定义知，，，线性无关。

习题设是上的线性变换，证明是可逆线性变换的充要条件为既是单射线性变换又是满射线性变换，即是一一变换。

证明：已知是可逆线性变换，即存在。

若，则两端用作用即得，因此是单射线性变换。

若任取，则存在，使得，即是满射线性变换。

已知既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。

现定义新的变换：，定有，且有，规定，有，同时有，即有。

由定义知是可逆线性变换。

习题设是上的线性变换，证明（1）是单射线性变换的充要条件为；（2）是单射线性变换的充要条件为把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。

证明：（1）已知是单射线性变换，对，则有，由单射得，即。

已知，若，则有，得，即得，故是单射。

（2）已知是单射线性变换。

设线性无关，现证也线性无关。

令，整理有，而是单射，有，已知线性无关，所以，故也线性无关。

已知把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。

若，则有，并一定有。

否则若，则说明向量线性无关，而表示把线性无关的向量组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。

而由可得，即是单射线性变换。

习题设是中全体可逆线性变换所成的子集，证明关于线性变换的乘法构成一个群。

（超范围略）
习题设，是上的线性变换，且证明
（1）若，则；
（2）若，则。

证明：（1）因为，。

所以
，
从而或。

又因为。

故。

（2）因为，，所以。

习题设与分别是数域上的维与维线性空间，是的一个有序基，对于中任意个向量，证明存在唯一的线性映射，使，。

证明：先证明存在性。

对任意的，有唯一的线性表达式我们定义
显然有，。

现验证为到的一个线性映射。

（1）对任意的向量，因为
，由定义得。

（2）对任意的，因为，由定义得。

所以为到的一个线性映射。

再证唯一性：若另有到的一个线性映射，也使得
，。

则对任意向量，一定有。

由在中的任意性，可得。

习题设与分别是数域上的维与维线性空间，是线性映射。

证明是的子空间，是的子空间。

又若有限，证明。

这时称为的零度，称为的秩。

证明：（1）先证与分别为与的子空间，
对，，有，
所以，故为的子空间；同理，对，
，则，使，，所以
所以为的子空间.
（2）再证
因有限，不妨设，，在中取一个基
，再把它扩充为的一个基，则
是像空间的一个基.
事实上，对，存在，使得。

设，则有
即中的任意向量都可由线性表示。

现证向量组线性无关：
设，有，即
，所以向量可由向量组线性表示，进而有
，整理有
，
又因线性无关，所以必有，因此线性无关，即为的一个基，故。

习题证明关于定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间。

证明：现证明定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法都是从到的线性映射。

事实上，对，，有
故为到的线性映射。

同理，对，，有
，
，
故为到的线性映射。

另外线性映射的加法与数量乘法显然满足：
（1）结合律：；
（2）交换律: ；
（3）存在零线性映射，对，有；
（4）对，有负线性映射，使得；
（5）；（6）；（7）；
（8）。

其中，
所以关于定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间。

习题证明：。

证明：设为维线性空间，为维线性空间，即，。

取定的一组基和的一组基。

令为到的如下映射：，其中为在基与基下的矩阵。

这样定义的是到的同构映射。

事实上，（1）若，，且，则有，。

由于，对每一个都有，故有，即是单射。

（2），令。

则存在唯一的线性映射使得，并且
由此可见，是满射。

（3）对，，有，，其中即有，，所以
，故有，所以是到的同构映射。

进而有。

习题
习题求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵：
（1）的线性变换，，其中
为固定矩阵。

求，在这个基下的矩阵；
（2）设是线性空间的线性变换，求在基下的矩阵；
（3）6个函数：，，，
，，
的所有实系数线性组合构成实数域上一个6维线性空间。

求微分变换在基下的矩阵。

解：（1）由，的定义直接可得：
，
，
，。

所以在这个基下的矩阵为。

，
，
，。

所以在这个基下的矩阵为。

（2）由直接可得：
，
，
，
………………………
，
………………………。

所以在基下的矩阵为：。

（3）由微分运算性质直接可得：
，
，
，
，
，。

所以微分变换在基下的矩阵为：。

习题设是的一个基，
，，，。

已知线性无关。

证明：
（1）存在唯一的线性变换，使，；
（2）（1）中的在基下的矩阵为；
（3）（1）中的在基下的矩阵为。

证明：（1）因为线性无关，所以也是的一个基。

故对的一个基及个向量，定存在唯一的线性变换，使，。

（2）由已知条件有
，，
其中与都是的基，所以可逆，且有，进而有。

再由（1）得，所以在基下的矩阵为。

（3）类似有
，所以在基下的矩阵为。

习题在中，定义线性变换为
，，，
其中，，。

（1）求在基下的矩阵；
（2）求在基下的矩阵。

解：（1）由定义知
，，
所以有。

故在基下的矩阵为：。

（2）类似有。

故在基下的矩阵为：。

习题在中，线性变换在基，，下的矩阵是。

求在基下的矩阵。

解：已知，，
则有。

即在基下的矩阵为：。

习题设数域上3维线性空间的线性变换在基下的矩阵为
（1）求在基下的矩阵；
（2）求在基下的矩阵；
（3）求在基下的矩阵。

解：（1）由已知可得
，
，。

所以在基下的矩阵为：。

（2）由已知可得
，
，。

所以在基下的矩阵为：。

（3）由已知可得
，
，。

所以在基下的矩阵为：。

习题在维线性空间中，设有线性变换与向量使，但。

证明：在中存在一个基，使在该基下的矩阵为。

证明：由习题知：维线性空间的向量组，，，线性无关，且有个向量，即构成的一组基，而线性变换作用此基有：，
，
……………
，。

故在基，，，下的矩阵为：。

习题设是数域上维线性空间的全体线性变换组成的数域上的线性空间，试求，并找出中的一个基。

求证：任取的一组基，令为到的映射：，其中。

由引理及定理知为同构映射，即。

所以它们的维数相同，而，故。

现取，，使得，即，。

已知，是的一组基，故，为的一组基。

习题证明：与维线性空间的全体线性变换都可交换的线性变换是数乘变换。

证明：在某组确定的基下，数域上的维线性空间的线性变换与数域上的阶方阵间建立了一个双射，因为与一切阶方阵可交换的方阵为数量矩阵，所以与一切线性变换可交换的线性变换必是数乘变换。

习题设是维线性空间的一个线性变换，如果在的任意一个基下的矩阵都相同，则是数乘变换。

证明：设在基下的矩阵为，只要证明为数量矩阵即可。

设为任意可逆矩阵，令，则也是的一组基，且在这组基下的矩阵为，依题意有。

特别地，当取时，计算可得。

再取，由可得，即为数量矩阵，所以是数乘变换。

习题证明：
与
相似，其中是的一个排列。

证明：用依次表示这两个矩阵，取一个维线性空间及其一组基，对于矩阵，存在的线性变换，使得
，
由此可得。

因为与是在不同基下的矩阵，所以与相似。

习题如果可逆，证明与相似。

证明：因为，所以与相似。

习题如果与相似，与相似，试判断下列叙述是否正确？如果不正确，请举反例，否则给出证明。

（1）与相似；
（2）与相似；
（3）与相似。

答：（1）正确。

证明：由于与相似，与相似，因此存在可逆阵，，使得，，从而有
，
其中，所以与相似。

（2）不正确。

反例：设，，则有，使，，即，故与相似；再取，则与显然相似。

但，。

设，且满足，即，
计算得，即得，故不可逆。

所以与不相似。

（3）不正确。

反例：取同（2），有
，，
两矩阵秩不同。

显然，与不相似。

习题
习题设是数域上线性空间，是的线性变换。

如果是的特征值，则对任意多项式，是的特征值，且的属于的特征向量也是的属于的特征向量。

证明：设为的属于的特征向量，即，则对任意自然数，有。

事实上，当时，显然成立。

假设时，有成立。

现证时也成立，即。

故由数学归纳法得式对任意自然数均成立。

设，则有
，
即。

习题对复数域上线性空间上的下述线性变换，求出它的特征值与特征向量，判断是否可以对角化，在可对角化时，求出过度矩阵，并计算。

已知在的一个基下的矩阵为
（1）；（2）；（3）；（4）。

解：（1）设在基下的矩阵为，矩阵的特征多项式为。

所以的特征值为，。

先求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的全部特征向量为；
再求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的全部特征向量为。

可以对角化。

取的两个线性无关的特征向量，，即，其中为由基到基的过渡矩阵。

且有。

（2）设在基下的矩阵为，且当时，有，于是矩阵的特征多项式为，所以的特征值为。

求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，，因为的属于特征值的两个线性无关的特征向量为，所以以中任意非零向量为其特征向量。

当时，矩阵的特征多项式为，所以的特征值为。

先求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的全部特征向量为；
再求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的全部特征向量为。

可以对角化。

取的两个线性无关的特征向量，，即，其中为由基到基的过渡矩阵。

且有。

（3）设在基下的矩阵为，矩阵的特征多项式为。

所以的特征值为。

先求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的全部特征向量为；
再求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的全部特征向量为。

由于找不到的三个线性无关的特征向量，故不可对角化。

（4）设在基下的矩阵为，矩阵的特征多项式为。

所以的特征值为。

先求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，，，所以的属于特征值的全部特征向量为
；
再求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的全部特征向量为。

可以对角化。

取的四个线性无关的特征向量，，，，即
，
其中为由基到基的过渡矩阵。

且有。

习题证明：是矩阵的特征值的充要条件是矩阵为奇异阵。

证明：设非零向量为矩阵的属于特征值的特征向量，则有，整理得，因，所以齐次线性方程组有非零解，故系数行列式。

反之亦然。

习题设，求。

解：矩阵的特征多项式为。

所以的特征值为。

对，解齐次线性方程组，得基础解系；
对，解齐次线性方程组，得基础解系；
对，解齐次线性方程组，得基础解系。

令，有，进而有，故。

习题设是4维线性空间的一个基，线性变换在这个基下的矩阵为。

（1）求在一个基下的矩阵，其中
（2）求的特征值与特征向量；
（3）求一可逆阵，使为对角阵。

解：（1）由条件有，
令，则线性变换在基下的矩阵为。

（2）因为线性变换的特征多项式为。

所以线性变换的特征值为。

先求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，，所以的属于特征值的线性无关的特征向量为，。

全部特征向量为
；
再求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的线性无关的特征向量为。

全部特征向量为。

最后求的属于特征值的特征向量。

解齐次线性方程组，求得基础解系为，所以的属于特征值的线性无关的特征向量为。

全部特征向量为。

（3）因为，所以所求的可逆矩阵为，于是有。

习题（1）设是线性变换的两个不同特征值，是分别属于的特征向量。

证明：不是的特征向量；
（2）证明：如果线性变换以中每个非零向量作为它的特征向量，则是数乘变换。

证明：（1）因为，，所以。

假设是线性变换的属于特征值的特征向量，即，且有，整理可得。

由于线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关，因此，于是得，这与题设矛盾，因而不是的特征向量。

（2）任取的一个非零向量，设。

再任取的一个向量，若或，则显然有；若，则由假设也是特征向量，设。

如果，则由（1）知，不是的特征向量，这与题意矛盾。

故，即仍有。

这就说明的任意两个特征值都相等，故为数乘变换。

习题设是的线性变换。

证明：
（1）的行列式为零的充要条件是至少有一个特征值为零；
（2）如果是可逆线性变换，则其特征值一定不为零；又如果是的特征值，则必是的特征值。

证明：（1）设线性变换在一组基下的矩阵为，是的所有特征值，则有，所以的行列式为零至少有一个。

（2）（反证法）设可逆线性变换有一个特征值为，而是它的一个特征向量，即有。

用作用的两边得，。

这与矛盾，故可逆线性变换的特征值一定不为零。

设为的属于特征值的一个特征向量，即。

由于可逆，得，进而有，即，也可写成，故必是的一个特征值。

习题设，是阶方阵。

证明：
（1）；
（2）如果，则，即相似的矩阵必有相同的迹；
（3）设，。

验证：与有相同的特征多项式，但与不相似。

证明：（1）设，为任意两个阶方阵，则主对角线上的元素为，，。

它们的和为。

同样，的主对角线上的元素的和为。

故。

（2）根据（1）可得。

即相似的矩阵必有相同的迹。

（3）因为，所以其特征多项式为；又因为，所以其特征多项式为，故与有相同的特征多项式。

现设矩阵，使得成立，展开有
，，即得。

解得。

所以是不可逆的，故与不相似。

习题设的线性变换的互不相同的特征值为。

如果在每一个特征值的特征子空间中取基，恰构成全空间的一个基。

证明：必可对角化。

证明：设特征值的特征子空间的基为，，则有，，，即每一个，都是的特征向量。

又知,恰构成空间的一个基，即得有个线性无关的特征向量，所以必可对角化。