高考数学专题（四）数学开放性问题怎么解

高三数学专题（四） 数学开放性问题怎么解数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.例 1 设等比数列{}n a 的公比为 q ，前 n 项和为 n S ，是否存在常数 c ，使数列 {}c S n +也成等比数列？若存在，求出常数c ；若不存在，请 明 理 由.讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数c ， 使数列{}c S n + 成等比数列.212)())((c S c S c S n n n +=++++211222(++++--=-⋅∴n n n n n n S S S c S S S(i) 当 1=q 时，1na S n = 代入上式得()[])2()1((1)2(122121+--+=+-+n n n a ca n a n n a 即21a =0但01≠a , 于是不存在常数c ，使{}c S n +成等比数列.(ii) 当 1≠q 时，qq a S n n --=1)1(， 代 入 上 式 得1,)1()1()1()1(1212221-=∴--=---q a c q q q ca q q q a n n .综 上 可 知 , 存 在 常 数 11-=q a c ，使{}c S n +成等比数列.等比数列n 项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比1=q 的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. （1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y =984022-+-x x . （2）解不等式 984022-+-x x ＞0, 得 5110-＜x ＜5110+.∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利.（3）(i) ∵）x x x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立.∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.(ii) y=-2x 2+40x-98= -2（x-10）2+102， ∴当x=10时，y max =102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具. 例3 已知函数f (x )=412-x (x <-2)(1)求f (x )的反函数f -1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =-f -1(a n )(n ∈N ),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1-S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N ,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在说明理由.讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性. (1) y =412-x ,∵x <-2，∴x= -214y +, 即y =f -1(x )= - 214x +(x >0).(2) ∵21141n n a a +=+ , ∴22111n n a a -+=4. ∴{21na }是公差为4的等差数列. ∵a 1=1, ∴21n a =211a +4(n -1)=4n -3. ∵a n >0 , ∴a n =341-n .(3) b n =S n +1-S n =a n +12=141+n , 由b n <25m ,得 m >1425+n 对于n ∈N 成立.∵1425+n ≤5 , ∴m >5,存在最小正数m =6,使得对任意n ∈N 有b n <25m成立. 为了求a n ,我们先求21n a ,这是因为{21na }是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.例4 已知数列))(,(,1,}{11N n a a P a a n n n ∈=+且点中在直线x-y+1=0上. （1） 求数列{a n }的通项公式；（2）若函数),2,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 求函数f(n)的最小值；(3)设n nn S a b ,1=表示数列{b n }的前n 项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.（1）011=+-+n n a a.1,01,,01,01,011113221n n a a n a a a a a a a a n n n n =-+==-+-=+-=+-=+-∴-得以上各式相加（2） n n n n f 212111)(+++++=, 221121213121)1(+++++++++=+n n n n n n f ,01122122111221121)()1(=+-+++>+-+++=-+∴n n n n n n n f n f .,)(是单调递增的n f ∴.127)2()(=f n f 的最小值是故 （3）n s n b n n 12111+++=⇒= ,,1)1(),2(1111+=--≥=-∴---n n n n n s s n ns n n s s 即 1)2()1(221+=---∴---n n n s s n s n . ,1,121211112-++++=-∴+=--n s s s s ns s s s n n.)(),2()1(121n n g n n s n ns s s s n n n =∴≥⋅-=-=+++∴-故存在关于n 的整式,)(n n g =使等式对于一切不小2的自然数n 恒成立.事实上, 数列{a n }是等差数列, 你知道吗？例5 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。

据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由. 讲解 设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为41.0290120≈，而它是蓝色的概率为59.0290170≈. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的.例6 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图： （A ）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;（B ）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个. 请你根据提供的信息解答下列问题：（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？ （2）哪一年的规模最大？为什么？ 讲解 （1）设第n 年的养鸡场的个数为n a ，平均每个养鸡场出产鸡n b 万只，由图（B ）可知, 1a =30，,106=a 且点),(n a n 在一直线上，),6,5,4,3,2,1(=n从而 ;6,5,4,3,2,1,434=-=n n a n由图（A ）可知, ,2,161==b b 且点),(n b n 在一直线上，),6,5,4,3,2,1(=n于是 ;6,5,4,3,2,1,54=+=n n b n 22),(26b a 个==2.156=（万只），2.3122=b a （万只） 第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；（2）由2.31)(,2,4131)49(5222max 2===+--=b a b a n n b a n n n n 时当（万只）， 第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.例7 已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点.（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.（1）由曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，知曲线M 的方程为x y 42=.（2）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=,4),1(3),1(32x y x y x y 由 消y 得 .3,31,03103212===+-x x x x 解出于是, A 点和B 点的坐标分别为A )332,31(，B （3，32-），.3162||21=++=x x AB 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|， 即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131()316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得因为9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.故知直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由.32,1),1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得 即当点C 的坐标是（－1，32）时，三点A ，B ，C 共线，故32≠y . 2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB .(i) 当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角.(ii) 当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即CBA y ∠-<时3310为钝角.(iii)当222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y++++->， ① ②32-(3，32-)332x y 42=即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.故当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 需要提及的是, 当△ABC 为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.例8 已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足关系式)()()(a bf b af b a f +=⋅.（1）求f （0），f （1）的值；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（3）若)()2(,2)2(N n nf u f n n ∈==-，求数列{u n }的前n 项的和S n . 讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧. （1）在)()()(a bf b af b a f +=⋅中,令,0==b a 得 0)0(0)0(0)00()0(=⋅+⋅=⋅=f f f f . 在)()()(a bf b af b a f +=⋅中,令,1==b a 得 )1(1)1(1)11()1(f f f f ⋅+⋅=⋅=，有 0)1(=f . （2）)(x f 是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上 ,0)1()1(])1[()1(2=----=-=f f f f ,0)1(=-∴f),()1()()1()(x f xf x f x f x f -=-+-=⋅-=- 故)(x f 为奇函数.（2） 从规律中进行探究,进而提出猜想. 由 ),(2)()()(2a af a af a af a f =+= )(3)()()(2223a f a a af a f a a f =+=, ……………………………… 猜测 )()(1a f naa f n n-=.于是我们很易想到用数学归纳法证明.1° 当n=1时，)(1)(01a f a a f ⋅⋅=，公式成立； 2°假设当n=k 时，)()(1a f kaa f k k-=成立，那么当n=k +1时，)()1()()()()()(1a f a k a f ka a f a a af a f a a f k k k k k k +=+=+=+，公式仍然成立.综上可知，对任意)()(,1a f na a f N n n n -=∈成立.从而 )21()21()2(1f n f u n nn ⋅==--.,0)2(21)21(2)212()1(,2)2(=+=⋅==f f f f f∴21)2(41)21(-=-=f f ，),()21()21(1N n u n n ∈⋅-=-.故 ).(1)21(211])21(1[21N n S n n n ∈-=---=例9 若01>a 、11≠a ，nnn a a a +=+121),,(，⋯=21n(1)求证：n n a a ≠+1； (2)令211=a ，写出2a 、3a 、4a 、5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ； (3)证明：存在不等于零的常数p ，使}{nn a pa +是等比数列，并求出公比q 的值. 讲解 (1)采用反证法. 若n n a a =+1，即n nna a a =+12, 解得 .10，=n a从而1011,===⋯⋯==-a a a n n 2a 与题设01>a ,11≠a 相矛盾， 故n n a a ≠+1成立. (2) 211=a 、322=a 、543=a 、984=a 、17165=a , 12211+=--n n n a .（3）因为n n n n a p a p a p a 2211++=+++)( 又q a pa a p a nn n n ⋅+=+++11, 所以02122=-+-+)()(q p a q p n , 因为上式是关于变量n a 的恒等式，故可解得21=q 、1-=p .我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗?例10 如图，已知圆A 、圆B 的方程分别是()(),412,42522222=+-=++y x y x 动圆P 与圆A 、圆B 均外切，直线l 的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=21a a x ． （1）求圆P 的轨迹方程，并证明：当21=a 时，点P 到点B 的距离与到定直线l 距离的比为定值；（2） 延长PB 与点P 的轨迹交于另一点Q ，求PQ 的最小值；（3）如果存在某一位置，使得PQ 的中点R 在l 上的射影C ，满足,QC PC ⊥求a 的取值范围．讲解（1）设动圆P 的半径为r ，则｜PA ｜＝ｒ＋25，｜PB| = r + 21， ∴ |PA| －｜PB| = 2．∴ 点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为 1322=-y x （x ≥1）．若21=a , 则l 的方程21=x 为双曲线的右准线, ∴点P 到点B 的距离与到l 的距离之比为双曲线的离心率e = 2.(2)若直线PQ 的斜率存在，设斜率为k ，则直线PQ 的方程为y = k ( x －2 )代入双曲线方程, 得()034432222=--+-k x k xk由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+-=>--=+>∆0334034022212221k k x x k k x x ， 解得2k ＞３．∴ ｜PQ ｜＝632463)1(6||1222212>-+=-+=-+k k k x x k ． 当直线的斜率存在时，221==x x ，得3,321-==y y ，｜PQ|＝６． ∴ ｜PQ|的最小值为６．（3）当PQ ⊥QC 时，P 、C 、Q 构成Rt △. ∴ R 到直线l 的距离｜RC|＝a x PQ R -=2|| ① 又 ∵ 点P 、Q 都在双曲线1322=-y x 上， ∴221||21||=-=-Q P x QB x PB ． ∴21||||=-++Q P x x QB PB ，即 24||-=R x PQ ．∴ 42||+=PQ x R ②将②代入①得a PQ PQ -+=42||2||，｜PQ ｜＝２－４a ≥6． 故有ａ≤－１．“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.。