过哪些点能够作三次函数图象的三条切线

过哪些点能够作三次函数图象的三条切线
中图分类号： 文献标识码： 文章编号：
2007年高考全国卷理22题为
已知函数3()f x x x =-．
（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；
（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f x -<<．
此题第（II ）小题的结论颇赖人寻味。

通过研读相关资料上所提供的“参考答案”能够发现：当0a >时，()a b f x -<<也是过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线的充分条件．并且易知y x =-为()y f x =在其对称中心(0,0)处的切线．于是，我们有如下更直观的结果：
设函数3()f x x x =-，则过点(,)M a b ' （0a >）可作曲线C ：()y f x =的三条切线当且仅当点M '位于曲线C 与
C 在其对称中心处的切线l 所夹的右侧区
域内（边界除外）．（如图１）．
我们更感兴趣的是，对于一般的
三次函数，是否仍有类似结论？ 通
过探索可知，答案是肯定的．
定理 过点M 可作三次函数图象C
的三条切线，当且仅当点M 位于图象C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的左、
右两个区域内（边界除外）．
为方便读者形象直观的理解，我们根据三次函数首项系数的正（如图1）负（如图2）画出相对应的示意图如下：
____________________
收稿日期：2007-08-
图1　三次函数
图2 三次函数
证 设三次函数为 32()f x ax bx cx d =+++ （0a ≠），点M 的坐标
为00(,)x y ，点(,())A t f t 为三次函数()y f x =图象C 上的一点．则点A 处 的切线方程为 ()()()y f t f t x t '-=-．于是，切线过点M ，等价于存有实数t ，使
00()()()y f t f t x t '-=- (1) 注意到（1）是关于t 的三次方程（易知3
t 的系数不为0），则过点M 可作C 的三条切线，当且仅当关于t 的方程（1）有三个相异的实数根．
记 00()()()()g t y f t f t x t '=---，则 0()()()()()g t f t f t x t f t '''''=---+
0()()t x f t ''=-
02()(3)t x at b =-+．
若03b x a
=-，则20()6()g t a t x '=-，()g t 为R 上的单调函数，方程()0g t =有且仅有一个实数根．
若03b x a ≠
-，则()g t '在点0x 附近的函数值异号，在点3b a
-附近的函图3 三次函数
数值也异号，故0x 和3b a
-都是()g t 的极值点．于是结合函数()g t 的单调性知，方程()0g t =有三个相异的实数根，当且仅当
003()()03b x a b g x g a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪⋅-<⎪⎩
即 000003[()][()()()]0333b x a b b b y f x y f f x a a a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪'-⋅----+<⎪⎩
（2） 由文[1]、[2]知，三次函数()y f x =的图象有唯一对称中心(,())33b b N f a a
--．而C 在点N 处的切线l 的方程为 ()()()333b b b y f f x a a a
'--=-+ 故直线0x x =与C 及l 的交点纵坐标分别为
0()f x 及 0()()()333b b b f f x a a a '-
+-+． 因为03b x a
≠-，故上述两纵坐标不相等。

注意到不等式组（2）的第二式为关于0y 的一元二次不等式，并且20y 项的系数为正，故满足上述不等
式组的点00(,)M x y 位于C 和l 所夹的左、右两个区域内（边界除外）．证毕．
参考文献：
[1] 管宏斌．三次函数对称中心初探．数学通讯，2004(15)．
[2] 刘国杰．三次函数图象对称性的探索．数学通讯，2006(20)．。