中考数学第一轮复习圆中成比例的线段(最新整理)
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分析：由切割线定理有 PA2 PB PC ，可得直径 BC 的长，要求 AD AE ，由△ACE∽
△ADB 得 AD AE CA BA ，也就是求 CA、BA 的长。 解：连结 CE ∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线∴ PA2 PB PC
又 PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15 ∵PA 切⊙O 于 A，∴∠PAB＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB∽△PCA
A F
∵AB＝6，BC＝3，∴BE＝12，ED＝6
E
D
又 FD DG EG DC ，FD＝ r －OD，DG＝ r ＋OD
O
C
B
∴ (r OD)(r OD) 6 3 ，OD＝2 G
∴ r 2 22 18 ， r 22
例3图
探索与创新：
【问题一】如图，已知 AB 切⊙O 于点 B，AB 的垂直平分线 CF 交 AB 于 C，交⊙O
分析：先满足 AM 与⊙O 相切，求出相应的 a 值，看它是否是小于 17 的正数即可。
解：当 AM 与⊙O 相切于点 P 时，有 MP＝AM－AP＝AM－AB＝AM－6
∵MC＝ a ，AC＝3，∠ACM＝900
∴AM＝ a 2 9 ，又 MD＝MC－CD＝ a 1 ME＝MC－CE＝ a 9 ， MP 2 MD ME ∴ ( a 2 9 6)2 (a 1)(a 9) 即11a 2 180a 0 ，解得 a 180 （ a 0 已舍去）
11
Bຫໍສະໝຸດ Baidu
D C A
O
E
MF
问题图 2
∵ 0 180 17 11
跟踪训练：
∴存在这样的正数 a ，使得 AM 与⊙O 相切。
一、选择题：
1、PT 切⊙O 于 T，割线 PAB 经过 O 点交⊙O 于 A、B，若 PT＝4，PA＝2，则 cos∠BPT＝
（）
4
A、
5
1
B、
2
3
C、
8
3
D、
4
2、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AD∶BC＝1∶2，AB＝35，PD＝40，则过点 P 的⊙O
∴AB＝6，∠ACM＝900 又∵△ACM∽△NEM，∴∠NEM＝900
连结 BO 并延长交 EN 于点 G ∵CB 切⊙O 于 B，∴∠GBC＝900 ∴∠GBC＝∠BCE＝∠GEC＝900 ∴四边 BCEG 是矩形 ∴∠EGB＝900，G 为 NE 的中点 ∴EN＝2EG＝＝2CB＝6＝AB
（2）如图，当 M 在射线 EF 上时，若 a 为小于 17 的正数，问是否存在这样的 a ，使得 AM 与⊙O 相切？若存在，求出 a 的值；若不存在，试说明理由。
于 D、E，设点 M 是射线 CF 上的任一点，CM＝ a ，连结 AM，若 CB＝3，DE＝8。探索：
（1）当 M 在线段 DE（不含端点 E）上时，延长 AM 交⊙O 于点 N，连结 NE，若△ACM∽△ NEM，请问：EN 与 AB 的大小关系。
分析：如图 1，由△ACM∽△NEM 可得∠NEM＝900，连结 BO 并延长交 EN 于 G，可 证 BO 垂直平分 EN，即可证明 EN＝AB，结论就探索出来了。 解：∵AB 的垂直平分线 CF 交 AB 于 C，CB＝3
23.圆中成比例的线段
知识考点：
1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关 圆中比例线段问题的有力工具。
2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。
精典例题：
【例 1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线 BMN 交 AD 的延长线 于 C，且 BM＝MN＝NC，若 AB＝2。求：
∴ AB PA 10 1 AC PC 20 2
∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB＝900
∴ AC 2 AB 2 BC 2 225 ∴AC＝ 6 5 ，AB＝ 3 5
A
C
O D
B
P
E
例2图
又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB ∴△ACE∽△ADB，∴ AB AD AE AC
∴ AD AE AB AC 6 5 3 5 90
的切线长是（ ）
A、60
B、 40 2
C、 35 2
D、50
C
D O
P
A
C A
D C
O B
P
A
BQ
B
第 2 题图
第 3 题图
T
P
第 4 题图
3、如图，直线 PQ 与⊙O 相切于点 A，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线 AC 交⊙O 于点 C，
连结 CB 并延长与 PQ 相交于 Q 点，若 AQ＝6，AC＝5，则弦 AB 的长是（ ）
【例 3】如图，AB 切⊙O 于 A，D 为⊙O 内一点，且 OD＝2，连结 BD 交⊙O 于 C，BC＝CD＝ 3，AB＝6，求⊙O 的半径。
分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。
解：延长 BD 交⊙O 于 E，两方延长 OD 交⊙O 于 F、G，设⊙O 的半径为 r
∵BA 切⊙O 于 A，∴ AB 2 BC BE
N
CD
O
A
∴ CD CN CM 2 14
AC
7
例1图
∴ r 1 ( AC CD) 1 ( 14 2 14 ) 5 14
2
2
7
14
【例 2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点 O 的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC
的平分线与 BC 和⊙O 分别交于点 D 和 E，求 AD AE 的值。
（1）BC 的长；
（2）⊙O 的半径 r 。
分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理 来解题。
解：（1）设 BM＝MN＝NC＝ x ，由切割线定理可得： AB 2 BN BM
即 22 x(x x) 解得： x 2 ，∴BC＝ 3x 3 2
；
B M
（2）在 Rt△ABC 中，AC＝ BC 2 AB 2 14 由割线定理可得： CD AC CN CM
A、3
B、5
10
C、
3
24
D、
5
4、如图，PT 切⊙O 于 T，PBA 是割线，与⊙O 的交点是 A、B，与直线 CT 的交点是 D，
已知 CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么 PB＝（ ）
A、10
B、20
C、5
D、 8 5
二、填空题：
1、如图，PA 切⊙O 于 A，PB＝4，PO＝5，则 PA＝
。
2、如图，两圆相交于 C、D，AB 为公切线 A、B 为切点，CD 的延长线交 AB 于点 M，若 AB＝12，
△ADB 得 AD AE CA BA ，也就是求 CA、BA 的长。 解：连结 CE ∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线∴ PA2 PB PC
又 PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15 ∵PA 切⊙O 于 A，∴∠PAB＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB∽△PCA
A F
∵AB＝6，BC＝3，∴BE＝12，ED＝6
E
D
又 FD DG EG DC ，FD＝ r －OD，DG＝ r ＋OD
O
C
B
∴ (r OD)(r OD) 6 3 ，OD＝2 G
∴ r 2 22 18 ， r 22
例3图
探索与创新：
【问题一】如图，已知 AB 切⊙O 于点 B，AB 的垂直平分线 CF 交 AB 于 C，交⊙O
分析：先满足 AM 与⊙O 相切，求出相应的 a 值，看它是否是小于 17 的正数即可。
解：当 AM 与⊙O 相切于点 P 时，有 MP＝AM－AP＝AM－AB＝AM－6
∵MC＝ a ，AC＝3，∠ACM＝900
∴AM＝ a 2 9 ，又 MD＝MC－CD＝ a 1 ME＝MC－CE＝ a 9 ， MP 2 MD ME ∴ ( a 2 9 6)2 (a 1)(a 9) 即11a 2 180a 0 ，解得 a 180 （ a 0 已舍去）
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Bຫໍສະໝຸດ Baidu
D C A
O
E
MF
问题图 2
∵ 0 180 17 11
跟踪训练：
∴存在这样的正数 a ，使得 AM 与⊙O 相切。
一、选择题：
1、PT 切⊙O 于 T，割线 PAB 经过 O 点交⊙O 于 A、B，若 PT＝4，PA＝2，则 cos∠BPT＝
（）
4
A、
5
1
B、
2
3
C、
8
3
D、
4
2、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AD∶BC＝1∶2，AB＝35，PD＝40，则过点 P 的⊙O
∴AB＝6，∠ACM＝900 又∵△ACM∽△NEM，∴∠NEM＝900
连结 BO 并延长交 EN 于点 G ∵CB 切⊙O 于 B，∴∠GBC＝900 ∴∠GBC＝∠BCE＝∠GEC＝900 ∴四边 BCEG 是矩形 ∴∠EGB＝900，G 为 NE 的中点 ∴EN＝2EG＝＝2CB＝6＝AB
（2）如图，当 M 在射线 EF 上时，若 a 为小于 17 的正数，问是否存在这样的 a ，使得 AM 与⊙O 相切？若存在，求出 a 的值；若不存在，试说明理由。
于 D、E，设点 M 是射线 CF 上的任一点，CM＝ a ，连结 AM，若 CB＝3，DE＝8。探索：
（1）当 M 在线段 DE（不含端点 E）上时，延长 AM 交⊙O 于点 N，连结 NE，若△ACM∽△ NEM，请问：EN 与 AB 的大小关系。
分析：如图 1，由△ACM∽△NEM 可得∠NEM＝900，连结 BO 并延长交 EN 于 G，可 证 BO 垂直平分 EN，即可证明 EN＝AB，结论就探索出来了。 解：∵AB 的垂直平分线 CF 交 AB 于 C，CB＝3
23.圆中成比例的线段
知识考点：
1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关 圆中比例线段问题的有力工具。
2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。
精典例题：
【例 1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线 BMN 交 AD 的延长线 于 C，且 BM＝MN＝NC，若 AB＝2。求：
∴ AB PA 10 1 AC PC 20 2
∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB＝900
∴ AC 2 AB 2 BC 2 225 ∴AC＝ 6 5 ，AB＝ 3 5
A
C
O D
B
P
E
例2图
又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB ∴△ACE∽△ADB，∴ AB AD AE AC
∴ AD AE AB AC 6 5 3 5 90
的切线长是（ ）
A、60
B、 40 2
C、 35 2
D、50
C
D O
P
A
C A
D C
O B
P
A
BQ
B
第 2 题图
第 3 题图
T
P
第 4 题图
3、如图，直线 PQ 与⊙O 相切于点 A，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线 AC 交⊙O 于点 C，
连结 CB 并延长与 PQ 相交于 Q 点，若 AQ＝6，AC＝5，则弦 AB 的长是（ ）
【例 3】如图，AB 切⊙O 于 A，D 为⊙O 内一点，且 OD＝2，连结 BD 交⊙O 于 C，BC＝CD＝ 3，AB＝6，求⊙O 的半径。
分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。
解：延长 BD 交⊙O 于 E，两方延长 OD 交⊙O 于 F、G，设⊙O 的半径为 r
∵BA 切⊙O 于 A，∴ AB 2 BC BE
N
CD
O
A
∴ CD CN CM 2 14
AC
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例1图
∴ r 1 ( AC CD) 1 ( 14 2 14 ) 5 14
2
2
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【例 2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点 O 的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC
的平分线与 BC 和⊙O 分别交于点 D 和 E，求 AD AE 的值。
（1）BC 的长；
（2）⊙O 的半径 r 。
分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理 来解题。
解：（1）设 BM＝MN＝NC＝ x ，由切割线定理可得： AB 2 BN BM
即 22 x(x x) 解得： x 2 ，∴BC＝ 3x 3 2
；
B M
（2）在 Rt△ABC 中，AC＝ BC 2 AB 2 14 由割线定理可得： CD AC CN CM
A、3
B、5
10
C、
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D、
5
4、如图，PT 切⊙O 于 T，PBA 是割线，与⊙O 的交点是 A、B，与直线 CT 的交点是 D，
已知 CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么 PB＝（ ）
A、10
B、20
C、5
D、 8 5
二、填空题：
1、如图，PA 切⊙O 于 A，PB＝4，PO＝5，则 PA＝
。
2、如图，两圆相交于 C、D，AB 为公切线 A、B 为切点，CD 的延长线交 AB 于点 M，若 AB＝12，