第3讲函数的奇偶性与周期性 (1)

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2.3函数的奇偶性周期性1

A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。
11.(全国高考题)下列函数中，既是偶函数又
在 (0,+ ∞)单调递增的函数是( B )
A．y x3 B．y | x | 1 C．y x2 1 D．y 2|x|
12.【安徽】下列函数中，既是偶函数又存在零
点的是（ D ）
f (x)
2 sin(x ) 2x2 x
4
的最大值为M，最小
2x2 cosx
值为m，则M+m= . 2
考点、题型
考点三利用函数奇偶性求函数的表达式
xa
1. 已知函数f(x)= 则f(x)= x
1 x2
.1
x2 是定义在R上的奇函数，法一:(定义法)；法二:[f(0)=0]
(A)y=lnx (B) y=x2+1 (C) y=sinx (D)y=cosx
考点、题型
考点二函数奇偶性的应用
1. （重庆高考）若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实
数a= 4 .
2. 【小题快练1】(必修1P39T6改编)已知函数f(x)
是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)= x2 1，
偶函数；
(5)幂函数y=xα：α为奇数时，幂函数y=xα为奇函数， α为偶数时，幂函数y=xα为偶函数；
知识梳理
3. 基本初等函数奇偶性 (6) y=sinx是奇函数； (7) y=cosx是偶函数； (8) y=tanx是奇函数； 4. 判断函数奇偶性的方法
(1) 定义法：①先求定义域，②计算f(-x),③判断f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),④下结论 (2) 图像法 (3) 性质法(常用结论)

函数奇偶性、周期性、对称性（一）

函数奇偶性、周期性、对称性（一）函数的奇偶性、周期性、对称性一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x 都满足① f (x) f (x) 函数f (x) 为偶函数；② f (x) f (x) f (x) f (x) 0 函数f (x) 为奇函数.2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数.3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x) 0 ，xD ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数 f (x) 在区间[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则f (x) 在区间[b,a] 上也是单调递增（减）；③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数 f (x) 在区间[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则f (x) 在区间[b,a] 上也是单调递减（增）；④任意定义在R 上的函数f (x) 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) .2 2二、函数的周期性1．函数的周期性定义：对于函数f (x) ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个个x 值，都满足f (x T ) f (x) ，那么函数f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，应注意nT （n Z 且n 0 )也是函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f (x) 的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x) 的最小正周期.并非所有的函数都有最小正周期，如 f (x) c （ c 为常数），任意一个实数x 都是该函数的一个周期，却没有最小正周期.三、函数的对称性1．函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.2．中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.【必记结论】1．奇函数f (x) 若在x 0 处有定义，则必有f (0) 0 ，但若不能判断奇函数 f (x) 的定义域中一定有x 0 ，则不能使用f (0) 0 ，求取参数的值.2．函数f (x) 的定义域关于原点对称，则函数F (x) f (x) f (x) 为偶函数，函数F (x) f (x) f (x) 为奇函数.3．几类函数的周期(约定a 0 )问题：① 若函数f (x) 满足：f (x a) f (x a) 或f (x a) f (x) 或f (x a) kf (x)( f (x) 0, k 0) ，或f (x a) kf (x) ( f (x) 0, k 0) ,或f (x a) 1 f (x) 或f (x a) f (x) b 等，则f (x) 的周期T 2a ；1 f (x)②若y f (x) 的图象关于直线x a , x b (a b) 对称，则函数y f (x) 是周期为2 a b 的周期函数；③若y f (x) 的图象关于(a,0) 对称，同时关于点(b,0) 对称，（ b a ），则函数y f (x) 是周期为2 | b a | ；④若y f (x) 的图象关于x a 对称，同时关于点(b,0) 对称，（ b a ），则函数y f (x) 是周期为4 | b a | .4．函数y f (x) 的图像的对称性①函数y f (x) 的图像关于直线x a 对称 f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) .②函数y f (x) 的图像关于点(a,0) 对称 f (x)f (2ax) f (a x) f (a x) .③函数y f (x) 满足f (a x) f (b x) ，则y f (x) 的图像关于直线x b a2对称.④ 若函数y f (x) 对定义域中任意x 均有f (a x) f (b x)c 0 ，则函数y f (x) 的图像关于点( a b , c ) 成中心对称图形.5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.③二次函数f (x) ax 2 bx c(a 0) ：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x b .2a k ④反比例函数y (k 0) ：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，x y x 与y x 均为它的对称轴.推广：函数a (cx d ) b ad b ady ax b c ca c c 2，由函数图象的平移知识易知：函数cx d cx d c x d c dax 2 的对称中心为(, ) .（思考：如何快速作出函数y c c 2x 5 的图象？找对称中心，化分母变量的系数为正，并将分母为零点时的自变量的值代入分子，看正负，从而快速画出图形.）⑤函数y a | x b | c 的图象关于直线x b 对称.b c ⑥函数y | ax b | | ax c | (a 0) 的对称轴为xa abc ；2 2a y | ax b | | ax c | (a 0) 的对称中心为( b c , 0) .⑦函数y x a (a 0) 是奇函数，图象关于原点(0, 0) 对称.x⑧函数y Asin( x ) k 、y A cos( x ) k 的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，它们的对称轴在函数取得最值（最大或最小）时取到，它们的对称中心是“平衡点”.⑨三次函数f (x) ax 3 bx 2 cx d (a 0) 的图象是中心对称图形，对称中心为( b3a, f ( b )) （二阶导数为零时的自变量的取值为对称中心的横坐标，在该点的函3a 数值是对称中心的纵坐标）.⑩绝对值函数：这里主要说的是y f (| x |) 和y | f (x) | 两类.前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称；后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y ln x 就没有对称性，而y | sin x | 却仍然是轴对称.6．两个函数图像的对称性①互为反函数的两个函数的图像关于直线y x 对称.如指数函数ya x 与对数函数y log a x 的图象关于直线y x 对称.②函数y f (a x) 与函数y f (b x) 的图像关于直线x b a对称.③函数y f (a wx) 与函数y f (b wx) 的图像关于直线x b a2w对称.【解题方法】1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2．函数奇偶性的判断方法：①定义法判断，步骤：1）求出函数的定义域；2）判断定义域是否关于原点对称；3）根据定义域化简函数的解析式，并求出f (x) ；4）判断f (x) f (x) 或f (x) f (x) 是否对定义域内的每一个x 恒成立（恒成立要给予证明，否则要举出反例，若在函数f (x) 的定义域内有 f (m) f (m) ，则可以断定 f (x) 不是偶函数，同样，若在函数 f (x) 的定义域内有 f (m) f (m) ，则可以断定 f (x) 不是奇函数）；（1）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (x) 与f (x) 的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．（2）对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．②函数的图像法判断（函数的图像是否关于原点对称；函数的图像是否关于y 轴对称）；③函数f (x), g(x) 的公共定义域关于原点对称1）若函数f (x), g(x) 都为奇函数或都为偶函数，则函数F (x) f (x)g(x) 为偶函数；2）若函数f (x), g(x) 其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则函数F (x) 为奇函数；f (x)g(x)3）若函数f (x), g(x) 都为奇函数，则函数F (x) f (x) g(x) 为奇函数；4）若函数f (x), g(x) 都为偶函数，则函数F (x) f (x) g(x) 为偶函数.复合函数y f [g(x)] 的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇.3．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数：常采用待定系数法，利用f (x) f (x) 0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.4．如果函数f (x) 是偶函数，那么f (x) f (| x |) ，通常在求解与偶函数、单调性有关的不等式时，利用此公式进行转化所求解的不等式.5．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．6．对抽象函数的周期性、对称性问题的总结①当括号里面x 前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆.②而当x 前面的符号相同时告诉我们的是周期性.③当x 前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力.7．证明一个函数y f (x) 关于直线x a 对称的步骤：①设函数y f (x) 图像上的任意点(x, y) ；②找到点(x, y) 关于直线x a 的对称点(2a x, y) ；③设法证明点(2a x, y) 也在函数y f (x) 的图像上；④下结论.8．证明一个函数y f (x) 关于点(a, b) 对称的步骤：①设函数y f (x) 图像上的任意点(x, y) ；② 找到点(x, y) 关于点(a, b) 的对称点(2a x, 2b y) ；③ 设法证明点(2a x, 2b y) 也在函数y f (x) 的图像上；④下结论.9．对于证明两个函数的图像关于直线x a 对称或关于点(a, b) 对称的方法参照一个函数的证明方法进行即可.10．已知定义在R 上的周期函数f (x) ，周期为T ，函数f (x) 的一个对称中心为(a, b) 或对T T 称轴为x a ，则点(k a, b) 必是函数f (x) 的对称中心，直线x k a 必是函 2 2 数 f (x) 的对称轴（每相邻两个对称中心之间相差半周期，每相邻两条对称轴之间相差半周期，只要有有一个对称中心，根据周期就可求出所有的对称中心，只要知道一条对称轴，就可以根据周期找出所有的对称轴，但是由对称中心及周期，却不能找出对称轴，同样由对称轴及周期，也不能找到对称中心）.11．若函数y f (x) 有对称中心，则函数y f (x) 的对称中心求解类型有：①若函数y 的横坐标；②若函数y 坐标；f (x) 的定义域有对称中心，则对称中心的横坐标就是定义域的对称中心f (x) 的值域有对称中心，则对称中心的纵坐标就是值域的对称中心的纵③ 若函数y f (x) 的定义域与值域都是R ，则设对称中心为(a, b) ，由f (a x) f (a x) 2b 确定参数a, b 的值即可.④上些具体函数的对称中心问题：三次函数的对称中心，可通过二阶导数为零求出，对于一些明显可以来奇函数平移得来的函数，可以借用奇函数的性质与平移方法得到函数的对称中心.注：函数y 111 的对称中心为 n , 0 .x x 1 x n 2 【易错提醒】1．判断函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.如函数f (x) x 2 (x 1) ，该函数是没有奇偶性，但如果没有判断函数的定义域，而直接f (x) (x) 2 x 2 f (x) ，容易得出错误的结论：f (x) x 2 (x 1) 是偶函数.2．奇函数f (x) 在x 0 处可以没有定义，如f (x) 定义，则f (0) 0 .1 ；但如果奇函数f (x) 在x 0 处有x3．周期函数f (x) 的定义域至少有一边是无界的.如：命题“ 函数f (x) sin x 在[1000 ,1000 ] 是周期函数”是错误的；命题“函数f (x) sin x 在[0, ) 是最小正周期为2 的周期函数”是正确的，该函数没有负周期；命题“函数f (x) sin x 在(, 0] 是周期为 2 的周期函数”是正确的，但该函数却没有最小正周期.4．有对称性（对称轴x a ，对称中心(a, b) ）的一个或两个函数的定义域必须关于x a对称.5．在具体练习中，务必注意一个函数的对称性还是两个函数对称性，这两者是有区别的.如函数y f (x) 满足 f (2 x) f (4x) ，则函数y f (x) 的图象关于直线x 2 4 3 对称；函数y 2 x 2 4 1 对称.2f (2 x) 的图象与函数y f (x 4) 的图象则关于直线。

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1] (1)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．x x e e y --= 解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ， ∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案：D(2)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝lg|x | C ．y ＝(x －1)2 D ．y ＝2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得A 是奇函数，B 是偶函数，C ，D 为非奇非偶函数．答案：B(3)函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3，则( )A ．不具有奇偶性B ．只是奇函数C ．只是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．答案：D[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称． (3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) 1－x1＋x；(2)f(x)＝lg1－x1＋x.解：(1)要使函数有意义，则1－x1＋x≥0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由1－x1＋x＞0⇒－1＜x＜1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg 1＋x1－x＝lg1)11(-+-xx＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值[例2](1)下列函数不是周期函数的是()A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)解析：y＝sin x与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0. 答案：02．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.考点三函数奇偶性的综合应用命题点1.已知奇偶性求参数2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值[例3](1)若函数f(x)＝2x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为() A．(－∞，－1)B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1＞3，即2x＋12x－1－3＞0，即2x＋1－3(2x－1)2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C. 答案：C(2)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且)21(f ＝25.①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.解：①∵在x ∈(－1,1)上f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )＝ax1＋x 2. 又∵)21(f ＝25，∴a21＋14＝25.解得，a ＝1.∴f (x )＝x 1＋x 2，经检验适合题意． ②证明：由f ′(x )＝1＋x 2－2x 2(1＋x 2)2＝1－x 2(1＋x 2)2.x ∈(－1,1)时，1－x 2＞0，∴f ′(x )＞0 ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．③由f (t －1)＋f (t )＜0，得f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．∴⎩⎨⎧－1＜t －1＜1－1＜－t ＜1t －1＜－t得0＜t ＜12.(3)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x ) 解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )．答案：C[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在定义域内恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析：a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，则b ＝0，∴a ＋b ＝13. 答案：132．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且)21(f ＝0，则满足f (x )＜0的x 的集合为( )A.),2()21,(+∞⋃-∞∪(2，＋∞)B.)1,21(∪(1,2)C.)21,0(∪(2，＋∞)D.)1,21(∪(2，＋∞)解析：选C.由题意可得f ＝f＜0＝)21(f ，又f (x )在[0，＋∞)上递减，所以＞12，即x ＞12或x ＜－12，解得0＜x ＜12或x ＞2，所以满足不等式f＜0的x 的集合为)21,0(∪(2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则)21()21(-+f f 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213 解析：选A.由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则)21(f －1＋)21(-f －1＝0，所以)21()21(-+f f ＝2.[方法探究]“多法并举”解决抽象函数性质问题[典例] (2017·山东泰安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系] ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )隐含了用什么结论？什么方法探究？ ②f (x ＋2)＝－f (x )，隐含了什么结论？用什么方法探究．③若f (x )的图象关于x ＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？ ④f (x )在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？ ⑤f (2)，f (0)从何处计算．[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．(赋值法)：令x＝y＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．第四步：f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)[答案]①②③④[回顾反思]此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.2．(2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，)21()21(-=+x f x f .则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D.由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x ＞12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.3．(2016·高考四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则)25(-f ＋f (1)＝________.解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值． ∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0.∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，∴)25(-f ＝)21()21()225(f f f -=-=+-＝－4⨯12＝－2.∴)25(-f ＋f (1)＝－2.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1.答案：15．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则)23(f ＝________.解析：由已知易得)21(-f ＝12)21(42=+-⨯-，又由函数的周期为2，可得)23(f ＝)21(-f ＝1. 答案：1课时规范训练 A 组基础演练1．下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数y ＝x )21(，是非奇非偶函数．2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．x x y -+=22D ．y ＝lg1x ＋1解析：选D.选项D 中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y ＝lg 1x ＋1不是奇函数也不是偶函数，选项A 为偶函数，选项B 为奇函数，选项C 为偶函数．3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选A.由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.4．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 解析：选A.当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ， ∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则)25(f ＝( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1解析：选D.因为f (x )是周期为3的周期函数，所以)25(f ＝)21()321(-=+-f f ＝4×2)21(-－2＝－1，故选D.6．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 解析：f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15. 答案：－157．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，则f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1. 答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 解析：由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以－h (x )＋g (x )＝x e x -- ②.由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1. 答案：19．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：设x ∈(0，＋∞)，∴－x ∈(－∞，0)，∴f (－x )＝x lg(2＋x )， ∵f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，∴f (x )＝－x lg(2＋x )．又∵当x ＝0时，f (0)＝0，适合f (x )＝－x lg(2＋x ) ∴f (x )＝⎩⎨⎧－x lg (2＋x ) x ∈[0，＋∞)－x lg (2－x ) x ∈(－∞，0)10．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)，显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ，因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2，当a ≤0时，f ′(x )＞0，则f (x )在[2，＋∞)上是增函数；当a ＞0时，令f ′(x )＝2x 3－a x 2≥0，解得x ≥32a ，由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，可知32a ≤2，解得0＜a ≤16.综上，实数a 的取值范围是(－∞，16]．B 组能力突破1．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的 ( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A. 2．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x x a a --＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2解析：选B.∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ，∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解析：选D.由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )是以8为周期的周期函数．f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 均有f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)且f (2 016)＝2 016，则f (2 028)＝________.解析：∵x ∈R ，f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2)－f (x )＝－f (x －2)，∴f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f (x )，则函数f (x )是以12为周期的函数．又∵f (2 016)＝2 016，∴f (2 028)＝f (2 028－12)＝f (2 016)＝2 016.答案：2 0165．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有)()()(2121x f x f x x f +=⋅．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．。

2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性

(1)函数f(x)=x3(x≥0)是奇函数.( × )
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象

(完整版)函数的奇偶性与周期性

高考数学(人教a版,理科)题库：函数的奇偶性与周期性(含答案)

第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3 解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x－1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．1解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 08．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案－19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－72＋⎝⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－8三、解答题11．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y ＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝12(x－2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1. ∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154. 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

人教版高一数学必修第三节函数的奇偶性与周期性

第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．5．设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－14B ．－12C.14D.12解析：选C 因为f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－12＝－14，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝14. 6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )A ．403B ．405C ．806D ．809解析：选B 定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.7．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________．解析：由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝ln 1e2＝－2，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)＝f (2)＝ln 2. 答案：ln 28．(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________.解析：法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x 为奇函数，故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2. 所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4. 法二：由已知得f (a )＝a ＋1a－1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 答案：－49．(2019·陕西一测)若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax，x ∈[－4，－1]的值域为________．解析：由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即⎣⎡⎦⎤－2，－12. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，－12 10．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是____________．解析：当x >0时，lg x >0，所以x >1，当x <0时，由奇函数的对称性得－1<x <0，故填(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．f (x )为R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．解：当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1. 由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以当x <0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋3x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x <0.12．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.B 级1．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 因为f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，所以当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f (x )＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.2．(2019·洛阳统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________. 解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ln(e －x ＋1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝ln(e －x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e －x ＋1e x ＋1＝ln 1e x ＝－x ，∴2a ＝－1，解得a ＝－12.法二：(特殊值法)由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)， ∴ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，∴2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －1＋1e ＋1＝ln 1e ＝－1，∴a ＝－12.答案：－123．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。

第二章 2.3函数奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于坐标原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)1．(2015·福建)下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案 D解析对于D ，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．故选D.2．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．c ＜b ＜a答案 B解析由函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0，所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B.4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (32)＝________.答案 1解析函数的周期是2，所以f (32)＝f (32－2)＝f (－12)，根据题意得f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． (2)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]． ∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x )． ∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性是( )A ．F (x )是奇函数，G (x )是奇函数B ．F (x )是偶函数，G (x )是奇函数C ．F (x )是偶函数，G (x )是偶函数D ．F (x )是奇函数，G (x )是偶函数答案 (1)C (2)B解析 (1)易知f (x )|g (x )|的定义域为R ， ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|， ∴f (x )|g (x )|为奇函数．(2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )＝－G (x )， ∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二函数的周期性例2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)337 (2)2.5解析 (1)∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016) ＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝337. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ，③若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝________________________________________________________________________. 答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 题型三函数性质的综合应用命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．又g (x )是偶函数， ∴g (－1)＝g (1)．∵f (－1)＋g (1)＝2，∴g (1)－f (1)＝2.① 又f (1)＋g (－1)＝4， ∴f (1)＋g (1)＝4.②由①②，得g (1)＝3.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 (1)A (2)D解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A. (2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)， f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误．解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k ， ∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ). 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论；②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系；③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防范]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验． 2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组专项基础训练 (时间：35分钟)1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是( ) A ．y ＝log 2|x |B ．y ＝cos 2xC ．y ＝2x －2－x 2 D ．y ＝log 22－x 2＋x答案 A解析对于A ，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于B ，函数y ＝cos 2x 在区间(1,2)上不是增函数；对于C ，函数y ＝2x －2－x 2不是偶函数；对于D ，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数，故选A.2．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1， g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln 11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12－1＝g (lg 2)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 12＝0，因此f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝2. 3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 答案 A解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 019)＝－2.4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 答案 A解析由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1， ∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 二、填空题6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案－－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0， f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________．答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)． 8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2解析依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2.三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，53B.⎝⎛⎭⎫－∞，53 C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎫53，＋∞ 答案 A解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)，∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53. 12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．答案 7解析因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确结论的序号是________．答案 ①②⑤解析对于①，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，故2是函数f (x )的一个周期，故①正确；对于②，由于函数f (x )是偶函数，且函数f (x )是以2为周期的函数，则f (2－x )＝f (x －2)＝f (x )，即f (2－x )＝f (x )，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故②正确；对于③，由于函数f (x )是偶函数且在[－1,0]上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数f (x )在[0,1]上是减函数，故③错误；对于④，由于函数f (x )是以2为周期的函数且在[－1,0]上为增函数，由周期函数的性质知，函数f (x )在[1,2]上是增函数，故④错误；对于⑤，由于函数f (x )是以2为周期的函数，所以f (2)＝f (0)，故⑤正确．综上所述，正确结论的序号是①②⑤.15．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。

高考数学第2章函数、导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性创高三全册数学

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解析答案
4．设函数 f(x)＝cosπ2－xπ2＋x＋e2x＋e2的最大值为 M，最小值为 N，则(M
＋N－1)2020 的值为( )
A．1
B．2
C．22020
D．32020
解析由已知 x∈R，f(x)＝cosπ2－xπ2＋x＋e2x＋e2＝sinπx＋xx2＋2＋ee22＋2ex＝
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1
PART ONE
基础知识过关(guò〃guān)
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1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内偶函数任意一个x，都有 01 f(－x)＝f(x) ，那关于 02 y轴对称
么函数f(x)就叫做偶函数
第二章函数(hánshù)、导数及其应用第3讲函数(hánshù)的奇偶性与周期性
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[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点) 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.
3．(2019·衡水模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若 x＞0 时，f(x)
＝xln x，则 x＜0 时，f(x)＝( )
A．xln x
B．xln (－x)

第二章第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性-2025年高考数学备考

第二章函数第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.函数的奇偶性2023新高考卷ⅠT11；2023新高考卷ⅡT4；2023全国卷乙T4；2023全国卷甲T13；2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T4；2021全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT13；2021新高考卷ⅡT8；2021新高考卷ⅡT14；2020全国卷ⅡT9；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅡT14；2019全国卷ⅢT11本讲为高考命题重点，命题热点有函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求解析式、求函数值、解不等式等，函数周期性的判断及应用.题型以选择题、填空题为主，函数性质综合命题时难度中等偏大.预计2025年高考命题稳定，备考时注重常规题型训练的同时，关注命题角度创新试题及抽象函数性质的灵活运用.函数的周期性2022新高考卷ⅠT12；2022新高考卷ⅡT8；2022全国卷乙T12函数图象的对称性2022全国卷乙T12函数性质的综合应用2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T12；2021新高考卷ⅡT8；2021全国卷甲T12；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅢT11学生用书P0241.函数的奇偶性奇偶性定义图象特征特性单调性奇函数一般地，设函数f （x ）的定义域为D ，如果∀x ∈D ，都有－x ∈D ，且①f （－x ）＝关于②原点对称.（1）如果定义域中包含0，那么f （0）＝③0.（2）若函数在关于原在关于原点对称的区间上单调性⑤相同.－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.点对称的区间上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝④0.偶函数一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且⑥f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.关于⑦y轴对称.f（x）＝f（｜x｜）.在关于原点对称的区间上单调性⑧相反.注意（1）只有函数在x＝0处有定义时，f（0）＝0才是f（x）为奇函数的必要不充分条件；（2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.规律总结1.常见的奇（偶）函数（1）函数f（x）＝a x＋a－x为偶函数，函数g（x）＝a x－a－x为奇函数；（2）函数f（x）＝－－＋－＝2－12+1为奇函数，函数g（x）＝log a－＋为奇函数；（3）函数f（x）＝log a（x＋2+1）为奇函数，函数g（x）＝log a（2+1－x）也为奇函数.2.函数奇偶性的拓展结论（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.2.函数的周期性（1）周期函数一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且⑨f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.（2）最小正周期如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的⑩最小正周期.注意并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5.常用结论函数周期性的常用结论设函数y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b.（1）若f（x＋a）＝－f（x），则2a是函数f（x）的周期；（2）若f（x＋a）＝±1（），则2a是函数f（x）的周期；（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则｜a－b｜是函数f（x）的周期.3.函数图象的对称性已知函数f（x）是定义在R上的函数，（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线⑪x＝＋2对称.（2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点⑫（＋2，2）对称.注意（1）奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有对称性.（2）注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内x的符号相同，对称性的表示中，括号内x的符号相反.常用结论函数f（x）图象的对称性与周期的关系（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a与直线x＝b对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；（2）若函数f（x）的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；（3）若函数f（x）的图象既关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为4｜b－a｜.1.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2＋1，则f（－1）＝（A）A.－2B.0C.1D.22.函数f（x）＝r1图象的对称中心为（B）A.（0，0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）解析由题知f（x）＝r1＝1＋1，其图象可由y＝1的图象向上平移一个单位长度得到，又y＝1的图象关于（0，0）对称，所以f（x）＝1＋1的图象关于（0，1）对称.3.[多选]以下函数为偶函数的是（AC）A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x3C.f（x）＝x2＋cos xD.f（x）＝1＋｜x｜4.已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x（x－1），则当x＞0时，f（x）＝x（x＋1）.5.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x－2），当x∈[0，2）时，f（x）＝x2－4x，则当x∈[4，6）时，f（x）＝x2－12x＋32.解析设x∈[4，6），则x－4∈[0，2），则f（x－4）＝（x－4）2－4（x－4）＝x2－12x ＋32.又f（x）＝f（x－2），所以函数f（x）的周期为2，所以f（x－4）＝f（x），所以当x∈[4，6）时，f（x）＝x2－12x＋32.6.[2024北京市海淀区中国农业大学附属中学模拟]若f（x）＝＋，<0，B－1，>0是奇函数，则a＝1，b＝1.解析由f（x）为奇函数，知f（－x）＝－f（x），当x＞0时，可得－x＋a＝－bx＋1，所以b＝1，a＝1.学生用书P026命题点1函数的奇偶性角度1判断函数的奇偶性例1（1）[全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（B）A.f（x）g（x）是偶函数B.f（x）｜g（x）｜是奇函数C.｜f（x）｜g（x）是奇函数D.｜f（x）g（x）｜是奇函数解析因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（x）g（x）为奇函数，f（x）·｜g（x）｜为奇函数，｜f（x）｜g（x）为偶函数，｜f（x）g（x）｜为偶函数，故选B.（2）[2021全国卷乙]设函数f （x ）＝1－1+，则下列函数中为奇函数的是（B ）A.f （x －1）－1B.f （x －1）＋1C.f （x ＋1）－1D.f （x ＋1）＋1解析解法一因为f （x ）＝1－1+，所以f （x －1）＝1－（－1）1+（－1）＝2－，f （x ＋1）＝1－（r1）1+（r1）＝－r2.对于A ，F （x ）＝f （x －1）－1＝2－－1＝2－2，定义域关于原点对称，但不满足F （x ）＝－F （－x ）；对于B ，G （x ）＝f （x －1）＋1＝2－＋1＝2，定义域关于原点对称，且满足G （x ）＝－G （－x ）；对于C ，f （x ＋1）－1＝－r2－1，定义域不关于原点对称；对于D ，f （x ＋1）＋1＝－r2＋1，定义域不关于原点对称.故选B.解法二f （x ）＝1－1+＝2－（r1）1+＝21+－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f （x ）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f （x －1）＋1，故选B.方法技巧1.（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；（2）若定义域关于原点对称，则判断f （x ）与f （－x ）是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断f （x ）＋f （－x ）＝0（奇函数）或f （x ）－f （－x ）＝0（偶函数）是否成立.2.在公共定义域内有：奇函数±奇函数＝奇函数，偶函数±偶函数＝偶函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数×偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数.注意对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断f （－x ）＝f （x ）或f （－x ）＝－f （x ）是否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.角度2函数奇偶性的应用例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]若f （x ）＝（x ＋a ）·ln 2－12r1为偶函数，则a ＝（B ）A.－1B.0C.12D.1解析解法一设g（x）＝ln2－12r1，易知g（x）的定义域为（－∞，－12）∪（12，＋∞），且g（－x）＝ln－2－1＝ln2r12－1＝－ln2－12r1＝－g（x），所以g（x）为奇函数.若－2r1f（x）＝（x＋a）ln2－12r1为偶函数，则y＝x＋a应为奇函数，所以a＝0，故选B.解法二因为f（x）＝（x＋a）ln2－12r1为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln3，f（1）＝（a＋1）ln13＝－（a＋1）ln3，所以（a－1）ln3＝－（a＋1）ln3，解得a＝0，经检验，满足题意，故选B.（2）[2024江苏南通模拟]已知定义在R上的函数f（x），g（x）分别是奇函数和偶函数，且f（x）＋g（x）＝x2－2x，则f（2）＋g（1）＝－3.解析由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，得f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），∵f（x）＋g（x）＝x2－2x，∴f（－x）＋g（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，即－f（x）＋g（x）＝x2＋2x，则有f（x）＝－2x，g（x）＝x2，则f（2）＋g（1）＝－4＋1＝－3.方法技巧函数奇偶性的应用类型及解题策略（1）求函数解析式或函数值：借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数值，或利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组）求解析式.（2）求参数值：利用定义域关于原点对称或f（x）±f（－x）＝0列方程（组）求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.注意利用特殊值法求参数时要检验.训练1（1）[2024辽宁鞍山一中模拟]下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（C）A.f（x）＝x ln xB.f（x）＝ln（－x＋2+1）C.f（x）＝e x＋e－xD.f（x）＝e x－e－x解析对于A，因为f（x）＝x ln x的定义域为（0，＋∞），不关于原点对称，所以f（x）＝x ln x不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为f（x）＝ln（－x＋2+1）的定义域为R，关于原点对称，f（x）＋f（－x）＝ln（－x＋2+1）＋ln（x＋2+1）＝ln 1＝0，所以f （x ）＝ln （－x ＋2+1）是奇函数，故B 选项不符合题意；对于C ，因为f （x ）＝e x ＋e －x 的定义域为R ，关于原点对称，且f （－x ）＝e －x ＋e x ＝f （x ），所以f （x ）＝e x ＋e －x 是偶函数.f '（x ）＝e x －e －x ，当x ∈（0，＋∞）时，有e ＞e 0=1>e －，则f '（x ）＝e x －e －x ＞0，所以f （x ）＝e x ＋e －x 在（0，＋∞）上单调递增，故C 选项符合题意；对于D ，因为f （x ）＝e x －e －x 的定义域为R ，关于原点对称，但f （－x ）＝e －x －e x ＝－（e x －e －x ）＝－f （x ），所以f （x ）＝e x －e －x 是奇函数，故D 选项不符合题意.故选C.（2）[2024江苏省扬州中学模拟]定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝2x －a ·3－x ，当x ＜0时，f （x ）＝3x －2－x.解析因为函数f （x ）为奇函数，定义域为R ，所以f （0）＝20－a ×30＝0，解得a ＝1.若x ＜0，则－x ＞0，所以f （－x ）＝2－x －3x ，又f （x ）为奇函数，所以当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝3x －2－x ，即当x ＜0时，f （x ）＝3x －2－x .命题点2函数的周期性例3（1）已知f （x ＋1）是定义在R 上且周期为2的函数，当x ∈[－1，1）时，f （x ）＝－22+4,－1≤<0，sin π，0≤<1，则f （3）·f （－103）＝（A）A.3B.－3C.解析因为f （x ＋1）是定义在R 上且周期为2的函数，所以f （x ）也是周期为2的函数，（解题关键：由f （x ＋1）的周期得到f （x ）的周期）则f （3）＝f （－1）＝－2＋4＝2，f （－103）＝f （23）＝sin 2π3＝f （3）·f （－103）＝2＝3，故选A.（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝f （x ）·f （y ），f （1）＝1，则∑J122f （k ）＝（A ）A.－3B.－2C.0D.1解析因为f （1）＝1，所以在f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝f （x ）f （y ）中，令y ＝1，得f （x ＋1）＋f （x －1）＝f （x ）f （1），所以f （x ＋1）＋f （x －1）＝f （x ）①，所以f （x＋2）＋f （x ）＝f （x ＋1）②.由①②相加，得f （x ＋2）＋f （x －1）＝0，故f （x ＋3）＋f （x ）＝0，所以f （x ＋3）＝－f （x ），所以f （x ＋6）＝－f （x ＋3）＝f （x ），所以函数f （x ）的一个周期为6.在f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝f （x ）f （y ）中，令x ＝1，y ＝0，得f （1）＋f （1）＝f （1）f （0），所以f （0）＝2，再令x ＝0，代入f （x ＋3）＋f （x ）＝0，得f （3）＝－2.令x ＝1，y ＝1，得f （2）＋f （0）＝f （1）f （1），所以f （2）＝－1.由f （x ＋3）＋f （x ）＝0，得f （1）＋f （4）＝0，f （2）＋f （5）＝0，f （3）＋f （6）＝0，所以f （1）＋f （2）＋…＋f （6）＝0，根据函数的周期性知，∑J122f （k ）＝f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4）＝f （2）＋f （3）＝－1－2＝－3，故选A.方法技巧（1）利用函数的周期性可以将局部的函数性质扩展到整体.（2）判断抽象函数的周期一般需要对变量进行赋值.训练2（1）[2024广东梅州模拟]已知函数f （x ）＝e r1，≤1，－（－1),>1，则f （2024－ln 2）＝（A ）A.－22B.－2C.2D.22解析当x ＞1时，f （x ）＝－f （x －1），则f （x ＋2）＝－f （x ＋1）＝f （x ），所以x ＞1时，f （x ）是周期为2的函数.因为2024－ln 2＝2022＋2－ln 2，且2＞2－ln 2＞2－ln e ＝1，所以f （2024－ln 2）＝f （2－ln 2）＝－f （1－ln 2）＝－e1－ln 2＋1＝－e 2e ln2＝－e 22.故选A.（2）[2024云南部分名校联考]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）＋f （4－x ）＝0，当0≤x ≤2时，f （x ）＝a ·2x ＋x 2，则f （2024）＝－1.解析因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）＋f （4－x ）＝0，所以f （x ）＝－f （4－x ）＝－f （x －4），f （x －4）＝－f （x －8），所以f （x ）＝f （x －8），故f （x ）是以8为周期的函数，则f （2024）＝f （0）.令x ＝2，则f （2）＋f （4－2）＝2f （2）＝8a ＋8＝0，则a ＝－1，所以f （0）＝－20＝－1，即f （2024）＝－1.命题点3函数图象的对称性例4（1）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （－x ）＝2－f （x ），若函数y ＝r1与y ＝f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑i=1（x i ＋y i ）＝（B）A.0B.mC.2mD.4m解析由f （－x ）＝2－f （x ）知f （x ）的图象关于点（0，1）对称，而y ＝r1＝1＋1的图象也关于点（0，1）对称，因此两个函数图象的交点也关于点（0，1）对称，且成对出现，则x1＋x m＝x2＋x m－1＝…＝0，y1＋y m＝y2＋y m－1＝…＝2，所以∑i=1（x i＋y i）＝0×2＋2×2＝m.（2）函数f（x）＝（x2－1）（e x－e－x）＋x＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为2.解析设g（x）＝（x2－1）（e x－e－x）＋x，则f（x）＝g（x）＋1.因为g（－x）＝（x2－1）（e－x－e x）－x＝－g（x），且g（x）的定义域关于原点对称，所以g（x）是奇函数.由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，故M＋N＝[g（x）＋1]max＋[g（x）＋1]min＝2＋g（x）max＋g（x）min＝2.方法技巧1.解决与函数图象的对称性有关的问题，应结合题设条件的结构特征及对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，进而利用对称性解决求值或参数问题.2.常用结论：三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象的对称中心为（－3，f（－3））.训练3（1）[多选]关于函数f（x）＝sin x＋1sin，下列结论正确的是（BC）A.f（x）的图象关于y轴对称B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的图象关于直线x＝π2对称D.f（x）的最小值为2解析由题意知f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称.又f（－x）＝sin（－x）＋1sin（－）＝－（sin x＋1sin）＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以A错误，B正确.因为f（π－x）＝sin（π－x）＋1sin（π－）＝sin x＋1sin＝f（x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝π2对称，C正确.当sin x＜0时，f（x）＜0，所以D错误.故选BC.（2）已知函数f（x）＝x3－3x2＋x＋1＋sin（x－1），则函数f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为0.解析由三次函数图象的对称性可得，y＝x3－3x2＋x＋1的图象的对称中心为（1，0），因为y＝sin（x－1）的图象也关于（1，0）对称，所以函数f（x）在（0，2）上的图象关于（1，0）对称，所以f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为0.命题点4函数性质的综合应用例5（1）[2021全国卷甲]设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（92）＝（D）A.－94 B.－32 C.74 D.52解析因为f（x＋1）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，即有f（x）＋f（2－x）＝0，令x＝1，得f（1）＝0，即a＋b＝0①，令x＝0，得f（0）＝－f（2）.因为f（x＋2）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，即有f（x）－f（4－x）＝0，令x＝1，得f（3）＝f（1），所以f（0）＋f（3）＝－f（2）＋f（1）＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2.根据函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，且关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的周期为4，所以f（92）＝f（12）＝－f（32）＝2×（32）2－2＝52.（2）[2024平许济洛第一次质检]定义在R上的偶函数f（x）满足f（2－x）＋f（x）＝0，且f（x）在[－2，0]上单调递增.若a＝f（tan5π18），b＝f（3），c＝f（log43），则（A）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜b＜aD.c＜a＜b解析由f（2－x）＋f（x）＝0可得f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，由f（x）为偶函数可得f（x）的图象关于y轴对称，根据函数周期性结论可得函数f（x）的周期为4，所以f（3）＝f（3－4）＝f（－1）＝f（1），因为0＜log43＜1，1＝tanπ4＜tan5π18＜tanπ3＝3＜2，所以0＜log43＜1＜tan5π18＜2，因为偶函数f（x）在[－2，0]上单调递增，所以函数f（x）在（0，2]上单调递减，所以f（tan5π18）＜f（1）＝f（3）＜f（log43），即a＜b＜c.故选A.方法技巧1.对于函数单调性与奇偶性的综合问题，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.2.对于函数周期性与奇偶性的综合问题，常利用奇偶性及周期性将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的自变量的取值范围内求解.3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.训练4（1）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝e x＋x2＋x，则不等式f（2－a）＋f（2a－3）＞0的解集为（B）A.（－1，＋∞）B.（1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－∞，1）解析易知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且在（0，＋∞）上，f（x）＞1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（x）在（－∞，0）上单调递增，且在（－∞，0）上f（x）＜－1，故f（x）在R上单调递增.原不等式可化为f（2－a）＞－f（2a－3），即f（2－a）＞f（3－2a），所以2－a＞3－2a，故a＞1，选B.（2）[2024湖北部分重点中学联考]已知函数y＝f（x）是R上的奇函数，∀x∈R，都有f（2－x）＝f（x）＋f（2）成立，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2024）＝0.解析因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.因为∀x∈R，都有f（2－x）＝f（x）＋f（2），所以令x＝2，得f（0）＝2f（2），得f（2）＝0，所以f（2－x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，且函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，则f（1）＋f（3）＝0，又f（2）＝0，f（4）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2024）＝506[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＝0.学生用书P028抽象函数问题的解题策略策略1赋值法例6[多选/2023新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）＋x2f（y），则（ABC）A.f（0）＝0B.f（1）＝0C.f（x）是偶函数D.x＝0为f（x）的极小值点解析解法一令x＝y，则有f（x2）＝2x2f（x）.当x＝0时，可得f（0）＝0，A正确.当x ＝1时，可得f（1）＝2f（1），所以f（1）＝0，B正确.因为f（（－x）2）＝2（－x）2·f（－x），即f（x2）＝2x2f（－x），所以f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，C 正确.因为无法判断函数f（x）的单调性，所以无法确定f（x）的极值点，故D不正确，故选ABC.解法二取x＝y＝0，则f（0）＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f（1）＝f（1）＋f（1），所以f（1）＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f（1）＝f（－1）＋f（－1），所以f（－1）＝0，取y＝－1，则f（－x）＝f（x）＋x2f（－1），所以f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故C正确；因为f（0）＝0，且函数f（x）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f（x）的极小值点，也可能为函数f（x）的极大值点，也可能不是函数f（x）的极值点，故D不正确.综上，选ABC.方法技巧赋值法是指利用已知条件，对变量赋值，从而得出抽象函数在某点处的函数值或抽象函数的性质.策略2性质转化法例7（1）[2022全国卷乙]已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）＋g（2－x）＝5，g（x）－f（x－4）＝7.若y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则∑22J1f（k）＝（D）A.－21B.－22C.－23D.－24解析由y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，可得g（2＋x）＝g（2－x）.在f（x）＋g（2－x）＝5中，用－x替换x，可得f（－x）＋g（2＋x）＝5，可得f（－x）＝f（x）①，所以y＝f（x）为偶函数.在g（x）－f（x－4）＝7中，用2－x替换x，得g（2－x）＝f（－x－2）＋7，代入f（x）＋g（2－x）＝5中，得f（x）＋f（－x－2）＝－2②，所以y＝f（x）的图象关于点（－1，－1）中心对称，所以f（1）＝f（－1）＝－1.由①②可得f （x ）＋f （x ＋2）＝－2，所以f （x ＋2）＋f （x ＋4）＝－2，所以f （x ＋4）＝f （x ），所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数.由f （x ）＋g （2－x ）＝5可得f （0）＋g （2）＝5，又g （2）＝4，所以可得f （0）＝1，又f （x ）＋f （x ＋2）＝－2，所以f （0）＋f （2）＝－2，得f （2）＝－3，又f （3）＝f （－1）＝－1，f （4）＝f （0）＝1，所以∑J122f （k ）＝5（f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4））＋f （1）＋f （2）＝－24.故选D.（2）[多选/2022新高考卷Ⅰ]已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，记g （x ）＝f '（x ）.若f （32－2x ），g （2＋x ）均为偶函数，则（BC ）A.f （0）＝0B.g （－12）＝0C.f （－1）＝f （4）D.g （－1）＝g （2）解析解法一（转化法）因为f （32－2x ）为偶函数，所以f （32－2x ）＝f （32＋2x ），函数f （x ）的图象关于直线x ＝32对称，则f （－1）＝f （4），所以C 正确；因为g （2＋x ）为偶函数，所以g （2＋x ）＝g （2－x ），函数g （x ）的图象关于直线x ＝2对称，因为g （x ）＝f'（x ），所以函数g （x ）的图象关于点（32，0）对称，（二级结论：若函数h （x ）为偶函数，则其图象上在关于y 轴对称的点处的切线的斜率互为相反数，即其导函数的图象关于原点对称.本题函数f （x ）的图象关于直线x ＝32对称，则其导函数g （x ）的图象关于点（32，0）对称）因为g （x ）的定义域为R ，所以g （32）＝0.由g （x ）的图象既关于直线x ＝2对称，又关于点（32，0）对称，知g （x ）的周期T ＝4×（2－32）＝2，所以g （－12）＝g （32）＝0，g （－1）＝g （1）＝－g （2），所以B 正确，D 错误；不妨取f （x ）＝1（x ∈R ），经验证满足题意，则f （0）＝1，所以选项A 不正确.综上，选BC.解法二（特例法）因为f （32－2x ），g （2＋x ）均为偶函数，所以函数f （x ）的图象关于直线x ＝32对称，函数g （x ）的图象关于直线x ＝2对称.取符合题意的一个函数f （x ）＝1（x ∈R ），则f （0）＝1，排除A ；取符合题意的一个函数f （x ）＝sin πx ，则f'（x ）＝πcos πx ，即g （x ）＝πcos πx ，所以g （－1）＝πcos （－π）＝－π，g （2）＝πcos 2π＝π，所以g （－1）≠g （2），排除D.又该题为多选题，选BC.方法技巧1.思路：利用题设中的条件等式，将其变形为满足函数某些性质的定义表达式，从而利用这些性质转化求解.2.设函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R.（1）若f（x）的图象关于x＝a对称，则f'（x）的图象关于（a，0）对称；（2）若f（x）的图象关于（a，b）对称，则f'（x）的图象关于x＝a对称；（3）若f（x）是以T为周期的函数，则f'（x）也是以T为周期的函数.注意利用函数图象的平移变换解决抽象函数性质问题时，注意在进行图象变换的同时，函数图象的对称轴或者对称中心也进行了相应的变换.策略3特殊函数模型法例8定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），f（1）＝2，则f（－3）＝（C）A.2B.3C.6D.9解析解法一由函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），联想到函数模型f（x）＝x2＋bx，由f（1）＝2，可得b＝1，则f（x）＝x2＋x，所以f（－3）＝（－3）2＋（－3）＝6.解法二f（1）＝f（1＋0）＝f（1）＋f（0）＋2×1×0＝f（1）＋f（0），得f（0）＝0；f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）＋f（1）＋2×（－1）×1＝f（－1）＋2－2＝f（－1），得f（－1）＝0；f（－2）＝f（－1－1）＝f（－1）＋f（－1）＋2×（－1）×（－1）＝2f（－1）＋2＝2；f（－3）＝f（－2－1）＝f（－2）＋f（－1）＋2×（－2）×（－1）＝2＋0＋4＝6.故选C.方法技巧常用函数模型抽象函数性质基本函数模型f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy二次函数f（x）＝x2＋bxf（xy）＝f（x）f（y）或f（）＝（）（）幂函数f（x）＝xαf（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝（）（）指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（）＝f（x）－对数函数f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）f（y）f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）余弦函数f（x）＝cosωx（ω一般取满足要求的最小正数）注意应用特殊函数模型法解题时，要注意检验所选模型是否满足已知条件.训练5（1）[新高考卷Ⅰ]若定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是（D）A.[－1，1]∪[3，＋∞）B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞）D.[－1，0]∪[1，3]解析由题意知f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝f（2）＝f（0）＝0.当x＞0时，令f（x－1）≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令f（x－1）≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.（2）[多选/2024安徽省阜阳市模拟]已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x－y）＝f（x）－f（y）＋1，且f（1）＝0，当x＞0时，f（x）＜1.则下列选项正确的是（ACD）A.f（0）＝1B.f（2）＝－2C.f（x）－1为奇函数D.f（x）为R上的减函数解析解法一设f（x）＝kx＋1，因为f（1）＝0，所以k＝－1，所以f（x）＝－x＋1，满足x＞0时，f（x）＜1，则易得A，C，D均正确，故选ACD.解法二对于A，取x＝y＝0，则f（0）＝f（0）－f（0）＋1，故f（0）＝1，A正确；对于B，取x＝0，y＝1，则f（－1）＝f（0）－f（1）＋1＝2，取x＝1，y＝－1，则f（2）＝f（1）－f（－1）＋1＝－1，B错误﹔对于C，取x＝0，则f（－y）＝f（0）－f（y）＋1＝2－f（y），f（－y）－1＝－[f（y）－1]，则f（y）－1为奇函数，所以f（x）－1为奇函数，C正确；对于D，当x1＞x2时，x1－x2＞0，f（x1－x2）＜1，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2）－1＜0，故f（x）是R上的减函数，D正确，故选ACD.（3）已知函数f（x）满足f（1）＝14，且4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）（x，y∈R），则f（2024）＝－14.解析解法一令y＝1，得4f（x）f（1）＝f（x＋1）＋f（x－1），即f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x）＝－f（x－1），即f（x＋3）＝－f（x），所以函数f（x）的周期为6，则f（2024）＝f（2）.令x＝1，y＝0，得f（0）＝12，由f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），可得f（2）＝f（1）－f（0）＝－14，所以f（2024）＝－14.解法二因为f（x＋y）＋f（x－y）＝4f（x）f（y），x，y∈R，联想到余弦函数模型cos（x＋y）＋cos（x－y）＝2cos x cos y，两边同除以2，得12cos（x＋y）＋12cos（x－y）＝cos x cos y＝4·12cos x12cos y，故猜想f（x）＝12cos（ωx），又f（1）＝14，则f（1）＝12cosω＝14，当ω∈（0，π）时，可得ω＝π3，即f（x）＝12cos（π3x），故f（x）的周期为T＝6，所以f（2024）＝f（2）＝12cos2π3＝－14.1.[命题点1角度2/全国卷Ⅱ]设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x－1，则当x＜0时，f（x）＝（D）A.e－x－1B.e－x＋1C.－e－x－1D.－e－x＋1解析依题意得，当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（e－x－1）＝－e－x＋1，故选D.2.[命题点1角度2/2023全国卷乙]已知f（x）＝x e B－1是偶函数，则a＝（D）A.－2B.－1C.1D.2解析解法一f（x）的定义域为{x｜x≠0}，因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），即x e B－1＝－x－e－B－1，即e（1－a）x－e x＝－e（a－1）x＋e－x，即e（1－a）x＋e（a－1）x＝e x＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0（舍去）或a＝2，故选D.解法二f（x）＝x e B－1＝e（－1）－e－，f（x）是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e（a-1）x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.3.[命题点2，3/多选/2024江苏省兴化市名校联考]已知函数f（x）为R上的奇函数，g（x）＝f（x＋1）为偶函数，下列说法正确的有（ABD）A.f（x）图象关于直线x＝－1对称B.g（2023）＝0C.g（x）的周期为2D.对任意x∈R都有f（2－x）＝f（x）解析因为函数f （x ）为R 上的奇函数，所以函数f （x ）的图象关于点（0，0）中心对称，因为g （x ）＝f （x ＋1）为偶函数，所以f （－x ＋1）＝f （x ＋1），即函数f （x ）的图象关于x ＝1对称，所以f （－x ＋1）＝－f （－x －1），所以f （x －1）＝f （－x －1），所以函数f （x ）的图象关于x ＝－1对称，故A 正确；由f （－x ＋1）＝f （x ＋1）可得f （2－x ）＝f （x ），故D 正确；由f （2－x ）＝f （x ）可得f （2＋x ）＝f （－x ）＝－f （x ），所以f （4＋x ）＝f （x ），即函数f （x ）的周期为4，故C 错误；因为f （x ）的周期为4，所以g （2023）＝f （2024）＝f （0）＝0，故B 正确.故选ABD.4.[命题点3/2023大同学情调研]函数f （x ）＝6e +1＋B ｜｜+1在[－5，5]上的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N ＝（C ）A.3B.4C.6D.与m 的值有关解析由题意可知，f （x ）＝6e +1＋B ｜｜+1＝3－3（e －1）e +1＋B ｜｜+1，设g （x ）＝－3（e －1）e +1＋B ｜｜+1，则g （x ）的定义域为（－∞，＋∞），g （－x ）＝－3（e －－1）e －+1＋（－）｜－｜+1＝－[－3（e －1）e +1＋B ｜｜+1]＝－g （x ），所以g （x ）为奇函数，所以当x ∈[－5，5]时，g （x ）max ＋g （x ）min ＝0，所以当x ∈[－5，5]时，f （x ）max ＋f （x ）min ＝M ＋N ＝g （x ）max ＋3＋g （x ）min ＋3＝6，故选C.5.[思维帮角度1，2/2021新高考卷Ⅱ]设函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋2）为偶函数，f （2x ＋1）为奇函数，则（B ）A.f （－12）＝0B.f （－1）＝0C.f （2）＝0D.f （4）＝0解析因为函数f （2x ＋1）是奇函数，所以f （－2x ＋1）＝－f （2x ＋1），所以f （1）＝0，f （－1）＝－f （3）.因为函数f （x ＋2）是偶函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ＋2），所以f （3）＝f （1），所以f （－1）＝－f （1）＝0.故选B.6.[思维帮角度2/多选/2023四省联考]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（－∞，0]上均单调递减，则（BD ）A.f （f （1））＜f （f （2））B.f （g （1））＜f （g （2））C.g（f（1））＜g（f（2））D.g（g（1））＜g（g（2））解析因为f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在（－∞，0]上均单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增，g（x）在[0，＋∞）上单调递减，即g（x）在R上单调递减，所以f（1）＜f（2），g（2）＜g（1）＜g（0）＝0，（提示：定义在R上的奇函数的图象必过原点）所以f（g（1））＜f（g（2）），g（f（1））＞g（f（2）），g（g（1））＜g（g（2）），故B，D正确，C不正确.若f（1）＜f（2）＜0，则f（f（1））＞f（f（2）），故A不正确.综上所述，选BD.学生用书·练习帮P2661.[2024黑龙江省鸡西市第一中学模拟]下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（C）A.f（x）＝tan（－x）B.f（x）＝2－xC.f（x）＝e－x－e xD.f（x）＝2解析f（x）＝tan（－x）＝－tan x的定义域是{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故A错误；f（x）＝2－x＝（12）x既不是奇函数也不是偶函数，在R上单调递减，故B错误；f（x）＝e－x－e x的定义域为R，∵f（－x）＝e x－e－x＝－f（x），∴f（x）是奇函数，∵y＝e－x，y＝－e x均为R上的减函数，∴f（x）在R上单调递减，故C正确；f（x）＝2的定义域为{x｜x≠0}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故D错误.故选C.2.若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝e x，则g（x）＝（D）A.e x－e－xB.12（e x＋e－x）C.12（e－x－e x）D.12（e x－e－x）解析因为f（x）＋g（x）＝e x，f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，所以f（－x）＋g（－x）＝f（x）－g（x）＝e－x，所以g（x）＝12（e x－e－x）.故选D.3.已知函数f（x）＝2+2，≥0，2－2，<0，若f（－a）＋f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（C）A.[－1，0）B.[0，1]C.[－1，1]D.[－2，2]解析若x＜0，则－x＞0，f（－x）＝x2－2x＝f（x），若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝x2＋2x＝f（x），故函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，函数f（x）单调递增，由f（－a）＋f（a）≤2f（1），得2f（a）≤2f（1），即f（a）≤f（1），所以｜a｜≤1，所以－1≤a≤1.故选C.4.[2024青岛市检测]若函数f（x）＝cos x·lg（2＋－x）为奇函数，则m＝（C）A.－1B.0C.1D.±1解析解法一因为函数f（x）＝cos x·lg（2＋－x）为奇函数，又y＝cos x为偶函数，所以g（x）＝lg（2＋－x）为奇函数，则g（x）＋g（－x）＝0，即lg（2＋－x）＋lg（2＋＋x）＝0，即lg[（2＋－x）（2＋＋x）]＝lg（x2＋m－x2）＝lg m＝0，解得m＝1，故选C.解法二因为函数f（x）＝cos x·lg（2＋－x）为奇函数，又y＝cos x为偶函数，所以g（x）＝lg（2＋－x）为奇函数，所以g（0）＝0，即lg＝0，解得m＝1.经检验，符合题意.故选C.5.[2024安徽月考]已知函数f（x）＝2sin x＋x＋2，x∈[－2π，2π]，f（x）的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（A）A.4 D.2π＋3－1解析因为y＝2sin x＋x的图象关于原点对称，所以f（x）＝2sin x＋x＋2的图象关于点（0，2）对称，所以f（x）在[－2π，2π]上的最大值与最小值的和M＋m＝4.故选A.6.[2023南京市、盐城市一模]若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d满足f（1－x）＋f（1＋x）＝0对一切实数x恒成立，则不等式f'（2x＋3）＜f'（x－1）的解集为（C）A.（0，＋∞）B.（－∞，－4）C.（－4，0）D.（－∞，－4）∪（0，＋∞）解析由f（1－x）＋f（1＋x）＝0可知，函数f（x）的图象关于点（1，0）中心对称.解法一易得f'（x）＝3x2＋2bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，所以函数f'（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，则由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得｜2x＋3－1｜＜｜x－1－1｜，解得－4＜x＜0，故选C.解法二函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象的对称中心为点（－3，f（－3）），由－3＝1，a＝1，得b＝－3，所以f'（x）＝3x2－6x＋c，由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得3（2x＋3）2－6（2x＋3）＋c﹤3（x－1）2－6（x－1）＋c，解得－4＜x＜0，故选C. 7.[2024福州市一检]已知定义域为R的函数f（x）同时具有下列三个性质，则f（x）＝－x（答案不唯一）.（写出一个满足条件的函数即可）①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）；②f（x）是奇函数；③当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0.解析因为f（x）是奇函数，且当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0，即x＞－y时，f（x）＜－f（y）＝f（－y），所以f（x）是单调递减函数，再考虑到f（x＋y）＝f（x）＋f（y），所以f（x）＝kx（k＜0）都符合题意.8.已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1，则f（x）的解析式为f（x解析当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.由于f（x）是R上的奇函数，故f（x）＝－f（－x），所以当x＜0时，f（x）＝2x2＋3x－1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0.综上，f（x）的解析式为f（x）＝－22+3+1，>0，0，=0，22+3－1，<0.9.[2024安徽六校联考]已知函数f（x）＝ln（2+1＋x）－2+1，则不等式f（x）＋f（2x－1）＞－2的解集是（A）A.（13，＋∞）B.（1，＋∞）C.（－∞，13）D.（－∞，1）解析因为2+1＞｜x｜≥－x，所以2+1＋x＞0在R上恒成立，所以函数f（x）的定义域为R，f（x）＝ln（2+1＋x）＋（e－1）－（e+1）e+1＝ln（2+1＋x）＋e－1e+1－1，令h（x）＝f（x）＋1＝ln（2+1＋x）＋e－1e+1，则h（x）＋h（－x）＝[ln（2+1＋x）＋e－1e+1]＋[ln（2+1－x）＋e－－1e－+1]＝ln（2+1＋x）＋ln（2+1－x）＋e－1e+1＋1－e1+e＝ln1＋0＝0，所以h（x）是奇函数.设g（x）＝ln（2+1＋x），则g（x）为奇函数.当x≥0时，y＝2+1，y＝x均单调递增，则y＝2+1＋x在[0，＋∞）上单调递增.所以g（x）＝ln（2+1＋x）在[0，＋∞）上单调递增.又g（x）为奇函数且g（0）＝0，所以g（x）在R上单调递增.又y＝e x＋1在R上单调递增，所以y＝2e+1在R上单调递减，所以y＝－2e+1在R上单调递增，所以h（x）＝g（x）－2e+1＋1在R上单调递增.不等式f（x）＋f（2x－1）＞－2，即f（x）＋1＞－[f（2x－1）＋1]，也即h（x）＞－h（2x－1）＝h（1－2x），所以x＞1－2x，解得x＞13.故选A.10.[2024黄冈模拟]已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，记g（x）＝f'（x＋1），且f（2＋x）－f（2－x）＝4x，g（3＋x）为偶函数，则g'（7）＋g（17）＝（C）A.0B.1C.2D.3解析因为g（3＋x）为偶函数，g（x）＝f'（x＋1），所以f'（x＋4）＝f'（－x＋4），对f（2＋x）－f（2－x）＝4x两边同时求导，得f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4，所以有f'（4＋x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4－x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4＋x）＋f'（x）＝4⇒f'（8＋x）＝f'（x），所以函数f'（x）的周期为8，在f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4中，令x＝0，得f'（2）＝2，因此g（17）＝f'（18）＝f'（2）＝2.因为g（3＋x）为偶函数，所以有g（3＋x）＝g（3－x）⇒g'（3＋x）＝－g'（3－x）⇒g'（7）＝－g'（－1）①，f'（8＋x）＝f'（x）⇒g（7＋x）＝g（x－1）⇒g'（7＋x）＝g'（x－1）⇒g'（7）＝g'（－1）②，由①②可得：g'（7）＝0，所以g'（7）＋g（17）＝2，故选C.11.[多选/2024辽宁开学考试]已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x －1）＋f （x ＋3）＝0，当x ∈[－2，0]时，f （x ）＝2x －2－x ＋x ，则（ACD ）A.f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B.4是f （x ）的一个周期C.f （x ）在（0，2]上单调递增D.f （2024）＜f （12）＜f （0.50.2）解析由函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数可知，f （x ）为奇函数，则f （－x ）＝－f （x ）.又f （x －1）＋f （x ＋3）＝0，得f （x ）＋f （x ＋4）＝0，则f （x ＋4）＝－f （x ）＝f （－x ），所以f （x ＋2）＝f （2－x ），则f （x ）的图象关于直线x ＝2对称，A 项正确.由f （8＋x ）＝－f （4＋x ）＝f （x ）可知，8是f （x ）的一个周期，由f （x ）＝－f （x ＋4）可知，4不是f （x ）的一个周期，B 项错误.当x ∈[－2，0]时，易知f （x ）＝2x －2－x ＋x 为增函数，又f （x ）为奇函数，所以f （x ）在（0，2]上单调递增，C 项正确；又f （2024）＝f （8×253）＝f （0），0＜0.5＜0.50.2，且f （x ）在[－2，2]上单调递增，所以f （0）＜f （12）＜f （0.50.2），即f （2024）＜f （12）＜f （0.50.2），D 项正确.故选ACD.12.[多选/2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知函数y ＝f （x ）对任意实数x ，y 都满足2f （x ）f （y ）＝f （x ＋y ）＋f （x －y ），且f （1）＝－1，则（AC ）A.f （x ）是偶函数B.f （x ）是奇函数C.f （x ）＋f （1－x ）＝0D.∑J12025f （k ）＝1解析在2f （x ）f （y ）＝f （x ＋y ）＋f （x －y ）中，令x ＝1，y ＝0，可得2f （1）f （0）＝2f （1），即－2f （0）＝－2，解得f （0）＝1≠0，故f （x ）不是奇函数，B 错误；令x ＝0可得2f （0）f （y ）＝f （y ）＋f （－y ），即f （y ）＝f （－y ），故函数f （y ）是偶函数，即f （x ）是偶函数，故A 正确；令x ＝y ＝12，则2f 2（12）＝f （1）＋f （0）＝0，故f （12）＝0，令x ＝12，可得2f （12）f （y ）＝f （12＋y ）＋f （12－y ）＝0，故f （x ）＋f （1－x ）＝0，故C 正确；因为f （x ）是偶函数，所以f （x ）＝f （－x ），故f （－x ）＋f （1－x ）＝0，即f （x ）＋f （1＋x ）＝0，所以f （x ＋1）＋f （2＋x ）＝0，所以f （x ＋2）＝f （x ），故函数f （x ）的周期为2，因为f （1）＋f （0）＝0，f （1）＝－1，所以f （1）＋f （2）＝f （1）＋f （0）＝0，f （2025）＝f （1）＝－1，所以∑J12025f （k ）＝f （1）＋f （2）＋…＋f （2025）＝f （2025）＝f （1）＝－1，故D 错误.故选AC.13.[多选/2024南昌市模拟]f （x ）是定义在R 上的连续可导函数，其导函数为f'（x ），下列说法中正确的是（ACD ）A.若f （x ）＝f （－x ），则f'（x ）＝－f'（－x ）B.若f'（x ）＝f'（x ＋T ）（T ≠0），则f （x ）＝f （x ＋T ）C.若f （x ）的图象关于点（a ，b ）中心对称，则f'（x ）的图象关于直线x ＝a 轴对称D.若f （－1＋x ）＋f （－1－x ）＝2，f'（x ＋2）的图象关于原点对称，则f （－1）＋f'（2）＝1解析对于A ：f （x ）＝f （－x ）两边对x 求导，得f'（x ）＝－f'（－x ），故A 正确.对于B ：f （x ）＝f （x ＋T ）＋C （C 为常数）⇔f'（x ）＝f'（x ＋T ），则C ≠0时，B 错误.对于C ：f （x ）的图象有对称中心（a ，b ）⇒f （a －x ）＋f （a ＋x ）＝2b ，两边对x 求导，得－f'（a －x ）＋f'（a ＋x ）＝0，即f'（a －x ）＝f'（a ＋x ）⇒f'（x ）的图象关于直线x ＝a 对称，C 正确.对于D ：f （－1＋x ）＋f （－1－x ）＝2⇒f （x ）的图象有对称中心（－1，1），则f （－1）＝1.f'（x ＋2）的图象向右平移2个单位长度 f'（x ）的图象⇒f'（x ）的图象有对称中心（2，0），则f'（2）＝0.所以f （－1）＋f'（2）＝1＋0＝1，故D 正确.故选ACD.14.[2022全国卷乙]若f （x ）＝ln ｜a ＋11－｜＋b 是奇函数，则a ＝－12，b ＝ln2.解析解法一f （x ）＝ln ｜a ＋11－｜＋b ＝ln ｜a ＋11－｜＋ln e b ＝ln ｜（r1）e －x 1－｜.∵f （x ）为奇函数，∴f （－x ）＋f （x ）＝ln ｜（r1）2e 2－2e 221－2｜＝0，∴｜（a ＋1）2e 2b －a 2e 2b x 2｜＝｜1－x 2｜.当（a ＋1）2e 2b －a 2e 2b x 2＝1－x 2时，（+1）2e 2=1，2e 2=1，解得＝－12，＝ln2.当（a ＋1）2e 2b －a 2e 2b x 2＝－1＋x 2时，（+1）2e 2＝－1，2e 2＝－1，无解.综上，a ＝－12，b ＝ln 2.解法二易知x≠1.∵函数f（x）为奇函数，∴由奇函数定义域关于原点对称可得x≠－1，∴当x＝－1时，｜a＋11－｜≤0.又∵｜a＋11－｜≥0恒成立，∴当x＝－1时，｜a＋11－｜＝0，∴a＝－12.又由f（0）＝0可得b＝ln2.经检验符合题意，∴a＝－12，b＝ln2.15.[探索创新/2023广西联考]若定义在D上的函数f（x）满足下列条件：①∀x∈D，f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立；②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立；③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·21＝1成立.则称该函数为“χ函数”，下列函数可以称为“χ函数”的是（D）A.f（x）＝1－33r1+3B.f（x）＝2＋sin xC.f（x）＝x4－x2＋1D.f（x）＝ln（2＋1＋x）解析由①∀x∈D，f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立可知，y＝f（x）的图象关于原点对称，“χ函数”为奇函数.②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立，整理可得（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，所以函数y＝f（x）在D上单调递增.③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·21＝1成立，整理可得f（x2）＝（12）1，因为∀x1∈R，y＝（12）1＞0，所以（0，＋∞）是f（x）的值域的子集.对于选项B，C，均不满足①，对于选项A，f（x）＝1－33r1+3＝2－（3+1）3（3+1）＝23（3+1）－13，在定义域内单调递减，不满足②，f（x）＝ln（2+1＋x）满足①②③，故选D.。

高考数学一轮复习第二章函数3函数的奇偶性与周期性课件新人教A版22

又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,
∴f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(0)=-1+0=-1.
-21考点1
考点2
考点3
考点4
(2)∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).
√+1+1
,

又 f(-1)=-ln(-1+√ + 1)=ln
f(1)=ln(1+√ + 1),
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)g(x)],
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
因此f(x)g(x)是奇函数,故A错;
思考判断函数的奇偶性要注意什么?
|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),
对称
奇函数
-3知识梳理
双基自测
1
2
3
4
2.奇(偶)函数的性质
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在
关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数
=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函
因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.
(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);

2015届高考数学总复习第二章第三节函数的奇偶性与周期性精讲课件文

＋∞) 上是增函数，则方程 f(x)＝f(2x －3)的所有实数根的和为 ________．解析：由函数f(x)是偶函数及f(x)＝f(2x－3)得f(|x|)＝f(|2x－
3|)．又|x|，|2x－3|∈[0，＋∞)，且函数f(x )在[0，＋∞)上是增
函数，所以|x|＝|2x－3|，即x＝2x－3或x＝－(2x－3)，解得x＝3 或x＝1.所以方程f(x)＝f(2x－3)的所有实数根的和为3＋1＝4.
第二章
第三节函数的奇偶性与周期性
函数奇偶性的判定【例1】判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1) ；
(2)f(x)＝
；
(3)f(x)＝
思路点拨：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，若对称，再验证f(－x)＝ ±f(x)或其等价形式f(－x)∓f(x)＝0是否成立．自主解答：解析：(1)由
点评：判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义
域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．
(2)图象法：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (3) 性质法：在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商 (分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)
∴f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)．
∴函数f(x)是非奇非偶函数．
(2)①当x≤a时，函数f(x)＝x2－x＋a＋1＝
若a≤
＋a＋
，
，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减．
∴函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1. 若a> ，函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为

第二章第3讲函数的奇偶性与周期性

奇函数 .
(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
基础诊断考点突破课堂总结
3.周期性 (1) 周期函数：对于函数 y ＝f(x) ，如果存在一个
非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，
都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2) 最小正周期：如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
基础诊断
考点突破
课堂总结
解析 (1)法一
2－x＋1 2x＋1 f(－x)＝－x ＝， 2 －a 1－a2x
2x＋1 2x＋1 由 f(－x)＝－f(x)，得＝－ x ， 1－a2x 2 －a 即 1－a2x＝－2x＋a，化简得 a(1＋2x)＝1＋2x，所以 a＝1， 2x＋1 f(x)＝ x ，由 f(x)＞3，得 0＜x＜1，故选 C. 2 －1 2x＋1 法二因为 f(x)＝ x 是奇函数，所以 f(1)＋f(－1)＝0， 2 －a
－x
既不是偶函数也不是奇函数，故选 D.
答案 D
基础诊断考点突破课堂总结
3. (2015· 威海调研)已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( 1 A.－3 1 B.3 1 C.2 ) 1 D.－2
1 1 解析依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，∴a＝3，则 a＋b＝3.
答案 (1)D (2)C
基础诊断考点突破课堂总结
考点二
函数奇偶性的应用
2x＋1 【例 2】 (1)(2015· 山东卷)若函数 f(x)＝ x 是奇函数，则使 2 －a f(x)＞3 成立的 x 的取值范围为( A.(－∞，－1) C.(0，1) )

数学(文)一轮教学案：第二章第3讲函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

第3讲函数的奇偶性与周期性考纲展示命题探究奇偶性的定义及图象特点奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数图象特点关于原点对称关于y轴对称注意点判断函数的奇偶性时需注意两点(1)对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．(2)所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性.1．思维辨析(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的．()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(5)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．()(6)若函数f(x)＝x(x－2)(x＋a)为奇函数，则a＝2.() 答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13C.12 D ．－12答案 B解析由已知得a －1＋2a ＝0，得a ＝13，又f (x )为偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，所以a ＋b ＝13.3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x－12xB ．y ＝x 3sin xC ．y ＝2cos x ＋1D ．y ＝x 2＋2x答案 A解析由函数奇偶性的定义知，B 、C 中的函数为偶函数，D 中的函数为非奇非偶函数，只有A 中的函数为奇函数，故选A.[考法综述] 判断函数的奇偶性是比较基础的问题，难度不大，常与函数单调性相结合解决求值和求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现．主要以选择题和填空题形式出现，属于基础或中档题目．命题法判断函数的奇偶性及奇偶性的应用典例 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 [解析] (1)因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x为奇函数，故选D.(2)由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.[答案] (1)D (2)C【解题法】判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1答案 A解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，故选A.2．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 C解析 f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x＝－2x ＋12x－a，即1－a ·2x ＝－2x ＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x ，所以a ＝1，f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 C解析令x ＝－1得，f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f (x )，g (x )分别是偶函数和奇函数，∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)，即f (1)＋g (1)＝1.故选C.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33答案 B解析当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a 2，x ≥2a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，－x ，0≤x ≤a 2，画出图象，再根据f (x )是奇函数补全图象．∵满足∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则只需3a 2－(－3a 2)≤1， ∴6a 2≤1，即－66≤a ≤66，故选B.5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x－e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x )答案 D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ①，则f (－x )＋g (－x )＝e －x ，即f (x )－g (x )＝e －x②，故由①－②可得g (x )＝12(e x －e －x)，所以选D.6.若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析解法一：由题意得f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln (a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1. 解法二：由f (x )为偶函数有y ＝ln (x ＋a ＋x 2)为奇函数，令g (x )＝ln (x ＋a ＋x 2)，有g (－x )＝－g (x )，以下同解法一．7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－4x ， x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．解 (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立，令t ＝e x (x >0)，则t >1，所以m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t >1成立．因为t －1＋1t －1＋1≥2(t －1)·1t －1＋1＝3，所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立．因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13.(3)令函数g (x )＝e x＋1e x －a (－x 3＋3x )，则g ′(x )＝e x －1e x ＋3a (x 2－1)．当x ≥1时，e x－1e x >0，x 2－1≥0，又a >0，故g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是g (1)＝e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋3x 0)<0成立，当且仅当最小值g (1)<0，故e ＋e －1－2a <0，即a >e ＋e－12.令函数h (x )＝x －(e －1)ln x －1，则h ′(x )＝1－e －1x . 令h ′(x )＝0，得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调增函数．所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0；当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时，h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立．①当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时，h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1. 1 周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2 最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．注意点常见的有关周期的结论周期函数y ＝f (x )满足：(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a .(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数的周期为2a .1．思维辨析(1)若函数f (x )满足f (0)＝f (5)＝f (10)，则它的周期T ＝5.( ) (2)若函数f (x )的周期T ＝5，则f (－5)＝f (0)＝f (5)．( ) (3)若函数f (x )关于x ＝a 对称，也关于x ＝b 对称，则函数f (x )的周期为2|b －a |.( )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数．( )(5)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2016)＝0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( )A ．0B ．3C ．4D ．6答案 A解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，∴f (－2＋4)＝f (2)＝f (－2)＋f (2)＝2f (2)， ∴f (2)＝0，f (2014)＝f (4×503＋2)＝f (2)＋503×f (2)＝f (2)＝0，故选A. 3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.答案－12解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. [考法综述] 函数周期性的考查在高考中主要以选择题、填空题形式出现．常与函数的奇偶性、图象对称性结合考查，难度中档．命题法判断函数的周期性，利用周期性求值典例 (1)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0D ．－12[解析] (1)由于f (x )周期为5，且为奇函数，∴f (8)＝f (5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (8)－f (4)＝－2－(－1)＝－1.(2)因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π.又因为当0≤x ≤π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.[答案] (1)A (2)A【解题法】函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．－1 B.45 C ．1 D ．－45答案 A解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝4，结合f (－x )＝－f (x )，有f (log 220)＝f (1＋log 210)＝f (log 210－3)＝－f (3－log 210)，∵3－log 210∈(－1,0)，∴f (log 220)＝－23－log 210－15＝－45－15＝－1.故选A.2．函数f (x )＝lg |sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数答案 C解析易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝lg |sin(－x )|＝lg |－sin x |＝lg |sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg |sin x |是最小正周期为π的偶函数．故选C.3.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2013)＋f (2014)的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 D解析 ∵函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又函数的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )的周期为4.又函数的图象关于x ＝1对称，∴f (0)＝f (2)，∴f (2013)＋f (2014)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (0)＝21－1＋20－1＝1.故选D.4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b ＝cB ．b >a ＝cC ．b >c >aD ．a >c >b答案 A解析由题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的奇函数，所以f (2)＝f (0)＝0.因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (3)＝－f (2)＝0.又f (x )在[0,1)上是增函数，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (0)＝f (2)＝f (3)，即a >b ＝c .故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124B.112C.16D.13答案 A解析 ∵2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)．∵3＋log 23>4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×13＝124.故选A. 6．若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )( )A ．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数答案 B解析因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．因为y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边同时求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即导函数为偶函数，选B.判断f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2)的奇偶性．[错解][错因分析]忽视判断函数的奇偶性时对定义域的要求．[正解]由于x∈[－2,2)，所以f(x)＝x2＋1的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)＝x2＋1是非奇非偶函数．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是()A．y＝x2B．y＝2|x|C．y＝log21|x|D．y＝sin x答案 C解析函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log21|x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数．综上所述，选C.2. [2016·衡水中学预测]函数f (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ＋4(a ，b ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝2013，则f (lg 2014)＝( ) A ．2018B ．－2009C ．2013D ．－2013答案 C解析 g (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (－x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (x )＝g (－x )，g (x )为偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝f (－lg 2014)，f (－lg 2014)＝g (－lg 2014)＋4＝g (lg 2014)＋4＝f (lg 2014)＝2013，故选C.3．[2016·枣强中学热身]若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则一定成立的是( )A ．函数f (g (x ))是奇函数B ．函数g (f (x ))是奇函数C ．函数f (f (x ))是奇函数D ．函数g (g (x ))是奇函数答案 C解析由题得，函数f (x )，g (x )满足f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，则有f (g (－x ))＝f (g (x ))，g (f (－x ))＝g (－f (x ))＝g (f (x ))，f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))，g (g (－x ))＝g (g (x ))，可知函数f (f (x ))是奇函数，故选C.4．[2016·衡水中学猜题]定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )不恒为0，且对于定义域内的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (y )x ＋f (x )y 成立，则f (x )( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数答案 A解析令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)1＋f (1)1，∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)－1＋f (－1)－1，∴f (－1)＝0. 令y ＝－1，则f (－x )＝f (－1)x ＋f (x )－1， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A.5．[2016·衡水中学一轮检测]设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 答案 B解析当x <0时，－x >0，∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0，∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2，由f (x －2)>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－(x －2)3－8>0，解得x >4或x <0.故选B.6. [2016·冀州中学模拟]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案 D解析由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．7．[2016·衡水二中周测]函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2答案 B解析把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ，令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.8．[2016·枣强中学仿真]设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 答案 32解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32. 9．[2016·枣强中学月考]若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.答案 4解析由f (x )＝(x ＋a )(x －4)，得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.10．[2016·武邑中学热身]设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f (2014)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23解析 ∵f (2014)＝f (1)＝f (－2)＝－f (2)<－1，∴2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. 11．[2016·衡水二中热身]设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足：①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.(1)判断函数f (x )是否为周期函数；(2)求f解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (2－x )，f (x )＝f (－x )⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数．(2)fffff12．[2016·武邑中学期末]已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，∴⎩⎨⎧ －1<x <3，12<x <52，解得12<x <52，故函数g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. (2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0.∴f (x －1)≤－f (3－2x )．又∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)，而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎨⎧ x －1≥2x －3，12<x <52，解得12<x ≤2，∴不等式g (x )≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 能力组13.[2016·衡水二中预测]已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615的大小关系是( ) A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <c <bD ．a <b <c答案 B 解析因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，①因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )，②所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)．所以函数f (x )的周期为4.又因为对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，所以函数在[0,1]上单调递增，又因为函数y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以函数在[0,2]上单调递增，又a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1415＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，即c <a <b . 14．[2016·衡水二中月考]已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案－1解析设h (x )＝f (x )＋x 2为奇函数，则h (－x )＝f (－x )＋x 2，∴h (－x )＝－h (x )，∴f (－x )＋x 2＝－f (x )－x 2，∴f (－1)＋1＝－f (1)－1，∴f (－1)＝－3，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.15. [2016·衡水二中猜题]定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．(1)判断k 为何值时f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0，令x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，∴k ＝0.证明：令a ＝b ＝0，由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，∴f (x )是奇函数．(2)∵f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立，即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1. ∴实数m 的取值范围是[0,1)．16．[2016·衡水二中一轮检测]已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (1)＝－2.(1)判断f (x )的奇偶性；(2)求证：f (x )是R 上的减函数；(3)求f (x )在区间[－3,3]上的值域；(4)若∀x ∈R ，不等式f (ax 2)－2f (x )<f (x )＋4恒成立，求a 的取值范围．解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )为奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<－f (－x 1)，又f (x )为奇函数，∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )是R 上的减函数．(3)由(2)知f (x )在R 上为减函数，∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f (3)≤f (x )≤f (－3)，∵f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－2×3＝－6，∴f (－3)＝－f (3)＝6，f (x )在[－3,3]上的值域为[－6,6]．(4)f (x )为奇函数，整理原式得f (ax 2)＋f (－2x )<f (x )＋f (－2)，则f (ax 2－2x )<f (x －2)，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x >x －2，当a ＝0时，－2x >x －2在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当a >0时，ax 2－2x －x ＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a <0，即a >98；当a <0时，ax 2－3x ＋2>0在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞.。

函数的奇偶性及周期性

1第3讲函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．()(6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，则f (x )是周期为2a 的周期函数．( ) 定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1 已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B ．13 C ．12D ．－12(教材习题改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a <b <0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________．(教材习题改编)函数f (x )的定义域为R ，且对于x ∈R ，恒有f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－2x ，则f (2 018)＝________．判断函数的奇偶性 [典例引领]判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 3－1x；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2，x ＜0.判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[注意] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．如本例(3)．[通关练习]1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x22．设f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝e x －e －x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( )A ．|g (x )|是偶函数B ．f (x )g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是偶函数D ．f (x )＋g (x )是奇函数函数奇偶性的应用 [典例引领](1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．(2)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．已知函数奇偶性可以解决的4个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．[通关练习]1．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－22．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g (f (－8))＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．23．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．函数的周期性 [典例引领](1)周期为4的奇函数f (x )在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，log 12x ＋1，1<x ≤2，则f (2 018)＋f (2 019)＝( )A ．0B ．－1C ．2D ．3(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x )f (x ＋2)＝－1，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.． (1)判断函数周期性的方法①定义法：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .②结论法：对f (x )定义域内任一自变量的值x ，i ．若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)；ii.若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)；iii.若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．(2)函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[通关练习]已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9函数性质的综合应用(高频考点)[典例引领]角度一函数的奇偶性与单调性相结合已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，12)B ．(－∞，12)∪(32，＋∞)C ．(12，32)D ．(32，＋∞)角度二函数的奇偶性与周期性相结合(2017·高考山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．角度三函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)[通关练习]1．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23 D ．⎣⎡⎭⎫12，23 2．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (2)＝3，则f (2 018)＝________.3第3讲函数的奇偶性及周期性1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝|x |－1 C ．y ＝lg x D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |2．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数 3．若函数f (x )＝ln(ax ＋x 2＋1)是奇函数，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．04．(2018·成都第一次诊断)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝( )A ．－18B ．18C ．－1258D ．12585．设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 6．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________． 7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．8．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12.则f (6)＝________. 9．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 1－3x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )<－x8.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．1．(2018·成都第二次诊断检测)已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2，2]时，f (x )单调递减，且函数f (x ＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )A ．f (π)<f (3)<f (2)B ．f (π)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (3)<f (π)D ．f (2)<f (π)<f (3)2．(2018·石家庄第一次模拟)若定义在R 上的函数f (x )当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得f (－x )＝f (x )，则称f (x )为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝x 2－2xD ．f (x )＝x 3－2x3．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( ) A ．(1，3) B ．(－1，1) C ．(－1，0)∪(1，3) D ．(－1，0)∪(0，1) 4．已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝________. 5．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．6．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值．(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．。

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第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2017·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A.3B.2C.1D.0解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lgx 2－2与y ＝x sin x 为偶函数.答案 B2.(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A.奇函数，且在(0，1)内是增函数B.奇函数，且在(0，1)内是减函数C.偶函数，且在(0，1)内是增函数D.偶函数，且在(0，1)内是减函数解析易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数，又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数，所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数.答案 A3.(2017·赣中南五校联考)已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为( )A.5B.1C.－1D.－3解析 ∵y ＝f (x )是奇函数，且f (3)＝6.∴f (－3)＝－6，则9－3a ＝－6，解得a ＝5.答案 A4.已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A.x 1>x 2B.x 1＋x 2＝0C.x 1<x 2D.x 21<x 22解析 ∵f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －e x ＝f (x ). ∴f (x )在R 上为偶函数，f ′(x )＝e x－1e x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ， ∴x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|，∴x 21<x 22.答案 D5.(2017·西安一模)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A.2B.1C.－1D.－2解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0.从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4.∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.答案 A二、填空题6.若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.解析由于f (－x )＝f (x )，∴ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0，∴a ＝－32.答案－327.(2017·合肥质检)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________. 解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516. 答案 5168.定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________.解析由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0， ∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <0或x >12 三、解答题9.设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式.解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x ).又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x ).又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数.(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].10.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数. (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].11.(2017·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A.(－1，4)B.(－2，0)C.(－1，0)D.(－1，2) 解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.答案 A12.对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝( )A.0B.2C.3D.4解析 y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x )是偶函数，令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)，∴f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，即f (1)＝0，则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，则函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2.答案 B13.(2017·东北四市联考)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________.解析因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.答案 714.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。