中学数学中类比论文

中学数学中的类比

摘要：类比法是富有创新意义的重要方法，在数学知识学习

以及解题中都有着独特的地位。它可以让学生更容易理解和运用新

知识，又因注重创新思维的培养，从而更符合创新社会新课程的发

展理念，提高解题能力。因此在中学数学的学习中，我们尤其应该

了解它，掌握它，运用它。本文就在类比的特点，运用等方面对之

展开论述。

关键词：类比法；中学数学学习；数学创新

中图分类号：g642 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2012）21-016-03

波利亚（g. polya，1887～1985）在《怎样解题》中指出：“类

比是一个伟大的引路人”。类比法是一种特殊到特殊的推理方法，

属于一种横向思维。没有这些思路（普遍化、特殊化和类比的通用

的基本思想），特别是没有类比，在初等或高等数学中也许就不会

有发现。而康德（i.kant，1724～1804）也说：“每当理智缺乏可

靠论证的思路时，类比这种方法往往能指引我们前进。”当今改革

的时代背景下，实施大国战略的重中之重就是提升核心竞争力，而

美国人说创新就是dna，而我们新的课改要求“双基”变“四基”，

在新的课程战略目标中，对创新思维的要求尤为突出。而类比正能

突现其独特创造魅力。虽然由于类比推理所得结论的局限性，使它

不能作为严密的数学推理方法，但是它是提出新问题和获得新发现

取之不竭的源泉，是富于创造的一种方法，在中学数学教学中运用

类比法对发展学生的创造性思维有着非常重要的作用，且符合当今创新性社会的发展理念。

下面，本文就从几个方面谈谈类比的作用及在中学数学中的体现。

一、类比在重大科学发现及中学数学中的正面作用

1、从重大科学发现谈类比

数学发展史上关于类比的例子俯首即是，但是引用波利亚所说：“我们想用一个不太初等的例子来说明这点，但是这是一个比我所能想出的任何太初等的例子更能使人难忘和具有历史意义的有趣

的例子”。瑞士著名数学家雅克布·伯努利（jacob bernoulli，1654～1705）在发表于1689年的论文《具有有限和的无穷级数的算术命题》的最后称难以求出所有正整数平方倒数的和。当时欧洲的一流数学家如哥德巴赫（goldbach c，1690～1764）、莱布尼茨（leibniz g w，1646～1716）等都未能成功解决这一难题。这个问题吸引了瑞士的大数学家欧拉（euler l，1707～1783）的注意，他在1735年以28岁的年龄解决了这个所谓的“巴塞尔难题”。解决此问题后立刻就出名了，这是他年轻时期最著名的成果之一。欧拉就是运用了类比法，将有限与无限进行对比解决的问题。

例：假设仅含偶次项的2n次代数方程

其中（a）

含有2n个互不相同的两两互为相反数的根：、，…，，则（a）式必可分解成（a1），

然后根据三角方程sinx=0的幂级数展开，有无

限多个根：0，，，，…，，…

欧拉除去了这个零根，等式左右同除以x，得到方程：

（b）

它有无限多个根：，，，…，，…用（b）式与（a）式相类比，可以推出与（a1）式相类似的表达式

然后对比的系数，得到，

即，，

这就是欧拉求出的所有正整数平方倒数的和公式。当然，欧拉当时的想法虽然是新颖和聪明的，但是同时也是不严密的，还需要进一步的证明。十年后，欧拉用诸多严谨的方法进行了严格的证明。在解决巴塞尔问题过程中，类比一直是欧拉作重要的思想方法，这有力的证明了类比这种创造性思维的重大作用。诚然，类比方法缺乏应有的严密的逻辑基础，但欧拉解得了正确的结果，就数学发现本身而言，这种思想是富有创造力的。亦如大数学家拉普拉斯的话：“读读欧拉，他是我们大家的老师。”

更如，阿基米德（archimedes，公元前287～前212）球表面积公式的导出，牛顿（newton i，1642～1727）一般有理数指数情形的二项式定理的发现等无不充分体现类比的重要性。那么究竟如何定义类比，或是归纳出它的规律呢？

2、从概念定义谈类比

通俗地讲，类比就是同一类事物之间的比较。由两个对象都具

有某些属性，并且其中一个对象还有另外某属性，推断出另一个对象也有某个属性的逻辑方法就是类比法。比如天空中的闪电和地面上的电进行比较，它们很多特征都是相同的，比如发同颜色的光，爆发时都有声音，都是快速运动，都对动物致命，都能点燃易燃物等；同时又知地面上的电机的电可以用导线传导，由此推想天空中的闪电也可以用导线传导，后来美国大发明家富兰克林就通过著名的风筝实验证实了这一点。又如下表：

类比对象类比对象所含属性

a a

b

c

d e

b a b

c e

上表中，a和b有相同的属性a，b，c，e，因a另外含有属性d，所以推断b可能有属性e。

3、从中学数学谈类比

因为类比法在锻炼学生创造性思维方面有着重要作用，下面就用几个例子介绍在中学数学中运用。

首先，最常见的就是数和形相类比：通过建立坐标系，建立代数和几何的联系，使图像和表达式有机的结合在一起。例如：ⅰ.求函数的最小值。

分析：此类题目可以与“已知两点a（0，a），b（b，c），在x 轴上找一点p（x，0），使p到a、b两点的距离之和最小”这个命题相类比。而此命题可以以坐标系为基础解决。

又如一道高考题（苏）

ⅱ.设实数a、b和平面xoy内的集合

另有，。

讨论是否存在a和b，使得同时成立。

若存在，求出a和b；若不存在，请说明理由。

分析：此题看起来毫无头绪，大量字母充斥在题目信息中。但若运用类比思维，从整体来看，把表达式转化成图像，其实就是变相的讨论“圆上及圆内是否存在点（a，b），使直线和抛物线有整数坐标公共点”

解：联立直线a和b方程消去y，得到①

于是，②同时，点（a，b）满足③

③式和②式的变式两边相加，得到。

但是，代入a，b到①式，得到的公共点坐标不是整数。因此，相矛盾，故不存在这样的点（a，b）

其次，诚然现在的直观几何影响下小学一年级就首先引入立体几何的认知，但是三维空间的性质及运用甚至更高维的抽象思维仍是难点。类比就仍可以有效的在几何性质方面把维数从低维提高到多维。点到线，线到面，面到空间。如我们常见的二维平面上直角三角形勾股定理，就可以通过类比方法推断三维空间中直四面体的三个两两垂直的侧面的面积平方和等于底面面积的平方。亦如我们所能认知的三角形是二维平面上最少直线构成的封闭空间，而四面体是三维空间中最少平面构成的封闭空间。因直线类比于平面，而三角形类比于四面体。