2015高考数学(理)一轮题组训练：2-1函数及其表示

第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ

第1讲 函数及其表示

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．下列各组函数表示相同函数的是________．

①f (x )＝x 2

，g (x )＝(x )2

；②f (x )＝1，g (x )＝x 2

；③f (x )＝⎩⎨⎧

x ，x ≥0，

－x ，x <0，

g (t )＝

|t |；④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1

x －1

.

解析 ①中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同； ②中的两个函数的对应法则不一致；

④中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；

③中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数． 答案 ③

2．(2014·镇江一模)函数f (x )＝ln x x －1＋x 1

2的定义域为________．

解析 要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，x

x －1＞0，

即⎩⎨⎧

x ≥0，

x (x －1)＞0，解得x ＞1. 答案 (1，＋∞)

3．f (x )＝⎩⎨⎧

log 2(1－x )＋1，x ＜1，

x －2，x ≥1，

若f (a )＝3，则a ＝________.

解析 令log 2(1－a )＋1＝3，得a ＝－3；令a －

2＝3，得a ＝33(舍去)，所以a ＝－3. 答案 －3

4．(2013·江西师大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

1－x ，x ≤0，

a x ，x ＞0，若f (1)＝f (－1)，则

实数a 的值等于______．

解析 由f (1)＝f (－1)，得a ＝1－(－1)＝2. 答案 2

5．(2014·保定模拟)设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是________．

解析 ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1. 答案 g (x )＝2x －1

6．(2014·徐州质检)函数f (x )＝ln x －2x ＋1

的定义域是______．

解析 由题意知x －2

x ＋1＞0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＞2或x ＜－1.

答案 {x |x ＞2，或x ＜－1}

7．(2013·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π

2，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.

解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4＝－tan π4＝－1，

∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案 －2

8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 2

1＋x 2，则f (x )的解析式为________． 解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t

1＋t

，

所以f (t )＝1－⎝

⎛⎭

⎪⎫1－t 1＋t 2

1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t

2，

从而f (x )的解析式为f (x )＝2x

1＋x 2(x ≠－1)．

答案 f (x )＝2x

1＋x 2

(x ≠－1) 二、解答题

9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.

∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1， ∴⎩⎨

⎧

2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝12，

b ＝1

2.

∴f (x )＝12x 2＋1

2x .

10．某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离s (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．

解 由题意知：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧

60t ，0≤t ≤5

2，

150，52

2，

150－50⎝ ⎛⎭⎪⎫t －72，72

其图象如图所示．

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、填空题

1．设函数y ＝f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f (4x )

ln x 的定义域是________． 解析 由已知0≤4x ≤4，且ln x ≠0，x ＞0⇒0＜x ＜1. 答案 (0,1)

2．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1

x ，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x )的解析式为________． 解析 当x ∈(－∞，－2)时，则－2－x ∈(0，＋∞)， ∴f (x )＝－

1x ＋2

. 答案 f (x )＝－

1x ＋2

3．(2013·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧

2－x

，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞)，

则满足f (x )＝1

4的x 值

为________．

解析 当x ∈(－∞，1]时，2－x ＝1

4＝2－2，∴x ＝2(舍去)； 当x ∈(1，＋∞)时，log 81x ＝14，即x ＝8114＝34×1

4＝3. 答案 3 二、解答题

4．若函数f (x )＝1

2x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值． 解 ∵f (x )＝12(x －1)2

＋a －12，

∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1

2＝1，①

f (x )max ＝f (b )＝12b 2

－b ＋a ＝b ，②