天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 第一章 解三角形章末检测(A)配套练习 新人教A版必修5
天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.2 正弦定理与余弦定理习题课课件 新人教A版必修5
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习题课
(3)已知两边和它们的夹角，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正 弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理 求第三个角． (4)已知三角形的三边，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用 正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角 和定理，求出第三个角． 要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件 中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无 法求解．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
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1．在△ABC 中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ABC 的形状一 定是 A．等腰直角三角形 ( C ) B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形 解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即 sin(A－B)＝0，∴A＝B.
1 ah (1)S＝ 2 a
(ha 表示 a 边上的高)； 1 1 1 acsin B bcsin A (2)S＝ absin C＝ 2 ＝ 2 ； 2 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)． 2
研一研· 题型解法、解题更高效
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题型一
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利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a ＋c －b 例 1 在△ABC 中，求证： ＝ . tan B b2＋c2－a2
小结 这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键
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是化去向量的· 题型解法、解题更高效
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跟踪训练 3 在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、 3 2 b、c，已知 b ＝ac 且 cos B＝ . 4 1 1 (1)求 ＋ 的值； tan A tan C → → 3 (2)设BA· BC＝ ，求 a＋c 的值． 2 3 解 (1)由 cos B＝ ， 4
天津市第二南开中学高中数学 第一章 解三角形同步检测
1天津市第二南开中学2014高中数学 第一章 解三角形同步检测试题 新人教A 版必修51.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为（ ） A.200米 B.300米 C.400米 D.500米2.已知a ，b ，c 为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B =( ) A. B. C. D.4.若△ABC 的周长是20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是( )A.5B.6C.7D.85.在锐角△ABC 中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ，AC 的取值范为 .6.在△ABC 中， 2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是 .7.在△ABC 中，cos 2 B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 .8.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝ .9.一船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向,行驶4 h 后,船到B 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 km.10.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港O ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是 n mile.11.在△ABC 中，已知23=a ，62=+c ，B=45°，求b 及A.12.△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 2A =，3AB AC ⋅=u u ur u u u r ．（1）求△ABC 的面积；（2）若6b c +=，求a 的值．。
天津市塘沽区紫云中学2021年高中数学 第一章 解三角形章末温习课配套练习
天津市塘沽区紫云中学2021年高中数学 第一章 解三角形章末温习课配套练习新人教A 版必修51．把握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形气宇问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方式解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，那么B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对答案 C解析 sin B ＝b ·sin A a＝22，且b <a ，∴B ＝45°. 2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，那么△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos (A ＋B )>0，∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．已知△ABC 中，sin A ∶si n B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，那么k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2k ＋1>2mk 3mk >m k ＋1，∴k >12. 4．如下图，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角别离是β、α(β<α)．那么A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βsin α－βB.a sin αsin βcos α－βC.a sin αcos βsin α－β D.a cos αcos βcos α－β 答案 A解析 设AB ＝h ，那么AD ＝h sin α， 在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CD sin α－β＝AD sin β. ∴a sin α－β＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βsin α－β. 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．493 D ．49 答案 D解析 S △ABC ＝12AC ·AB ·sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401. ∴BC ＝49.6．(2020·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c .假设a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，那么A 等于( ) A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，依照正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc 得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝6b 243b 2＝32. 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.二、填空题7．三角形两条边长别离为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，那么此三角形的面积是________cm 2.答案 6解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2. ∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，那么cos θ＝－35， 得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)． 8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，那么a sin A ＝____________. 答案 2393解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4. ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60° ＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 9．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，假设三角形有两解，那么x 的取值范围是______________．答案 2<x <22 解析 因为三角形有两解，因此a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2.10．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________km.答案 202 解析 如下图，BC sin 45°＝AC sin 30° ∴BC ＝ACsin 30°×sin 45°＝2012×22＝20 2 (km)． 三、解答题11．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确信△ABC 的形状． 解 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，即a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc2bc ＝12， ∴A ＝π3. 又sin A ＝2sin B cos C ．∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a ，∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．12．在△ABC 中，假设已知三边为持续正整数，最大角为钝角．(1)求最大角的余弦值；(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．解 (1)设这三个数为n ，n ＋1，n ＋2，最大角为θ，那么cos θ＝n 2＋n ＋12－n ＋222·n ·n ＋1<0，化简得：n 2－2n －3<0⇒－1<n <3.∵n ∈N *且n ＋(n ＋1)>n ＋2，∴n ＝2.∴cos θ＝4＋9－162×2×3＝－14. (2)设此平行四边形的一边长为a ，那么夹θ角的另一边长为4－a ，平行四边形的面积为：S ＝a (4－a )·sin θ＝154(4a －a 2)＝154[－(a －2)2＋4]≤15.当且仅当a ＝2时，S max ＝15. 能力提升 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π， ∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C， 得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π， 得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)， 解得b ＝6或26，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝26，c ＝4.14．如下图，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解 设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理有AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos∠ADB ，即142＝x 2＋102－20x cos 60°，∴x 2－10x －96＝0，∴x ＝16(x ＝－6舍去)，即BD ＝16.在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD， ∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2. 1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一路用，要注意适当的选取定理，简化运算进程．2．应用正、余弦定明白得应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先成立数学模型，再求解．。
天津市塘沽区紫云中学高中数学(人教A版,必修5)第一章 解三角形 配套练习：章末检测(A)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56 答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin Asin B，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10，则BA ·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32答案 A解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB ·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴BA ·AC →＝－AB →·AC →＝－32.3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对 答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴5＝15＋c 2－215×c ×32. 化简得：c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0，∴c ＝25或c ＝ 5.4．依据下列状况，推断三角形解的状况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 答案 D解析 A 中，因a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中， ∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故A 、B 、C 都不正确．5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2答案 C解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.6．在△ABC 中，cos 2 A 2＝b ＋c2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的外形为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 答案 A 解析 由cos 2A 2＝b ＋c 2c ⇒cos A ＝b c， 又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A.7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于( ) A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3 答案 A解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝6＋24，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°.sin B ＝12.由正弦定理：b sin B ＝asin A ＝6＋26＋24＝4.∴b ＝4sin B ＝2.8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15C.8155 D ．6 3答案 A解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0.∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－⎝⎛⎭⎫782＝152. 9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 答案 C解析 ∵sin A a ＝cos Bb ，∴a cos B ＝b sin A ，∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0.∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°.同理C ＝45°，故A ＝90°.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D 解析∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.12．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 C ．6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＋3 D ．6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 答案 D解析 A ＝π3，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C ＝2R ，由合分比定理知BCsin A ＝AB ＋BC ＋AC sin A ＋sin B ＋sin C， 即332＝x 32＋sin B ＋sin C. ∴23⎣⎡⎦⎤32＋sin B ＋sin (A ＋B )＝x ，即x ＝3＋23⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝3＋23⎝⎛⎭⎫sin B ＋sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝3＋23⎝⎛⎭⎫sin B ＋12sin B ＋32cos B＝3＋23⎝⎛⎭⎫32sin B ＋32cos B＝3＋6⎝⎛⎭⎫32 sin B ＋12cos B＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C＝________.答案 014．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6.15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________. 答案 1解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B .∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1.16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．答案 32≤a <3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋(a ＋1)>a ＋2a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)2<0a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)≥－12.解得32≤a <3.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A 处发觉一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃跑，我艇马上以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则 BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°， 依据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2.答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.(1)求sin 2 B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .解 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2 A －1＝5950.(2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin ∠ABE ＝ABsin ∠AEB ，即AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)， 故AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试推断△ABC 的外形．解 (1)由已知，依据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)方法一 由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B . ∴sin 2B ＋(1－sin B )2＋sin B (1－sin B )＝34，即sin 2B －sin B ＋14＝0.解得sin B ＝12.故sin C ＝12.∴B ＝C ＝30°.所以，△ABC 是等腰的钝角三角形． 方法二 由(1)A ＝120°，∴B ＋C ＝60°， 则C ＝60°－B ，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ) ＝sin B ＋32cos B －12sin B ＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋60°) ＝1，∴B ＝30°，C ＝30°.∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．(14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )， n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意知m ·p ＝0， 即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.。
天津市塘沽区紫云中学2014届高三数学专题复习测试 专题四 直线与圆锥曲线练习
一、选择题(每小题7分，共35分)1．AB 为过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△F AB 的最大面积为( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bc2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．24．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1 (m >0)，假如直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．8 D ．2 35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上状况都有可能 二、填空题(每小题6分，共24分)6．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是__________．7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为____________．8．(2010·湖北重点中学联考)]如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于A ，B ，C 三点，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1、A 2、B 1、B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为__________．三、解答题(共41分)10．(13分)设AB 是过椭圆x 25＋y 24＝1的一个焦点的弦，若AB 的倾斜角为60°，求弦AB 的长．11．(14分)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A 、B 两点，若另有一条直线l 经过P (－2, 0)及线段AB 的中点Q . (1)求k 的取值范围；(2)求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．12．(14分)(2010·温州十校模拟)已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0,23)，离心率为12.(1)求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点E （0，-4）的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OT OR •＝167.若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．答案。
高中数学人教A版第一章解三角形单元测试(全国一等奖)
数学试题必修五第一章 解三角形一、选择题（共12小题每题5分，共60分）1．在△ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若18a =，24b =，45A =︒，则这样的三角形有（ ） 个 B.两个 C.一个 D.至多一个2．已知ABC ∆中4,30a b A ===，则B 等于A 、60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°3．的形状则已知中在ABC B A b a B A b a ABC ∆+-=-+∆),sin()()sin()(,2222 （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．在ABC ∆中,已知 30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是（）A ．34B ．38C ．34或38D ．35．在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知a c b 41=-，C B sin 3sin 2=， 则cosA=（ ） A ．41- B ．41 C ．87 D ．1611 6．已知ABC ∆的面积为23，3,3π=∠=ABC AC ，则ABC ∆的周长等于 ( ) A.23 B.32+ C.33+ D.33 7．∆ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若15,10,60===a b A ，则cos =B （ ）A ．3．3- C ．3 D ．3- 8．在ABC ∆，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若内角A 、B 、C 依次成等差数列，且不等式0862>-+-x x 的解集为}|{c x a x <<，则b 等于（ ）A ．3B ．4C ．33D ．329．在ABC ∆中,内角、、所对的边分别是、、,若222222c a b ab =++,则ABC ∆是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形10．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝（ ）A ．10B ．9C ．8D ．511．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若b A B c C B a 21cos sin cos sin =+，且b a >，则∠B ＝( )A ．6πB ．3πC ．32πD ．π65 12．已知△ABC 中，︒=∠30A ，AB ，BC 分别是23+，23－的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于A ．23B ．43C ．23或3D ．23或43 二、填空题（题共4小题每题5分，共20分）13．在ABC ∆中，60,4,23A b a =︒==,则ABC ∆的面积等于___ __.14．如图，在∆ABC 中，已知4=B π，D 是BC 边上一点，10=AD ，14=AC ，6=DC ，则=AB ．C D B A15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c ，若()()a b c a b c ab +++-=，则角C 的大小为16．ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）. ①若ABC ∆最小内角为，则21cos ≥α； ②若A B B A sin sin >，则A B >；③存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ；④若02=++AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π； ⑤若()10≤<<t tb a ，则tB A <.三、解答题（共6小题，70分）17．（本题10分）如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．18．（本小题12分）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，3=c A c C a cos sin -. （1）求A ；（2）若a =2，ABC ∆的面积为3，求b 、c .19．（本题12分）设函数21cos sin 3cos )(2+-=x x x x f （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及值域；（Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，若23)(=+C B f ，3=a ，3=+c b ，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝3π，a ＝5，△ABC 的面积为. （1）求b ，c 的值；（2）求cos （B －3π）的值.21．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C ，所对的边长分别为a ，b ，c ,()cos ,cos m A C =，()32n c b =-，且m n ⊥． （1）求角A 的大小；（2）若a b =，且BC 边上的中线AM 求边a 的值．22．（本小题满分12分）在△ABC 中，A 、B 、C 为三个内角，f （B ）＝4cos B·sin 242B π⎛⎫+⎪⎝⎭cos 2B －2cos B.（1）若f （B ）＝2，求角B ；（2）若f （B ）－m ＞2恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1．B2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．A 8．D 9．D 10．D 11．A 12．D13．．．32π16．①④⑤17．.18．（1）3π=A ；（2）2==c b .19．（Ⅰ）()f x 的最小正周期为T π=，值域为[02]，；（Ⅱ）23. 20．（1）c ＝7；（2）131421．（1）6A π=；（2）2a =． 22．（1）12πB=；（2）4m <-。
天津市塘沽区紫云中学高中数学 第一章 解三角形配套练习 新人教A版必修5
天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 第一章 解三角形配套练习 新人教A 版必修5课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B ＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝2 6.3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形 答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135°答案 C 解析 由a sin A ＝bsin B得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1³sin 150°1010＝102. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22³2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝2³222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围． 解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故a b的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.A 为锐角 a <b sin A a ＝b sin A b sin A<a <b a ≥b无解 一解(直角) 两解(一锐角，一钝角)一解(锐角)A 为直角或钝角 a ≤b a >b 无解一解(锐角)1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4kc ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72kb ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12³63³12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B2R sin B －2R sin C cos A＝B ＋C －sin C cos B A ＋C －sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°， ∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°. 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12³2³107³45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．1．1.2 余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322³7³43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ²a 2＋b 2－c 22ab ＋c ²c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ²2a ＝34.5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ， ∴C ＝45° . 二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2³2³4³cos 60° ＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12，∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22²AB ²AC ＝92＋82－722³9³8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2²AC 2²AB cos A ＝42＋92－2³4³9³23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.能力提升13．(2010²潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22³BC ³AC ＝22，∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ²sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得 a ²b 2＋c 2－a 22bc ＋b ²a 2＋c 2－b 22ac ＋c ²c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4. ∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722³3³5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3³2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 12解析 S △ABC ＝12AB ²AC ²sin A＝12AB ²AC ²sin 60°＝23， ∴AB ²AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A＝AB 2＋AC 2－AB ²AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ²AC ，∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ²AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2³1³4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ²cos B －sin Bsin C²cos A＝a c ²a 2＋c 2－b 22ac －b c ²b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且AB ²BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵AB ²BC ＝－21，∴BA ²BC =21.∴BA ²BC = |BA |²|BC |²cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21³35³54= 14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542³45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆， 则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；（2）设BA ²BC =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA ²BC =23得ca ²cosB = 23由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ²cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ²cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 (如a ，B ，C ) 正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有解时只有一解．两边和夹角 (如a ，b ，C ) 余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A ＋B ＋C ＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边(a ，b ，c )余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ；再利用A ＋B ＋C ＝180°，求出角C .在有一解时只有一解. 两边和其中一边的对角如 (a ，b ，A ) 余弦定理 正弦定理 由正弦定理求出角B ；由A ＋B＋C ＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c .可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ²sin∠ACBsin ∠ABC ＝50³2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )²6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°²sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ²sin 75°＝6－223²6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126³2232＝24(n mile)． (2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ²AC ²cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ²BC ²cos 45°＝34＋616－2³32³64³22＝38， ∴AB ＝64(km)． 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km. 能力提升 13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2³20t ³40²cos 45°＝302.化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1²t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302³2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1²A 1B 2²cos 45°＝202＋(102)2－2³20³102³22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220³60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(二)课时目标1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．已知△ABC 的两边a 、b 及其夹角C ，则△ABC 的面积为12ab sin C .一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝βC ．α<βD ．α＋β＝90° 答案 B2．设甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.152 3 m ，2033 m解析 h 甲＝20tan 60°＝203(m)．h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)．3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．30＋30 3 mB ．30＋153mC ．15＋303mD ．15＋33m 答案 A解析 在△PAB 中，由正弦定理可得60－＝PBsin 30°，PB ＝60³12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin 45°＝(30＋303)m.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h .5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m 答案 B解析 如图所示，600²sin 2θ＝2003²sin 4θ，∴cos 2θ＝32，∴θ＝15°， ∴h ＝2003²sin 4θ＝300 (m)．6．平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A ．16 B ．17.5 C ．18 D ．18.53解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35或a ＝4，b ＝5，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 二、填空题7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案 北偏东30° 3a 解析如图所示，设到C 点甲船追上乙船， 乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ， 则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°， 由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，∴1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a .8．△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 答案 20解析 设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，则 S ＝12AB ²AC ²sin A ＝103k 2＝10 3. ∴k ＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A＝82＋52－2³8³5³12＝49.∴BC ＝7，∴周长为：AB ＋BC ＋CA ＝20.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案 27π5解析 不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622³12³12＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.由12(a ＋b ＋c )²r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.10．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案 23解析 设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2³10³9t cos 120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．三、解答题11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得：AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC－α＝BCα－β，∴AC ＝BC cos αα－β＝h cos αα－β.在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βα－β.即山高CD 为h cos αsin βα－β.12．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积．解连接BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ²AD ²sin A ＋12BC ²CD ²sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ²AD ＋BC ²CD )²sin A ＝16sin A .由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2³2³4cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝42＋62－2³4³6cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴四边形ABCD 的面积S ＝16sin A ＝8 3. 能力提升13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)， EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ²EF＝1302＋1502－102³2982³130³150＝1665.即∠DEF 的余弦值为1665.14．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．解 如图所示：∠CBD ＝30°，∠ADB ＝30°，∠ACB ＝45° ∵AB ＝30， ∴BC ＝30，BD ＝30tan 30°＝30 3. 在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ²BD ²cos 30°＝900， ∴CD ＝30，即两船相距30 m.1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．第一章 解三角形 复习课课时目标1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 答案 C解析 sin B ＝b ²sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)， c ＝2mk (m >0)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m k ＋mk 3mk >m k ＋，∴k >12.4．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βα－β B.a sin αsin βα－β C.a sin αcos βα－β D.a cos αcos βα－β答案 A解析 设AB ＝h ，则AD ＝hsin α，在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CDα－β＝ADsin β.∴aα－β＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βs α－β. 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( )A ．25B ．51C ．49 3D ．49 答案 D解析 S △ABC ＝12AC ²AB ²sin 60°＝12³16³AB ³32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC cos 60°＝552＋162－2³16³55³12＝2 401.∴BC ＝49.6．(2010²天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，。
天津市塘沽区紫云中学高中数学第一章 解三角形 配套课件：1.1.2余弦定理二
a2＋2ca2－b2＝22aa2＝a.
∴a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.
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1.1.2（二）
问题探究三 利用余弦定理证明平面图形的几何性质
问题 在平面几何中，平行四边形的四边长的平方和等于两
∴ 3sin C＝－cos C.
∴tan
C＝－
3 3.
∵0＜C＜π，∴C＝56π.
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1.1.2（二）
例 2 在△ABC 中，若 B＝30°，AB＝2 3，AC＝2，求△ABC 的面积．
解 方法一 ∵AB＝2 3，AC＝2，B＝30°，
本 课 栏
本 课 栏 目
c＝2，b＝2a，且 cos C＝14，则 a 等于
A．2
B．12
C．1
(C ) D．13
开 关
解析 由 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝a2＋2a4×a22－a 22＝14，
得 a＝1.
第十七页，编辑于星期日：八点 分。
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1.1.2（二）
3．在△ABC 中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC 的面
小结 本题解题关键是通过三角恒等变换借助于 A＋B＋C ＝180°，求出 A，并利用余弦定理列出关于 b、c 的方程组．
第十四页，编辑于星期日：八点 分。
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1.1.2（二）
跟踪训练 3 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、 b、c，且 a＝2，cos B＝35.
天津市塘沽区紫云中学2021年高中数学 1.1.2 余弦定理配套练习（一）
天津市塘沽区紫云中学2021年高中数学 余弦定理配套练习（一）新人教A 版必修5 课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定明白得斜三角形．1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．在△ABC 中：(1)假设a 2＋b 2－c 2＝0，那么C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，那么C ＝60°；(3)假设c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，那么C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，那么c 等于( )A. 3 B ．3C. 5 D ．5答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，那么△ABC 的最小角为() A.π3 B.π6C.π4 D.π12答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋432－1322×7×43＝32.∴C ＝π6.3．在△ABC 中，已知a ＝2，那么b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，那么cos B 等于( )A.14 B.34 C.24 D.23答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c (a ，b ，c 别离为角A ，B ，C 的对应边)，那么△ABC 的形状为()A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc ⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° . 二、填空题7．在△ABC 中，假设a 2－b 2－c 2＝bc ，那么A ＝________.答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，那么A ＝________.答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12∴c ＝2 3. 由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12. ∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，那么最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ， 那么cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12， ∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________. 答案 －23解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3. 三、解答题 11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.因此，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 能力提升13．(2020·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，那么AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22， ∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判定三角形的形状． 解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.依照勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理能够解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理能够看做是勾股定理的推行，勾股定理能够看做是余弦定理的特例．。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题练习(含解析)新人教A版必修5(最新整理)
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第一章解三角形1。
2 应用举例第1课时距离问题A级基础巩固一、选择题1．有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为（）A．1 B．2sin 10°C．2cos 10°D．cos 20°解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．答案：C2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5错误! m，起吊的货物与岸的距离AD为( ）A．30 m B.错误!错误! mC．15 3 m D．45 m解析：在△ABC中，cos ∠ABC＝错误!＝错误!，∠ABC∈（0°，180°），所以sin∠ABC＝错误!＝错误!,所以在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝519×错误!＝错误!错误! (m)．答案：B3．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( ）A．6 km B．3 3 km C．3 2 km D．3 km解析：由题意知，AB＝24×错误!＝6 （km），∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°。
天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.1 正弦定理课件(二)新人教A版必修5
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1.1.1（二）
问题探究一 问题 1
已知两边及其中一边的对角， 判断三角形解的个数
本 课 栏 目 开 关
在△ABC 中，已知 a，b 和 A，若 A 为直角，讨论三
角形解的情况．(请完成下表) 关系 式 a≤ b a＞b
图形
解的 个数
无
解
一
解
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1.1.1（二）
问题2 在△ABC中，已知a，b和A，若A为钝角，讨论三角 形解的情况．(请完成下表) 关系 式 a≤b a＞b
本 课 栏 目 开 关
图形
解的 个数
无解
一解
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1.1.1（二）
本 课 栏 目 开 关
问题3 在△ABC中，已知a，b和A，若A为锐角，讨论三角 形解的情况．(请完成下表) 关 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥ b 系 a＜bsin A 式
本 课 栏 目 开 关
角，一钝角) (锐角) a>b 一解(锐角)
1.1.1（二）
本 课 栏 目 开 关
2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三 角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统 一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．
1.1.1（二）
1.1.1 正弦定理(二)
【读一读学习要求，目标更明确】 1．熟记正弦定理的有关变形公式． 2． 探究三角形面积公式的表现形式， 能结合正弦定理解与面 积有关的斜三角形问题． 3．能根据条件，判断三角形解的个数． 【看一看学法指导，学习更灵活】 1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应 注意运用大边对大角的理论判断解的情况． 2． 判断三角形形状时， 不要在等式两边轻易地除以含有边角 的因式，造成漏解．
天津市塘沽区紫云中学高中数学第一章 解三角形 配套课件：1.1.2余弦定理一
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.2（一）
例 3 在△ABC 中，acos A＝bcos B，试确定△ABC 的形状．
解 方法一 利用正弦定理化边为角．
本 课
acos A＝bcos B
栏 目
⇔2Rsin Acos A＝2Rsin Bcos B
开 关
⇔sin 2A＝sin 2B
⇔2A＝2B 或 2A＋2B＝π
⇔A＝B 或 A＋B＝2π.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
第十页，编辑于星期日：八点 分。
研一研·问题探究、课堂更高效
方法二 利用余弦定理化角为边． acos A＝bcos B
本
⇔a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2
课
⇔a2(c2－a2)＝b2(c2－b2)
栏
目 开
⇔a4－b4－a2c2＋b2c2＝0
目 开 关
设中线长为 x，由余弦定理知：x2＝A2C2＋AB2－2·A2C·ABcos A
＝42＋92－2×4×9×23＝49，
所以 x＝7.
所以 AC 边上的中线长为 7.
第十七页，编辑于星期日：八点 分。
1.1.2（一）
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
本
(1)已知两边和夹角，解三角形．
2abcos C .
第二页，编辑于星期日：八点 分。
填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.2（一）
2．余弦定理的推论
b2＋c2－a2
c2＋a2－b2
a2＋b2－c2
本 课
cos A＝ 2bc ；cos B＝ 2ca ；cos C＝ 2ab .
栏
3．在△ABC中：
天津市塘沽区紫云中学高中数学第一章 解三角形 配套课件：章末复习课
第九页，编辑于星期日：八点 一分。
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
方法二 利用正弦定理求解．
∵csin B＝32 3，∴c>b>csin B．∴△ABC 有两解．
本
∵sinc
C＝sinb
B＝6，∴sin
C＝
3 2.
课 栏
∴C＝60°或 C＝120°.
目 开
当 C＝60°时，A＝180°－B－C＝90°.
3 .
(2)当
θ－π3＝2π，即
θ＝56π时，ymax＝2＋5
4
3 .
答
四边形
OPDC
面积的最大值为
2＋5
4
3 .
章末复习课
第八页，编辑于星期日：八点 一分。
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
题型二 构建方程(组)解三角问题 例 2 已知△ABC 中，b＝3，c＝3 3，B＝30°，求 a 的值．
章末复习课
本
跟踪训练 3 已知△ABC 中，AB＝1，BC＝2，则角 C 的取值
课 范围是
()
栏 目 开
A．0<C≤π6
B．0<C<π2
关
C．π6<C<π2
D．π6<C≤π3
第十七页，编辑于星期日：八点 一分。
研一研·题型解法、解题更高效
解析 方法一 (应用正弦定理)
本
∵siAnBC＝sBinCA，∴sin1 C＝sin2 A，
跟踪训练 2 如图所示，已知在四边
形 ABCD 中，AD⊥CD，AD＝10，
AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，
本
求 BC 的长．
天津市塘沽区紫云中学高中数学第一章 解三角形 配套课件：1.1.1正弦定理一
第九页，编辑于星期日：八点 分。
研一研·问题探究、课堂更高效
如图 3，当△ABC 为钝角三角形时，
连接BO交圆O于D，连接CD，
∠A＝180°－∠D，
本
所以sina A＝sin(18a0°－D)＝sina D＝2R.
课 栏 目
同理，sinb B＝sinc C＝2R，
开 关
即sina A＝sinb B＝sinc C＝2R.
B．2∶3∶4
目 开
C．3∶4∶5
D．1∶ 3∶2
关
第十一页，编辑于星期日：八点 分。
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1（一）
解析 ∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴A＝6π，B＝π3，C＝π2，
∴sin A＝12，sin B＝ 23，sin C＝1.
本 课
设sina A＝sinb B＝sinc C＝k(k＞0)，则
D.π6或56π
开
关
解析 令sina A＝sinb B＝k，k＞0，则 a＝ksin A，b＝ksin B.
3a＝2bsin A⇔
3sin
A＝2sin
Asin
B⇔sin
B＝
3 2.
∴B＝3π或23π.
第二十四页，编辑于星期日：八点 分。
1.1.1（一）
1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.1.1（一）
本 1．在△ABC 中，sin A＝sin B，则△ABC 是
课 栏
A．直角三角形
B．锐角三角形
目 开
C．钝角三角形
D．等腰三角形
关
( D)
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天津塘沽区紫云中学高三数学理模拟试题含解析
天津塘沽区紫云中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．2. 已知，则不等式的解集为( )A．(1,+∞) B．(－∞,－5)∪(1,+∞) C．(－∞,－5)∪(0,+∞) D．(－5,1)参考答案：B试题分析：时，，原不等式为，，当时，，原不等式为，，综上．故选B．3. 下列说法正确的是A. 命题“存在x∈R，x2+x+2013>0”的否定是“任意x∈R，x2+x+2013<0”B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C. 函数在其定义域上是减函数D. 给定命题p、q，若“p且q”是真命题，则是假命题参考答案：D4. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（）A．2 B．C． D．3参考答案：D5. 下列函数中，是偶函数，且在区间内单调递增的函数是（）A． B． C．D．参考答案：D考点：函数的单调性奇偶性6. 等差数列公差为2，若成等比数列，则等于A．-4 B．-6 C．-8 D．-10参考答案：B略7. 复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，则z=﹣+i．故选：A．8. 已知a=log2 0.3，b=30.2，c=0.32，则（）A9. 关于复数，下列说法中正确的是（）A．在复平面内复数对应的点在第一象限．B．复数的共轭复数．C．若复数（）为纯虚数，则．D．设为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上．参考答案：C10. 若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件可得f（x）是周期函数，T=2，h（x ）=f （x ）﹣g （x ）=0，则f （x ）=g（x ），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，由图象可得结论．【解答】解：由题意f（1+x）=f（x﹣1）?f（x+2）=f（x），故f（x）是周期函数，T=2，令h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，如图所示：故在区间[﹣5，5]内，函数y=f（x）和y=g（x）图象的交点有8个，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8．故选C．【点评】本题考查函数零点的定义，体现了数形结合的数学思想，在同一坐标系中作y=f（x）和y=g （x）图象，是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知抛物线C:,定点M(0,5),直线与轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过与抛物线C的交点. 则抛物线C的方程为_____________参考答案：略12. .已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且,，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为A . 3 B. 1 C. 2 D. 4参考答案：C略13. 若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是.参考答案：14. 已知∈(,)，sin=,则tan。
天津市塘沽区紫云中学高中数学第一章 解三角形 配套课件：1.2应用举例(一)
2 2 ＝50
2
(m)．
2
答案 A
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练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.2（一）
2．从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30°， 看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为
本
课
A．2h 米
栏 目
C． 3h 米
开 关
解析 如图所示，
BC＝ 3h，AC＝h，
第十三页，编辑于星期日：八点 一分。
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2（一）
整理得 2t2－t－1＝0，解得 t＝1 或 t＝－12(舍去)．
即舰艇需 1 小时靠近渔船，此时 AB＝10 3，BC＝10，
本
在△ABC 中，由正弦定理得sin∠BCCAB＝sinA1B20°，
课 栏 目 开 关
所以
sin∠CAB＝BCsiAnB120°＝101× 0
栏 目
10 3海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔
开
船所需的时间．
关
解 如图所示，设所需时间为 t 小时，
则 AB＝10 3t，CB＝10t，
在△ABC 中，根据余弦定理， 则有 AB2＝AC2＋BC2－
2AC·BCcos 120°，
可得(10 3t)2＝102＋(10t)2－2×10×
10tcos 120°，
跟踪训练 2 一次机器人足球比赛中，
甲队 1 号机器人由点 A 开始作匀速直
线运动，到达点 B 时，发现足球在点
本
D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 作
课 匀速直线滚动．如图所示，已知 AB＝4 2 dm，AD＝17 dm，
天津市塘沽区紫云中学高中数学 复习训练 解三角形综合练习 新人教A版必修5
天津市塘沽区紫云中学高中数学 复习训练 解三角形综合练习 新人教A 版必修51.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b2.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos2A =，3AB AC ⋅=u u u r u u u r ．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．4.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B5.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23= (Ⅰ)确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值。
6.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C，求角C 的度数7.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=2， cosB=35．(1)若b=4，求sinA 的值； (2) 若△ABC 的面积S △ABC=4，求b ，c 的值．8.如图所示，在△ABC ，已知463AB =,6cos 6B =，AC 边上的中线5BD =,求：（1）BC 的长度； （2）sin A 的值。
9.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2,54cos ==b B . 当6π=A 时，求a 的值；当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值。
10.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,已知4102sin=C .（Ⅰ）求C cos 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为4153，且CB A 222sin 1613sin sin =+，求c b a ,,的值.11.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且b cB A 2tan tan 1=+.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）已知6,27==bc a 求c b +的值.12.设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且b c A 3,60==ο求c a 的值 （2）求A C B 2sin sin sin ⋅的值.。
高一数学第一章章末检测(a)
第1章三角函数（A ）（时间：120分钟 满分：160分）T1Xy = sin 于在区间［0 , t ］上至少取得2次最大值，则正整数 t 的最小值是312.已知函数 标为X 2，若|X 2- X 1|的最小值为13 .如果函数 y = 3cos （2x +妨的图象关于点（手，0）中心对称，那么川的最小值为14 .设3>0 ,函数y = sin （ ox+ j + 2的图象向右平移 于个单位后与原图象重合，则w1.2. 3.4. 5. 6. 号）、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） sin 600 半 tan 240 的值是 ___ 已知一扇形的弧所对的圆心角为已知点 P ［sin^n, cos# n 落’ tan a= 3, a€44 , .3 n 小、mr r Sin a+ cos a Sin （2 n — %）= , a€ （可,2",则一5 2 sina 是实数，则函数 f （x ）= 1 + asin ax 已知 已知已知 7. :落在角 n, 3 n,则 3 n 54°半径r = 20 cm ,则扇形的周长为 B 的终边上，且 茨［0,2 Tn ，贝y B 的值为COS a 的值是 J'..…L..._ r ; 1 t\ 1 / 1y \ :1—If'1 -2 “xcm..（填图象对应的序 为了得到函数 y = sin—个单位长度得到.（答案不唯一）&若点P （sin a- cos a, tan a 在第一象限，则在［0,2 n 内a 的取值范围是19.方程sin n = 4X 的解的个数是 __________ . 平移10.已知函数 11.已知函数 y = 2sin （ »+ 0）（0<伙n 为偶函数，其图象与直线 y = 2的某两个交点横坐 n 贝 V 3= _______ , 0= ________ . a- COS a的图象可能是 )=f(x)= 2sin( 3的最小值是 ______ .二、解答题（本大题共6小题，共90分）15. （14分）求函数y = 3-4sin x — 4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应 的x 的值..3），且该函数的最小正周期为 n （1）求B 和3的值；16. (14 分)已知函数 y = acos 2x + 3 + 3,x € 0, n 的最大值为4,求实数a 的值.17. （14分）已知a 是第三象限角，（1） 化简 f （ a ；（2） 若 COS a — 3 n = 5，求 f （ a的值; ⑶若a=— 1 860 °求f （ a 的sin( n — a)COS(2 n — a)tan( — a — n) f(a=tan - a sin - n- a .18. （16分）如图所示,⑵已知点A(n，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x°, y o)是PA的中点，当yo= 辱nx°€ £, n时，求x o的值.19. (16分)在已知函数f(x) = Asi n(3x+册，x€ R屮中A>0, 3>0, 0<(<；；的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为扌，且图象上一个最低点为皿當一2 ；.(1) 求f(x)的解析式；(2) 当x€ 12 n时，求f(x)的值域.冗20. (16分)已知函数f(x) = Asin(3x+© (A>0且3>0,0< 的部分图象，如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；⑵若方程f(x)= a 在0,，试求 a 的取值范围.第1章三角函数(A)2. 6n+ 40解析 •••圆心角 a= 54° = I n ， ■'■• = I a •= 6 n. •••周长为(6n+ 40) cm. 7 n 1 574 4si n(2 n — a )=— sin a= 5，：s in a= — 5. 又 aq — , 2 n , /cos a=_.2 5sin a+ cos a 1 …. =7. sin a — cos a 1 6.①②③解析当a = 0时f(x)= 1，③符合, 当0<|a|<1时T>2n,①符合, 当|a|>1时T<2n,②符合.7.右n解析 y = singx —訂=cos ；— gx —訂2x — I 是 cos2A4.-4 解析 5n 上有两个不同的实根解析sin a—cos a>0 且tan a>0,9. 7一i解析在同一坐标系中作出y= sin n x与y= &x的图象观察易知两函数图象有7个交点,所以方程有7个解.10. 03 5 n n 2 n 2 n解析方法一由图可知，尹="4"—4= n即T = -3", ••«=亍=3.「y= 2sin(3x+册,将(扌，0)代入上式5"(¥+册=0.3 n 3 n••才+ = k n kCZ，贝U 0= k n——.=2si n("4 + k n——)= 0.方法二由图可知，|T=乎n 2 n —4=n即T=亍f(x o) = f(x o+ 2)= 0,4= n又由正弦图象性质可知，若11. 8解析T= 6,则—< t,15 . C-t》2，…t min = 8.n12. 2 2解析■•y= 2sin( wx+ 0)为偶函数，• B= n•••图象与直线y= 2的两个交点横坐标为X1,X2,|X2 —X1 |min = n即卩T min = n,n co= 2.7t13・6._ . 4 n 4 n解析：y= 3cos(2x +0的图象关于点(1" , 0)中心对称，即3cos(2X亍+妨二0 ,8 n n 一+(f= 2 + k n k 迄.13 n n•“=— 6 + k n 当k= 2时，|审有取小值g.314.24 4解析由函数向右平移|n个单位后与原图象重合，得？冗是此函数周期的整数倍•又•'•a€Jn, 4 n .•'•a€又a 是第三象限角，• 'cos a= — \； 1 — sin ? a= ••f (a=-才(3) f( a = f(— 1 860 °= cos(— 1 860 ) 1=cos 1 860 =cos(5X 360° + 60° = cos 60 =》 18. 解 (1)将 x = 0, y = . 3代入函数 y = 2cos(wx+ e 中，得 cose=宁,nn因为0<e< ©所以e= n3>0 , 2 n 4 3 3•Lk =7n, -■•W= - k(k^Z ),'.3min = ~. 3 3 2 22 215. 解 y = 3— 4sin x — 4cos x = 4sin x —4sin x — 1 =4[sin x — g ； — 2,令 t = sinx ,则—1w t w 1, •y = 4 t —12— 2 (— 1 w t w 1).1 n 5 n •••当t = 2，即 x = + 2k n 或 x =6 + 2k n k0)时， y min = —2 ；3 n 当 t =— 1,即 x = — + 2k 冗(kC Z )时，y max = 7. n ， ._ nL 116.解収€ 0,-•—1 w cos 2x + 3 w 2・ 3 = 时，y 取得最大值7>a + 3,当 a>0, cos 2x +c.1-2a + 3= 4 ,「.a = 2. n =— 1时，y 取得最大值—a + 3,-a + 3 = 4,.°a = — 1,当 a<0, cos 2x +综上可知，实数a 的值为2或—1.sin a cos — a •[ — tan( n+ a ]17.解(1)f (a =—tan 如一sin( n+ a? —sin a c os a tan a =cos a —tan a sin aa-2n(2) '.Cos 又cosi3=cos 2 1 .. 5,5n — a =— sin a,1 a=—5由已知T = n,且3>0，得叶 2_n= 25= 2.T nn(2)因为点 A (2，0), Q(X 0,y o ）是PA 的中点,2 ；6 5y o =爭，所以点P 的坐标为(2X 0— n,寸3)n n又因为点P 在y = 2cos(2x + g)的图象上，且三x o < n 5 n -,3 口7 n 5n 19 n所以 cos(4x o —g) = -^，且 g < 4x o —g W，…口 5 n 11 n 亠 5 n 13 ^从而彳得4x o —' ‘= q ,^或 4x o — = ~~r~，即 X o = , ^或 X o = .T n得T = 2,即 T = n, •3= T 由点M — 2在图象上得由x 轴上相邻两个交点之间的距离为n 2,即sin -1, ,,4 n n 故—+ $= 2k n — ^(k 題), 11 n •■$= 2k n —-^(k^Z ). 又共@,刃，•“=n 故 f(x) = 2sin 2x + f . n n n I ⑵X 云,汀 当2x +n= n 即x =时 n 7 n n 当2x + n= 6 ,即x = 2时，f(x)取得最小值一1 , 故f(x)的值域为[—1,2]. 20.解(1)由图象易知函数f(x)的周期为 "3 = 2 n , A = 1,所以 3= 1.,f(x)取得最大值2;T = 4X 方法一 由图可知此函数的图象是由 y = sin x 的图象向左平移3个单位得到的，故片n3 3所以函数解析式为f(x) = sin x + n . n ，订 方法二 由图象知f(x)过点一： 则 sin — 3+ n •“= k n+ 3, k 題,— ( n n 又•••$€0, ，•片3 , (n •■f(x) = sin x + 3 . n 0，二—3+ k n k 迄. ⑵方程f(x)= a 在0,于 上有两个不同的实根等价于 y = f(x)与y = a 的图象在0,于 上 :在〔0, 了；上的图象，有两个交点，在图中作 y = a 的图象，如图为函数 f(x)= sin x +才66663419.解 ⑴由最低点为M #, — 2得A = 2. 2 n 2 n=2.n2sin 2X 23?+ $ = — 2,当x = 0时，f(x)=¥，当x=爭寸，f(x) = 0,由图中可以看出有两个交点时, aT，■ —1,0) •。
天津市塘沽区紫云中学高考考前复习小练：练习
1在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的分别是,,a b c .已知22,2,cos 4a c A ===-. 求sin C 和b 的值;2.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且3(1)求角B 的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c 的值ABC ∆中,内角A.B.C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .3.已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边,3sin sin c a C c A =-.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2,ABC ∆3,求b ,c .4.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+(Ⅰ)求角A 的大小;5.设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos2A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．7.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b == （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.8.在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且510sin A B == （I ）求A B +的值； （II ）若21a b -=，求a b c 、、的值。
9.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.10等差数列}{n a 中，9,155432==++a a a a .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设213+=n a n b ，求数列n n a 1{,b }2+的前n 项和n S 。
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天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 第一章 解三角形章末检测（A ）配套练习 新人教A 版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53B.54C.55D.56 答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin Asin B，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10，则BA ·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32答案 A解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB ·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴BA ·AC →＝－AB →·AC →＝－32.3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对 答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴5＝15＋c 2－215×c ×32.化简得：c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0， ∴c ＝25或c ＝ 5.4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 答案 D解析 A 中，因a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中， ∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21， 即有解，故A 、B 、C 都不正确．5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2 答案 C解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928. 6．在△ABC 中，cos 2 A 2＝b ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 答案 A解析 由cos 2A 2＝b ＋c 2c ⇒cos A ＝b c ， 又cos A ＝b 2＋c 2－a22bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A.7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3 答案 A解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝6＋24，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°.sin B ＝12.由正弦定理：b sin B ＝a sin A ＝6＋26＋24＝4.∴b ＝4sin B ＝2.8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152 B.15 C.8155D ．6 3答案 A解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0.∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝152.9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a 2×4·cos∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos∠AMC即62＝42＋14a 2＋2×4×a 2·cos∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 答案 C解析 ∵sin A a＝cos Bb，∴a cos B ＝b sin A ，∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0.∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°.同理C ＝45°，故A ＝90°.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.12．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3C ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3D ．6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3答案 D解析 A ＝π3，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C＝2R ，由合分比定理知BC sin A ＝AB ＋BC ＋ACsin A ＋sin B ＋sin C，即332＝x 32＋sin B ＋sin C .∴23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋sin B ＋A ＋B ＝x ， 即x ＝3＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝3＋23⎝⎛⎭⎪⎫sin B ＋sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋12sin B ＋32cos B＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B ＋32cos B＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫32 sin B ＋12cos B＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C＝________.答案 014．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6.15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________. 答案 1解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B .∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1.16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．答案 32≤a <3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋a ＋2a 2＋a ＋2－a ＋2<0a 2＋a ＋2－a ＋22a a＋≥－12.解得32≤a <3.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则 BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°， 根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2.答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.(1)求sin 2 B ＋C 2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .解 (1)sin 2 B ＋C 2＋cos 2A ＝1－B ＋C 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝5950.(2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin ∠ABE ＝ABsin ∠AEB ，即AE －＝2＋，故AE ＝2sin 30°c os 15°＝2×126＋24＝6－ 2.20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)方法一 由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B .∴sin 2B ＋(1－sin B )2＋sin B (1－sin B )＝34，即sin 2B －sin B ＋14＝0.解得sin B ＝12.故sin C ＝12.∴B ＝C ＝30°.所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由(1)A ＝120°，∴B ＋C ＝60°， 则C ＝60°－B ，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝sin B ＋32cos B －12sin B＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋60°) ＝1，∴B ＝30°，C ＝30°.∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．(14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )， n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意知m ·p ＝0， 即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.。