第4章 布尔代数和逻辑简化 (2011)

表 4.2 法则 10:A 十 AB=A
A
B
0
0
O
1
1
O
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
等于
AB
A+B
0
0
0
0
0
1
1
1
法则 11：A+ AB =A+B 这个法则证明如下：
直接连接 直接连接
A+ AB =(A+AB)+ AB
法则 10:A=A+AB
=(AA+AB)+ AB
法则 7：A=AA
= AA+AB+A A + AB 法则 8：加 A A =0
律——和二进制代数中的定律是一样的。每一个定律都会由两个或者三个变量来阐
释，但是变量的个数并不局限于此。
交换律 两变量加法的交换律可以写作
A+B= B+A
（式 4.1）
这个定律表明变量被执行或运算的次序并不会对结果产生差别。记住，在布尔代数应
用于逻辑电路时，加法和或运算是一样的。图 4.1 展示了应用于或门的交换律，并且展
法则 4：A∙1 =A 一个变量和 1 进行与运算总是等于变量本身。如果 A 为 0，与 门的输出就是 O。如果 A 为 1，与门的输出就是 1，因为现在这两个输入都 是 1。这个法则如图 4.9 所示，其中第二个输入固定为 0。
法则 5：A+A=A 一个变量和它本身进行或运算总是等于变量本身。如果 A 为 0． 那么 O+0=O；如果 A 为 1，那么 1+1=1。这个法则如图 4.10 所示， 其中两个输入都是相同的变量。
法则 6：A+ A =1 一个变量和它的反码进行或运算总是等于 1。如果 A 为 0，那 么 0+ 0 =0+1=1。如果 A 为 l，那么 1+1=1+0=1。参见图 4.11，
其中一个输入是另一个输入的反码。
法则 7：A∙A=A 一个变量和它本身进行与运算总是等于变量本身。如果 A=0， 那么 0∙O=O；如果 A=1，那么 1∙1=1。图 4.12 阐释了这个法则。
就会得到 A，也就是原始变量。这个法则如图 4.14 所示，图中使用了反相器。
法则 10: A+AB=A 这个法则可以使用分配律（法则 2 和法则 4）来证明，如下所示：
A+AB=A(1+B) 因子分解（分配律）
=A∙1
法则 2：（1+B）=1
=A
法则 4:A∙1=A
这个证明如表 4.2 所示，其展示了真值表以及结果逻辑电路简化。
表 4.1 列出了 12 个基本法则，这在操作和简化布尔表达式中非常有用。法则 1～9 将会以它们在逻辑门中应用的形式得以介绍。法则 10～12 将会从先前已讨论的简单法 则和定律中引申出来。
表 4.1 布尔代数的基本法则
1.A+0=A 2.A+1=1
7.A∙A=A
8. A ∙ A =O
3.A∙0=0
在布尔代数中，乘积项就是文字的乘积。在逻辑电路中，乘积项由与门运算产生，而
没有涉及或运算。乘积项的一些例子为 AB、 AB 、ABC、以及 ABC D 。
只有当乘积项中的每一个文字都是 1 时，乘积项才等于 1。当一个或者多个文字为 0 时，乘积项就等于 0。
示例 4.2
确定使得乘积项 ABC D 等于 1 的 A、B、C、D 的数值。
—
= 0，那么A = 1。变量 A 的反码读作“A 非”或者“A 横杠”。有时候用撇符号而不是
上划杠来指示变量的反码；例如， B 就表示 B 的反码。在本书中，使用的是上划杠。文字
是一个变量或者变量的反码。
在微处理器中，算术逻辑单元(ALU)根据程序的指令，对数字数据执
行算术和布尔逻辑运算。逻辑运算等价于你所熟悉的门运算，但是每次至少处理 8 位。布 尔逻辑指令的例子为与、或、非和异或，它们被称为助记符。汇编语言程序使用助记符来 指定运算。另一个称为汇编器的程序将助记符翻译成可以被微处理器理解的二进制代码。 布尔加法 □ 或门就是一个布尔加法器 记得在第 3 章中，布尔加法等价于或运算，其基本法则用或门表示如下：
4.2 布尔代数的定律和法则
和其他数学领域一样，我们必须遵循一些开发完好的法则和定律以正确使用布尔代数。 最重要的定律和法则将在本节得到介绍。
学完本节之后，你应当能够 ■ 应用加法和乘法的交换律 ■ 应用加法和乘法的结合律 ■ 应用分配律 ■ 应用布尔代数的 12 个基本法则
布尔代数的定律
布尔代数的基本定律——加法和乘法的交换律、加法和乘法的结合律以及分配
4.1 布尔运算和表达式
布尔代数是关于数字系统的数学。布尔代数的基本知识对于学习和分析逻辑电路是必 不可少的。在上一章中，对于非、与、或、与非以及或非门相关的布尔运算和表达式已经 得到了介绍。本节复习了上述内容并提供了附加的定义和信息。
学完本节之后，你应当能够 ■ 定义变量 ■ 定义文字 ■ 识别加和项
=(A+ A )(A+B)
因子分解
=1∙(A+B)
法则 6：A+ A =1
=A+B
法则 4：舍去 1
这个证明如表 4.3 所示，其展示了真值表和结果逻辑电路简化。
表 4.3 法则 11: A+ A B=A+B
A
B
AB
0
0
O
A + A B A+B
0
O
0
1
1
1
1
1
O
0
1
1
1
1
0
1
1
等于
法则 12:(A+B)(A+C) =A 十 BC 这个法则的证明如下所示：
解：
为了使的加和项为 0，该项中的每一个文字都必须是 0.所以 A=0、B=1(使得 B =0) 、C=0 以及 D=1(使得 D =0) 相关问题：确定使得加和项 A B 等于 0 的 A 和 B 的数值。
答案在本章的结尾。
布尔乘法
□ 与门是一个布尔乘法器 同样从第 3 章中我们知道，布尔乘法等价于与门运算，其基本法则用与门表示如下：
农(Claude Shannon)第一次应用布尔的工作来分析和设计逻辑电路。1938 年，香农在 MIT 写了一篇论文，题目是《延迟和转换电路的符号分析》。
本章介绍了布尔代数的定律、法则和定理，以及它们在数字电路上的应用。你将学习 怎样用布尔表达式来定义一个给定的电路，然后计算它的运算。你还会学习怎样使用布尔 代数和卡诺图来简化逻辑电路。
AB 00 0O O1 01 1O 10 11 11
表 4.4 法则 12:（A 十 B)(A+C)=A+BC(T04-04 文档）
C A+B A+C A十B)(A+C) BC A+BC
本章学习目标 ■ 应用布尔代数的基本定律和法则 ■ 应用狄摩根定理到布尔表达式 ■ 用布尔表达式描述逻辑门网络 ■ 计算布尔表达式 ■ 使用布尔代数的定理和法则简化表达式 ■ 变换任意的布尔表达式为乘积加和(SOP)形式 ■ 变换任意的布尔表达式为加和乘积(POS)形式 ■ 使用卡诺图简化布尔表达式 ■ 使用卡诺图简化真值表函数 ■ 使用“无关紧要”条件简化逻辑功能 ■ 在系统应用中使用布尔代数和卡诺图方法
法则 8：A∙ A =0 一个变量和它的反码进行与运算总是等于 0。A 或者 A 将总是
为 O；当 0 应用于与门的输入时，输出也是 O。图 4.13 阐释了这个法则。
法则 9： A =A 对一个变量进行双重求反总是等于变量本身。如果你开始于变量 A， 并对其进行一次求反（反相），你就得到 A 。如果随后你再对 A 进行求反（反相），
(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC 分配律
= A+AC+AB+BC 法则 7:AA =A
= A(1+C)+AB+BC 因子分解（分配律）
=A∙1+AB+BC
法则 2：1+C=1
=A(1+B)+BC
因子分解（分配律）
=A∙1+BC
法则 2：1+B =1
=A +BC
法则 A∙1=A
这个证明如表 4.4 所示，其展示了真值表和结果逻辑电路简化。
A+(B+C)=(A+B)+C
（式 4.3）
这个定律表在对于多于两个的变量进行运算时，无论将哪些变量分为一组，其
结果都是相同的。图 4.3 展示了这个应用于 2 输入或门的定律。
图 4.3 加法结合律的应用（参考 F04-03 文档）
对于 3 个变量，乘法的结合律可以写作： A(BC)=(AB)C
（式 4.4）
■ 计算加和项 ■ 识别乘积项 ■ 计算乘积项 ■ 解释布尔加法 ■ 解释布尔乘法 布尔代数中所使用的术语为变量、反码和文字。变量是用以表示逻辑量的符号（通常
是斜体大写字母）。一个单变量可以具有 1 或者 0 的数值。反码是变量的反相，并且由变量
—
—
上方的横杠（上划杠）表示。例如，变量 A 的反码是A。如果 A = 1，那么A = O。如果 A
重要术语 ■ 变量 ■ 反码 ■ 加和项 ■ 乘积项 ■ 乘积的加和(SOP) ■ 加和的乘积(POS) ■ 卡诺图 ■ 最小化 ■ “无关紧要” ■ PAL 简介
1854 年，乔治·布尔(George Boole)出版了一本著作，题目为《思想定律的调查研究 并基于此建立了逻辑和概率的数学理论》。这篇著作中公式化的“逻辑代数”，今天被称为 布尔代数。布尔代数是表示以及分析逻辑电路运算的一种方便而系统的方法。克劳德·香
法则 2：A+1=1 一个变量和 1 进行或运算总是等于 1。或门的一个输入为 1，无 论另一个输入上的变量值是多少，所产生的输出就会是 1。这个法则如图 4.7 所示，其中第二个输入固定为 1。
法则 3：A∙0=0 一个变量和 O 进行与运算总是等于 O。任何时候与门的一个输 入为 0，无论另一个输入上的变量值是多少，输出就是 O。这个法则如图 4.8 所示，其中第二个输入固定为 O。
与运算，等价于将这个单变量和这两个或者更多变量中的每一个变量分别进行与运算，
然后再将乘积进行或运算。分配律同样表示了因子分解的过程，共同变量 4 从乘积项中
分解出来，例如，AB+AC=A(B+C)。图 4.5 以门实现的形式阐述了分配律
。
图 4.5 分配律的应用（参考 F04-05 文档）
布尔代数法则
这个定律表明当多于两个变量进行与运算时，变量被分组的次序不会对结果产生 差别。图 4.4 展示了这个应用于 2 输入与门的定律。
图 4.4 乘法交换律的应用
分配律 对于 3 个变量的分配律可以写作：
A(B+C) = AB + AC
（式 4.5）
这个定律表明当对两个或者更多的变量执行或运算，然后再将结果与单个单变量进行
第 4 章 布尔代数和逻辑简化
本章大纲
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11
布尔运算和表达式 布尔代数的定律和法则 狄摩根定理 逻辑电路的布尔分析 用布尔代数进行简化 布尔表达式的标准形式 布尔表达式和真值表 卡诺图 卡诺图 SOP 最小化 卡诺图 POS 最小化 5 变量卡诺图
解：
—
为了使得乘积项等于 1，那么该项的每一个文字都必须是 1.所以，A=1、B=0(使得B
-
=1)、C=1、 以及 D=0(使得D=1)。
相关问题：确定使得乘积项 AB 等于 1 的 A 和 B 的值。
4 1 节复习
答案在本章的结尾。
1．如果 A=0，那么 A 等于多少？ 2．确定使得加和项 A B C 等于 O 的 A、B 和 C 的数值。 3．确定使得乘积项等于 ABC 等于 1 的 A、B 和 C 的数值。
9． A =A
4.A∙1=A 5.A+A=A
10．A+ AB=A
11. A + A B =A+B
6.A+ A =1
12.(A+B)(A+C)=A+BC
A、 B 或者 C 可以表示一个单变最或者变量的组合。
法则 1：A+O=A 一个变量和 0 进行或运算总是等于变量本身。如果输入变量 A
是 1，输出变量 X 就是 1，也就是等于 A。如果 A 是 0 的话，输出就是 0， 也等于 A。这个法则如图 4.6 所示，其中第二个输入被固定为 O。
示了变量应用于哪个输入上并不重要。（符号≡的意思是“等于”。）
图 4.1 加法交换律的应用
两变量乘法的交换律为
AB = BA
（式 4.2）
这个定律表明变量被执行与运算的次序并不会对结果产生差别。图 4.2 展示了这
个定律被应用于与门。
图 4.2 乘法交换律的应用
结合律 对于 3 个变量，加法结合律可以写作下面的形式
_
在布尔代数中，加和项是文字的加和。在逻辑电路中，加和项由或运算所生成，并没
有涉及到与运算。加和项的一些例子为 A B、A B、A B C 和 A B C D 。
当加和项中有一个或者多个文字为 1 时，加和项就等于 1。只有当每个文字都是 O 时， 加和项才等于 0。
示例 4.1
确定使得加和项 A B C D 等于 0 的 A、B、C 和 D 的值。