二次函数压轴题等腰三角形存在性,直角三角形存在性

中考数学压轴题

一、等腰三角形存在性

1 解题思想：分类讨论

2 解题技巧：坐标系内线段长度表示

（1）线段在坐标轴上或平行于坐标轴

在x轴或平行于x轴：x右-x左

在y轴或平行于y轴：y上-y下

（2）线段为倾斜（斜线段）A（X A,Y A）B（X B,Y B）C（X C,Y C）

由勾股定理得：AB2=

AC2=

BC2=

3 解题方法

（1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方

（2）分三种情况列方程，解方程

（3）根据题目条件及方程解确定坐标（注意重根）

（2）几何法：（1）先分三种情况A为顶点，B为顶点，C为顶点

（2）画图，作圆法，垂直平分线法

（3）计算：以两定点为腰则腰长已知，先求出腰长进行几何构造，注意不要漏解，以两定点为底则利用腰相等建立方程求解（表示腰长可结合代数法）。

例1. 如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B 两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

代数法：

几何法：

例2 如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B 重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．

（1）试求△ABC 的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；

（3）设AD=x ，当△BDG 是等腰三角形时，求出AD 的长． 只能选择几何法 1 先分析三种情况

2 根据已知表示三边长度（相似）

3 列方程计算

同步练习：

1．如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ．

（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；

（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

2.如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．

A

C

B

y

x

0 1

1

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

3.（2016临沂第26题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC.

（1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

二、直角三角形存在性

解题方法

（1）代数法：

（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方

（2）以直角顶点分三种情况，根据勾股定理列方程，解方程

（3）根据题目条件及方程解确定坐标

（2）几何法：

（1）先分三种情况进行构造：若已知边做直角边，过直角边的两端点作垂线，则第三个顶点在垂线上，若已知边为斜边，可取斜边为直径作圆，直角顶点在圆上

（2）计算：注意题目的几何背景，如有直接的相似则表示线段长度，进行相似求解，无直接相似则围绕顶点分别做坐标轴的平行线，构造一线三角模型进行相似求解。

例1.（2016枣庄）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

代数法：几何法：

例2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

代数法：几何法：

2、如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x 2交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2．

(1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．

(2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．

3.如图，在平面直角坐标系中，直线1

23

y x =-

+交x 轴于点，交轴于点，抛物线21

2

y x bx c =-++的图象过点(1,0)E -，并与直线相交于、两点.

求抛物线的解析式（关系式）；

过点作AC AB ⊥交x 轴于点，求点的坐标；

除点外，在坐标轴上是否存在点，使得MAB ∆是直角三角形若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.