最新微分几何陈维桓习题答案4
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微分几何陈维桓习题
答案4
习题答案4
p. 202 习题5.1
1.设可允许的参数变换«Skip Record If...»是保持定向的，即«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».用«Skip Record If...»表示曲面«Skip Record If...»在参数系«Skip Record If...»下的第一、第二类基本量，用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示曲面«Skip Record If...»在参数系«Skip Record If...»下的第一、第二类基本量.证明：
«Skip Record If...»， «Skip Record If...».
证明. (1) 因为«Skip Record If...»，所以在可允许参数变换下，
«Skip Record If...».
上式两边作为«Skip Record If...»的二次型相等，所以«Skip Record If...».
(2) 设«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...».令
«Skip Record If...».
则有«Skip Record If...». 于是
«Skip Record If...».
因为«Skip Record If...»，这说明在两个参数系下，有
«Skip Record If...».
于是
«Skip Record If...»
和(1)中一样，可得«Skip Record If...».□
4.验证：曲面«Skip Record If...»的平均曲率«Skip Record If...»可以表示成«Skip Record If...»，并且证明«Skip Record If...»在第1题的参数变换下是不变的.
证明. (1) 证法一：直接验证.由定义，
«Skip Record If...».
因此
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...».
证法二：运用Weingarten变换«Skip Record If...». 由定义，
«Skip Record If...».
所以«Skip Record If...»是Weingarten变换«Skip Record If...»在切空间的基«Skip Record If...»下的矩阵.它的两个特征值«Skip Record If...»，也就是主曲率，满足
«Skip Record If...».
所以
«Skip Record If...».
(2) 在第1题的参数变换下，令«Skip Record If...»为逆变换，«Skip Record If...».则«Skip Record If...»与«Skip Record If...»互为逆矩阵. 故有
«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1) 在第1题中已经证明了
«Skip Record If...». (2) 所以有
«Skip Record If...».
用«Skip Record If...»乘上式两端，并对指标«Skip Record If...»求和，利用(1)式可得
«Skip Record If...».
再用«Skip Record If...»乘上式两端，并对指标«Skip Record If...»求和，可得
«Skip Record If...».
最后用«Skip Record If...»乘上式两端，并对指标«Skip Record If...»求和，利用(1)式
可得
«Skip Record If...»，
即有
«Skip Record If...». (3)于是由«Skip Record If...»得到
«Skip Record If...».
所以«Skip Record If...»在第1题的参数变换下是不变的.□
注.如果采用矩阵记号，令
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
则(2)就是«Skip Record If...»，(3)就是«Skip Record If...».
5. 证明下列恒等式：
(1) «Skip Record If...»；(2) «Skip Record If...»；
(3) «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».
证明. (1) 因为«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»求偏导数，得
«Skip Record If...».
因此
«Skip Record If...».
用«Skip Record If...»乘上式两边，再对«Skip Record If...»求和，得
«Skip Record If...».
这就是(1).
(2) 由
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
可得
左边«Skip Record If...»右边.
(3) 左边为
«Skip Record If...»
右边为
«Skip Record If...»
所以(3)成立. □
p. 212 习题5.3
4. 设«Skip Record If...»有2个不相等的常数主曲率. 证明：«Skip Record If...»是圆柱面的一部分.
证明.设«Skip Record If...»的2个常数主曲率为«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»上没有脐点，可以选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
(1)
因为«Skip Record If...»是常数，由Codazzi方程(3.23)得
«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
因此
«Skip Record If...». (2) 于是«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
作参数变换«Skip Record If...»，«Skip Record If...».则第一、第二基本形式成为
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...».
即在新的参数下«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».为了方便起见，不妨设在原来的参数下就有
«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (3)
由(3.22)得«Skip Record If...»，从而由Gauss方程(3.19)可知«Skip Record If...».不妨设«Skip Record If...».则
«Skip Record If...».
于是(3)成为
«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4) 直接计算可得圆柱面
«Skip Record If...»
的第一、第二基本形式也是(4)，见第四章第2节的例题.根据曲面论唯一性定理，曲面«Skip Record If...»是圆柱面的一部分.□
5. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是
«Skip Record If...»，«Skip Record If...».