《函数的单调性与导数》导学案

1.3.1 函数的单调性和导数

学习目标：1、了解可导函数的单调性与其导数的关系.

2、掌握利用导数判断函数单调性的方法.

学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.

学习过程

【引 例】

1．确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？

解答：， 问 1）、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？ 解答：，

2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？

解答：，

2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

解答：，

【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

研究二次函数243=-+y x x 的图象；

（1） 画出二次函数243=-+y x x 的图象，研究它的单调性。

（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？

回答：

（3） 我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？

观察图像，能得到什么结论

回答：

【新课讲解】

根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？ 一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，

如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的 ； 如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的 。 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？

回答：

提示： f (x )＝x 3，在R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？

（2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？

若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为 函数．

结论应用：

由以上结论知：函数的单调性与其 有关，因此我们可以用 去探讨函数的单调性。下面举例说明：

【例题讲解】

例1、 求证：31y x =+在(,0)-∞上是增函数。

归纳步骤：1、 ；2、 ；3、 。

例2、 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函

数.

小结：用导数求函数单调区间的步骤：

（1） ；

（2） ；

（3）

【课堂练习】

1．确定下列函数的单调区间

(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3

2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的 图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )

课后练习与提高

1．（浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

2．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）

A ．在),0(+∞上递增

B ．在),0(+∞上递减

C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增

D ．在⎪⎭

⎫ ⎝⎛e 1,0上递减 3．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．

y x O y x O y x O y

x O A ． B ． C ． D ．