北师大版小学数学三角形内角和优质课评选教学设计
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小学阶段平面几何的研究一般从边与角的维度展开，三角形属于平面几何图形较为基础、简单的模型，有必要对三角形“角”与“边”特征展开研究，为后继认识平面图形与立体图形研究维度埋下伏笔。任何实验需要经历猜想、实验、验证、检验等过程。
二、怎样学习三角形内角和。
1.教材编排清逻辑。北师大版教材将三角形内角和安排在四年级下册，之前学生初步认识长方形、正方形、三角形、圆，知道平行四边形的名称；认识角、直角、锐角与钝角、平角、周角；认识平行线与垂线；是之后学习三角形、平行四边形面积知识基础。本单元教材安排认识各种平面图形、图形分类、图形性质的探索等。分类活动中对三角形、四边形有一初步认识，通过探索活动，进而发现三角形三边关系和三角形内角和，深入理解图形性质。
三、练习深化，运用“三角形内角和180度”解决问题
1. 长正方形维度进一步明晰结论
（如下图）笑笑用长方形纸折一折，请你想一想、填一填。
（ ）形， （ ）形， （ ）形， （ ）形， （ ）形，
内角和( )。 内角和( )。 内角和( )。 内角和( )。 内角和( )
2.（如图）把两个完全相同的三角形拼成新图形，他们内角和分别是多少度？你是怎么想的？
3.思考2：此时你对三角形内角和有什么大胆猜想？
设计意图：利用学生熟悉的原型---简易弹弓入手，观察三角形三个内角的变化，即一个角变大，另两个角变小的现象引发学生思考，三角形内角和不变的感知中大胆提出三角形内角和180度的猜想，激发进一步探索三角形内角和的欲望。
二、实验操作，验证“三角形内角和180度”。
四、设计思路
首先，生活原型抽象出三角形，观察三角形变化过程中体会三角形内角和变化，提出猜想。其次，验证三角形内角和180度方法讨论交流中体会方法的多样性，验证三角形内角和活动中逐步明晰三角形内角和180度。最后，打通分与合、长方形的角度与路径进一步验证三角形内角和，为多边形内角和与图形面积埋下伏笔。
2、学生实际明路径
课前曾对“什么是三角形内角”什么是三角形内角和”“三角形内角和是多少？怎么知道的？”“你有什么办法研究三角形内角和”等问题进行抽样调查（如下表）。
调查问题
调查结果（选择本校200名学生做样本）
标出下面三角形内角，这个三角形的内角和是指（ ）
98%的学生用角的符号正确标出三个内角
95%的学生提到“三个角的度数加起来”表示三角形内角和。
教材分两个课时进行编排，第一课时主要探索三角形内角和，第二课时运用三角形内角和180度的结论解决一些问题。本课属于第一课时内容。教材首先创设了一个有趣的问题情境，大小不同的两个三角形对内角和的真论，引出对三角形内角和的探索活动。之后安排三个问题：第一个问题是通过不同三角形的量角及求和活动探索三角形内角和；第二个问题是结合上面活动结果，明晰三角形内角和是180度；第三个问题是进一步通过操作活动验证三角形内角和为180°，呈现两种学生可能的验证办法：第一种是将三角形三个内角撕下来，拼成一个平角。第二种是把三角形三个内角折叠在一起组成一个平角，教材提供的每个活动都是将三个内角拼为一个平角，也是对学生空间想象力与数学推理能力的培养。可见教材探索三角形内角和编排顺序为：测量求和感知三角形内角和180度左右----讨论明晰三角形是180度----操作验证三角形内角和就是180度。具体地“三角形内角和”探索从学生已有的认知出发----测量各角度数再求和，这时每个学生都能想到并可操作的，测量是有误差的，激发学生寻找其它办法进行验证的需要；剪拼大部分孩子可以想到并能够进行实际操作的办法，同时可以形象验证三角形内角和180°；折叠对孩子来说有一定的困难，但通过启发也是可以操作验证三角形内角和的。
三、设计理念
1.数学学习是经验的改造与重组。一方面要唤醒学生已有的经验，促进知识迁移；另一方面，要组织丰富活动，帮助积累新的经验，实现知识构建。在此基础上，在比较中抽象概括，感悟“变与不变”的数学思想。
2.“在观察、思考、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚的表达自己的思考过程。”是义务教育数学课程标准第二学段目标在数学思考方面提出的要求。显然，在图形性质教学中，让学生认真观察基础上合情的大胆猜想是必要的，有助于学生对图形性质的理解与掌握，有利于数学直觉思维的培养。
基于上述认识做如下设计总体框架：
思
维
框
架：
内Βιβλιοθήκη Baidu
容
框
架：
学习目标
1、观察三角形内角变化的过程，产生三角形内角和可能不变的猜想，形成认知冲突，发展空间观念。
2、经历用量角器测量、剪拼、折叠等活动过程，验证三角形内角和180°，感受数学证明的严谨性，积累数学活动经验，提高学习兴趣。
3、运用探索三角形内角和180°的规律与策略，解决一些问题，发展应用意识。
你知道三角形内角和是多少吗？
19%的学生知道三角形内角和180度；
你能想到办法知道三角形内角和吗？（写两种）
90%的学生想到测量的办法，23.6%的孩子想到剪拼办法，5%的学生想到折的办法（3%的学生因缺折的方法未能成功）4%的学生没有办法。
调查结果显示，学生对三角形内角及内角和的含义，98%的孩子能够根据文字就能理解，可做淡化处理；三角形内角和180°的结论约有19%的孩子听说过，但对于如何得到的没有一个孩子经历过，验证方法约有90%地孩子想到测量，23.6%左右的孩子用剪拼。5%的学生想到折的办法，但缺少具体折的方法。基于此，本课具体教学中，三角形内角及三角形内角和含义做淡化处理。重点在于经历三角形内角和180度的验证过程，难点在于验证三角形内角和180度严谨的证明与推理过程。
学习重点：经历三角形内角和是180°知识形成过程
学习难点：“三角形内角和”180度验证过程
学习预设：
一、观察思考、提出猜想“三角形内角和180度”。
1．观察认识三角形内角：弹弓拉动其中一根弦，弓弦中动点与弓柄两端三点构成三角形，其中三个角是三角形的三个内角。你能指出这个三角形的内角吗？
2．观察思考：如果继续拉动弓弦，想一想三角形三个内角发生了什么变化？
《三角形内角和》教学设计
教学内容：北师大版《数学》四年级下册第24、25页
教学思考：
一、为什么要学习三角形内角和。
“三角形内角和”内容小学、初中都要学习，小学三角形内角和属于实验何，
初中则是演绎几何。《课程标准（2011版）》所指出的：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”并在数学思考的目标表述中做了明确要求，指出：要“发展合情推理和演绎推理能力”。波利亚很早就注意到“数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”因此，与之相适应，应该有两类推理：用合情推理获得猜想，发现结论；用演绎推理验证猜想，证明结论。课程标准强调通过多样化的活动培养学生的推理能力。如《课程标准（2011版）》提出：“在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想”（第一学段），“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”（第二学段），“在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理能力”（第三学段）。可见，初中学习三角形内角和小学四年级学习三角形内角承载的功能与价值是有差异的。小学阶段侧重在观察、实验、猜想、验证等系列活动中体会与感知三角形内角和180度，属于演绎推理的范畴；初中进一步学习三角形内角和则是运用数学相关定理（平行线间同位角、内错角相等）证明三角形内角和，属演绎推理的范畴。从而决定四年级三角形内角和的学习为实验几何，初中则才是演绎几何。
大量数据中感受测量误差存在
②剪拼法：剪拼方法展示中明确三个内角拼成平角。
进一步验证各类三角形内角和180度
剪拼方法与测量方法验证的优势对比
③折叠法：把三角形三个内角折在一起，发现是个180度平角。
④折叠方法与剪拼方法优势对比，
4.小结：观察上面两组三角形，你们发现有什么共同之处？（结论与方法相同之处）
内角和（ ）° 内角和（ ）°
3．根据下图求三角形中未知角的度数
A
C
B ∠A=
A
B C ∠A=
A
B C ∠A=
4.学习小结:通过这节课学习,你有什么收获?还有什么疑问?
5.学习方法迁移：你能利用本节课学到的新知识解决四边形内角和问题吗？
设计意图：如果说上面我们一直是从单独三角形维度验证三角形内角和，现在从长方形对角线剪开得到三角形，以及两个完全相同三角形拼大三角形的活动，维度发生变化；同时上面采用具体操作办法验证，此时更多的是利用已知分析推理进一步验证三角形内角和180度。实验几何的合情推理中适当渗透演绎推理是必要和需要的。特别是将学习到的结论计算未知角的度数，以及运用学到的方法解决四边形内角和问题，学以致用，进一步内化与提升。
把三角形三个内角凑到一起，得到同一个结论三角形内角和180度。
5．你能解释说明一开始我们发现三角形中一个角变大，另外的角就变小的道理吗？
6．了解相关数学历史，（介绍法国数学家帕斯卡）
设计意图：根据课前调查结果，首先讨论验证三角形内角和的方法，发现学生能够想到2～3中办法，给予思考讨论空间达成资源共享；其次，围绕两个维度验证三角形内角和。一个维度是不同方法验证三角形内角和180度，发展空间观念；另一个维度是各种各样的三角形，即不同形状、不同大小三角形内角和都是180度。逐步明晰三角形内角和是180度。其次，观察比较中感知各种办法优越性，了解相关数学历史，发展学习数学兴趣。
1．方法策略探讨。
思考讨论：有什么办法验证三角形内角和是180度。
2．验证三角形内角和活动
温馨提示：1.合理分工：组长组织，确保组内每种三角形都有同学研究
2.先标出三个内角，用你自己认为比较好的办法验证
3.完成后与组内同学交流，形成小组意见
3．交流展示，明确三角形内角和180度。
① 测量验证。数据分析，感受三角形内角和是180
二、怎样学习三角形内角和。
1.教材编排清逻辑。北师大版教材将三角形内角和安排在四年级下册，之前学生初步认识长方形、正方形、三角形、圆，知道平行四边形的名称；认识角、直角、锐角与钝角、平角、周角；认识平行线与垂线；是之后学习三角形、平行四边形面积知识基础。本单元教材安排认识各种平面图形、图形分类、图形性质的探索等。分类活动中对三角形、四边形有一初步认识，通过探索活动，进而发现三角形三边关系和三角形内角和，深入理解图形性质。
三、练习深化，运用“三角形内角和180度”解决问题
1. 长正方形维度进一步明晰结论
（如下图）笑笑用长方形纸折一折，请你想一想、填一填。
（ ）形， （ ）形， （ ）形， （ ）形， （ ）形，
内角和( )。 内角和( )。 内角和( )。 内角和( )。 内角和( )
2.（如图）把两个完全相同的三角形拼成新图形，他们内角和分别是多少度？你是怎么想的？
3.思考2：此时你对三角形内角和有什么大胆猜想？
设计意图：利用学生熟悉的原型---简易弹弓入手，观察三角形三个内角的变化，即一个角变大，另两个角变小的现象引发学生思考，三角形内角和不变的感知中大胆提出三角形内角和180度的猜想，激发进一步探索三角形内角和的欲望。
二、实验操作，验证“三角形内角和180度”。
四、设计思路
首先，生活原型抽象出三角形，观察三角形变化过程中体会三角形内角和变化，提出猜想。其次，验证三角形内角和180度方法讨论交流中体会方法的多样性，验证三角形内角和活动中逐步明晰三角形内角和180度。最后，打通分与合、长方形的角度与路径进一步验证三角形内角和，为多边形内角和与图形面积埋下伏笔。
2、学生实际明路径
课前曾对“什么是三角形内角”什么是三角形内角和”“三角形内角和是多少？怎么知道的？”“你有什么办法研究三角形内角和”等问题进行抽样调查（如下表）。
调查问题
调查结果（选择本校200名学生做样本）
标出下面三角形内角，这个三角形的内角和是指（ ）
98%的学生用角的符号正确标出三个内角
95%的学生提到“三个角的度数加起来”表示三角形内角和。
教材分两个课时进行编排，第一课时主要探索三角形内角和，第二课时运用三角形内角和180度的结论解决一些问题。本课属于第一课时内容。教材首先创设了一个有趣的问题情境，大小不同的两个三角形对内角和的真论，引出对三角形内角和的探索活动。之后安排三个问题：第一个问题是通过不同三角形的量角及求和活动探索三角形内角和；第二个问题是结合上面活动结果，明晰三角形内角和是180度；第三个问题是进一步通过操作活动验证三角形内角和为180°，呈现两种学生可能的验证办法：第一种是将三角形三个内角撕下来，拼成一个平角。第二种是把三角形三个内角折叠在一起组成一个平角，教材提供的每个活动都是将三个内角拼为一个平角，也是对学生空间想象力与数学推理能力的培养。可见教材探索三角形内角和编排顺序为：测量求和感知三角形内角和180度左右----讨论明晰三角形是180度----操作验证三角形内角和就是180度。具体地“三角形内角和”探索从学生已有的认知出发----测量各角度数再求和，这时每个学生都能想到并可操作的，测量是有误差的，激发学生寻找其它办法进行验证的需要；剪拼大部分孩子可以想到并能够进行实际操作的办法，同时可以形象验证三角形内角和180°；折叠对孩子来说有一定的困难，但通过启发也是可以操作验证三角形内角和的。
三、设计理念
1.数学学习是经验的改造与重组。一方面要唤醒学生已有的经验，促进知识迁移；另一方面，要组织丰富活动，帮助积累新的经验，实现知识构建。在此基础上，在比较中抽象概括，感悟“变与不变”的数学思想。
2.“在观察、思考、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚的表达自己的思考过程。”是义务教育数学课程标准第二学段目标在数学思考方面提出的要求。显然，在图形性质教学中，让学生认真观察基础上合情的大胆猜想是必要的，有助于学生对图形性质的理解与掌握，有利于数学直觉思维的培养。
基于上述认识做如下设计总体框架：
思
维
框
架：
内Βιβλιοθήκη Baidu
容
框
架：
学习目标
1、观察三角形内角变化的过程，产生三角形内角和可能不变的猜想，形成认知冲突，发展空间观念。
2、经历用量角器测量、剪拼、折叠等活动过程，验证三角形内角和180°，感受数学证明的严谨性，积累数学活动经验，提高学习兴趣。
3、运用探索三角形内角和180°的规律与策略，解决一些问题，发展应用意识。
你知道三角形内角和是多少吗？
19%的学生知道三角形内角和180度；
你能想到办法知道三角形内角和吗？（写两种）
90%的学生想到测量的办法，23.6%的孩子想到剪拼办法，5%的学生想到折的办法（3%的学生因缺折的方法未能成功）4%的学生没有办法。
调查结果显示，学生对三角形内角及内角和的含义，98%的孩子能够根据文字就能理解，可做淡化处理；三角形内角和180°的结论约有19%的孩子听说过，但对于如何得到的没有一个孩子经历过，验证方法约有90%地孩子想到测量，23.6%左右的孩子用剪拼。5%的学生想到折的办法，但缺少具体折的方法。基于此，本课具体教学中，三角形内角及三角形内角和含义做淡化处理。重点在于经历三角形内角和180度的验证过程，难点在于验证三角形内角和180度严谨的证明与推理过程。
学习重点：经历三角形内角和是180°知识形成过程
学习难点：“三角形内角和”180度验证过程
学习预设：
一、观察思考、提出猜想“三角形内角和180度”。
1．观察认识三角形内角：弹弓拉动其中一根弦，弓弦中动点与弓柄两端三点构成三角形，其中三个角是三角形的三个内角。你能指出这个三角形的内角吗？
2．观察思考：如果继续拉动弓弦，想一想三角形三个内角发生了什么变化？
《三角形内角和》教学设计
教学内容：北师大版《数学》四年级下册第24、25页
教学思考：
一、为什么要学习三角形内角和。
“三角形内角和”内容小学、初中都要学习，小学三角形内角和属于实验何，
初中则是演绎几何。《课程标准（2011版）》所指出的：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”并在数学思考的目标表述中做了明确要求，指出：要“发展合情推理和演绎推理能力”。波利亚很早就注意到“数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”因此，与之相适应，应该有两类推理：用合情推理获得猜想，发现结论；用演绎推理验证猜想，证明结论。课程标准强调通过多样化的活动培养学生的推理能力。如《课程标准（2011版）》提出：“在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想”（第一学段），“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”（第二学段），“在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理能力”（第三学段）。可见，初中学习三角形内角和小学四年级学习三角形内角承载的功能与价值是有差异的。小学阶段侧重在观察、实验、猜想、验证等系列活动中体会与感知三角形内角和180度，属于演绎推理的范畴；初中进一步学习三角形内角和则是运用数学相关定理（平行线间同位角、内错角相等）证明三角形内角和，属演绎推理的范畴。从而决定四年级三角形内角和的学习为实验几何，初中则才是演绎几何。
大量数据中感受测量误差存在
②剪拼法：剪拼方法展示中明确三个内角拼成平角。
进一步验证各类三角形内角和180度
剪拼方法与测量方法验证的优势对比
③折叠法：把三角形三个内角折在一起，发现是个180度平角。
④折叠方法与剪拼方法优势对比，
4.小结：观察上面两组三角形，你们发现有什么共同之处？（结论与方法相同之处）
内角和（ ）° 内角和（ ）°
3．根据下图求三角形中未知角的度数
A
C
B ∠A=
A
B C ∠A=
A
B C ∠A=
4.学习小结:通过这节课学习,你有什么收获?还有什么疑问?
5.学习方法迁移：你能利用本节课学到的新知识解决四边形内角和问题吗？
设计意图：如果说上面我们一直是从单独三角形维度验证三角形内角和，现在从长方形对角线剪开得到三角形，以及两个完全相同三角形拼大三角形的活动，维度发生变化；同时上面采用具体操作办法验证，此时更多的是利用已知分析推理进一步验证三角形内角和180度。实验几何的合情推理中适当渗透演绎推理是必要和需要的。特别是将学习到的结论计算未知角的度数，以及运用学到的方法解决四边形内角和问题，学以致用，进一步内化与提升。
把三角形三个内角凑到一起，得到同一个结论三角形内角和180度。
5．你能解释说明一开始我们发现三角形中一个角变大，另外的角就变小的道理吗？
6．了解相关数学历史，（介绍法国数学家帕斯卡）
设计意图：根据课前调查结果，首先讨论验证三角形内角和的方法，发现学生能够想到2～3中办法，给予思考讨论空间达成资源共享；其次，围绕两个维度验证三角形内角和。一个维度是不同方法验证三角形内角和180度，发展空间观念；另一个维度是各种各样的三角形，即不同形状、不同大小三角形内角和都是180度。逐步明晰三角形内角和是180度。其次，观察比较中感知各种办法优越性，了解相关数学历史，发展学习数学兴趣。
1．方法策略探讨。
思考讨论：有什么办法验证三角形内角和是180度。
2．验证三角形内角和活动
温馨提示：1.合理分工：组长组织，确保组内每种三角形都有同学研究
2.先标出三个内角，用你自己认为比较好的办法验证
3.完成后与组内同学交流，形成小组意见
3．交流展示，明确三角形内角和180度。
① 测量验证。数据分析，感受三角形内角和是180