河南科技大学线性代数试卷
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因此，原线性方程组的通解为 或者写为
五．解：
由于，
Baidu Nhomakorabea 所以，
由于，所以
六．解： 由于与的对应分量不成比例，所以与线性无关． 满足，，，线性无关的向量与有很多，例如我们可以取 ，
由于，所以，，，线性无关． 七．解：
⑴. 设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有 ．
所以， ， 但是，所以，但，所以．
七．（本题满分10分）
设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵），则称是阶幂零 矩阵．
⑴. 如果是阶幂零矩阵，则矩阵的特征值全为． ⑵. 如果是阶幂零矩阵，则矩阵不与对角矩阵相似．
八．（本题满分10分）
若二次型经正交变换后可变为标准形，求，．并求出该正交变换．
九．（本题满分10分）
设有5个向量 ，， ，．
求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．
一． 1. 1 2. -3 3. -1 4. 5. 二．CCBBA 三．解：
⑴ 由等式，得，即 因此矩阵可逆，而且．
⑵ 由⑴知，，即
四．解： 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：
所以，⑴ 当时，，此时线性方程组有唯一解． ⑵ 当，时，，，此时线性方程组无解． ⑶ 当，时，，此时线性方程组有无穷多组解． 此时，原线性方程组化为
三．（本题满分10分）
设阶矩阵和满足条件：． ⑴ 证明：是可逆矩阵，其中是阶单位． ⑵ 已知矩阵，求矩阵．
四．（本题满分10分）
当、为何值时，线性方程组 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．
五．（本题满分10分）
设4阶矩阵，求．
六．（本题满分10分）
已知，，求，，使得，，，线性无关．
由此可以看出，向量组，或者，或者，或者都可以作为向量组的极大 线性无关组．
不妨取向量组作为极大线性无关组，则有 ，，．
⑵ 反证法：若矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得． 所以， 但是，，所以，所以，即．因此．这与相矛盾，因此矩阵不与对角矩阵 相似． 八．解： 的矩阵及标准形的矩阵分别为
，． 则有 ，即 由此得．而且矩阵的三个特征值分别为．
特征值对应的特征向量为 特征值对应的特征向量为 特征值对应的特征向量为 因此令： 因此所作的正交变换为 九．解： 对由构成的矩阵，进行行变换
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选 项前的字母填在题后的括号内）
1．设 ，， ，，
则必有【 】． .； .； .； .． 2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】． . 必有一列元素全为0； . 必有两列元素成比例； . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； . 任意列向量是其余列向量的线性组合． 3．设是矩阵，而且的行向量线性无关，则【 】． . 的列向量线性无关； . 线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关； . 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；
河南科技大学
工科线性代数综合测试试卷
一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道 小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．已知是关于的一次多项式，该式中的系数为____________． 2．已知矩阵，且的秩，则___________ 3．已知线性方程组 有解，则___________． 4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则必有一个特征值 是_________________． 5．若二次型是正定二次型，则的取值范围是 ______________．
. 线性方程组有唯一解． 4．设矩阵是三阶方阵，是的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴ ，，； ⑵ ，，； ⑶ ，，； ⑷ ，，； 肯定不属于的特征向量共有【 】． . 1组； . 2组； . 3组； . 4组． 5．设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变 换化为对角矩阵的矩阵为【 】． .； .； .； .．
五．解：
由于，
Baidu Nhomakorabea 所以，
由于，所以
六．解： 由于与的对应分量不成比例，所以与线性无关． 满足，，，线性无关的向量与有很多，例如我们可以取 ，
由于，所以，，，线性无关． 七．解：
⑴. 设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有 ．
所以， ， 但是，所以，但，所以．
七．（本题满分10分）
设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵），则称是阶幂零 矩阵．
⑴. 如果是阶幂零矩阵，则矩阵的特征值全为． ⑵. 如果是阶幂零矩阵，则矩阵不与对角矩阵相似．
八．（本题满分10分）
若二次型经正交变换后可变为标准形，求，．并求出该正交变换．
九．（本题满分10分）
设有5个向量 ，， ，．
求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．
一． 1. 1 2. -3 3. -1 4. 5. 二．CCBBA 三．解：
⑴ 由等式，得，即 因此矩阵可逆，而且．
⑵ 由⑴知，，即
四．解： 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：
所以，⑴ 当时，，此时线性方程组有唯一解． ⑵ 当，时，，，此时线性方程组无解． ⑶ 当，时，，此时线性方程组有无穷多组解． 此时，原线性方程组化为
三．（本题满分10分）
设阶矩阵和满足条件：． ⑴ 证明：是可逆矩阵，其中是阶单位． ⑵ 已知矩阵，求矩阵．
四．（本题满分10分）
当、为何值时，线性方程组 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．
五．（本题满分10分）
设4阶矩阵，求．
六．（本题满分10分）
已知，，求，，使得，，，线性无关．
由此可以看出，向量组，或者，或者，或者都可以作为向量组的极大 线性无关组．
不妨取向量组作为极大线性无关组，则有 ，，．
⑵ 反证法：若矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得． 所以， 但是，，所以，所以，即．因此．这与相矛盾，因此矩阵不与对角矩阵 相似． 八．解： 的矩阵及标准形的矩阵分别为
，． 则有 ，即 由此得．而且矩阵的三个特征值分别为．
特征值对应的特征向量为 特征值对应的特征向量为 特征值对应的特征向量为 因此令： 因此所作的正交变换为 九．解： 对由构成的矩阵，进行行变换
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选 项前的字母填在题后的括号内）
1．设 ，， ，，
则必有【 】． .； .； .； .． 2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】． . 必有一列元素全为0； . 必有两列元素成比例； . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； . 任意列向量是其余列向量的线性组合． 3．设是矩阵，而且的行向量线性无关，则【 】． . 的列向量线性无关； . 线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关； . 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；
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工科线性代数综合测试试卷
一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道 小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．已知是关于的一次多项式，该式中的系数为____________． 2．已知矩阵，且的秩，则___________ 3．已知线性方程组 有解，则___________． 4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则必有一个特征值 是_________________． 5．若二次型是正定二次型，则的取值范围是 ______________．
. 线性方程组有唯一解． 4．设矩阵是三阶方阵，是的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴ ，，； ⑵ ，，； ⑶ ，，； ⑷ ，，； 肯定不属于的特征向量共有【 】． . 1组； . 2组； . 3组； . 4组． 5．设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变 换化为对角矩阵的矩阵为【 】． .； .； .； .．