复变函数 2008.1 杨晓京
第1章 复数与复变函数数学物理方程
z平面
ω 平面
复变函数w =f(z)可以写成w =u(x,y)+iv(x,y)， 其中z=x+iy
All Rights Reserved by CDUT.
复变函数论
第1章 复数与复变函数
几类基本初等函数 幂函数
n为正整数
z n n (cos i sin ) n n (cosn i sin n ) n e in
z1
z2 p
区域D连同它的边界一起构成闭区域，记为 D
All Rights Reserved by CDUT.
复变函数论
第1章 复数与复变函数
定义5：单连通域与多连通域
若在区域D内作任意闭合曲线，曲线所包围的所有点都属于D， 那么D称为单连通区域，否则，D称为复连通区域。 规定：若观察者沿边界线走时，区域总保持在观察者的左边， 那么观察者的走向为边界线的正向；反之，则称为边界线的 负向。
两个复数相乘等于 它们的模相乘，幅 角相加
All Rights Reserved by CDUT.
复变函数论
第1章 复数与复变函数
z1 x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 i 2 2 2 2 z2 x2 y 2 x2 y 2 r1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) r2 r1 exp[i(1 2 )] r2
指数函数 e z e x cos y i sin y
e z e x , Arg e z y
z x iy
性质
周期性
y 0时, e z e x ; x 0时, eiy cosy isiny
exp(z i2 ) exp(z)
复变函数第一章讲义
引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。
复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。
1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题,即求方程(10)40x x -=的根。
他求出形式的根为55，积为25(15)40--=。
但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因而复数在历史上长期不能为人们所接受。
“虚数"这一名词就恰好反映了这一点。
直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅,L Euler ⋅等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义,建立了系统的复数理论,从而使人们缍接受并理解了复数。
复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。
到本世纪,复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中,复数函数论都有着重要应用。
第一章 复数与复变函数教学重点： 复变函数的极限和连续性 教学难点： 复平面上点集的n 个概念教学基本要求:1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算 ２、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域 ４、理解复变函数、极限与连续§１复数1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数,称为复数,其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位.两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y ⇔==.虚部为零的复数可看作实数。
因此，全体实数是全体复数的一部分.x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+．复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+ 1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。
《复变函数》课程教学大纲
《复变函数》课程教学大纲适用专业:数学与应用数学执笔人：王小灵审定人：王宏勇系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《复变函数》课程教学大纲课程代码：200072英文名：Complex Variable Function课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学前置课：数学分析后置课：概率论、数学物理方程、偏微分方程学分：2学分课时：54课时主讲教师：王小灵等选定教材：钟玉泉，复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.课程概述：复变函数的主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，其主要研究对象是解析函数。
复变函数是在数学分析的基础上，复变函数又称复分析，也称为解析函数论.是实变函数微积分的推广和发展。
因此它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题的方面与逻辑结构方面也非常类似。
复变函数是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann 等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。
教学目的：复变函数是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
教学方法：教学过程宜采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件辅助教学，教学中应强调理论与实际并重，各章应安排一定课时的习题课，课后教师需安排时间集中对学生辅导答疑，学生必须完成一定量的作业。
本课程可根据需要安排课堂讨论。
复变函数与积分变换第1章
外的点都对应一个虚数, 纯虚数 iy y 0与y轴
上的点(除原点)对应. 因此, 称x轴为实轴, y轴
为虚轴. 今后把复平面上的点和复数z不加区别, 即
“点z”和“复数z”是同一个意思. 有时用C 表示
全体复数或复平面.
复数z也可以用以原点
y
y
为起点而以点P为终点的向
Pz x iy
量表示(如图).
求 z1 z2
与
z1 z2
.
解 z1 3 4i (3 4i)(1 i) z2 1 i (1 i)(1 i)
(3 4) (4 3)i 7 1 i.
2
22
z1 7 1 i. z2 2 2
x Re z, y 求 复Im变z量. 的实部和虚部可用命令
当复数的虚部为零和、im实a部g()不来为实现零.(例即如y=0, x 0 )
>> syms x y real;
时，复数 x+iy 等于 x+i0 为实数>x>,而z=x虚+y部*i不; 为零(即
y 0)的复数称为虚数. 在虚数中>,>实Re部=r为eal零(z()即x=0,
z1 z2 r1(cosq1 i sinq1 ) r2(cosq2 i sinq2 ) r1 r2[(cosq1 cosq2 sinq1 sinq2 ) i(sinq1 cosq2 cosq1 sinq2 )],
z1 z2 r1 r2[cos(q1 q2 ) i sin(q1 q2 )].
例 1.2 i1 i, i2 1, i3 i i2 i, i4 i 2 i 2 1, ……
复变函数一(第一章)
四边形或在同一侧
c
za ca 圆： Im( )0 z b cb
复数的乘幂：
利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：
z | z | (cos nArgz i sin nArgz)
n n
令z
n
z
n
| z | [cos( nArgz ) i sin( nArgz )]
则A'称为A在球面上的球极射影。
由于A(x,y,0), A' (x',y',u') ,N(0,0,1)三点共线，所以有
（x-0）:(y-0):(0-1)=( x'-0):( y'-0):( u'-1)从而有
( x' )2 ( y' )2 又 | z | zz (1 u' )2
2
x'iy' z x iy 1 u'
课程简介
课程名称 教 材 对 象 主要任务
主要内容
复变函数 《复变函数》(第四版)
复变函数（自变量为复数的函数）
研究复变数之间的相互依赖关系，具 体地就是复数域上的微积分。 复数与复变函数、解析函数、复变函 数级数、留数等。
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和方法 是实变函数在复数域内的推广和发展，它 们之间有许多相似之处。但又有不同之处， 在学习中要善于比较、区别、特别要注意 复数域上特有的那些性质与结果。
准备知识与参考书目
复数与多元函数知识
1、准备知识
微积分与级数知识
广义积分与曲线积分
2、参考书目
①《复变函数教程》 ②《复变函数》 ③ 《应用复分析》 方企勤 北京大学出版社 中国科学技术大学出版社 史济怀、刘太顺 任福尧 复旦大学
复变函数 第一讲
2i i 2
2
的模, 辐角.
例5. 将z sin
5
i cos
5
化为三角形式与指数形 . 式
28
2008年9月24日
29
30
31
32
§3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘积与商
2. 复数的乘幂 3.复数的方根
33
1. 乘积与商
复数z x iy可用平面上坐标为x，y )的点P表示. ( 此时，轴 — 实轴 x
y轴 — 虚轴
平面 — 复平面或 平面 z
点的表示：z x iy 复平面上的点 ( x，y ) P
数z与点z同义.
16
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y }
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z ) Im( z ) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小.
9
2. 代数运算
•四则运算
定义
z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
对
象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普
拉斯变换等
4
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
[学习]复变函数与积分变换第1章函数与复变函数
![[学习]复变函数与积分变换第1章函数与复变函数](https://img.taocdn.com/s3/m/8763225d866fb84ae45c8d64.png)
2Re(z1 z2) z1 z2 z1z2
例2：设z 1 3i ，求 Re(z), Im(z)及z z i 1i
例3：设z1＝5
5i,
z2
3
4i.求
z1 z2
及
z2 z1
.
例4：将方程 x y 4 化为复数形式。 2
2例1
设
z
1 2i 3 4i
性质：
(1) z x2 y2 , zz | z |2 | z2 |;
(2) | x || z |,| y || z |, | z || x | | y |;
(3) || z1 | | z2 ||| z1 z2 || z1 | | z2 |
argz可由下列关系确定：
arctg
y x
,
2
例7：求下列方程所表示的曲线
1) | z i | 2;
2) | z 2i || z 2 |;
3) Im(i z ) 4.
2.复数的三角表示：复数z r(cos i sin ),
其中r | z |，为复数z的任意辐角。
例8：写出z1 1 i 3, z2 5 4i, z3 3 4i 的三角形式。
例：证明：lim z2 0 z0
例：问函数f (z) z 在原点的极限是否存在？
z
例：问下列函数在 z 0 的极限是否存在？
f (z) Re(z) |z|
[证] 令 z = x + i y, 则 f (z) x , x2 y2
x
由此得 u(x, y)
, v(x, y) 0.
x2 y2
3
3
3
,射线 的映像为 2 2 .
北京大学数学物理方法经典课件第一章——复变函数
( 3 ) z z Re( z ) Im( z ) ;
2 2
( 4 ) z z 2 R e ( z ) , z z 2 i I m ( z ) .
以上各式证明略.
12.03.2019 21
例3
设 z1 , z2 为两个任意复数 , 证明 : (1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
2
2 2
z z 2zz 2 12
z z 2 z z 1 2
2 ( z z ) 1 2 ,
2 1 2 2
2 1
2
z z z . 两边同时开方得 z 1 2 1 2
z 同理可证： z 1 2 z 1 z 2 .
12.03.2019 23
1.2 复变函数
自变量与因变量都是复数的函数,称复变量函数. (一) 复变函数定义 设B和F是复平面中的两个集合.如果有一种对应规 则f,使得B中的每个点z,都有一个唯一确定的点w Є F 与之对应,则我们称f是一个复变量函数,或简称复变函 数,记作w=f(z)(z Є E). B 是函数 w = f (z )的定义域。F是f(z)的值域. 如果 z 的一个值对应着一个 w 的值 ,那末
x
2
iy2 0
1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) 2 0 2 两个复数相除等 1 于它们的模相除， exp[i(1 2 )] 2 幅角相减
12.03.2019 17
开平方
如果给定复数为i( 0) ，我们来求其的开平 方。设有一个新复数 x i y ，使得
2.复数的定义:
i-虚单位 满足：i2=-1 为复数 虚部 记做：Imz=y
01章 复数与复变函数
i为虚数单位，其意义为i2=-1
复数的集合 C = {x + iy x, y ? R}
复数相等 z1=z2，当且仅当Rez1= Rez2且Imz1=
Imz2
复数的无序性 复数不能比较大小。
复变函数与积分变换
第1章 复数与复变函数
（二）复数的四则运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
Arg(- 2- 2i)=- 3 p + 2kp ,(k ? z) 4
Arg(- 1)=p + 2kp ,(k ? z) Arg(- 3+ 4i)=-arctan 4 + (2k + 1)p ,(k ? z)
3
例1.5 已知流体在某点M的速度 v = 1- 3i 求其大小和方向
v = 2 arg v = - p 3
复变函数与积分变换
第1章 复数与复变函数
（二）单连通区域与多（复）连通区域
平面曲线
设x(t)和y(t)是两个实变函数，在闭区间[a,b]上连 续，则由方程
ìïïíïïî
x= y=
x( t ) y( t )
或复数方程
z(t) = x(t) + iy(t),(a ＃t
b)
所决定的点集C称为z平面上的一条连续曲线
加减运算
z1 ± z2 =(x1 ± x2) +i(y1 ± y2 )
乘法运算 z1z2 = ( x1x2 - y1 y2 ) + i( x1 y2 + x2 y1 )
除法运算
z1 = z2
x1x2 + x22 +
y1 y2 y22
课程简介：《复变函数》课程是高等师范院校和综合性大学数学类专业本.doc
课程编码（）课程总学时：54学分：3数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲一、课程说明1.课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似Z 处，而只在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪,Cauchy> Weierstrass及Riem ann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及口动控制学等，冃前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，冇其自身的特点，有其特冇的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它H身所固有的理论和方法。
2.课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生学握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将來从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的止确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提髙学生的数学修养。
同时注意扩展学牛的学习思路，使他们了解更多的和现代牛活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在冇关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。
3.选用教材与参考书目选用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。
参考书目：《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。
《多复变函数》［美］那托西姆汉著，科学出版社。
《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。
数学物理方法1课件——第一章 复变函数
注意：一个复数的辐角不是唯一的，它可以任意增加
或者减少2π的整数倍 θ = arg z + 2π k (k = 0, ±1, ±2, ±3.....)
复平面
arg z ∈[0, 2π ]为主辐角
虚轴
¾ 共轭复数
z* = x − iy 或 z* = 称
2. 复数的运算法则
¾ 外点：若z0及邻域不属于点集E，则称z0为点集E的 外点。
ε z0
E
¾ 边界点：若在z0的每个邻域内，既有属于点集E的点， 也有不属于点集E的点，则称z0为点集E的边界点。
ε z0
E
边界点的全体被称为边界线。
¾ 边界的走向：如果沿着边界走，区域D总在左方， 则该走向定义为边界的正方向。
D C
= r1r2 ⎡⎣cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2 )⎤⎦
用复数的指数表达式进行复数的乘、除、乘方及 开方运算更为方便
令两个复数分别为z1 = r1eiθ1，z2 = r2eiθ2，则有：
z1 ⋅ z2 = r1r2ei(θ1+θ2 )
= r1r2 ⎡⎣cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2 )⎤⎦
主要内容
¾ 复变函数、复变函数的积分
复数、复变函数、解析函数、柯西定理、柯西公式及泊松 积分公式等
¾ 解析函数的幂级数展开
泰勒级数展开、洛朗级数展开、孤立奇点
¾ 留数定理 ¾ 傅里叶变换、拉普拉斯变换 重点：掌握复变函数的相关概念及性质
第一章 复变函数
§ 1.1 复数的概念及运算 § 1.2 复变函数 § 1.3 复变函数的导数 § 1.4 解析函数 § 1.5 几种简单的解析函数 § 1.6 多值函数
第一章 复变函数
★当 z 为负实数时，因为 1 e i ，有
ln z ln( z ei 2ni ) ln z i(2n 1)
★所以，复数域，负实数的对数是存在的。 ★根式函数和对数函数可以构成许多初等复变函数！
★复数双曲、指数和对数函数的都是周期函数！ ★对数函数也是多值函数
——详细见§1.6 多值函数讨论；
ez2i eze2i ez[cos(2 ) i sin(2 )] ez
4、对数函数
ln z ln( z eiArg z ) ln z i A rg z
z x iy
z x2 y2 arctg( y x) Arg z Arg z a rg z 2k (k 0, 1, 2 )
1/n i(2 / n)
e 1/n i /n
例2： 3 8 8 e 1/3 i( 2k )/3
k 0 3 8 81/3 ei /3 1 i 3 k 1 3 8 81/3 ei 2 k 2 3 8 81/3 ei5 /3 1 i 3
★讨论与交流：为什么不取k =3了？
基本运算
★性质 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
★交流与讨论：复数加减法的几何意义是什么？
2、复数的乘法
★代数 z1 z2 (x1 y1i)(x2 y2i)
形式
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z1 z2
e e i1
i 2
1
2
★指数
形式
ei(1 2 ) 12
k 0 k 1
n z e 1/ n i / n
z e n
1/ n i( 2 ) / n
k 2
z e n
1/ n i( 4 ) / n
k n
复变函数工科第一讲解析
解：
5
5
(1) r z 12 4 4, 因为 z 在第三象限,
所以
arctan
2 12
π
arctan 3 3
5 , 6
故三角表示式为
z
4cos
5 6
i
sin
5 6
,
指数表示式为
z
5i
4e 6
.
解题步骤： 1、求出复数的模 r
2、求出辐角主值θ
3、代入 z r(cos i sin )
第一章 复数与复变函数
第一节 复数及其运算
1、复数的概念 2、复数的代数运算
一、复数的基本概念
1.1 虚单位:
实例: 方程 x2 1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数i,
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四 则 运 算.
其概念而言它应该是一种新的数，而就其本性 来说它是不可能的数. 因为它们只存在于想象 之中.因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是 Euler 首先引入符号i作为虚数单位.
十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学
家Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘 (Argand)以及德国的数学家高斯(Gauss)等都 对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何解释， 并使复数得到了实际应用。
以上各式证明略.
例1
设
z1
5 5i,
z2
3
4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
.
解 z1 5 5i (5 5i)(3 4i) z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
(15 20) (15 20)i 7 1 i.
复变函数第二版 资料
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()R e ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：22zx y=+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值()A r gz =()arg z +2k π 3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctany z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z xx y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若1112,z x iy z x=+=+，则()()121212z z x x i yy±=±+±··2.乘除法：1）若111222,zx iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x iz x iy x iy x iy x yx y+-++-===+++-++。
2）若121122,i i zz e z z eθθ==, 则()121212i z z z z eθθ+=；()121122i z zez z θθ-=3.乘幂与方根 ①对任何整数n,有θin n ner =z，特别地当r=1时，有θθin ni e=)e（，即θθθθn i n s i n c o s )i s i n (c o s n+=+②若z n=w则称复数w 为复数z 的n 次方根，记作nz设ϕθρi i ew re==,z ，则有n2,r 01πK n +==θϕρ故n21πk n p er w +=θ （k=0,..(n-1）可见p13 例1.7θi re=z 与π）k i rez 2(+=θ表示的是同一个复数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
: (4)(a)求Ip=∫ dθ/(1-2pcosθ+p^2),(b) ∫ x sin(2x) dx/ (x^2+a^2)
: 0 0
(2)(a)求cos(3x+i2y)的实、虚部 (b)求(4i)^i的一般解
(3)(a)求In=∮dz/(1+z^n)，n为正整数, (b) Jm=∮(sin z -1) dz/z^m m为整数
|z|=3 |z|=1
: |z|=3 |z|=1
: 2π +无穷大
: (4)(a)求Ip=∫ dθ/(1-2pcosθ+p^2),(b) ∫ x sin(2x) dx/ (x^2+a^2)
发信人: Hand (GGGGGGG), 信区: e_note
标 题: 复变函数 2008.1 杨晓京
发信站: 酒井BBS (Thu Jan 17 10:57:17 2008), 转信
复变函数引论 杨小京 2008.1 A卷（题目顺序可能不太对） 共10题 每题10分
(1)写出Cauchy-Riemann条件，并写出f'(z)，f(n)(z)（n次导），证明Laplace方程
: (2) (a)求cos(3x+i2y)的实、虚部 (b)求(4i)^i的一般解
: (3)(a)求In=∮(z^(2n)/(1+z^n))dz，n为正整数, (b) Jm=∮(sin z -1) dz/z^m m为整数
: |z|=3 |z|=/(1-|z|^2)
跟前年题目基本一样，而且都是最后一节课复习时讲过的+倒数第二节课讲的共形映射
例题，并且在前边讲课的时候强调过。
最后一节课强调过自己回去做一下或者自己回去好好看看的题目都是重点。
再就没有了。
所以，不管前边学的怎么样，只要最后两节课好好听，回来好好看他强调的内容，仔细
: (3)(a)求In=∮(z^(2n)/(1+z^n))dz，n为正整数, (b) Jm=∮(sin z -1) dz/z^m m为整数
: |z|=3 |z|=1
: 2π +无穷大
【 在 Hand (GGGGGGG) 的大作中提到: 】
: 复变函数引论 杨小京 2008.1 A卷（题目顺序可能不太对）
: 每题10分
: (1)写出Cauchy-Riemann条件，并写出f'(z)，f(n)(z)（n次导）
: (2) (a)求cos(3x+i2y)的实、虚部
: (b)求(4i)^i的一般解
算，考满分没问题。
标 题: Re: 复变函数 2008.1 杨晓京
发信站: 酒井BBS (Thu Jan 17 11:11:34 2008), 转信
还有一道是：
a,b,c,d均为实数，且ad-bc>0，证明w=az+b/cz+d是将上半复平面映到上半复平面，且
实轴正向映到实轴正向
: 0 0
: (5)写出关于幂级数的Abel定理，收敛半径R的定义。并证明：
: 若Σa[n]r{n}收敛，而Σ|a[n]|r{n}发散，证明Σa[n]z{n}的收敛半径为r
2π +无穷大
(4)(a)求Ip=∫ dθ/(1-2pcosθ+p^2), (b) Ja=∫ x sin(2x) dx/ (x^2+a^2)
0 0
(3)(a)我记得分子没有z^2n
【 在 Hand (GGGGGGG) 的大作中提到: 】
: 复变函数引论 杨小京 2008.1 A卷（题目顺序可能不太对） 共10题 每题10分
: (1)写出Cauchy-Riemann条件，并写出f'(z)，f(n)(z)（n次导），证明Laplace方程
: (5)写出关于幂级数的Abel定理，收敛半径R的定义。并证明：
: 若Σa[n]r{n}收敛，而Σ|a[n]|r{n}发散，证明Σa[n]z{n}的收敛半径为r
第八题好像是|z-1|<r --> |w-i|<R
【 在 Hand (GGGGGGG) 的大作中提到: 】
: 复变函数引论 杨小京 2008.1 A卷（题目顺序可能不太对） 共10题 每题10分
(5)写出关于幂级数的Abel定理，收敛半径R的定义。并证明：
若Σa[n]r{n}收敛，而Σ|a[n]|r{n}发散，证明Σa[n]z{n}的收敛半径为r
（[]表示下标，{}表示上标）
(6)a,b,c,d均为实数，且ad-bc>0，证明w=az+b/cz+d是将上半复平面映到上半复平面，
: (4)(a)求Ip=∫ dθ/(1-2pcosθ+p^2),(b) ∫ x sin(2x) dx/ (x^2+a^2)
: 0 0
: ...................
--
且实轴正向映到实轴正向。
(7)求映射：{z| a<Re(z)<b, a<b} 映到 单位圆
(8)求映射：|z-1|<r 映到 |w-i|<R, 并且w(0)=i
(9)求把1, ∞, 0映到0, -1, 1的映射w=(az+b)/(z+d)
(10)写出单位圆映射到单位圆的方程，并证明
: (1)写出Cauchy-Riemann条件，并写出f'(z)，f(n)(z)（n次导），证明Laplace方程
: (2) (a)求cos(3x+i2y)的实、虚部 (b)求(4i)^i的一般解
: (3)(a)求In=∮dz/(1+z^n)，n为正整数, (b) Jm=∮(sin z -1) dz/z^m m为整数