13.4-课题学习-最短路径问题---副本PPT课件
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你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l.
4
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B
A·
l
.
5
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
.
2
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l.
3
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
.
1
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
.
C
l
7
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1 对于问题2，如何
A
将点B“移”到l 的另一侧B′
·
处，满足直线l 上的任意一点
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
A
·
C′ C
B
·
l
.
B′ 13
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
A
·
C′ C
B
·
l
.
B′ 12
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A
·
C′ C
B
·
l
.
B′ 14
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
.
B′ 15
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．
C
山Q
河岸
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM.+MN+BN
22
问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
.
23
思维分析
如图，问题中所走总路径是
A
AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
A1等于河宽，连接A1Ｂ
A1
M
交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此
时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ
最短.
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１
Ｎ１
B
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
P
.
A
大桥
B
16
运用新知
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到 一点R，使PR与QR 的和最 小”．
C 山Q
河岸
P
.
A
大桥
B
17
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
B
.
18
思维分析
A
1、如图假定任选位置造 桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从 A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短 呢？
Ｍ
Ｎ B
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什 么障碍呢？
.
19
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提 下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助 我们呢？
的和最小？
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
.Leabharlann Baidu
B
A
·
·
l C
B′ 10
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
B
A
·
·
l C
.
B′ 11
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
.
6
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
·
l
.
8
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A
·
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
B
·
l
.
9
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
各抒己见
1、把A平移到岸边.
2、把B平移到岸边.
3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.
.
20
合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请 检验.
1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
.
21
问题解决
A
如图，平移A到A1，使Ａ
B A
l.
4
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B
A·
l
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探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
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2
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l.
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探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
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1
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
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C
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探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1 对于问题2，如何
A
将点B“移”到l 的另一侧B′
·
处，满足直线l 上的任意一点
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
A
·
C′ C
B
·
l
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B′ 13
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
A
·
C′ C
B
·
l
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B′ 12
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A
·
C′ C
B
·
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B′ 14
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
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B′ 15
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．
C
山Q
河岸
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM.+MN+BN
22
问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
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23
思维分析
如图，问题中所走总路径是
A
AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
A1等于河宽，连接A1Ｂ
A1
M
交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此
时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ
最短.
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１
Ｎ１
B
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
P
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A
大桥
B
16
运用新知
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到 一点R，使PR与QR 的和最 小”．
C 山Q
河岸
P
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A
大桥
B
17
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
B
.
18
思维分析
A
1、如图假定任选位置造 桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从 A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短 呢？
Ｍ
Ｎ B
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什 么障碍呢？
.
19
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提 下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助 我们呢？
的和最小？
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
.Leabharlann Baidu
B
A
·
·
l C
B′ 10
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
B
A
·
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l C
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B′ 11
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
.
6
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
·
l
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8
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A
·
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
B
·
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9
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
各抒己见
1、把A平移到岸边.
2、把B平移到岸边.
3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.
.
20
合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请 检验.
1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
.
21
问题解决
A
如图，平移A到A1，使Ａ