第三节极限承载力的计算
混凝土梁的极限承载力计算方法
混凝土梁的极限承载力计算方法一、引言混凝土梁是建筑中常见的结构构件，其承载能力是设计中必须考虑的关键因素。
本文将介绍混凝土梁的极限承载力计算方法，包括计算梁的截面性能、受力状态、极限状态设计、变形控制等方面。
二、计算梁的截面性能1. 混凝土强度的计算混凝土强度的计算需要知道混凝土的配合比和强度等级。
配合比可以通过实验室试验或参照相关国家标准计算得出。
强度等级则根据混凝土的28天抗压强度进行分类。
一般采用标准立方体试件进行试验，计算公式为：f_c=0.8f_t。
其中，f_c为混凝土的28天抗压强度，单位为MPa；f_t为混凝土的弯曲拉应力，单位为MPa。
2. 钢筋强度的计算钢筋的强度计算需要知道其钢号和直径。
一般采用国家标准规定的钢号和直径，按照标准进行计算。
钢筋的强度计算公式为：f_y=A_s/A_c*f_c。
其中，f_y为钢筋的抗拉强度，单位为MPa；A_s为钢筋的截面积，单位为mm²；A_c为混凝土梁的截面面积，单位为mm²；f_c为混凝土的28天抗压强度，单位为MPa。
3. 梁截面面积的计算梁截面面积的计算是混凝土梁设计的基础。
梁截面面积可以根据梁的几何尺寸计算得出，包括宽度、深度等。
梁截面面积的计算公式为：A=bh。
其中，A为梁的截面面积，单位为mm²；b为梁的宽度，单位为mm；h为梁的深度，单位为mm。
4. 梁截面惯性矩的计算梁截面惯性矩是计算梁的弯曲性能和扭曲性能的基础。
梁截面惯性矩可以根据梁的几何尺寸计算得出。
梁截面惯性矩的计算公式为：I=bh³/12。
其中，I为梁的截面惯性矩，单位为mm⁴；b为梁的宽度，单位为mm；h为梁的深度，单位为mm。
5. 梁截面受拉区和受压区的计算梁截面的受拉区和受压区是计算梁的弯曲性能的基础。
梁截面的受拉区和受压区可以根据梁的几何尺寸和受力状态计算得出。
当梁为矩形截面时，梁截面的受拉区和受压区的高度分别为：h_l=(h-α)/2，h_r=(h+α)/2。
天然地基极限承载力估算
天然地基极限承载力估算
天然地基极限承载力估算
天然地基极限承载力是指地基在承受荷载时所能承受的最大荷载，是地基设计的重要参数之一。
在工程实践中，为了保证工程的安全和可靠性，需要对天然地基极限承载力进行准确的估算。
一般来说，天然地基极限承载力的估算可以通过现场勘探和室内试验相结合的方法来进行。
具体步骤如下：
1. 现场勘探
现场勘探是天然地基极限承载力估算的第一步，通过现场勘探可以了解地基的地质情况、土层厚度、土层性质、地下水位等信息。
现场勘探的方法包括钻孔、取样、观测等。
2. 室内试验
室内试验是天然地基极限承载力估算的重要手段，通过室内试验可以对土样进行物理力学性质测试，如密度、含水率、抗剪强度等。
室内试验的方法包括压缩试验、剪切试验、直剪试验等。
3. 极限承载力计算
通过现场勘探和室内试验得到的数据，可以计算出天然地基的极限承
载力。
常用的计算方法包括静力触探法、板载试验法、动力触探法等。
需要注意的是，天然地基极限承载力的估算是一个复杂的过程，需要
考虑多种因素，如土层的厚度、土层的性质、地下水位、荷载的性质等。
因此，在进行天然地基极限承载力估算时，需要综合考虑多种因素，尽可能准确地估算出地基的极限承载力。
总之，天然地基极限承载力估算是地基设计的重要环节，通过现场勘
探和室内试验相结合的方法，可以准确地估算出地基的极限承载力，
为工程的安全和可靠性提供保障。
第三节极限承载力的计算
第三节极限承载⼒的计算第三节极限承载⼒的计算在⼟⼒学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特⾸先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲⾯发⽣滑动的数学⽅程，并认为介质的抗剪强度性质，可以⽤强度指标c ，?表⽰，但是，他的研究结果只适⽤于⽆重量的介质的极限平衡平⾯课题。
随后不少学者根据他的研究结果，引⽤来求解地基⼟的极限荷载，并进⼀步作了不同形式的修正和补充，以便在⼯程中加以应⽤。
太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基⼟⾃重影响的极限荷载公式。
但这些公式都忽略了基础底⾯以上覆盖⼟层的抗剪强度的影响，故只适⽤于计算浅基础的极限荷载。
梅耶霍夫进⼀步考虑了基础底⾯以上覆盖层的抗剪强度的影响，从⽽提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。
⼀．普朗特尔极限承载⼒公式普朗特尔公式是求解宽度为b 的条形基础，置于地基表⾯，在中⼼荷载P 作⽤下的极限荷载Pu 值。
普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下⼏点：（1）地基⼟是均匀，各向同性的⽆重量介质，即认为⼟的0=γ，⽽只具有c ，?的材料。
（2）基础底⾯光滑，即基础底⾯与⼟之间⽆摩擦⼒存在，所以基底的压应⼒垂直于地⾯。
（3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动⾯，其滑动区域将由朗肯主动区I ，径向剪切区II 或过渡区和朗肯被动区III 所组成。
其中滑动区I 边界BC 或AC 为直线，并与⽔平⾯成（45＋?/2）⾓；即三⾓形ABC 是主动应⼒状态区；滑动区II 的边界CE 或C Ｄ为对数螺旋曲线，其曲线⽅程为θθtg e r r 0=，r 0为起始⽮径；θ为射线r 与r 0夹⾓，滑动区III 的边界E G ，DF 为直线并与⽔平⾯成（45－φ/2）⾓。
（4）当基础有埋置深度d 时，将基础底⾯以上的两侧⼟体⽤相当的均布超载d q γ=来代替。
根据上述的基本假设，采⽤刚体平衡⽅法或特征线法，可以得到地基极限承载⼒为：c q u cN rdN p +=式中：r ：基础两侧⼟的容重d ：基础的埋置深度q N ，c N ：承载⼒系数，它们是⼟的内摩擦⾓?的函数，可查下表：其中)245(02?π+=tg e Nq tgctg Nq Nc )1(-=⼆、斯肯普顿地基极限承载⼒公式对于矩形基础，斯肯普顿（1952年）给出的地基极限承载⼒公式为：d c p b d l b u 055)1)(1(5γ+++=c ——地基⼟粘聚⼒;b 、l ——分别为基础的宽度和长度；0γ——基础埋置深度d 范围内⼟的重度。
按理论公式计算地基极限承载力
按理论公式计算地基极限承载力按理论公式计算地基极限承载力2010-04-1709:58地基的极限承载力pu是指地基发生剪切破坏失去整体稳定时的基底压力，地基承受荷载的极限压力。
将地基极限承载力除以安全系数K，即为地基承载力的设计值。
求解地基的极限承载力的途径有二:一是用严密的数学方法求解土中某点达到极限平衡时的静力平衡方程组，以求得地基的极限承载力。
此方法过程甚繁，未被广泛采用。
二是根据模型试验的滑动面形状，通过简化得到假定的滑动面，然后借助该滑动面上的极限平衡条件，求出地基极限承载力。
此类方法是半经验性质的，称为假定滑动面法。
不同研究者所进行的假设不同，所得的结果不同，下面介绍的是几个常用的公式。
7.3.1普朗德尔公式普朗德尔(Prandtl,1920)根据塑性理论，导得了刚性冲模压入无质量的半无限刚塑性介质时的极限压应力公式。
若应用于地基极限承载力课题，则相当于一无限长、地板光滑的条形荷载板置于无质量(γ=0)的地基表面上，当土体处于极限平衡状态时，塑性区的边界如图7-3所示(此时基础的埋置深度d=0，基底以上土重q=γd=0)。
由于基底光滑，Ⅰ区大主应力σ1为垂直向，其边界AD或A1D为直线，破裂面与水平面成45°+φ/2，称主动朗肯区。
Ⅲ区大主应力σ1为方向水平，其边界EF或E1F1为直线，破裂面与水平面成45°-φ/2，称被动朗肯区。
Ⅱ区的边界DE或DE1为对数螺旋线，方程为r=r0exp(θtan φ)，式中。
取脱离体ODEC(见图7-4)，根据作用在脱离体上力的平衡条件，如不计基底以下地基土的重度(即γ=0)，可求得极限承载力为(7-8)其中Nc=(7-9)式中Nc--承载力系数，是仅与φ有关的无量纲系数;c--土的粘聚力(kPa)。
如果考虑到基础有一定的埋置深度d(见图7-3),将基底以上土重用均布超载q(=γd)代替，赖斯纳(Reissner,1924)导得了计入基础埋深后的极限承载力为(7-10)其中(7-11)(7-12)式中Nq--是仅与φ有关的又一承载力系数。
地基承载力PPT课件
载 Ⅲ2 c 的
ⅡⅡ b
c
Ⅱ区：普朗特尔区， 边界是对数螺线
计 算
将无限长，底面光滑的荷载板至于无质
量的土(＝0)的表面上，荷载板下土体处
于塑性平衡状态时，塑性区分成五个区
Ⅲ区：被动朗肯区，
1水平向，破裂面与 水平面成45o－ / 2
2. 地基的极限承载力pu可以表示为：
pu qNq cNc
基础两侧 均布荷载所 产生的抗力
其中承载力系数：
滑裂面上 粘聚力所 产生抗力
二、极限承载力的一般计算公式 索科洛夫斯基把地基土当成如下两 种介质的总和：
1. 理想散粒体，即
c0 0 0
2. 无重的纯粘性体，即
c0 0 0
三、用极限平衡理论求地基极限承载 力方法讨论
（一）影响极限承载力的因素
基础两侧 滑裂面上 滑裂土体自重 均布荷载所 粘聚力所 所产生的抗力 产生的抗力 产生抗力
解：1.判断地基的破坏形式
土
刚性指标
Ir
E
2(1 )(c qtg)
58.8
力
临界刚性
指标
I r (cr)
1 2
exp[(3.30 0.45
B )ctg(45o L
)]
2
80.5
学
∵ Ir< Ir（cr）∴地基将发生局部剪切破坏
2.用太沙基公式求地基极限承载力
pu
B
2
Nr
2c 3
Nc
qNq
学
N
(1) 3
3
ctg
2
2
q D
三、按地基规范承载力表确定地基容许承载力
土 力
❖承载力基本值（f0）：是指按有关规范规定的一定 的基础宽度和埋深条件下的地基承载能力，按有关规 范查表确定。 ❖承载力标准值（fk）：是指按有关规范规定的标准 方法试验并经统计处理后的地基承载能力。
第3章受弯构件正截面承载力计算
Flexure Strength of RC Beams
基本概念
• １. 受弯构件：主要是指各种类型的梁与板， 土木工程中应用最为广泛。
• ２. 正截面：与构件计算轴线相垂直的截面为 正截面。
• ３. 承载力计算公式：
•
M ≤Mu ，
• M 受弯构件正截面弯矩设计值，
一、板的一板构造要求
1.板的厚度：与的板的跨度及荷载有关，应满足截面最 大弯矩及刚度要求，《公路桥规》规定最小厚度：行人 板不宜小于80mm（现浇整体）和60mm（预制），空 心板的顶板和底板不宜小于80mm. 2.板的宽度：由实际情况决定。 3.钢筋配置：
板内钢筋有两种：受力钢筋和分布钢筋。 受力钢筋：承担弯矩，通过强度计算确定。
2.正常使用极限状态计算 变形验算（挠度验算），抗裂验算（裂缝宽度计算）
3.1.2 受弯构件的钢筋构造
1.受弯按配筋形式不同分为单筋受弯构件和双筋 受弯构件 单筋受弯构件：只在受拉区配受力钢筋。 双筋受弯构件：受拉区和受压区均配置受力钢筋。
2.配筋率 As %.......( 4 2)
bh0
4.板的受力筋保护层厚度：受力筋外边缘至混凝
土外表面的厚度,用c表示(cover) 。 作用：保护钢筋不生锈；保证钢筋与混凝土之间
的粘结力。 保护层厚度与环境类别和混凝土的强度等级有关，
查附表1-7。
二、梁的一般构造
1.截面尺寸：为方便施工截面尺寸应统一规格。 现浇矩形截面宽b（mm），120、150、180、200、220、 250、+50（h ≤ 800）或+100（h ＞ 800）.截面宽度：
应变ecu ，构件达到极限
承载力，此时截面上的弯 矩即为抗弯承载力Mu， 也称为第三阶段末“Ⅲa”。 第三阶段末为抗弯承载力 计算的依据。
极限承载力的计算
第三节 极限承载力的计算在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标c ，ϕ表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。
随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。
太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。
但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。
梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。
一．普朗特尔极限承载力公式普朗特尔公式是求解宽度为b 的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P 作用下的极限荷载Pu 值。
普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：（1）地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的0=γ，而只具有c ，ϕ的材料。
（2）基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。
（3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I ，径向剪切区II 或过渡区和朗肯被动区III 所组成。
其中滑动区I 边界BC 或AC 为直线，并与水平面成（45＋ϕ/2）角；即三角形ABC 是主动应力状态区；滑动区II 的边界CE 或 C Ｄ为对数螺旋曲线，其曲线方程为 θθtg e r r 0=，r 0为起始矢径；θ为射线r 与r 0夹角，滑动区III 的边界E G ，DF 为直线并与水平面成（45－φ/2）角。
（4）当基础有埋置深度d 时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载d q γ=来代替。
根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：c q u cN rdN p +=式中：r ：基础两侧土的容重d ：基础的埋置深度q N ，c N ：承载力系数，它们是土的内摩擦角ϕ的函数，可查下表：其中)245(02ϕϕπ+=tg e Nq tgϕctg Nq Nc )1(-=二、斯肯普顿地基极限承载力公式对于矩形基础，斯肯普顿（1952年）给出的地基极限承载力公式为：d c p d bu 0)1)(1(5γ+++= c ——地基土粘聚力;b 、l ——分别为基础的宽度和长度；0γ——基础埋置深度d 范围内土的重度。
极限承载力计算公式
极限承载力计算公式极限承载力是指结构或构件在达到其极限状态时所能承受的最大荷载。
计算极限承载力是结构设计中的重要环节，它直接关系到结构的安全性和可靠性。
本文将介绍几种常用的极限承载力计算公式及其应用。
1. 材料强度公式对于简单的材料，如钢材和混凝土，其极限承载力可以通过材料的屈服强度或抗压强度来计算。
对于受拉构件： [ F = A \times f_y ] 其中，( F ) 是极限承载力，( A ) 是横截面积，( f_y ) 是材料的屈服强度。
对于受压构件： [ F = A \times f_c ] 其中，( f_c ) 是材料的抗压强度。
2. 梁的弯矩公式对于受弯构件，如梁，其极限承载力可通过计算最大弯矩来确定。
对于简支梁： [ M = \frac{F \times L}{4} ] 其中，( M ) 是极限弯矩，( F ) 是集中荷载，( L ) 是梁的跨度。
3. 柱的稳定性公式柱的稳定性是影响其承载力的关键因素之一。
欧拉临界荷载公式用于计算理想弹性直杆的稳定性： [ P_{cr} = \frac{\pi^2 \times E \times I}{(K \timesL)^2} ] 其中，( P_{cr} ) 是临界荷载，( E ) 是材料的杨氏模量，( I ) 是截面惯性矩，( K ) 是长度系数，( L ) 是柱的长度。
4. 板的剪切公式对于板状构件，如楼板或基础板，其极限承载力可通过剪切应力来计算。
对于均匀受载的矩形板： [ V = t \times l \times \tau ] 其中，( V ) 是极限剪力，( t ) 是板厚，( l ) 是板的长度，( \tau ) 是允许的剪切应力。
5. 复合结构的相互作用公式在复合结构中，不同材料之间的相互作用会影响整体的承载力。
例如，钢筋混凝土结构中的钢筋和混凝土共同工作，其承载力可以通过以下公式估算： [ F = A_{sc} \times f_{sc} ] 其中，( A_{sc} ) 是钢筋混凝土的换算面积，( f_{sc} ) 是钢筋混凝土的组合强度。
7地基极限承载力计算
1 (1.704 n
4.678 n2
)
c
1 (1.704 n
4.678 n2
) c
3.计算内摩擦角和粘聚力的标准值
k m ck ccm
m —内摩擦角的试验平均值
cm —粘聚力的试验平均值
二、地基极限承载力（破坏载荷）计算
按不同的理论公式计算出极限承载力
极限承载力除以安全系数得到 地基容许承载 力
第一节 基本概念
一、承载力、极限承载力、容许承载力 二、地基承载力的确定方法 三、地基承载力的确定原则
Transcona谷仓地基
建筑物地基与基础相互作用可能出现的工程 地质问题
1.过度沉陷、不均匀沉陷 2.剪切破坏
决定因素
1.地基土本身的力学性质 2.建筑物、地基对土体的作用力
地基土变形的三个阶段
求出zmax
回顾：极限平衡条件
在极限平衡状态下主应力之间的关系，叫做极限 平衡条件
f c tg
A
sin AO
OO
c
O
ccot 3
2
O’
1 3
1
2
3
c cot
2
1
1 2
( 1
3
)
c
cot
1 2
(
1
3
)
sin
1
3
tan2 (450
)
2
2c tan(450
)
2
3
1
tan2 (450
)
2
2c tan(450
)
2
注意：只有当土中某点处于极限平衡条件时， 才满足上式，即只有A点才满足。
假设条形基础宽度为b，埋置深度为d，基底作用条形均布压 力p0，在地基中任一点M引起的大、小主应力的公式为
极限状态承载力计算
极限状态承载力计算1）和载效应组合计算承载能力极限状态组合（基本组合）：00(1.2 1.4) 1.0(1.210.35 1.413.20)30.90()d Gk Qk M M M kN m γγ=+=-⨯⨯+⨯=-⋅ 00(1.2 1.4) 1.0(1.215.20 1.438.83)72.60()d Gk Qk V M M kN γγ=+=⨯⨯+⨯=作用短期效应组合（不计冲击力）：0.710.350.713.2019.59()sd Gk Qk M M M kN m =+=+⨯=⋅作用长期效应组合（不计冲击力）：0.710.350.513.2016.95()ld Gk Qk M M M kN m =+=+⨯=⋅承载能力极限状态组合（偶然组合，不同时组合汽车竖向力）： 10.3588.5898.93()d Gk ck M M M kN m =+=+=⋅2）正截面抗弯承载力 ①基本组合对于矩形截面其正截面抗弯承载能力应符合《公预规》式（5.2.1-1）规定：00()2ud cd xM f bx h γ≤-sd s cd f A f bx =受压区高度应符合0b x h ξ≤，查看《公预规》表5.2.1得0.56b ξ=。
设0223h mm =可得到：020*******.90=0.2230.22322.410006.27()121.5udcd b M x h h f bmm h mm γξ=--⨯--⨯=<=2s 1000 6.2722.4502()280A mm ⨯⨯==其中1000b mm =，0217h mm =，33s a mm =，22.4cd f MPa =，280cd f MPa =。
实际每延米板配10束2根12φ，则222262502s A mm mm =>，满足要求。
②偶然组合对于矩形截面其正截面抗弯承载能力应符合《公预规》式（5.2.1-1）规定：00()2ud cd x M f bx h γ≤-sd s cd f A f bx =受压区高度应符合0b x h ξ≤，查看《公预规》表5.2.1得0.56b ξ=。
混凝土极限承载力的原理与计算
混凝土极限承载力的原理与计算一、引言混凝土是一种常见的建筑材料，被广泛应用于各种建筑、桥梁、水利工程等领域。
混凝土结构的设计和施工需要考虑混凝土的极限承载力，以保证结构的安全性和可靠性。
本文将详细介绍混凝土极限承载力的原理和计算方法。
二、混凝土的组成和性质混凝土是由水泥、砂、石料和水按一定比例混合而成的一种复合材料。
水泥是混凝土的主要胶凝材料，其与砂、石料等颗粒形成硬化的水泥石，从而形成具有一定强度和韧性的混凝土。
混凝土的性质包括强度、韧性、耐久性等。
其中强度是最基本的性质。
混凝土的强度又分为抗压强度和抗拉强度。
抗压强度是指混凝土在受到压力时的抵抗能力，而抗拉强度则是指混凝土在受到拉力时的抵抗能力。
一般来说，混凝土的抗压强度远大于抗拉强度。
三、混凝土极限承载力的定义混凝土极限承载力是指混凝土在受到极限荷载时能够承受的最大荷载。
混凝土的极限承载力受到多种因素的影响，包括混凝土的强度、结构形式、荷载形式等。
四、混凝土极限承载力的计算方法混凝土极限承载力的计算方法包括直接计算法、试验计算法和理论计算法。
1.直接计算法直接计算法是指根据混凝土的实际工作状态和荷载情况进行直接计算。
这种方法适用于简单的结构和荷载情况。
其基本思路是确定混凝土的受力状态，然后根据混凝土的强度、受力面积和荷载大小计算出混凝土的极限承载力。
2.试验计算法试验计算法是指通过试验获取混凝土的力学性能参数，然后利用这些参数进行计算。
试验计算法是一种比较准确的计算方法，但是需要进行大量的试验，成本较高。
3.理论计算法理论计算法是指通过理论分析和计算，获得混凝土的极限承载力。
这种方法适用于复杂的结构和荷载情况。
其基本思路是利用力学原理和材料力学知识，建立混凝土的数学模型，然后通过计算得到混凝土的极限承载力。
五、混凝土极限承载力的影响因素混凝土极限承载力受到多种因素的影响，包括混凝土的强度、结构形式、荷载形式等。
1.混凝土的强度混凝土的强度是影响混凝土极限承载力的最主要因素。
承载力计算方法
承载力计算方法1．计算公式V A q Q n ⋅+⋅=1γ其中,Q —— 极限承载力；1γ—— 桩靴排开土的水下溶重；V—— 桩靴体积；A —— 桩靴面积； 2. 桩端阻力nq —— 确定方法如下：2．1 对于粘性土（不排水土）u c n S N q ⋅=其中，c N ——承载力系数9)2.01(6≤+=BDN c 最大值不能超过9D ——桩靴入泥深度；B ——与桩靴面积相当的圆的直径；u S ——不排水剪切强度。
2．2 对于砂性土（排水颗粒土）)1(3.002-+⋅⋅=q r n N p N B q γ其中，2γ——桩靴底面下0.5B 处土壤水下溶重；B ——与桩靴面积相当的圆的直径；0P ——桩靴底面处压强；q N ——承载力系数)245(tan 2tan φφπ+=eN qr N ——承载力系数φtan )1(2+=q r N N其中，φ——内摩擦角。
3 算例：桩靴底面积70m 2 桩靴型深：2m 桩靴入泥土深度：10m 桩靴体积：105m 3算例1：（粘性土质 表1）V A q Q n ⋅+⋅=1γq n ＝N C ×S uNc=6(1+0.2D/B)D=10mB=2*sqr(A/3.14)=2*sqr(70/3.14)=9.443mNc=14.54>9 , 所以取9 Nc ＝9Su=9kPaq n =9*9000=81000 pa r 1=9kN/m 3V=105m 3Q=81000*70+9000*105=6615kN=675t算例2：（砂性土质 表2）V A q Q n ⋅+⋅=1γ)1(3.002-+⋅⋅=q r n N p N B q γB=2*sqr(A/3.14)=2*sqr(70/3.14)=9.443m r 2=10 kN/m 3 Nr=10.9 Nq=10.7p0=10kN/m 3*4.5m+8.2KN/m 3*2.7m+8.8KN/m 3*2.8m=91.78kN/m 2q n =0.3*10*9.443*10.9+91.78(10.7-1)=1199.05kN/m 2r 1=9kN/m 3 V=105m 3Q=1199.05*70+9*105=84878.5kN=8861t表2 海南24井位土层强度设计参数表。
混凝土受压构件的极限承载力计算规程
混凝土受压构件的极限承载力计算规程一、前言混凝土受压构件是工程中常见的结构元素之一，其极限承载力计算是结构设计的基础。
正确的极限承载力计算能够保证结构的安全性、经济性和合理性。
本文将介绍混凝土受压构件的极限承载力计算规程。
二、假设与符号说明1.假设：（1）混凝土的受压应力分布为矩形应力分布；（2）混凝土的弹性模量与受拉强度与受压强度相同；（3）钢筋与混凝土之间存在充分的黏结。
2.符号说明：（1）N：受力轴向力，单位为N；（2）A：截面面积，单位为mm²；（3）f_c：混凝土抗压强度，单位为MPa；（4）f_y：钢筋抗拉强度，单位为MPa；（5）ε_c：混凝土的应变；（6）ε_s：钢筋的应变；（7）α：混凝土的应力分配系数；（8）n：钢筋比。
三、混凝土受压构件的极限承载力计算1.混凝土受压构件的极限承载力计算公式为：N_u = αA f_c + nA f_y其中，N_u为混凝土受压构件的极限承载力，单位为N。
2.计算步骤：（1）确定截面面积A；（2）确定混凝土的应力分配系数α；（3）确定钢筋比n；（4）确定混凝土的抗压强度f_c；（5）确定钢筋的抗拉强度f_y；（6）根据公式计算出混凝土受压构件的极限承载力N_u。
四、混凝土受压构件的应力分配系数α的确定1.当混凝土的抗压强度f_c ≤ 50 MPa时，应力分配系数α的计算公式为：α = 0.85 - 0.05 (f_c - 28) / 72.当混凝土的抗压强度f_c > 50 MPa时，应力分配系数α的计算公式为：α = 0.65五、钢筋比n的确定1.当混凝土的抗压强度f_c ≤ 50 MPa时，钢筋比n的计算公式为：n = ε_c / ε_s其中，ε_c为混凝土的极限应变，可取为0.003；ε_s为钢筋的屈服应变，可取为0.002。
2.当混凝土的抗压强度f_c > 50 MPa时，钢筋比n的计算公式为：n = 0.85 / f_y * (f_c / 100) ^ 0.5六、混凝土受压构件的设计应力混凝土受压构件的设计应力不应超过其极限承载力的0.6倍。
第三节、砌体结构构件的承载力计算
【解】(1)弯矩作用平面内承载力验算
e M 20 0.125m <0.6y＝0.6×310=186mm
N 160
满足规范要求。
MU10蒸压灰砂砖及M5水泥砂浆砌筑，查表得
＝1.2；
将
HO h
1.2 5 9.68 0.62
及
e 125 h 620
=0.202
代入公式（10.1.3）得
柱底截面承载力为：
a fA
＝0.465×0.9×1.5×490×620×10－3＝191kN＞150kN。 (2)弯矩作用平面外承载力验算
对较小边长方向，按轴心受压构件验算，此时
将
HO h
1.2 5 12.2代4入公式（10.1.3）得
0.49
o
1
12
10.0011 512.2420.816
上部荷载折减系数可按下式计算 ＝1.5-0.5Ao
Al
式中 A l —局部受压面积，Al aob ，b 为梁宽，a o 为
有效支承长度；当 A o 3 时，取 ＝0。
惯性矩
I 2 0 23 0 4 2 0 0 0 20 4 12 0 0 2 45 9 53 0 40 9 5 0 22
12
12
＝296×108mm 回转半径：
i I 296108 202mm A 725000
T型截面的折算厚度 hT3.5i3.5×202＝707mm 偏心距
10.35 Ao 1
Al
（11－21）
式中:
Ao—影响砌体局部抗压强度的计算面积,按图10.1.5 规定采用。
【例10.1.4】一钢筋混凝土柱截面尺寸为250mm×250mm， 支承在厚为370mm的砖墙上，作用位置如图10.1.9◆所示， 砖墙用MU10烧结普通砖和M5水泥砂浆砌筑，柱传到墙上 的荷载设计值为120KN。试验算柱下砌体的局部受压承载力。
地基极限承载力计算
2 cos 45 2
1 K p N 1 tan 2 2 cos
假定基础完全光滑. Ψ=45+ψ/2
tan N q tan 45 e K p e tan 2 N c N q 1 ctg
第10章 地基极限承载力计算
10.1
土体的极限平衡理论概述
可导出滑移线或称特征线.
预应力管桩静载试验
深基础
3—破坏阶段
整体剪切破坏
局部剪切破坏
冲剪(刺入)破坏
地基承载力：指地基土所具有的承受荷载的能力.
quk 极限承载力标准值。 (1)地基极限承载力： quk (2)地基容许承载力： 地基承载力特征值， qa
qu qNq cNc
2 N c N q 1 ctg
压板下的刚性核(弹性核)形状
1 qu qN qБайду номын сангаас cN c BN 2
假定基础底面完全粗糙.可设Ψ=ψ
Nq e
3 2 tan 2
N c N q 1 ctg
k k=2，与之配套的上部结构荷载必须是特征值(容许 值)，若上部结构荷载为设计值，则应由设计值乘以分 项系数，再除以安全系数,此外要考虑满足地基变形要 求,即两种极限状态。
(3)地基土竖向承载力设计值：qd
部结构荷载为设计值。
quk
s
与之配套的上
q=γD
D Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ
(1)假定地基土为无重度的较软的,均质的,各向同性材料. (2)假定基础底面完全光滑,即无摩擦. Reissner→(3)假定对于埋置深度D小于基础宽度B的浅基础,可以把 基底平面当成地基表面,滑裂面只延伸到这一假定的 2 tan tan 地基表面. N q tan 45 e K e p
极限承载力计算公式
极限承载力计算公式好的，以下是为您生成的文章：在建筑工程领域，极限承载力计算公式那可是相当重要的家伙。
就好像是解开结构稳定性谜题的关键钥匙。
咱们先来说说啥是极限承载力。
简单来讲，就是一个结构或者构件在承受荷载时，所能达到的最大承载能力。
一旦超过这个极限，那可就危险啦，结构可能会垮塌，后果不堪设想。
这极限承载力的计算，那可不是拍拍脑袋就能搞定的。
有一堆复杂的公式和参数等着我们去琢磨。
比如说，对于地基基础，就有根据不同的地质条件和基础形式的计算公式。
我记得有一次去一个建筑工地考察，看到工程师们正在为一个大型商业综合体的地基承载力计算忙得不可开交。
他们拿着厚厚的图纸，对着电脑上的各种数据，嘴里念叨着那些公式，那认真劲儿，就好像在解一道超级难题。
我凑过去看了看，满屏幕的数字和符号，看得我头都大了。
咱们再说说柱子的极限承载力计算。
这就得考虑柱子的材料、截面形状和尺寸，还有受力情况等等。
有一次我在课堂上给学生们讲这个，有个调皮的小家伙就问我：“老师，这柱子要是承受不住了，会不会突然就倒了？”我笑着回答他：“要是计算不准确，还真有可能！所以咱们得把公式用对，数据搞准，可不能马虎。
”还有梁的极限承载力，这也是个重要的部分。
得考虑弯曲、剪切等各种作用。
就像我们平时走在桥上，如果梁的极限承载力没算好，说不定走着走着桥就塌了，那得多吓人！在钢结构中，极限承载力的计算又有不同的讲究。
要考虑钢材的强度、节点的连接方式等等。
曾经有个案例，一个钢结构的厂房在建设过程中，因为极限承载力计算失误，导致部分结构变形，不得不重新进行加固，这可浪费了不少时间和金钱。
总之，极限承载力计算公式虽然复杂，但却是保障我们建筑安全的重要工具。
咱们搞工程的，可一定要把它学好用好，不能有半点马虎。
只有这样，我们才能建造出坚固可靠的建筑，让大家都能安心地生活和工作。
所以啊，同学们，朋友们，不管是在学习还是实际工作中，遇到极限承载力计算的问题，都要认真对待，千万别嫌麻烦，这可是关乎生命和财产安全的大事！。
普朗特尔极限承载力公式
普朗特尔极限承载力公式
俗话说“对千丝万缕，说到底在于把握关键。
”就河流水力学来说，解决问题的关键就是正确地计算河床承载力限度。
1936年，美国水利科学家普朗特尔（Prandtl）发表论文，提出了传说中的“普朗特尔极限承载力公式”，作为在严苛条件下、以保证水流稳态的特定速度的条件下，河床坡度对池塘能够承受的最大水流强度的理论值。
普朗特尔极限承载力公式具体为： Sn=R^(2/3)* Cot x*（1+K/R^2/3）/ 3/2，其中，Sn为普朗特尔极限承载力，R是河床半径，x是河床坡度,K为折射常数。
根据该公式，若要求池塘能够承受的最大水流量，就可以给出最大决定性水深力学参数，即普朗特尔极限承载力。
承载力是由水深和半径R的立方乘积（1/3R3）乘以斜率
的余切，以及动��抵抗系数K的影响决定的。
普朗特尔极限承载力公式可以有效地应用于维护消能、水质和治理流量，协助水利工程规划设计和运行管理。
由于普朗特尔极限承载力公式简单、实用，因此有着广泛的应用前景。
尽管普朗特尔极限承载力公式具有许多优点，但它也存在许多局限性，比如流量变化，水床形态复杂以及水流变形和多模方程的影响等。
此外，还有传播障碍、定位评估以及物理场的不确定性等问题。
因此，还有一些新的研究方向探索更精确的计算方法来提高普朗特尔极限承载力公式的相关算法。
极限承载力的计算
第三节 极限承载力的计算在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标c ，ϕ表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。
随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。
太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。
但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。
梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。
一．普朗特尔极限承载力公式普朗特尔公式是求解宽度为b 的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P 作用下的极限荷载Pu 值。
普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：（1）地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的0=γ，而只具有c ，ϕ的材料。
（2）基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。
（3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I ，径向剪切区II 或过渡区和朗肯被动区III 所组成。
其中滑动区I 边界BC 或AC 为直线，并与水平面成（45＋ϕ/2）角；即三角形ABC 是主动应力状态区；滑动区II 的边界CE 或C Ｄ为对数螺旋曲线，其曲线方程为 θθtg e r r 0=，r 0为起始矢径；θ为射线r 与r 0夹角，滑动区III 的边界E G ，DF 为直线并与水平面成（45－φ/2）角。
（4）当基础有埋置深度d 时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载d q γ=来代替。
根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：c q u cN rdN p +=式中：r ：基础两侧土的容重d ：基础的埋置深度q N ，c N ：承载力系数，它们是土的内摩擦角ϕ的函数，可查下表：其中)245(02ϕϕπ+=tg e Nq tgϕctg Nq Nc )1(-=二、斯肯普顿地基极限承载力公式对于矩形基础，斯肯普顿（1952年）给出的地基极限承载力公式为：d c p b d l b u 055)1)(1(5γ+++=c ——地基土粘聚力;b 、l ——分别为基础的宽度和长度；0γ——基础埋置深度d 范围内土的重度。
斯肯普顿极限承载力公式
斯肯普顿极限承载力公式斯肯普顿极限承载力公式是土力学中的重要公式之一，用于计算土壤的最大承载力。
该公式由斯肯普顿于1773年提出，并在后来的研究中得到了进一步的完善和应用。
斯肯普顿极限承载力公式可以用于计算土壤在静止状态下的最大承载力。
它的基本形式为：qult = cNc + q'Nq + 0.5γBNγ，其中qult表示土壤的极限承载力，c为土壤的凝聚力，Nc为凝聚力的修正系数，q'为有效应力，Nq为有效应力的修正系数，γ为土壤的重度，B为土壤的形状系数，Nγ为形状系数的修正系数。
在计算斯肯普顿极限承载力时，首先需要确定土壤的凝聚力和有效应力。
凝聚力是指土壤颗粒之间的吸附力，可以通过实验室试验或现场测试来确定。
有效应力是指土壤颗粒之间的有效压力，可以通过测量土壤的总应力和孔隙水压力来计算得到。
修正系数是根据土壤的特性和条件进行修正的参数。
凝聚力修正系数Nc考虑了土壤的饱和度和孔隙比，有效应力修正系数Nq考虑了土壤的孔隙比和颗粒大小分布，形状系数修正系数Nγ考虑了土壤的形状和测量方法。
在实际工程中，斯肯普顿极限承载力公式被广泛应用于土壤基础的设计和计算。
通过合理地选择土壤的参数和修正系数，可以准确地计算出土壤的最大承载力，从而保证工程的安全性和可靠性。
然而，斯肯普顿极限承载力公式也存在一定的局限性。
首先，它是基于理想化的土壤模型和简化的假设，不能完全反映实际土壤的复杂性。
其次，公式中的参数和修正系数需要根据具体情况进行选择和修正，这对工程师的经验和专业知识有一定要求。
为了提高斯肯普顿极限承载力公式的应用精度，研究者们提出了很多改进和修正的方法。
例如，可以采用现场试验和数值模拟等手段来获取土壤的参数和修正系数，从而提高计算结果的准确性。
此外，还可以结合其他土力学理论和方法，综合考虑土壤的各种因素，进一步优化公式的适用范围和精度。
斯肯普顿极限承载力公式是土力学中的重要工具，可以用于计算土壤的最大承载力。
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第三节 极限承载力的计算在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标c ，ϕ表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。
随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。
太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。
但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。
梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。
一．普朗特尔极限承载力公式普朗特尔公式是求解宽度为b 的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P 作用下的极限荷载Pu 值。
普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：（1）地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的0=γ，而只具有c ，ϕ的材料。
（2）基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。
（3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I ，径向剪切区II 或过渡区和朗肯被动区III 所组成。
其中滑动区I 边界BC 或AC 为直线，并与水平面成（45＋ϕ/2）角；即三角形ABC 是主动应力状态区；滑动区II 的边界CE 或 C Ｄ为对数螺旋曲线，其曲线方程为 θθtg e r r 0=，r 0为起始矢径；θ为射线r 与r 0夹角，滑动区III 的边界E G ，DF 为直线并与水平面成（45－φ/2）角。
（4）当基础有埋置深度d 时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载d q γ=来代替。
根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：c q u cN rdN p +=式中：r ：基础两侧土的容重d ：基础的埋置深度q N ，c N ：承载力系数，它们是土的内摩擦角ϕ的函数，可查下表：其中)245(02ϕϕπ+=tg e Nq tgϕctg Nq Nc )1(-=二、斯肯普顿地基极限承载力公式对于矩形基础，斯肯普顿（1952年）给出的地基极限承载力公式为：d c p d bu 0)1)(1(5γ+++= c ——地基土粘聚力;b 、l ——分别为基础的宽度和长度；0γ——基础埋置深度d 范围内土的重度。
三．太沙基极限承载力公式对于均匀地基上的条形基础，当受中心荷载作用时，若把土作为有重量的介质，即γ不等于零，求其极限承载力时，太沙基作了如下假设：1．基础底面粗糙，即的与土之间有摩擦力存在当地基达到破坏并出现连续的滑动面时，其基底下有一部分土体将随着基础一起移动而处于弹性平衡状态，该部分土体称为弹性核或叫弹性契体，如图8-9中ABC 所示。
弹性核的边界AC 或BC 为滑动面的一部分，它与水平面的夹角为ϕ，而它的具体数值又与基底的粗糙程度有关。
2．当把基底看作是完全粗糙时，则滑动区域由径向过渡区剪切区II 和朗肯被动区III 所组成。
其中滑动区域II 的边界CE 和ＤC 为对数螺旋曲线，其曲线方程为（r 0为起始矢径）。
朗肯区域III 的边界DFA 为直线，它与水平面成（450－φ/2）角。
3．当基础有埋置深度时，则基底以上两侧的土体用相当的均布超载d q γ=来代替。
根据上述假定，经推导可得地基的极限承载力c q r u cN qN rbN p ++=21式中：N r ，N q ，N c 称为承载力系数，都是土的内摩擦角ϕ的函数。
其中：)245(cos 202)23(ϕϕϕπ+=-tg eNqϕctg Nq Nc )1(-=但对N r ，太沙基并未给出公式。
太沙基将N r ，N q ，N c 可以查表8－4得。
几点说明：（1）当把基础底面假定为光滑时，则基底以下的弹性核就不存在，而成为朗肯主动区I 了，而AC 面与水平面的夹角ψ＝（450＋φ/2）而整个滑动区域将完全与普朗特尔的情况相似，因此，由C,q 所引起的承载力系数即可直接取用普朗特尔的结果，即：)245(02ϕϕπ+=tg e N tg qϕctg Nq N c )1(-=而由土容重γ所引起的承载力系数则采用下列半经验公式来表达：ϕ28.1Nctg N r =将)245(02ϕϕπ+=tg e N tg qϕctg NN qc )1(-=ϕ28.1tg N N c r =代入：c q r u cN qN rbN p ++=21即可得基础底面完全光滑情况下的太沙基地基极限承载力，或N q ，N c ，N r 可直接查表取得。
（2）太沙基承载力公式都是在整体剪切破坏的条件下得到的，对于局部剪切破坏时的承载力，应进行修正。
c c 32=,32ϕϕtg tg =再用修正后的c ，ϕ，就可计算局部剪切破坏时松软土的地基承载力'''21c q r u N c qN rbN p ++=式中：cN '，q N '，r N '：修正后的承载力系数。
（3）对于方形或圆形基础，太沙基建议用下列修正公式计算地基极限承载力：圆形基础：c q r ur cN rdN rRN p 2.16.0++= 整体破坏'2.1''6.0c q r ur N c rdN rRN p ++= 局部破坏方形基础： c q r us cN rdN rbN p 3.14.0++= 整体破坏'3.1''4.0c q r us N c rdN rbN p ++= 局部破坏4．地基的容许承载力将上述各公式算出的极限承载力u p ，除以安全系数K ，即得到地基的容许承载力[]Kp p u=在设计时，基底压力p 应满足p ≤[p]的要求。
例题1：某办公楼采用砖混结构基础。
设计基础宽度b=1.50m ，基础埋深d=1.4m ，地基为粉土，γ =18.0kN/m 3,ϕ＝30度，c ＝10kPa ，地下水位深7.8m ，计算此地基的极限荷载和地基承载。
解：（1）条形，由太沙基公式：c q r u cN qN rbN p ++=21因为030=ϕ，查得，N r ＝19，N c ＝35，N q ＝18代入公式u p ＝18.0×1.5×19÷2＋10×35＋18.0×1.4×18＝1060.1 kPa （2）地基承载力：Kp p u=＝1060.1/3.0＝353.4 kPa 例题2：在例题1中，若地基的ϕ为20度，其余条件不变，求u p 和p 解：（1）当020=φ，查曲线：Nr ＝4，Nc=17.5，Nq ＝7，c q r u cN qN rbN p ++=21u p ＝18.0×1.5×4÷2＋10×17.5＋18.0×1.4×7＝405.4kPa（2）Kp p u=＝405.4/3.0＝135 kPa 评论：由上两例计算结果可见：基础的形式，尺寸与埋深相同，地基土的γ，c 不变，只是ϕ由30度减小为20度，极限荷载与地基承载力均降低为原来的38％，可知：ϕ的大小，对u p 和p 影响很大。
四、考虑其它因素影响时的极限承载力计算公式1、汉森极限承载力公式对于均质地基基础底面完全光滑，在中心倾斜荷载作用下，汉森建议按下式计算竖向地基极限承载力。
c c c c c q q q q r r r r r u N id s c i d s dN d i d s bN p ++=γγ21式中：(1)γs ，q s ，c s 为基础的形状系数，取：cc q q r r i lbs i lbs i lb s 2.01sin 16.04.01+=+=≥-=ϕ或l b s tg l b s l N b N s r qc q c4.0111-=+=+=ϕ(2) ic iq ir ,,为荷载倾斜系数))450/7.0(1(07.015ϕηϕcActg p p cActg p p ir h h+--=+-=0)5.01(5 ϕcActg p p iq h+-=)11(---=Nq iqiq ic （3）c q r d d d ,,深度修正系数BD d B D d BD tg d d c c q r 35.01,40.01)sin 1(2112+=+=-+==ϕϕ（4）c q r g g g ,,地面倾斜系数7.141)5.01(5ββ-=-==c q r g tg g g（5）c q r b b b ,,基底倾斜系数7.14/1)2exp(7.2exp(ηϕηϕη-=-=-=c q r b tg b tg b （6）Nr ，Nc ，Nq 承载力系数，由下式表示：ϕϕϕϕπ228.1)1()245(Nctg Nr ctg Nq Nc tg e Nq tg =-=+=上式中βη分别为地面和基底的倾角。
几点说明：（1）应用公式时，应满足δptg CaA p h +≤，以保证基底不因水平力过大而产生水平滑动。
Ph ：作用在基底上的水平分力 P ：作用在基底上的垂直分力 Ca ：为基底与土之间的粘滞力 δ：为基底与土之间的摩擦力 A=L ×B（2）当基底受到偏心荷载作用时，先将其换成有效的基底面积，然后按中心荷载情况下的极限承载力公式进行计算。
若条形基础，其荷载的偏心距为e ，则用有效宽度 B’=B －2e ，来代替原来的宽度B 。
若是矩形基础，并且在两个方面均有偏心，则用有效面积A’=B’×L’来代替原来的面积A 。
其中B’=B －2e B ,L’=L －2e L(3)对于成层土所组成的地基，当各土层的强度相差不大的情况下，汉森建议按下式近似确定持力层的深度。
Z max ＝λ B式中：λ：为系数，根据土层平均内摩擦角和荷载的倾角β从下表查出：B ：为基础的原宽度。
λ值表：单位为（度）持力层范围内土的容重和强度指标按层厚求其平均值：∑∑∑∑∑∑===hiihi hi cihi c hi rihi r ϕϕ 式中r i ,C i , ψi 分别为第i 土层的容重，凝聚力和内摩擦角，hi 为第i 层的厚度。
例题：有一宽4m 的条形基础，埋置在中砂层下2米深处，其上作用中心倾斜荷载（竖直分量P ＝900Kn/m ，水平方向Ph ＝150Kn/m ）中砂层的内摩擦角ψ＝32度，湿容重r=18.5Kn/m 3 浮容重r’=9.5Kn/m 3,距基底2米处有一粘土层，其固结不排水剪的强度指标为C ＝18Kn/㎡, ψ=22度，浮容重r’=9.7Kn/m 3,设地下水位与基底齐平，试按汉森公式确定地基的极限承载力。