中考数学压轴题旋转问题带答案

中考数学压轴题旋转问题

带答案

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旋转问题

考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。

旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

一、 直线的旋转

1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，

1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B

点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；

（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积

2、（2009年河南）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.

(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．

解：（1）①当四边形EDBC 是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，

A

B N

M （第1题）

根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；

②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．

∵∠α=∠ACB=90°，

∴BC‖ED，

∵CE‖AB，

∴四边形EDBC是平行四边形．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，

∴∠A=30度，

∴AB=4，AC=2 ，

∴AO= = ．

在Rt△AOD中，∠A=30°，

∴AD=2，

∴BD=2，

∴BD=BC．

又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形．

3、（2009年北京市）

在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.

（2）若AD=6,tanB=4

3

,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S

11

P FC=y，求y与x之间的函

数关系式，并写出自变量x的取值范围.

提示：（1）运用三角形全等，

（2）按CP=CE=4将x取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC、EF相等且垂直。

4、（2009 黑龙江大兴安岭）

已知：在ABC

∆中，AC

BC>，动点D绕ABC

∆的顶点A逆时针旋转，且BC

AD=，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE

AMF∠

=

∠（不需证明）．

（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF

∠与BNE

∠有何数量关系请分别写出猜

5

中，AB BC CA

==，OD、OE为O

⊙的

OFCG的面积是ABC

△

的面积的

1

3

．

（2）如图2，若DOE

∠保持120°角度不变，

求证：当DOE

∠绕着O点旋转时，由两条半径和ABC

△的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC

△的面积的

1

3

．

6、（2009襄樊市）如图，在梯形ABCD中，24

AD BC AD BC

==

∥，，，点M是AD的中点，MBC

△是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且60

MPQ=︒

∠保持不变．设

PC x MQ y

==

，，求y与x的函数关系式；

（3）在（2）中：

①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形并指出符合条件的平行四边形的个数；

②当y取最小值时，判断PQC

△的形状，并说明理由．

图图

图

D

A

D

C B

P

M

Q

60

（2009年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，

6、矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，

OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与

线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为6

5

，那么

EF =2GO 是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与

AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

7、（

其中∠B ＝340，∠C ＝900

）绕A 点按顺时针方向

B 1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于

（ ） 0

0 0 0

6题图

x