2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(解析版)
江苏省扬州中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷 含解析
2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1．命题:“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．2．直线y=x+1的倾斜角是．3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是．4．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是．5．与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆标准方程为．6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+(1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是．7．如果p：x＞2，q：x＞3,那么p是q的条件．（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充要"、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空)8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8,则M到右准线的距离为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直,则实数a=．10．如果实数x,y满足等式(x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．12．已知F1、F2为双曲线﹣=1(a＞0,b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线,垂足为P，若|PF1｜2﹣｜PF2｜2=c2．则双曲线离心率的值为．13．已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数) 与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b)是以点M（0,1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为．14．已知直线l:y=x+4,动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A,B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知命题p：“关于x,y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q:“∀x ∈R，使得x2+(a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．16．已知直线l过点P（2，1）(1)点A(﹣1,3）和点B(3，1）到直线l的距离相等,求直线l的方程；（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A,B两点，且△ABO的面积为4，求直线l 的方程．17．如图，F1，F2分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°（1)求椭圆C的离心率；（2）若a=2，求△AF1B的面积．18．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．（1）求灯罩轴线所在的直线方程；（2)若路宽为10米，求灯柱的高．19．已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P 作圆O的切线，切点为T（1）若a=8，切点T（，﹣1）,求点P的坐标；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．20．如图,在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，（1)若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B,C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；（3)在（1)的条件下，是否存在定圆M,使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线,且这两条切线互相垂直?若存在，求出定圆M；若不存在,说明理由．2016—2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以,命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．2．直线y=x+1的倾斜角是．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线y=x+1的倾斜角为α,α∈［0，π)．可得tanα=1，解得α即可得出．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α,α∈[0，π）．∴tanα=1，解得α=．故答案为：．3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是a＞7．【考点】椭圆的标准方程．【分析】方程=1表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即可求出实数m 的取值范围．【解答】解：∵方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：a＞7．∴实数m的取值范围是a＞7．故答案为：a＞7．4．命题“若a＞b,则a2＞b2"的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”．【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题,结合逆命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，故答案为:“若a2＞b2，则a＞b”5．与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由已知得所求椭圆的焦点坐标为（±，0）,离心率为，由此能求出椭圆方程．【解答】解：由椭圆+=1，得a2=9，b2=4,∴c2=a2﹣b2=5,∴该椭圆的焦点坐标为（±，0）．设所求椭圆方程为，a＞b＞0，则，又，解得a=5．∴b2=25﹣5=20．∴所求椭圆方程为：．故答案为:．6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k)y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是（﹣1，2）．【考点】恒过定点的直线．【分析】由(3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0，进而有x﹣2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到结论．【解答】解:由（3+k）x+(1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k(x﹣2y+5）=0∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0∴x=﹣1，y=2∴对任何实数k，直线（3+k）x+(1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A（﹣1，2）故答案为:（﹣1，2)7．如果p:x＞2,q：x＞3，那么p是q的必要不充分条件．（从“充分不必要”、“必要不充分"、“充要"、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接利用充要条件的判断方法结合集合的包含关系判断即可．【解答】解:因为p：x＞2,得不到q：x＞3；但是x＞3；得到x＞2；所以么p是q的必要不充分条件．故答案为:必要不充分．8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8，则M到右准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的第一定义求出点M到左焦点的距离,再用第二定义求出点M到右准线的距离d即可．【解答】解:由椭圆+，得a=5，b=3，c==4，由椭圆的第一定义得点M到右焦点的距离等于10﹣8=2，离心率e=,再由椭圆的第二定义得=e=,∴点M到右准线的距离d=．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出直线方程的斜率，并表示出双曲线方程的渐近线,再由双曲线C：﹣y2=1(a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直可知两直线的斜率之积等于﹣1，可求出a的值．【解答】解：直线l:2x﹣y+1=0的斜率等于2，双曲线C:﹣y2=1（a＞0)的渐近线可以表示为：y=±又因为双曲线C：﹣y2=1（a＞0)的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，∴2×（﹣)=﹣1，∴a=2,故答案为210．如果实数x,y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设,的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．【解答】解:设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知,斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得，可由勾股定理求得｜OE|=1，于是可得到,即为的最大值．故答案为：11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为（x ±1）2+（y﹣）2=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意设出圆心坐标,由相切列出方程求出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可．【解答】解：由题意知,设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切,∴|t|=t2+,∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+(y﹣）2=1．故答案为：（x±1)2+（y﹣）2=1．12．已知F1、F2为双曲线﹣=1(a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线,垂足为P,若｜PF1|2﹣|PF2｜2=c2．则双曲线离心率的值为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式,求得｜PF2｜=b，运用余弦函数的定义和余弦定理,计算即可得到所求值．【解答】解:设双曲线﹣=1(a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为y=x，F2（c，0）到渐近线的距离为d=｜PF2｜==b，cos∠POF2==，在△POF1中,|PF1|2=｜PO｜2+｜OF1|2﹣2｜PO|•|OF1|•cos∠POF1=a2+c2﹣2ac•（﹣）=3a2+c2，则|PF1｜2﹣｜PF2|2=3a2+c2﹣b2=4a2，∵｜PF1|2﹣|PF2｜2=c2，∴4a2=c2，∴e=2．故答案为2．13．已知直线：ax+by=1(其中a,b是实数）与圆：x2+y2=1(O是坐标原点）相交于A,B 两点,且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为（3﹣2)π．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=｜OB｜根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出｜AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最小时,所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0,1）的距离最小值，即可得出结论．【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1所以|OA|=｜OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形,得到｜AB｜=则圆心（0,0）到直线ax+by=1的距离为，所以2a2+b2=2，即a2+=1．因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1)的距离最小值，由椭圆的性质,可知最小值为﹣1．所以圆M的面积最小值为π(﹣1)2=（3﹣2）π．故答案为：(3﹣2）π．14．已知直线l:y=x+4，动圆O：x2+y2=r2(1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是（0，）∪（,6）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB=a,直线CD的方程为y=x+b,则圆心到直线的距离为d=＜r，进而可得b的范围,结合=，可得a的范围,再由菱形ABCD的面积S=a2，得到答案．【解答】解:设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，又由1＜r＜2，∴﹣2＜b＜4,且b≠1∵=，∴b=4﹣a，∴a=（4﹣b)∴0＜a＜,或＜a＜2，∴菱形ABCD的面积S=a2∈（0，）∪（，6),故答案为：(0，)∪（,6）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.05B ．0.35C ．0.7D ．0.95 2．全称命题“2,54x R x x ∀∈+=”的否定是( )A ．2000,54x R x x ∃∈+=B ．2,54x R x x ∀∈+≠C ．2000,54x R x x ∃∈+≠D ．以上都不正确3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．144．某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是( ) A ．7?i ≥ B ．6?i ≥ C ．5?i ≥ D ．4?i ≥5．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)- 7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到 定点A 的距离|PA |1<|的概率为( )A.πB.2π C.4π D ．6π8．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分） 9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分 成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4、12、8.若用分层 抽样方法抽取6个 城市，则甲组中应抽取的城市数为________．10．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．11．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示， 据图知，样本数据在[8，10)内的频数为 12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合） 的中点的轨迹方程为13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 ． 14．有下列命题：①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若1m ≥，则22(m 1)x m 30mx -+++>的解集是R ”的逆命题； ④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确命题的序号是三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．第18题图16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．17．（满分13分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求,,n a p 的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=>（1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率； （2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，求22|F ||F |A B ⋅的值.2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.95B ．0.7C ．0.35D ．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.答案：D2．全称命题“∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0＝4 B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4 C ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0≠4 D ．以上都不正确解析：选C 全称命题的否定为特称命题．3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．14解析：由甲组数据的众数为14得x ＝y ＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是6＋142＝10.答案：C4．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．i >6？B ．i >7？C ．i ≥6？D ．i ≥5?解析：根据题意可知该程序运行情况如下： 第1次：S ＝0＋21＝2，i ＝1＋1＝2； 第2次：S ＝2＋22＝6，i ＝3； 第3次：S ＝6＋23＝14，i ＝4； 第4次：S ＝14＋24＝30，i ＝5； 第5次：S ＝30＋25＝62，i ＝6； 第6次：S ＝62＋26＝126，i ＝7；此时S ＝126，结束循环，因此判断框应该是“i >6？”．答案：A5．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a，故a <0，故选C.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)-【解析】圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3，又b ＝4，∴5a =. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 【答案】 D7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π 解析：如图所示，动点P 在阴影部分满足|PA |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，则动点P到定点A 的距离|PA |<1的概率为S ′S ＝π4. 答案：C 8．直线l 经过椭圆的一个短轴顶点顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0．由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12．故选B ．二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分）9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．答案：110．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．答案：311．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图知，样本数据在[8，10)内的频数为( )A ．38B ．57C ．76D ．95 答案：C12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合）的中点的轨迹方程为2214x y += 13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．【答案】221168x y +=14．有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是 ①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1. .....................3分 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由不等式2(x 1)22-+≥(x ＝1时取等号)知(x)f 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2 ......................6分若q 真，则42c <，即12c < .......................8分 若p 真q 假，则112c ≤<； .......................10分 若p 假q 真，则0c ≤. ......................12分 综上可得，(]1,0,12c ⎡⎫∈-∞⎪⎢⎣⎭......................13分16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，计算被调查的出租车司机对新法规知晓情况比较好的频率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，P (A )＝1－55100＝0.45. .......................6分 （2）记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，设答对题目数小于8的司机为A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B 为女司机，任选出2人包含AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情况，.......................9分（3）至少有一名女出租车司机的事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，共7种 ..12分则P (M )＝710＝0.7. ......13分16．（满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM第3题图17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为AC =，2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………3分 又因为 AC FB ⊥， 因为BC FB B =所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………6分 （Ⅱ）M 为AC 中点时，连结CE ，与DF 交于点N ，连结MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ……………8分 所以 EA //MN ． ……………10分 因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………12分 所以 EA //平面FDM ． …………13分18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率. 规范解答不失分 （Ⅰ）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间， 而乙班身高集中于170180: 之间．因此乙班平均身高高于甲班 ...............4分 （Ⅱ）158162163168168170171179182170.10x ++++++++==...............6分 甲班的样本方差为:222222222221(158170)(162170)(163170)(168170)10(168170)(170170)(171170)(179170)(179170)(182170)57.2.s ⎡=-+-+-+-⎣+-+-+-+-+-+-=...............8分（Ⅲ）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178, 176) （176，173）共10个基本事件，...............10分而事件A含有4个基本事件；...............12分所以42().105P A ...............14分19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．解：(1)第二组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以频率组距＝0.35＝0.06.............2分 频率分布直方图如下：............4分第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2， 所以n ＝2000.2＝1 000 .............6分 因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150.所以a ＝150×0.4＝60 .............8分(2)因为年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a ，b ，c ，d ，[45，50)中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的情况有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种， ............10分(3)其中恰有1人年龄在[40，45)岁的情况有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种， ............12分(4)所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P ＝815.............14分 20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=> （1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，证明22|F ||F |A B ⋅为定值. 解：（1）焦点坐标12(1,0),F (1,0)F - ..........2分离心率12e = ..........3分（2）当斜率不存在时11|||F B |F A ===此时212|FA ||F B|3a ⋅= 5分当斜率不存在=时，设1122(x ,y ),B(x ,y )A:()AB y k x a =-由222(x a)x 4y k y a =-⎧⎨+=⎩ 得222222(1k )x 240ak x k a a +-+-= 7分 222212122224,11ak k a a x x x x k k -+==++ 9分11|FA |x a |==-22|F A |x a |==-所以22111212|FA||FB|(1)|x x a(x )a |k x ⋅=+-++ 12分 22222222242(1k )|a |11k a a a k k k -=+-+++23a = 13分 所以 22|F ||F |A B ⋅为定值23a .。
2016-2017学年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带解析(理科)
2016-2017学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={x|x2＞1}，集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，则∁U A=（）A．（1，3） B．（﹣∞，1）∪[3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．（5分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A．1：2：3 B． C．D．3．（5分）设x＞1，则x+的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=15，则S7的值是（）A．28 B．35 C．42 D．75．（5分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和S n=3n﹣1+t，则t的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．D．16．（5分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，B=60°B．a=60，c=48，B=120°C．a=7，b=5，A=75°D．a=14，b=16，A=45°7．（5分）裴波那契数列的通项公式为a n=[（）n﹣（）n]，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例，由此，a5=（）A．3 B．5 C．8 D．138．（5分）已知在正项等比数列{a n}中，a1=1，a2a4=16，则|a1﹣12|+|a2﹣12|+…+|a8﹣12|=（）A．224 B．225 C．226 D．2569．（5分）不等式＞1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+ax ﹣2b＜0的解集为（）A．（﹣3，﹣2）B．C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．10．（5分）在△ABC中，若=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形11．（5分）某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日 D．2日和11日12．（5分）已知方程x2+ax+b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，则的取值范围是（）A．（2，+∞）B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*），则a2016=．14．（5分）在约束条件下，目标函数z=|x﹣y+4|的最大值为．15．（5分）有两个斜边长相等的直角三角板，其中一个为等腰直角三角形，另一个边长为3，4，5，将它们拼成一个平面四边形，则不是斜边的那条对角线长是．16．（5分）若﹣1＜a＜0，则不等式﹣的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知不等式mx2+2mx﹣8≥0有解，求m的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}满足：a n≠0，a1=，a n﹣a n+1=2a n•a n+1．（n∈N*）．（1）求证：{}是等差数列，并求出a n；（2）证明：a1a2+a2a3+…+a n a n+1＜．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=3．（1）若b=2，求cosB；（2）求△ABC的面积的最大值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（1）求a1和a2的值；（2）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（3）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）小张打算在2001年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢（保留两位小数）？（提示：（1+4%）10≈1.48）22．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC=．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．2016-2017学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={x|x2＞1}，集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，则∁U A=（）A．（1，3） B．（﹣∞，1）∪[3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解答】解：U={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，∁U A={x|x≥3或x＜﹣1}，故选：C．2．（5分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A．1：2：3 B． C．D．【解答】解：由题意：∵角A，B，C是△ABC的内角，∴B+A+C=π∵A：B：C=1：2：3，∴A=30°，B=60°，C=90°根据正弦定理：sinA：sinB：sinC=a：b：c∴a：b：c=1：：2故选：C．3．（5分）设x＞1，则x+的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵x＞1，∴+1=5．当且仅当x=3时取等号．故选：B．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=15，则S7的值是（）A．28 B．35 C．42 D．7【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a2+a4+a6=15=3a4，解得a4=5．则S7==7a4=35．故选：B．5．（5分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和S n=3n﹣1+t，则t的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．D．1【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3n﹣1+t，∴n=1时，a1=S1=1+t；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣1+t﹣（3n﹣2+t）=2×3n﹣2，n=1时上式成立，∴1+t=2×3﹣1，解得t=﹣．故选：C．6．（5分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，B=60°B．a=60，c=48，B=120°C．a=7，b=5，A=75°D．a=14，b=16，A=45°【解答】解：若b=10，A=45°，B=60°，则由正弦定理可得=，求得a=，故△ABC有一解；若a=60，c=48，B=120°，则由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=8784，求得b 只有一解，故△ABC有一解；若a=7，b=5，A=75°，则由正弦定理可得=，求得sinB=，再根据b＜a，可得B为锐角，故角B只有一个，故△ABC有一解；若a=14，b=16，A=45°，则由正弦定理可得=，求得sinB=，再根据b＞a，可得B＞A，∴B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解，故选：D．7．（5分）裴波那契数列的通项公式为a n=[（）n﹣（）n]，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例，由此，a5=（）A．3 B．5 C．8 D．13【解答】解：∵a n=[（）n﹣（）n]，∴a1===1，同理可得：a2=1，a3=2，a4=3，a5=5．故选：B．8．（5分）已知在正项等比数列{a n}中，a1=1，a2a4=16，则|a1﹣12|+|a2﹣12|+…+|a8﹣12|=（）A．224 B．225 C．226 D．256【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a2a4=16，∴q4=16，解得q=2．∴=2n﹣1，由2n﹣1≤12，解得n≤4．∴|a1﹣12|+|a2﹣12|+…+|a8﹣12|=12﹣a1+12﹣a2+12﹣a3+12﹣a4+a5﹣12+…+a8﹣12=﹣2（a1+a2+a3+a4）+（a1+a2+…+a8）=﹣+=﹣2（24﹣1）+28﹣1=225．故选：B．9．（5分）不等式＞1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+ax ﹣2b＜0的解集为（）A．（﹣3，﹣2）B．C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．【解答】解：由题意：不等式＞1转化为[x（a﹣1）﹣b+1]（x+b）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），可知a＞1由方程（ax﹣x﹣b+1）（x+b）=0可知其解：x1=﹣1，x2=3，可得：或，解得：或，∵a＞1，∴a=5，b=﹣3，那么：不等式x2+ax﹣2b＜0转化为：x2+5x+6＜0，解得：﹣3＜x＜﹣2，所以不等式x2+ax﹣2b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}．故选：A．10．（5分）在△ABC中，若=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵=，∴可得：（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin C，∵2Rsin（A﹣B）=2R（sinAcosB﹣cosAsinB）=2RsinAcosB﹣2RsinBcosA=a•﹣b•=，∴已知等式变形得：（a2+b2）•=（a2﹣b2）•，∴a2=b2或a2+b2=c2，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：D．11．（5分）某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日 D．2日和11日【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．12．（5分）已知方程x2+ax+b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，则的取值范围是（）A．（2，+∞）B．C． D．【解答】解：令f（x）=x2+ax+b，∵方程x2+ax+b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，∴，即，由约束条件画出可行域，如右图中的△ABC内的区域，B（﹣2，0），C（﹣1，0），联立，解得A（﹣3，2），∵的几何意义为：可行域内的动点与定点P（3，2）连线的斜率，且k AP=0，=，∴的取值范围为（0，），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*），则a2016=．【解答】解：：∵数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n，∴当n=1时，a1=2﹣2a1，解得a1=，=2﹣2a n﹣1，当n≥2时，T n﹣1∴a n==，化为a n=，取n=2，3，可得a2=，a3=，…，猜想a n=．经过验证成立．∴a n=，∴a2016=，故答案为：．14．（5分）在约束条件下，目标函数z=|x﹣y+4|的最大值为5．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=|x﹣y+4|，得：y=x+4±z，结合图象：若4±z=2，则，|z|=2，若4±z=﹣1，则|z|=5，故答案为：5．15．（5分）有两个斜边长相等的直角三角板，其中一个为等腰直角三角形，另一个边长为3，4，5，将它们拼成一个平面四边形，则不是斜边的那条对角线长是．【解答】解：如图所示，AC⊥BC，BD⊥DA．DB=4，AB=5，AD=3，AC=BC=．设∠DAB=α，cosα=，sinα=．cos=cosαcos﹣sinαsin=﹣．∴在△ACD中，CD2=+32﹣2××=．∴CD=．故答案为：．16．（5分）若﹣1＜a＜0，则不等式﹣的最大值为﹣3﹣2．【解答】解：设f（a）=﹣，∴f′（a）=﹣+=，∵﹣1＜a＜0，令f′（a）=0，解得a=﹣2+，当f′（a）＞0，即（﹣2+，0）单调递减，当f′（a）＜0，即（﹣1，﹣2+）单调递增，当a=﹣2+函数f（a）有最大值，即f（﹣2+）=，故答案为：﹣3﹣2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知不等式mx2+2mx﹣8≥0有解，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=0时，原不等式化为﹣8≥0，解集为空集，故不满足题意；…（2分）（2）当m＞0时，一元二次不等式对应二次函数开口向上，显然满足题意；…（5分）（3）当m＜0时，由题意，得：△≥0，即（2m）2﹣4×（﹣8）≥0，又m2+8＞0，所以取m＜0；…（.9分）综上，当m∈R且m≠0时，不等式mx2+2mx﹣8≥0有解…（10分）18．（12分）已知数列{a n}满足：a n≠0，a1=，a n﹣a n+1=2a n•a n+1．（n∈N*）．（1）求证：{}是等差数列，并求出a n；（2）证明：a1a2+a2a3+…+a n a n+1＜．【解答】证明：（1）a1=，a n﹣a n+1=2a n•a n+1．可得﹣=2，则{}是首项为3，公差为2的等差数列，=+2（n﹣1）=3+2（n﹣1）=2n+1，即有a n=；（2）证明：a1a2+a2a3+…+a n a n+1=++…+=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=﹣•＜．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=3．（1）若b=2，求cosB；（2）求△ABC的面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴=，可得，…（3分）又∵a＞b，∴A＞B，可得B为锐角，∴．…（6分）（2），∵，∴bc=b2+c2﹣9≥2bc﹣9，…（9分）∴得bc≤9，当且仅当b=c时等号成立，∴故S=bcsinA≤9×=，即△ABC的面积的最大值为．…（12△ABC20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（1）求a1和a2的值；（2）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（3）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a n是S n与2的等差中项∴S n=2a n﹣2∴a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2a1+a2=S2=2a2﹣2，解得a2=4（2）∵S n=2a n﹣2，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，又S n﹣S n﹣1=a n，n≥2∴a n=2a n﹣2a n﹣1，∵a n≠0，∴=2（n≥2），即数列{a n}是等比数列，∵a1=2，∴a n=2n∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，∴b n﹣b n+1+2=0，∴b n+1﹣b n=2，即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n﹣1，（3）∵c n=（2n﹣1）2n∴T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，∴2T n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1因此：﹣T n=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）﹣（2n﹣1）2n+1，即：﹣T n=1×2+（23+24+…+2n+1）﹣（2n﹣1）2n+1，∴T n=（2n﹣3）2n+1+621．（12分）小张打算在2001年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢（保留两位小数）？（提示：（1+4%）10≈1.48）【解答】解：50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50（1+4%）10…4 分每年存入x万元的本息和：x•（1+4%）9+x•（1+4%）8+…+x…（8分）=•x…（10分）从而有50（1+4%）10=•x解得：x≈6.17（万元）…12分22．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC=．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）2bcosC+c=2a，由正弦定理，得2sinBcosC+sinC=2sinA．∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2sinBcosC+sinC=2（sinBcosC+cosBsinC），∴sinC=2cosBsinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴．又∵0＜B＜π，∴B=．（2）在△ABD中，由余弦定理得=c2+﹣2c×cosA，∴=c2+﹣bc，①，在△ABC中，由正弦定理得=，由已知得sinA=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，∴c=b…②，由①，②解得b=7，c=5，=bcsinA=10．∴S△ABC。
2016-2017年福建省福州市高二上学期数学期中试卷及参考答案
2016-2017学年福建省福州市高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则3．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，那么（）A．a＜0，△≥0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0 4．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=575．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°6．（5分）若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形7．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）A．192 B．300 C．252 D．3609．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）若acosB+bcosA=csinC，S△ABCA．30°B．45°C．60°D．90°10．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．1011．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．412．（5分）将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（）A．571 B．574 C．577 D．580二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）. 13．（5分）不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为．14．（5分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记M n=2a1a2…a n，求M n的最大值=．16．（5分）如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1，2，3，…），则第n个图形中边的个数a n=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式＞a+5的解集．18．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，且sin（A）=（1）求sinA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．21．（12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n构成等差数列如图所示．（1）求a n表达式；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？22．（12分）若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．四、填空题（共1小题，每小题0分，满分0分）23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为．五、解答题（共1小题，满分0分）24．已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，b n是a n 的等比中项．和a n+1（Ⅰ）设，求证：{c n}是等差数列；（Ⅱ）设，求证：．2016-2017学年福建省福州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：根据数列的前4项分别是，可得奇数项为负数，偶数项为正数，第n项的绝对值等于||，故此数列的一个通项公式为，故选：C．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则【解答】解：若a＞b，且c=0，则ac2=bc2，A不正确；若a＞b，c＜d，比如a=1，b=0，c=﹣2，d=﹣1，则＜，则不成立；若a＞b，c＞d，比如a=0，b=﹣3，c=2，d=﹣6，则a﹣c＜b﹣d，a﹣c＞b﹣d不成立；若ab＞0，a＞b，则﹣=＜0，可得＜成立．故选：D．3．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，那么（）A．a＜0，△≥0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0【解答】解：不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为∅，可得a＞0，△≤0；若a＜0，抛物线开口向下，函数值不可能小于0，故选：C．4．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=57【解答】解：数列列{a n}是等差数列，则：当m+n=p+q时，则：a m+a n=a p+a q．由于等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则：a1+a101=a2+a100=a3+a99=0．故选：C．5．（5分）在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【解答】解：∵b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB∵sinB≠0∴sinA=∴A=30°或150°故选：D．6．（5分）若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形【解答】解：∵三条线段的长为5、6、7，∴满足任意两边之和大于第三边，∴能构成三角形，可排除D；设此三角形最大角为A，∵52+62﹣72=25+36﹣49=12＞0，∴cosA＞0，∴能组成锐角三角形．故选：B．7．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+【解答】解：基本不等式的应用要把握三条：一正，二定，三相等，缺一不可．故选项A，x≠0不能满足一正；选项C，y=x+（x＞0）≥=4；选项D，当时取等号，此时x2=﹣1，矛盾；故只由选项B正确．故选：B．8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）A．192 B．300 C．252 D．360【解答】解：由等比数列的前n项和公式的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，∴=S3•（S9﹣S6），∴（60﹣12）2=12×（S9﹣60），解得S9=252．故选：C．9．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）若acosB+bcosA=csinC，S△ABCA．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC∴sinC=1，C=90°．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选：B．10．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．10【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故选：D．11．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（6，8），化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线为过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12．∴．则+=（）（）=．当且仅当a=b=时上式等号成立．故选：A．12．（5分）将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（）A．571 B．574 C．577 D．580【解答】解：设各行的首项组成数列{a n}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，a n﹣a n﹣1=3（n﹣1）叠加可得：a n﹣a1=3+6+…+3（n﹣1）=，∴a n=+1∴a20=+1=571∴数阵中第20行从左至右的第3个数是577．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）. 13．（5分）不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，﹣1），联立，解得C（2，1），又A（0，﹣1），∴|AB|=4，则．故答案为：2．14．（5分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=1．【解答】解：在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，所以，则|AC|=1．故答案为：1．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记M n=2a1a2…a n，求M n的最大值=64．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•（）=2=2，当n=3或4时，M n的最大值=2=64．故答案是：64．16．（5分）如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1，2，3，…），则第n个图形中边的个数a n=n2+5n+6．【解答】解：由已知中的图形我们可以得到：当n=1时，边共有12=3×4（条），n=2时，边共有20=4×5（条），n=3时，边共有30=5×6（条），n=4时，边共有42=6×7（条），…由此我们可以推断：第n个图形共有边（n+2）（n+3）=n2+5n+6条，故答案为：n2+5n+6．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式＞a+5的解集．【解答】解：（1）依题意可得：ax2+5x﹣2=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：+2=﹣，解得：a=﹣2；（2）将a=﹣2代入不等式得：＞3，即﹣3＞0，整理得：＞0，即（x+1）（x+2）＜0，可得或，解得：﹣2＜x＜﹣1，则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}．18．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，且sin（A）=（1）求sinA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．【解答】解：（1）∵A为锐角，，且sin（A）=，∴=，…（4分）∴=．（2），bc=60，b=10，∴c=6…（6分），sinA=，cosA=…（8分）由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，，∴=64，∴a=8…（12分）19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，=b n﹣1+b n，∴a n﹣1∴a n﹣a n=b n+1﹣b n﹣1．﹣1∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．20．（12分）如图，梯形ABCD中，AB．（1）若，求AC的长；（2）若BD=9，求△BCD的面积．【解答】解：（1）因为，所以∠ABC为钝角，且，，因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD=，在△ABC中，可得=，可得AC==8；（2）因为AB∥CD，所以∠BCD=180°﹣∠ABC，可得cos∠BCD=﹣cos∠ABC=，在△BCD中，，整理得CD2﹣4CD﹣45=0，解得CD=9，所以．21．（12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n构成等差数列如图所示．（1）求a n表达式；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？【解答】解：（1）如图，a 1=2，a2=4，∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，∴a n=a1+2（n﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，解得10﹣5＜n＜10+5，因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．即从第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，当且仅当n=5时，年平均收益最大．所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．22．（12分）若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）在等差数列中，设公差为d≠0，由题意，∴，解得．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）知，a n=2n﹣1．则b n===（﹣），所以T n=（1﹣+﹣+﹣+﹣）=（1﹣）=；﹣T n=﹣=＞0，（3）T n+1∴{T n}单调递增，∴T n≥T1=．∵T n=＜，∴≤T n＜＜T n＜对一切n∈N*恒成立，则≤﹣＜∴≤m＜∵m是自然数，∴m=2．四、填空题（共1小题，每小题0分，满分0分）23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为[﹣1，1]∪[5，+∞）．【解答】解：∵二次函数f （x ）≥0的解的区间是[﹣1，5]，∴f （x ）=0的根分别是﹣1，5，且二次项的系数＜0．∴不等式（1﹣x ）•f （x ）≥0⇔（x ﹣1）（x +1）（x ﹣5）≥0， 如图所示：上述不等式解集为[﹣1，1]∪[5，+∞）． 故答案为[﹣1，1]∪[5，+∞）．五、解答题（共1小题，满分0分）24．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N*，b n 是a n 和a n +1的等比中项． （Ⅰ）设，求证：{c n }是等差数列；（Ⅱ）设，求证：． 【解答】证明：（I ）∵b n 是a n 和a n +1的等比中项．∴=a n a n +1，∴c n =﹣=a n +1a n +2﹣a n a n +1=2da n +1．∴c n +1﹣c n =2da n +2﹣2da n +1=2d•d=2d 2， ∴{c n }是等差数列，公差为2d 2． （II ）T n =（﹣+）+（﹣）+…+（﹣+）=2d （a 2+a 4+…+a 2n ）=2d ×=2d 2n （n +1）．∴==＜．。
2016-2017年第一学期高二数学期中试题及答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
礼券额
20
40
60
80
100
120
100
80
60
40
20
方案3总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．
总点数
2
3
4567891011
12
礼券额
120
100
80
60
40
20
40
60
80
100
120
如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．
17.（10分）用秦九韶算法求多项式
当 时的值。
18.（12分）为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为 ，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多 少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？
（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
（3）据（2）的结果估计当房屋面积为 时的销售价格．
21.（12分）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；
(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
（2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3=6个，故P
安徽省蚌埠二中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(解析版)(理科)
2016-2017学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么实数a=（）A．B．C．D．62．圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=53．两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为（）A．B．C．1 D．4．过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．12条5．过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面7．已知p，q满足p+2q﹣1=0，则直线px+3y+q=0必过定点（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．12 C．D．89．若点P（m﹣2，n+1），Q（n，m﹣1）关于直线l对称，则l的方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=010．直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③12．已知圆，定直线l经过点A（1，0），若对任意的实数a，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d，求得此定值d等于（）A．B． C． D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．点M（3，﹣1）是圆x2+y2﹣4x+y﹣2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD1的中点，点F在AB上．若EF⊥平面AB1C，则线段EF的长度等于．15．直线l1与直线l2交于一点P，且l1的斜率为，l2的斜率为2k，直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则正实数k的所有可能的取值为．16．已知底面边长为a的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比为．三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）直线l0：y=x+1绕点P（3，1）逆时针旋转90°得到直线l，求直线l的方程．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）求异面直线MN与A1C所成角的余弦值；（2）求三棱锥A1﹣MNC的体积．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．20．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．（1）证明：面PQC⊥面DQC；（2）求面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，PD⊥面ABCD，QC⊥面ABCD，且AB=AD=PD=QC=CD，（1）设直线QB与平面PDB所成角为θ，求sinθ的值；（2）设M为AD的中点，在PD边上求一点N，使得MN∥面PBC，求的值．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3=0，直线l：y=kx，直线l与圆C交于A，B两点，点M的坐标为（0，m），且满足．（1）当m=1时，求k的值；（2）当时，求k的取值范围．2016-2017学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么实数a=（）A．B．C．D．6【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】通过两条直线的垂直，利用斜率乘积为﹣1，即可求解a的值．【解答】解：因为直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0互相垂直，所以﹣×3=﹣1，所以a=．故选A．【点评】本题考查直线的垂直条件的应用，斜率乘积为﹣1时必须直线的斜率存在．2．圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=5【考点】圆的标准方程．【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线x﹣3y﹣5=0对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果．【解答】解；由圆（x+2）2+y2=5可知，圆心（﹣2，0），半径r=．设点（﹣2，0）关于直线x﹣y+1=0对称的点为（x，y），则，解得．∴所求圆的圆心为（﹣1，﹣1）．又∵半径r=．∴圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=5．故选：D．【点评】本题考查点关于直线对称问题，圆的标准方程等知识，属于中档题．3．两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为（）A．B．C．1 D．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】先根据直线平行的性质求出k的值，后利用平行线的距离公式求解即可．【解答】解：∵直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0平行∴k=﹣8．∴直线kx+6y+2=0可化为4x﹣3y﹣1=0∴两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为d==1．故选C．【点评】本题主要考查直线平行的性质和平行线间的距离公式．属于基础题．4．过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．12条【考点】直线与平面平行的判定．【分析】由题意求平面DBB1D1平行的直线，画出图形然后进行判断．【解答】解：如图，过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条，故选D．【点评】此题是一道作图题，解题的关键是画出图形，然后数出来，是高考常考的选择题．5．过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据直线截距的意义即可得到结论．【解答】解：若直线过原点，则满足条件，此时设直线方程为y=kx，则4=﹣2k，解得k=﹣2，此时直线为y=﹣2x，若直线不经过原点，则设直线的截距式方程为，∵直线过点（﹣2，4，），∴，∵|a|=|b|，∴a=b或a=﹣b，若a=b，则方程等价为，解得a=b=2，此时直线方程为x+y=2，若a=﹣b，则方程等价为，解得b=6，a=﹣6，此时直线方程为x﹣y=﹣6，故满足条件的直线有3条，故选：C【点评】本题主要考查直线截距式方程的应用，注意要进行分类讨论．6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．7．已知p，q满足p+2q﹣1=0，则直线px+3y+q=0必过定点（）A．B．C．D．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【分析】消元整理可得x+3y+q（1﹣2x）=0，由直线系的知识解方程组可得．【解答】解：∵p，q满足p+2q﹣1=0，∴p=1﹣2q，代入直线方程px+3y+q=0可得（1﹣2q）x+3y+q=0，整理可得x+3y+q（1﹣2x）=0，解方程组可得，∴直线px+3y+q=0必过定点（，﹣）故选：C．【点评】本题考查直线系方程，涉及消元思想和方程组的解法，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．12 C．D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原图形如图，然后利用三角形面积公式求解．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，AB=BC=BE=DF=2，则△AEC与△AFC边AC上的高为，∴该几何体的表面积为S==．故选：A．【点评】本题考查空间几何体的三视图，由三视图还原原图形是关键，是中档题．9．若点P（m﹣2，n+1），Q（n，m﹣1）关于直线l对称，则l的方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=0【考点】点到直线的距离公式．【分析】由对称的特点，直线l经过PQ的中点，且l垂直于PQ，运用中点坐标公式和直线垂直的条件，再由点斜式方程，即可得到．【解答】解：由对称的特点，直线l经过PQ的中点（，），且PQ的斜率为=﹣1，则l的斜率为1，则直线l方程为：y﹣=x﹣，化简即得，x﹣y+1=0，故选A．【点评】本题考查点关于直线对称的求法，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于中档题．10．直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系，即可得出结论．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则|tanα|=||≥，∴α∈，故选D．【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查学生的计算能力，比较基础．11．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【考点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质．【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN=AB，设BN 与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H 共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故③不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．综上，①②④正确，③不正确，故选C．【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．12．已知圆，定直线l经过点A（1，0），若对任意的实数a，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d，求得此定值d等于（）A．B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，由题意可得圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，经过检验不符合条件．当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），圆心C到直线l的距离为定值，即可得出结论．【解答】解：圆C：即[x﹣（a﹣2）]2+（y﹣）2=16，表示以C（a﹣2，）为圆心，半径等于4的圆．∵直线l经过点（1，0），对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，圆心C到直线l的距离为|a﹣2﹣1|=|a﹣3|，不是定值．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．此时，圆心C到直线l的距离h=为定值，与a无关，故k=，h=，∴d=2=，故选：D【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．点M（3，﹣1）是圆x2+y2﹣4x+y﹣2=0内一点，过点M最长的弦所在的直线方程为x+2y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由M为已知圆内一点，可知过M最长的弦为过M点的直径，故过点M 最长的弦所在的直线方程为点M和圆心确定的直线方程，所以把圆的方程化为标准，找出圆心坐标，设出所求直线的方程，把M和求出的圆心坐标代入即可确定出直线的方程．【解答】解：把圆的方程x2+y2﹣4x+y﹣2=0化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+）2=6.25，所以圆心坐标为（2，﹣），又M（3，0），根据题意可知：过点M最长的弦为圆的直径，则所求直线为过圆心和M的直线，设为y=kx+b，把两点坐标代入得：解得：k=﹣，b=1，则过点M最长的弦所在的直线方程是y=﹣x+1，即x+2y﹣1=0．故答案为x+2y﹣1=0．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会将圆的方程化为标准方程，会利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出所求直线为过圆心和M 的直线是本题的突破点．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD1的中点，点F在AB上．若EF⊥平面AB1C，则线段EF的长度等于．【考点】直线与平面所成的角．【分析】如图所示，由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD1．可得AC⊥BD1，可得BD1⊥平面ACB1．由EF⊥平面AB1C，可得EF∥BD1，可得EF为△ABD1的中位线，即可得出．【解答】解：如图所示．由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD1．∴AC⊥BD1，同理可得BD1⊥AB1，又AC∩AB1=A，∴BD1⊥平面ACB1．又EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1，又点E为AD1的中点，∴点F为AB的中点，而AB，∴EF==×=．故答案为：．【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中点题．15．直线l1与直线l2交于一点P，且l1的斜率为，l2的斜率为2k，直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则正实数k的所有可能的取值为，．【考点】直线的斜率．【分析】设出直线的倾斜角，利用直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，判断斜率的符号，倾斜角是锐角，利用α=2β时，或β=2α时，分别求出直线的斜率的值．【解答】解：设直线l1与直线l2的倾斜角为α，β，因为k＞0，所以α，β均为锐角，由于直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1）α=2β时，tanα=tan2β，有，因为k＞0，解得；（2）β=2α时，tanβ=tan2α，有，因为k＞0，解得．故答案为：，．【点评】本题考查直线的斜率的求法以及直线的倾斜角的关系的应用，基本知识的考查．16．已知底面边长为a的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比为5：1．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意得两球心是重合的，设球O1的半径为R，球O2的半径为r，则正三棱柱的高为2r，且a=r，又（a）2+r2=R2，即可得出结论．【解答】解：由题意得两球心是重合的，设球O1的半径为R，球O2的半径为r，则正三棱柱的高为2r，且a=r，又（a）2+r2=R2，∴5r2=R2，∴球O1与球O2的表面积之比为5：1．故答案为5：1．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定半径的关系是关键．三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2016秋•蚌山区校级期中）直线l0：y=x+1绕点P（3，1）逆时针旋转90°得到直线l，求直线l的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式写出直线方程即可．【解答】解：直线l0：y=x+1的斜率是1，则直线l的斜率是﹣1．则y﹣1=﹣（x ﹣3），整理，得y+x﹣4=0．【点评】本题考查了直线方程问题，考查直线的垂直关系，是一道基础题．18．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）求异面直线MN与A1C所成角的余弦值；（2）求三棱锥A1﹣MNC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线MN与A1C所成角的余弦值．（2）求出平面MNC的法向量，进而求出点A1到平面MNC的距离，利用向量法求出△MNC的面积，由此能求出三棱锥A1﹣MNC的体积．【解答】解：（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角系，则B（），A1（0，0，2），C（0，2，0），B1（），C1（0，2，2），M（，，1），N（，，2），=（0，1，1），=（0，2，﹣2），=0+2﹣2=0，∴异面直线MN与A1C所成角的余弦值为0．（2）=（0，1，1），=（﹣，，﹣1），=（﹣，﹣，1），设平面MNC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，﹣1），点A1到平面MNC的距离d===．||=，||=2，cos＜＞===，∴sin＜＞==，∴=，∴三棱锥A1﹣MNC的体积V===．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．20．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．（1）证明：面PQC⊥面DQC；（2）求面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明面PQC⊥面DQC．（2）求出面PAB的法向量和平面DQC的法向量，利用向量法能求出面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设=1，则P（0，0，2），Q（1，0，1），C（0，1，0），D（0，0，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，1，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），设平面PQC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，1），设平面DQC的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，﹣1），∵=1+0﹣1=0，∴面PQC⊥面DQC．（2）A（1，0，0），B（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，1，﹣2），设面PAB的法向量=（x1，y1，z1），则，取z1=1，得=（2，0，1），平面DQC的法向量=（1，0，﹣1），设面PAB与面DQC所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ===．∴面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，PD⊥面ABCD，QC⊥面ABCD，且AB=AD=PD=QC=CD，（1）设直线QB与平面PDB所成角为θ，求sinθ的值；（2）设M为AD的中点，在PD边上求一点N，使得MN∥面PBC，求的值．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）由题意，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，设CD=2，求得D，P，B，Q的坐标，求出及平面PDB的一个法向量由与平面法向量所成角的余弦值的绝对值可得sinθ的值；（2）求出M的坐标，设N（0，0，y），且=λ（λ≥0），则由，得y=．可得N的坐标，再求出平面PBC的一个法向量，由与平面PBC的法向量的数量积为0求得λ值．【解答】解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，又ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，AB∥CD，∴AD⊥DC，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，∵AB=AD=PD=QC=CD，设CD=2，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），Q（0，2，1），，，．设平面PDB的一个法向量为，由，取y=1，得．∴sinθ=|cos＜＞|=||=；（2）∵M为AD的中点，∴M（，0，0），设N（0，0，y），且=λ（λ≥0），则由，得（0，0，y）=（0，0，λ﹣λy），∴y=．∴N（0，0，），则，设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），由，取x=1，得，由MN∥面PBC，得，解得，∴=．【点评】本题考查线面角，考查了直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．22．（12分）（2016秋•蚌山区校级期中）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3=0，直线l：y=kx，直线l与圆C交于A，B两点，点M的坐标为（0，m），且满足．（1）当m=1时，求k的值；（2）当时，求k的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】（1）当m=1时，点M（0，m）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足，把圆心坐标（1，2）代入直线l：y=kx，可得k的值；（2）把直线l的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及，求得=+m∈（，4），解此不等式求得k 的取值范围．【解答】解：（1）将圆C转化成标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，当m=1时，点M（0，1）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足，即MA⊥MB．∵圆心C的坐标为（1，2），∴k=2．（2）由，消去y得：（k2+1）x2﹣（4k+2）x+3=0，①设P（x1，y1）Q（x2，y2），∴x1+x2=，x1•x2=，∵，即（x1，y1﹣m）（x2，y2﹣m）=0，即x1•x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=0，∵y1=kx1，y2=kx2，∴（1+k2）x1•x2﹣km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）•﹣km•+m2=0，即=+m，∵。
上海市浦东新区2016-2017学年高二上学期期中数学试卷 含解析
2016—2017学年上海市浦东新区高二(上）期中数学试卷一、填空题1．4和10的等差中项是．2．等比数列｛a n}中，a1=2,公比q=3，则a5= ．3．向量=（4，﹣3），则与同向的单位向量= ．4．= ．5．在平面直角坐标系中，已知两点A(2，﹣1）和B （﹣1，5）,点P满足=2，则点P的坐标为．6．等比数列{a n｝中，a2=1，a4=4，则a6= ．7．S n是数列｛a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n﹣1+2（n ≥2，n∈N*)，则S8= ．8．已知等边三角形ABC的边长为1，则= ．9．已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为．10．在数列｛a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1,n ∈N＊，则a n= ．11．若等比数列｛a n｝的前n项和S n=（）n+a（n∈N*）,则数列{a n｝的各项和为．12．数列{a n}中，a n+1=，a1=2，则数列{a n}的前2015项的积等于．二、选做题13．=(1,2），=（k,4），若∥，则下列结论正确的是（）A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣214．已知等差数列{a n｝中，前n项和S n=n2﹣15n,则使S n有最小值的n是（)A．7 B．7或8 C．8 D．915．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N＊），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a416．下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c，则a，b,c成等差数列；②“a，b，c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”;③若数列{a n2}是等比数列，则数列｛a n}也是等比数列；④若||=｜｜，则=．A．3 B．2 C．1 D．0三、解答题17．在等差数列{a n}中，已知a1+a2=2,a2+a3=10,求通项公式a n及前n项和S n．18．已知|｜=2，||=3，且向量与的夹角为，求｜3﹣2｜．19．已知数列满足a1=1,a n+1=2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n+1}是等比数列;(2)求{a n｝的通项公式．20．已知=（m﹣2）+2，=+（m+1），其中、分别为x、y轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2）若(+)⊥（﹣），求实数m的值．21．已知各项为正的数列｛a n｝是等比数列，a1=2，a5=32，数列｛b n｝满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1)•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2)令f（n)=a2+a4+…+a2n，求的值；（3）求数列｛b n}通项公式,若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入b k(k∈N＊）后，得到一个新的数列{c n｝,求数列{c n｝的前100项之和T100．2016-2017学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．4和10的等差中项是7 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差中项的定义即可得出．【解答】解：4和10的等差中项==7，故答案为：7．2．等比数列｛a n}中，a1=2，公比q=3，则a5= 162 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接利用等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在等比数列｛a n}中，由a1=2，公比q=3，得a5=．故答案为：162．3．向量=（4，﹣3）,则与同向的单位向量= （，﹣）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】与向量同向的单位向量是【解答】解:∵向量=（4，﹣3），∴||==5，∴与同向的单位向量=(，﹣），故答案为：(，﹣）．4．= 2 ．【考点】极限及其运算．【分析】利用=，即可得出结论．【解答】解：==2，故答案为：2．5．在平面直角坐标系中，已知两点A（2，﹣1）和B （﹣1，5），点P满足=2，则点P的坐标为(0，3）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】市场P的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可．【解答】解:设P(a，b），点A(2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，可得（a﹣2，b+1）=2(﹣1﹣a，5﹣b），可得a﹣2=﹣2﹣2a，b+1=10﹣2b,解得a=0，b=3．点P的坐标为（0，3)．故答案为:（0，3）．6．等比数列{a n}中，a2=1,a4=4,则a6= 16 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】有已知求出q2,再由得答案．【解答】解：在等比数列{a n｝中，由a2=1，a4=4，得，∴．故答案为：16．7．S n是数列｛a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n﹣1+2（n ≥2,n∈N＊),则S8= 64 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），∴数列{a n｝是公差为2的等差数列，又a4=7，∴a1+3×2=7，解得a1=1．∴S8=8+=64．故答案为：64．8．已知等边三角形ABC的边长为1，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，等边三角形ABC的边长为1，可知两向量模已知,夹角已知,故易求【解答】解:由题意，等边三角形ABC的边长为1，∴=﹣=﹣1×1×cos60°=﹣故答案为﹣9．已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为﹣1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量投影的意义解答．【解答】解：由已知向量在向量上的投影为==﹣1;故答案为：﹣1．10．在数列{a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1,n∈N＊,则a n= ．【考点】数列递推式．【分析】由S n=n2+1，n∈N*，可得n=1时，a1=S1=2；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．【解答】解：∵S n=n2+1，n∈N＊,∴n=1时，a1=S1=2,n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+1﹣[（n﹣1）2+1］=2n﹣1，则a n=．故答案为：．11．若等比数列{a n}的前n项和S n=（）n+a（n∈N＊），则数列｛a n｝的各项和为﹣1 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由数列的前n项和求出首项和通项公式（n ≥2），把首项代入求a,得到等比数列的通项公式,求出公比，代入无穷递缩等比数列的所有项和的公式得答案．【解答】解：由，得，=（n≥2），∵数列{a n｝是等比数列，∴，得a=﹣1．∴，则,则数列｛a n}的各项和为．故答案为:﹣1．12．数列｛a n}中，a n+1=，a1=2，则数列{a n｝的前2015项的积等于 3 ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】通过计算出数列前几项的值，判断该数列为周期数列，进而可得结论．【解答】解：∵且a1=2，∴a2===﹣3,a3===﹣，a4===,a5===2,不难发现数列｛a n}是周期数列，四个为一周期且最前四个乘积为=1,∵2015=503×4+3，∴数列｛a n｝前2015项的积为：=3，故答案为:3．二、选做题13．=（1，2）,=(k，4）,若∥，则下列结论正确的是（)A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量平行的坐标关系解答即可．【解答】解：因为=（1，2），=（k，4），∥，所以4=2k，解得k=2；故选:B．14．已知等差数列｛a n}中，前n项和S n=n2﹣15n,则使S n有最小值的n是（）A．7 B．7或8 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】S n=n2﹣15n看作关于n的二次函数．结合二次函数的图象与性质可以求解．【解答】解:S n=n2﹣15n=（n﹣）2﹣，∴数列{S n｝的图象是分布在抛物线y=（x﹣）2﹣上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以x=为对称轴，且｜﹣7|=｜8﹣｜，所以当n=7,8时，S n有最小值．故选B．15．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N＊），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a4【考点】数学归纳法．【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解:用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：C．16．下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c,则a，b，c成等差数列；②“a,b,c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”；③若数列{a n2}是等比数列，则数列｛a n｝也是等比数列；④若|｜=｜|，则=．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】等比数列的通项公式;命题的真假判断与应用；等差数列的通项公式．【分析】由等差中项的概念判断①；由充分必要条件的判断方法判断②；举例说明③④错误;【解答】解：对于①，若2b=a+c，则b﹣a=c﹣b，即a，b,c成等差数列，故①正确;对于②，由b2=ac，不一定有a，b，c成等比数列，反之，若a，b,c成等比数列，则b2=ac，∴b2=ac是a，b,c成等比数列的必要不充分条件,故②错误;对于③，若数列｛a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列错误，如1，2,4成等比数列，但﹣1，﹣，2不是等比数列，故③错误；对于④,由,不一定有，如，故④错误．∴正确命题的个数是1个，故选：C．三、解答题17．在等差数列{a n}中,已知a1+a2=2,a2+a3=10，求通项公式a n及前n项和S n．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d,由a1+a2=2，a2+a3=10，可得2a1+d=2，2a1+3d=10，联立解得a1，d．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2=2，a2+a3=10，∴2a1+d=2，2a1+3d=10,联立解得a1=﹣1，d=4．∴通项公式a n=﹣1+4（n﹣1）=4n﹣5，前n项和S n==2n2﹣3n．18．已知｜｜=2，｜|=3，且向量与的夹角为,求｜3﹣2|．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出的数量积，然后利用向量的平方与其模的平方相等解答．【解答】解：｜3﹣2｜2==36+36﹣12×=36；|3﹣2|=6．19．已知数列满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n+1}是等比数列;（2）求｛a n｝的通项公式．【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1)给等式a n+1=2a n+1两边都加上1，右边提取2后，变形得到等于2，所以数列{a n+1｝是等比数列，得证；（2)设数列｛a n+1}的公比为2，根据首项为a1+1等于2，写出数列｛a n+1}的通项公式，变形后即可得到{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a n+1=2a n+1得a n+1+1=2（a n+1），又a n+1≠0，∴=2，即｛a n+1｝为等比数列；（2）由（1）知a n+1=（a1+1）q n﹣1,即a n=(a1+1）q n﹣1﹣1=2•2n﹣1﹣1=2n﹣1．20．已知=（m﹣2）+2，=+（m+1），其中、分别为x、y轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2)若（+）⊥（﹣),求实数m的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】由已知，将与坐标化，利用平面向量的坐标运算解答即可．（1）将m代入两个向量的坐标,进行数量积的坐标运算即可；(2）分别求出+，﹣的坐标，利用向量垂直数量积为0,求出m．【解答】解:因为、分别为x、y轴正方向单位向量,所以=（m﹣2，2）,=（1,m+1），所以（1）m=2时，=（0，2，），=（1，3）,与的夹角的余弦值，所以与的夹角为arccos;（2）+=(m﹣1，m+2），﹣=（m﹣3,1﹣m）,又（+）⊥（﹣),所以(m﹣1)（m﹣3)+（m+2）（1﹣m）=0，即﹣5m+5=0，解得m=1．21．已知各项为正的数列｛a n}是等比数列，a1=2,a5=32，数列｛b n｝满足：对于任意n∈N＊，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列｛a n}的通项公式；（2）令f(n）=a2+a4+…+a2n,求的值；（3）求数列{b n}通项公式，若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入b k（k∈N＊）后，得到一个新的数列｛c n｝，求数列{c n｝的前100项之和T100．【考点】数列的求和；数列递推式；数列的极限．【分析】（1利用q=,即可得出．（2）利用等比数列的求和公式可得f（n）=,f （n+1）=．再利用极限的运算法则即可得出．(3）由a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2,当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2)•2n+2，两式相减得：可得b n==n（n≥2），b1=1满足上式,可得b n=n．设S n表示数列{c n}的前n项之和，S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50)，即可得出．【解答】解：(1）∵a1=2，a5=32,∴q==2，∴a n=2n．（2）f（n）=a2+a4+…+a2n=22+24+…+22n==，f(n+1）=．∴===4．(3）∵a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2)•2n+2，两式相减得:a n b n=（n﹣1）•2n+1+2﹣(n﹣2）•2n+2=n•2n，即b n==n（n≥2)，又∵a1b1=2,即b1=1满足上式，∴b n=n；设S n表示数列｛c n｝的前n项之和，S100=（a1+a2+…+a50)+（b1+b2+…+b50）=2+22+…+250+1+2+…+50=+=251+1273．2016年11月14日。
衡水中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a,b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若以双曲线﹣=1(b＞0）的左、右焦点和点(1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．23．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是,则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．已知p：∀m∈R,x2﹣mx﹣1=0有解，q:∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）5．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是( ）A．（1，1） B．（）C．D．(2，4)6．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*,f（n)＞n C．∃n∈N*，f(n)＞n D．∀n∉N＊，f(n)＞n7．过抛物线y2=2px（p＞0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2）,则p等于（)A．B． C． D．8．已知椭圆(a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0）,左焦点为F,右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是（)A．B．C． D．9．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为（）A．B． C． D．10．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB"的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p:∀x∈R,则x2+x+1≥011．过抛物线y2=2px(p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF｜＞|BF|，且|AF｜=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1(a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C． D．二、填空题若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是…14．已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F,则双曲线的渐近线方程为．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．给出下列结论:动点M（x，y)分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M(x,y)的轨迹为曲线C,F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1)曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F1MF2=90°,则S=32；(3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4)设A（6,1)，则|MA｜+｜MF2｜的最小值为;其中正确命题的序号是：．三、解答题(本大题共6小题，共70分。
山东省菏泽市2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(b卷)(解析版)
2016-2017学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=12，则公差d等于（）A．B．C．2 D．32．a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若|a|≠b，则a2≠b23．在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=2acosC，则此三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形4．在等比数列{a n}中，已知a1=2，a3=6，那么a5等于（）A．8 B．10 C．18 D．365．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2﹣ab=a2+b2，则角C为（）A．30°B．60°C．120°D．150°6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中b为最大边，若sin2（A+C）＜sin2A+sin2C，则角B的取值范围是（）A．B．C．D．7．等比数列{a n}的公比为2，前3项的和是3，则前6项的和为（）A．9 B．18 C．27 D．368．某人向正西方向走x千米后，他向左转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好为千米，则x的值是（）A．3 B．C．2或3 D．或29．若函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+a+1对于a∈[﹣1，1]时恒有f（x）＜0，则实数x的取值范围是（）A．（1，2）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）10．已知公差d不为0的等差数列{a n}，前n项和是S n，若a2，a3，a7成等比数列，则（）A．a1a2＞0，dS3＞0 B．a1a2＜0，dS3＞0 C．a1a2＞0，dS3＜0 D．a1a2＜0，dS3＜0二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．在钝角△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=2，b=3，则最大边c的取值范围是．12．在数列{a n}中，a1=﹣，且a n=1﹣（n＞1），则a2016的值．13．一个三角形的三条边长分别为7，5，3，它的外接圆半径是．14．等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＜0，S2015＜0，S2016＞0．则n=时，S n取得最小值．15．给出下列命题：①△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＞b，则cosA＜cosB，cos2A＜cos2B；②a，b∈R，若a＞b，则a3＞b3；③若a＜b，则＜；④设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2016﹣S1=1，则S2017＞1．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=3，b=3，A=45°，求角B和边c．17．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣4n﹣5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．18．已知函数f（x）=3x2+m（m﹣6）x+5．（1）解关于m的不等式f（1）＞0；（2）若关于x的不等式f（x）＜n的解集为（﹣1，4），求实数m，n的值．19．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且csinB=bcosC．（1）求角C的大小；（2）若c=3，sinA=2sinB，求△ABC的面积S．△ABC20．已知等比数列{a n}是单调递增的数列，a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求S n．21．已知数列{a n}中各项都大于1，前n项和为S n，且满足a n2+3a n=6S n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．2016-2017学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=12，则公差d等于（）A．B．C．2 D．3【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a2=3，a5=12，∴12=3+3d，解得d=3．故选：D．2．a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若|a|≠b，则a2≠b2【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：A．取a=1，b=﹣2时，不成立；B．∵a＞|b|，则a2＞b2，成立．C．取a=1，b=﹣2时，不成立；D．取a=1，b=﹣1时，a2=b2，因此不成立．故选：B．3．在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=2acosC，则此三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】正弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵b=2acosC，∴b=2a×，化为：a=c．则此三角形为等腰三角形．故选：A．4．在等比数列{a n}中，已知a1=2，a3=6，那么a5等于（）A．8 B．10 C．18 D．36【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接由已知结合等比数列的性质求解．【解答】解：在等比数列{a n}中，∵a1=2，a3=6，∴．故选：C．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2﹣ab=a2+b2，则角C为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：△ABC中，c2﹣ab=a2+b2，∴﹣ab=a2+b2﹣c2，由余弦定理得cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=120°．故选：C．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中b为最大边，若sin2（A+C）＜sin2A+sin2C，则角B的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把不等式化为b2＜a2+c2，再根据余弦定理和b为三角形的最大边，即可求出B的取值范围．【解答】解：△ABC中，sin2（A+C）＜sin2A+sin2C，由正弦定理得：b2＜a2+c2，即a2+c2﹣b2＞0；由余弦定理得：cosB=＞0，∴B＜；又b为最大边，∴B＞；∴B的取值范围是（，）．故选：D．7．等比数列{a n}的公比为2，前3项的和是3，则前6项的和为（）A．9 B．18 C．27 D．36【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：a1（1+2+22）=3，可得a1=．∴前6项的和==27．故选：C．8．某人向正西方向走x千米后，他向左转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好为千米，则x的值是（）A．3 B．C．2或3 D．或2【考点】向量的三角形法则．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由题意在△OAB中，利用余弦定理可得：=32+x2﹣2×3x•cos30°，化为：x2﹣3x+6=0，解得x=2或．故选：C．9．若函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+a+1对于a∈[﹣1，1]时恒有f（x）＜0，则实数x的取值范围是（）A．（1，2）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】把原函数整理成关于a的一次函数，利用一次函数的单调性求得函数在[﹣1，1]上的最大值，令最大值小于0，可得x的范围．【解答】解：函数可整理为f（x）=（x2﹣x+1）a+1﹣x∵对于a∈[﹣1，1]时恒有f（x）＜0，∴（x2﹣x+1）a+1﹣x＜0恒成立．令g（a）=（x2﹣2x+1）a+1﹣x则函数g（a）在区间[﹣1，1]上的最大值小于0，∵g（a）为一次函数，且一次项系数x2﹣2x+1＞0，∴函数g（a）在区间[﹣1，1]上单调递增，∴g（a）max=g（1）=x2﹣2x+1+1﹣x=x2﹣3x+2＜0解得1＜x＜2故选：A10．已知公差d不为0的等差数列{a n}，前n项和是S n，若a2，a3，a7成等比数列，则（）A．a1a2＞0，dS3＞0 B．a1a2＜0，dS3＞0 C．a1a2＞0，dS3＜0 D．a1a2＜0，dS3＜0 【考点】等差数列的前n项和．【分析】a2，a3，a7成等比数列，可得=a2•a7，可得=（a1+d）（a1+6d），化为：3a1+2d=0，a1≠0．【解答】解：∵a2，a3，a7成等比数列，∴=a2•a7，∴=（a1+d）（a1+6d），d≠0．化为：3a1+2d=0，a1≠0．∴a1a2=a1（a1+d）=+=﹣＜0，dS3===d2＞0．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．在钝角△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=2，b=3，则最大边c的取值范围是（，5）．【考点】余弦定理．【分析】由a与b的值，利用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出c的取值范围，再由三角形ABC为钝角三角形，得到cosC小于0，利用余弦定理表示出cosC，把a与b的值代入，根据cosC小于0列出关于c的不等式，求出不等式的解集，取c范围的公共部分，即可得到最大边c的取值范围．【解答】解：∵a=2，b=3，∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5，又△ABC为钝角三角形，∴cosC＜0，∴根据余弦定理得cosC=＜0，即a2+b2﹣c2＜0，即c2＞22+32=13，解得：c＞，∴＜c＜5，则最大边c的取值范围是（，5）．故答案为：（，5）．12．在数列{a n}中，a1=﹣，且a n=1﹣（n＞1），则a2016的值．【考点】数列递推式．，利用周期性即可得出．【分析】由a1=，a n=1﹣，可得a n=a n+3【解答】解：由a1=﹣，且a n=1﹣（n＞1），得，，，…，∴a n=a n+3则a2016=a3=．故答案为：．13．一个三角形的三条边长分别为7，5，3，它的外接圆半径是．【考点】正弦定理．【分析】根据三角形的三条边长求出对应的余弦值，再根据正弦定理即可求出R的值．【解答】解：三角形的三条边长分别为7，5，3，所以边长为7所对角的余弦值是：cosθ==﹣；又θ∈（0，π），∴θ=；由正弦定理得2R==，所以该三角形外接圆的半径是R=．故答案为：．14．等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＜0，S2015＜0，S2016＞0．则n=1008时，S n 取得最小值．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由S2015=2015a1008＜0，S2016=1008（a1008+a1009）＞0．可得a1008＜0，a1009＞0．又a1＜0，可得等差数列的单调性，即可得出．【解答】解：∵S2015==2015a1008＜0，S2016==1008（a1008+a1009）＞0．∴a1008＜0，a1009＞0．又a1＜0，∴公差d＞0．∴n=1008时，S n取得最小值．故答案为：1008．15．给出下列命题：①△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＞b，则cosA＜cosB，cos2A＜cos2B；②a，b∈R，若a＞b，则a3＞b3；③若a＜b，则＜；④设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2016﹣S1=1，则S2017＞1．其中正确命题的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由正弦定理及同角三角函数的基本关系判断①；由不等式的性质判断②；举例说明③错误；由已知结合等差数列的通项公式及前n项和推出S2017＞1判断④．【解答】解：①，△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，利用同角三角函数的基本关系可得cosA＜cosB，由sinA＞sinB＞0，得sin2A＞sin2B，∴1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，则cos2A＜cos2B，故①正确；②，a，b∈R，若a＞b，由不等式的性质得a3＞b3，故②正确；③，取a=1，b=3，x=1，满足a＜b，＞，故③错误；④，等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2016﹣S1=1，则a2+a3+…+a2016=1，∴2015a1+（d+2d+…+2015d）=1，则，∴，即，则S2017=2017＞1，故④正确．∴正确命题的个数是①②④．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=3，b=3，A=45°，求角B和边c．【考点】解三角形．【分析】首先由正弦定理求得∠B，由余弦定理求得c．【解答】解：∵a=3，b=3，A=45°，∴，∴sinB=，∵b＞a，∴B=60°或120°，由余弦定理可得18=27+c2﹣6c×，∴c2﹣3c+9=0，∴c=．17．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣4n﹣5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；数列递推式．=2n﹣5，再检验当n=1时，a1【分析】（1）由S n=n2﹣4n﹣5，可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1是否适合上式，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由b n=|a n|=|2n﹣5|，分n=1、n=2、n≥3三类讨论，分别求得数列{b n}的前n项和T n，最后综合起来即可求．【解答】解：（1）∵S n=n2﹣4n﹣5，=n2﹣4n﹣5﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）﹣5]=2n﹣5，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1又当n=1时，a1=﹣8不适合上式，∴a n=．（2）∵b n=|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，当n=1时，b1=|a1|=8，T1=8；当n=2时，b2=|a2|=1，T2=8+1=9；∵n≥3时，a n=2n﹣5≥1＞0，∴b n=|a n|=a n=2n﹣5，∴T n=8+1+（1+3+…+2n﹣5）=9+=（n﹣2）2+9=n2﹣4n+13．综上，T n=．18．已知函数f（x）=3x2+m（m﹣6）x+5．（1）解关于m的不等式f（1）＞0；（2）若关于x的不等式f（x）＜n的解集为（﹣1，4），求实数m，n的值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）将x=1代入不等式，得到关于m的不等式，解出即可；（2）得到关于m，n的方程组，解出即可．【解答】解：（1）∵f（1）＞0，∴3+m（m﹣6）+5＞0，解得：m＞4或m＜2；（2）若关于x的不等式f（x）＜n的解集为（﹣1，4），则，解得：．19．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且csinB=bcosC．（1）求角C的大小；．（2）若c=3，sinA=2sinB，求△ABC的面积S△ABC【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（1）根据正弦定理转化csinB=bcosC，求出tanC的值即可得出C的值；（2）由正弦定理化简sinA=2sinB，再由c和cosC利用余弦定理得到关于a、b方程组，求出a、b的值，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，csinB=bcosC，∴sinCsinB=sinBcosC，∴tanC=，又C∈（0，π），∴C=；（2）由sinA=2sinB及正弦定理得：a=2b①，由c=3，C=及余弦定理得：a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=c2=9，即a2+b2﹣ab=9②，联立①②，解得a=2，b=，=absinC=×2×sin=．则△ABC的面积S△ABC20．已知等比数列{a n}是单调递增的数列，a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求S n．【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）由2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，求得a3=8，a2+a4=20，根据等比数列通项公式，即可求a1=2，q=2，求得数列{a n}的通项公式；（2）由b n=a n log2a n=n•2n，采用“错位相减法”即可求得数列{b n}的前n项和为S n．【解答】解：设等比数列{a n}的首项a1，公比为q，q＞0，依题意可得：2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，解得：a3=8，a2+a4=20，∴，解得：或，∵数列{a n}是单调递增的数列，∴a1=2，q=2，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ；（2）∵b n =a n log 2a n =n •2n ，∴S n =1×2+2×22+3×23+…+n •2n ，①2S n =1×22+2×23+3×24+…+n •2n +1，②①﹣②，得﹣S n =2+22+23+…+2n ﹣n •2n +1，=﹣n •2n +1，=2n +1﹣n •2n +1﹣2，=（1﹣n ）•2n +1﹣2，∴S n =（n ﹣1）•2n +1+2．21．已知数列{a n }中各项都大于1，前n 项和为S n ，且满足a n 2+3a n =6S n ﹣2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ； （3）求使得T n ＜对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由6S n =a n 2+3a n +2，当n ≥2时，6S n ﹣1=a n ﹣12+3a n ﹣1+2，a n 2﹣a n ﹣12=3a n +3a n ﹣1，即（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1）=3（a n +a n ﹣1），由a n +a n ﹣1≠0，a n ﹣a n ﹣1=3，当n=1时，a 1=2，根据等差数列的通项公式，即可求得数列{a n }的通项公式；（2）b n ===（﹣），利用“裂项法”即可求得数列{b n }的前n 项和T n ；（3）由题意可得T n =（﹣）＜×=，即≥，即可求得对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ．【解答】解：（1）由a n 2+3a n =6S n ﹣2，即6S n =a n 2+3a n +2，当n ≥2时，6S n ﹣1=a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减得：6a n =a n 2﹣a n ﹣12+3a n ﹣3a n ﹣1，整理得：a n 2﹣a n ﹣12=3a n +3a n ﹣1， 即（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1）=3（a n +a n ﹣1），∵数列{a n }中各项都大于1，∴a n +a n ﹣1≠0，∴a n ﹣a n ﹣1=3，当n=1时，a 12+3a 1=6S 1﹣2．解得：a 1=2，∴数列{a n }是以2为首项，以3为公差的等差数列，∴a n =2+3（n ﹣1）=3n ﹣1，∴数列{a n }的通项公式a n =3n ﹣1；（2）b n ===（﹣），数列{b n }的前n 项和T n ，T n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（﹣+﹣+…+﹣），=（﹣），=，T n=，（3）T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m，T n=（﹣）＜×=，即≥，即m≥6∴所有n∈N*对所有n∈N*都成立的最小正整数m=6．2016年11月27日。
2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期中试卷数学（文科）一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x=0，l 为过点P （3，0）的直线，则（ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能2．圆x 2+y 2﹣4x=0在点P （1，）处的切线方程为（ ）A ．x+y ﹣2=0B ．x+y ﹣4=0C ．x ﹣y+4=0D ．x ﹣y+2=03．直线x+﹣2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于（ ）A ．2B ．2C ．D ．14．已知点A （2，3），B （﹣3，﹣2）．若直线l 过点P （1，1）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．k ≥2或D ．k ≤25．已知双曲线C ：的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．B ．C ．3D ．57．如图F 1、F 2是椭圆C 1：+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．8．过点（）引直线l 与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．设F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）10．已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣2y ﹣3=0，过点P （﹣1，2）的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB|最小，则直线l 的方程是______．11．过直线x+y ﹣2=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是______．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为______．13．椭圆Γ： =1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于______．14．在平面直角坐标系xOy ，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为．过F l 的直线交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为______．15．已知过抛物线y 2=9x 的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 的倾斜角为______．三、解答题（共4小题，满分40分）16．如图，圆x 2+y 2=8内有一点P （﹣1，2），AB 为过点P 且倾斜角为α的弦，（1）当α=135°时，求|AB|（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．（3）求过点P 的弦的中点的轨迹方程．17．椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e=，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AB 的斜率为，求△ABF 2的面积．18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若=2，求直线l的方程．19．已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．2016-2017学年高二上学期期中试卷数学（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．2．圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=0【考点】圆的切线方程．【分析】本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．【解答】解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选D3．直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2 B．2 C．D．1【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=由直线与圆相交的性质可知，即∴故选B4．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或 D．k≤2【考点】直线的斜率．【分析】首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选C．5．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b 的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25， =1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．6．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A．B． C．3 D．5【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合∴4+b2=9∴b2=5∴双曲线的一条渐近线方程为，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选A．7．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】不妨设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，依题意，解此方程组可求得x ，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C 2的离心率．【解答】解：设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，∵点A 为椭圆C 1：+y 2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF 1|+|AF 2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF 1BF 2为矩形，∴+=，即x 2+y 2=（2c ）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C 2的实轴长为2m ，焦距为2n ，则2m=|AF 2|﹣|AF 1|=y ﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C 2的离心率e===． 故选D ．8．过点（）引直线l 与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【分析】由题意可知曲线为单位圆在x 轴上方部分（含与x 轴的交点），由此可得到过C 点的直线与曲线相交时k 的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．【解答】解：由y=，得x 2+y 2=1（y ≥0）． 所以曲线y=表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则﹣1＜k ＜0，直线l 的方程为y ﹣0=，即．则原点O 到l 的距离d=，l 被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S △ABO 有最大值为．此时由，解得k=﹣． 故答案为B ．9．设F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF 2|=|F 2F 1|，根据P 为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF 2|=|F 2F 1|∵P 为直线x=上一点∴∴故选C ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）10．已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣2y ﹣3=0，过点P （﹣1，2）的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB|最小，则直线l 的方程是 x ﹣y+3=0 ．【考点】直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．【分析】先判断点P （﹣1，2）在圆内，故当AB ⊥CP 时，|AB|最小，此时，k CP =﹣1，k l =1，用点斜式写直线l 的方程，并化为一般式．【解答】解：圆C 的方程为x 2+y 2﹣2y ﹣3=0，即 x 2+（y ﹣1）2=4，表示圆心在C （0，1），半径等于2的圆．点P （﹣1，2）到圆心的距离等于，小于半径，故点P （﹣1，2）在圆内．∴当AB ⊥CP 时，|AB|最小，此时，k CP =﹣1，k l =1，用点斜式写直线l 的方程y ﹣2=x+1，即x ﹣y+3=0．11．过直线x+y ﹣2=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是 （，） ． 【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题． 【分析】根据题意画出相应的图形，设P 的坐标为（a ，b ），由PA 与PB 为圆的两条切线，根据切线的性质得到OA 与AP 垂直，OB 与BP 垂直，再由切线长定理得到PO 为角平分线，根据两切线的夹角为60°，求出∠APO 和∠BPO 都为30°，在直角三角形APO 中，由半径AO 的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OP 的长，由P 和O 的坐标，利用两点间的距离公式列出关于a 与b 的方程，记作①，再由P 在直线x+y ﹣2=0上，将P 的坐标代入得到关于a 与b 的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a 与b 的值，进而确定出P 的坐标．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：直线PA 和PB 为过点P 的两条切线，且∠APB=60°，设P 的坐标为（a ，b ），连接OP ，OA ，OB ，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，PO 平分∠APB ，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，又圆x 2+y 2=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，∴OA=OB=1，∴OP=2AO=2BO=2，∴=2，即a 2+b 2=4①，又P 在直线x+y ﹣2=0上，∴a+b ﹣2=0，即a+b=2②，联立①②解得：a=b=，则P 的坐标为（，）．故答案为：（，）12．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C 的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．13．椭圆Γ： =1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，可得，进而．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a ，c 即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tan α，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，∴，∴．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．14．在平面直角坐标系xOy ，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为．过F l 的直线交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 +=1 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】根据题意，△ABF 2的周长为16，即BF 2+AF 2+BF 1+AF 1=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a 的值；又由椭圆的离心率，可得c 的值，进而可得b 的值；由椭圆的焦点在x 轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF 2的周长为16，即BF 2+AF 2+BF 1+AF 1=16；根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；椭圆的离心率为，即=，则a=c ，将a=c ，代入可得，c=2，则b 2=a 2﹣c 2=8；则椭圆的方程为+=1；故答案为：+=1．15．已知过抛物线y 2=9x 的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 的倾斜角为或 ．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】首先根据抛物线方程，求得焦点坐标为F （，0），从而设所求直线方程为y=k （x ﹣）．再将所得方程与抛物线y 2=9x 消去y ，利用韦达定理求出x 1+x 2，最后结合直线过抛物线y 2=9x 焦点截得弦长为12，得到x 1+x 2+3=12，求出k ，得到直线的倾斜角．【解答】解：∵抛物线方程是y 2=9x ，∴2p=9，可得 =，焦点坐标为F （，0）设所求直线方程为y=k （x ﹣），与抛物线y 2=9x 消去y ，得k 2x 2﹣（k 2+9）x+k 2=0设直线交抛物线与A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系，得x 1+x 2=， ∵直线过抛物线y 2=9x 焦点，交抛物线得弦长为12，∴x 1+x 2+=12，可得x 1+x 2=，因此， =，解之得k2=3，∴k=tanα=±，结合α∈[0，π），可得α=或．故答案为：或．三、解答题（共4小题，满分40分）16．如图，圆x2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦，（1）当α=135°时，求|AB|（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．（3）求过点P的弦的中点的轨迹方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）过点O做OG⊥AB于G，连接OA，依题意可知直线AB的斜率，求得AB的方程，利用点到直线的距离求得OG即圆的半径，进而求得OA的长，则OB可求得．（2）弦AB被P平分时，OP⊥AB，则OP的斜率可知，利用点斜式求得AB的方程．（3）设出AB的中点的坐标，依据题意联立方程组，消去k求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．【解答】解：（1）过点O做OG⊥AB于G，连接OA，当α=1350时，直线AB的斜率为﹣1，故直线AB的方程x+y﹣1=0，∴OG=∵r=∴，∴=﹣2，（2）当弦AB被P平分时，OP⊥AB，此时KOP∴AB的点斜式方程为（x+1），即x﹣2y+5=0（3）设AB的中点为M（x，y），AB的斜率为K，OM⊥AB，则消去K，得x2+y2﹣2y+x=0，当AB的斜率K不存在时也成立，故过点P的弦的中点的轨迹方程为x2+y2﹣2y+x=017．椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e=，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AB 的斜率为，求△ABF 2的面积．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及△ABF 2的周长为8，求出a ，c ，b ，即可得到椭圆的方程，（2）求出直线方程与椭圆方程联立，求出A ，B 坐标，然后求解三角形的面积即可．【解答】解：（1）由题意知，4a=8，所以a=2，又e=，可得=，c=1．∴b 2=22﹣1=3．从而椭圆的方程为：．（2）设直线方程为：y=（x+1）由得：5x 2+8x=0．解得：x 1=0，x 2=， 所以y 1=，y 2=，则S=c|y 1﹣y 2|=．18．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若=2，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的焦距为2，离心率为，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l 方程为y=kx+1，代入椭圆方程，由=2，得x 1=﹣2x 2，利用韦达定理，化简求出k ，即可求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，c=1， =，…∴a=2，b= … 故椭圆方程为． …（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当k 不存在时，直线方程为x=0，不符合题意． …当k 存在时，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消去y ，得：（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0，且△＞0，…x 1+x 2=﹣①，x 1x 2=﹣②…若=2，则x 1=﹣2x 2，③… ①②③，可得k=±．…所求直线方程为y=x+1．即x ﹣2y+2=0或x+2y ﹣2=0 …19．已知点F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点P 是准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于A ，B 两点，若点P 的纵坐标为m （m ≠0），点D 为准线l 与x 轴的交点．（Ⅰ）求直线PF 的方程；（Ⅱ）求△DAB 的面积S 范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．【考点】直线的一般式方程；抛物线的应用．【分析】（Ⅰ）由题知点P ，F 的坐标分别为（﹣1，m ），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程． （Ⅱ）设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），用弦长公式求出线段AB 的长，再由点到直线的距离公式求点D 到直线AB 的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m 的表达式，再根据m 的取值范围求出面积的范围．（Ⅲ），，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A ，B 的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题知点P ，F 的坐标分别为（﹣1，m ），（1，0），于是直线PF 的斜率为，所以直线PF 的方程为，即为mx+2y ﹣m=0．（Ⅱ）设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由得m 2x 2﹣（2m 2+16）x+m 2=0，所以，x 1x 2=1．于是．点D 到直线mx+2y ﹣m=0的距离，所以． 因为m ∈R 且m ≠0，于是S ＞4，所以△DAB 的面积S 范围是（4，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x 1，﹣y 1）=λ（x 2﹣1，y 2），（﹣1﹣x 1，m ﹣y 1）=μ（x 2+1，y 2﹣m ），于是，（x 2≠±1）．所以． 所以λ+μ为定值0．。
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2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，共70分）1．命题“∃x∈R，cosx≥﹣1”的否定是∀x∈R，cosx＜﹣1．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，cosx＜﹣1，故答案为：∀x∈R，cosx＜﹣1．2．双曲线的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线方程为=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程为=0，即．故答案为．3．若f（x）=1﹣cosx，则f'（α）等于sinα．【考点】导数的运算．【分析】运用余弦函数的导数，计算即可得到．【解答】解：f（x）=1﹣cosx的导数为f′（x）=sinx，则f'（α）=sinα．故答案为：sinα．4．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值是5．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律，确定函数在区间[0，3]上最大值的位置，求值即可．【解答】解：由题意y′=6x2﹣6x﹣12令y′＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）单调递减，在（2，3）上单调递增，因为f（0）=﹣12，f（2）=﹣15，f（3）=5故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值是5，故答案为：5．5．抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）6．P在曲线上移动，在点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是k≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由二次函数的值域求法即可得到．【解答】解：设切点P（x0，y0），在此点的切线的斜率为k．∵，∴f′（x）=3x2+1，∴f′（x0）=3x02+1，（x0∈R）．∴斜率k=3x02+1≥1，故答案为：k≥1．7．“m=3”是“椭圆的焦距为2”的充分不必要条件．（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆的性质求出即可．【解答】解：若m=3，则c2=4﹣3=1，c=1，2c=2，椭圆的焦距是2，是充分条件，若椭圆的焦距是2，则c=1，故m﹣4=1或4﹣m=1，解得：m=5或m=3，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．8．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是{a|a＜﹣1或a＞2}．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}9．若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y，最后利用两点的距离公式解之即可．【解答】解：设A点坐标为（x，y），根据抛物线定义可知x+1=4，解得x=3，代入抛物线方程求得y=±2，∴A点坐标为：（3，±2），∴A到坐标原点的距离为=．故答案为：．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据题意构造函数y=f（x）﹣g（x），利用导数求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），则y′=2x﹣=，令y′=0得，x=或x=舍去，所以当时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：=，则所求t的值为，故答案为：．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则双曲线C离心率的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3b2＜a2，∴c2=a2+b2＜a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜．故答案为：12．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣e x有解，转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′（x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2）13．已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的离心率e====，求得a=2b，椭圆方程为：，整理得：=﹣，则tanα=，tanβ=，tanα•tanβ=•==﹣，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根，x=，则tanα=，即可求得直线PA 的斜率．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），椭圆的离心率e====，整理得：a=2b，∴椭圆方程为：，∴y2=，则=﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，∴k PA=tanα=，k PB=tanβ=，∴tanα•tanβ=•==﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，∴tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根，解得：x=，∴直线PA的斜率k PA=tanα=，故答案为：．14．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，]．【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t ＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．二、解答题（共90分）15．根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：（1）与椭圆有公共焦点，且过M（3，﹣2）；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的标准方程；（2）利用待定系数法，求出椭圆的标准方程．【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（，0），∵椭圆过M（3，﹣2），∴2a=+=2，∴a=，b=，∴椭圆的标准方程为；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）．∵椭圆经过两点和，∴，∴m=，n=，∴椭圆的标准方程为．16．已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当p为真命题时，f′（x）＜0恒成立，可得m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，进而得到答案．【解答】解：（1）∵∴，当x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，当p为真命题时，，解得：0≤m≤2…（2）若q为真命题，则：5﹣m＞m﹣1＞0，解得：1＜m＜3…若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，故，或解得：0≤m≤1或2＜m＜3…17．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）求曲线f（x）过点（1，0）的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导f（x）导数，可得极值点，导数大于0可得增区间；导数小于0可得减区间；进而得到极值；（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率，切线方程，代入（1，0），解方程可得切点，进而得到所求切线方程．【解答】解：（1）f'（x）=3（x2﹣2），令f'（x）=0，得，∴当或时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间是和，单调递减区间是；当x=﹣，f（x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值5﹣4；（2）设切点为（m，n），则切线的斜率为3（m2﹣2），切线的方程为y﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（x﹣m），代入（1，0），可得﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（1﹣m），化为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或m=﹣，则斜率为﹣3或﹣，可得切线的方程为y=﹣3x+3或y=﹣x+．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若∠FPA为直角，求P点坐标；（3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=5，即可求得椭圆C的标准方程；（2）由∠FPA为直角，以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，±），求得圆心为O（，0）及半径为，根据点到直线的距离公式，即可求得a的值，代入求得y的值，即可求得P 点坐标；（3）设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），点M，由点F、P、M三点共线，求得点M的坐标，．，则．由此可导出k1•k2的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：离心率e==，准线方程x==，解得：a=3，c=2，由b2=a2﹣c2=5，∴求椭圆C的标准方程为；…（2）由∠FPA为直角，∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，±），∴圆心为O（，0），半径为，∴丨PO丨=，即=，整理得：4x2﹣9x﹣9=0，解得：x=﹣或x=3（舍去），∴y=±=±，∴P点坐标为：…（3）设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），点，∵点F，P，M共线，x1≠﹣2，∴，即，∴，…∵，∴，…又∵点P在椭圆C上，∴，∴，…∵﹣2＜x1＜3，∴，故k1•k2的取值范围为…19．已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；（2）设A，B的坐标，利用点差法确定k1的值；（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k1+k2=1探究直线过哪个定点．【解答】（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）∴2a=EF+EF′=，b2=a2﹣c2=2∴所求椭圆方程为；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②②﹣①，可得k1==﹣=﹣；（3）证明：由题意，k1≠k2，设M（x M，y M），直线AB的方程为y﹣1=k1（x﹣1），即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得（）x2+6k1k2x+=0∴，同理，，当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==直线MN的方程为y﹣=（x﹣）即此时直线过定点（0，﹣）当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，﹣）综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，﹣）．20．已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u （t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，∴．当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，设h（x）=，则，当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+，要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是[，2]．（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1则＞0，∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．2016年12月20日。
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案
北仑中学2016学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（除高二4班以外的其它所有班级） 命题：贺幼龙 审题：莫芬利一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中.1．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 （ ▲ ）第1题图2．若将圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积 （ ▲ ）A ．扩大到原来的2倍B ．缩小到原来的一半C ．不变D ．缩小到原来的163．若,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则以下命题正确的是 （ ▲ ） A ．若α//m ，α⊂n ，则n m // B ．若m =βα ，n m ⊥，则α⊥nC ．若α//m ，α//n ，则n m //D ．若α//m ，β⊂m ，n =βα ，则n m //第4题图 第5题图4．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 （ ▲ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°A BC D5．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ▲ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π- D ．84π-6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （ ▲ ）A ．2＋2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 27．下列四个命题中正确的命题有 （ ▲ ） ①过空间任何一点P 可以作无数条直线与已知的异面直线b a ,都相交； ②三个平面两两相交，有三条交线，则此三条交线或交于一点，或互相平行；③直线a α⊥平面，直线b β⊥平面，则直线b a ,所成角与平面βα,所成角相等或互补； ④αβ⊥平面平面，,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则β⊥m 或α⊥n .A.1个B.2个C.3个D.4个8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点A 在平面α内，点E 是底面ABCD 的中心.若1C E ⊥平面α，则1C AB ∆在平面α内的射影的面积为 （ ▲ ）ABCD第8题图 第11题图 第12题图二、填空题:本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.将正确答案填在答题卷的横线上.9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则其表面积为 ▲ ，其内切球的体积为 ▲ . 10．将一个边长分别是2 cm 和3 cm ，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其3 cm 边上的高所在直线旋转一周形成的简单几何体是 ▲ ，其体积为 ▲ cm 3.11．如图，P 是正方形ABCD 外一点，且PA ABCD ⊥平面，则此几何体的5个面中互相垂直的面有 ▲ 对;若PA AB =，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为 ▲ .1C 1A 1D 1B CDABαE12．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体体积为 ▲ ，表面积为 ▲ .第13题图 第15题图13．如图，已知正三棱锥A —BCD 侧面的顶角为45°，侧棱长为a ，动点E 在侧棱AC 上运动，则线段BE 、ED 长度和的最小值为 ▲ .14,a b ,则a,b 所满足的等量关系式是 ▲ .15．如图，已知平面⊥α平面β，、A B 是平面α与β的交线上的两个定点，β⊂DA ，β⊂CB ，且6,8,4,,===⊥⊥AB BC AD CB DA αα，在平面α上有一个动点P ，使得BPC APD ∠=∠，则PAB ∆的面积的最大值为 ▲ ．三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16．（本题满分14的正四棱锥P －ABCD 中，侧棱与底面所成角的大小为60°． (1)求侧棱的长度；(2)求正四棱锥P －ABCD 的外接球的表面积.第16题图 第17题图17.（本题满分15分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1=1,∠ABC＝PDCBABCDAE90°. 点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点. (1)求三棱锥B -AFC 的体积； (2)求异面直线EF 和BC 1所成的角.18．（本题满分15分）如图1，平面四边形 ABCD 关于直线AC 对称，2=CD ,60,90,A C ︒︒∠=∠=把ABD ∆沿BD 折 起(如图2)使二面角C BD A --的余弦值 为33.对于图2 (1)求AC 的长;(2)证明：⊥AC 平面BCD ;(3)求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值.第18题图19．（本题满分15分）如图，两矩形ABCD ，ABEF 所在平面互相垂直，DE 与平面ABCD 及平面ABEF 所成角分别为0030,45，N M ,分别为DB DE 、的中点，且1=MN . (1)求证：⊥MN 平面ABCD ； (2)求二面角B DE A --的正弦值.第19题图 第20题图20．（本题满分15分）如图，矩形ABCD 所在的半平面和直角梯形CDEF 所在的半平面 成60的二面角，.45,6,23,2,,// =∠===⊥CFE CF EF AD DE CD CF DE (1)求证：BF ∥平面ADE ；A CDB图1CABD图2FACB ED(2)试问在线段CF 上是否存在一点G ，使锐二面角D EG B --的余弦值为41.若存在，请求出CG 的值；若不存在，请说明理由.北仑中学2016学年第一学期高二年级期中考试数学参考答案（除高二4班以外的其它所有班级）一.选择题二.填空题9._____6______ ___6π____ 10.__圆台_____ ___3319π__ 11.______5_____ ____22___ 12.___ 31____ ____32+__13. 14. 822=+b a15. 12三.解答题16.(本题满分14分) （1）2 （2）316π17. (本题满分15分)PDCBA（1）1/12（2）318.(本题满分15分)解：（Ⅰ）取的中点，连接，由，得：就是二面角的平面角，在中，（Ⅱ）由，，又平面（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面∴平面平面平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角方法二：设点到平面的距离为，∵于是与平面所成角的正弦为．19. (本题满分15分)（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB ⊥AB，∴EB⊥平面ABCD，又MN∥EB，∴MN⊥面ABCD．（2）解：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH，∵AD⊥平面ABEF，BO面ABEF，∴BO⊥平面ADE，∴OH为BH在平面ADE内的射影，∴BH⊥DE，即∠BHO为所求二面角的平面角，在Rt△ABE中，BO=，在Rt△DBE中，由BH·DE=DB·OE得BH=，∴sin∠BHO= .MOGFACBEDHOH20. (本题满分15分)证明：（1）∵在矩形ABCD 中BC ∥AD ， AD ⊂平面ADE BC ⊄平面ADE ， ∴BC ∥平面ADE ， 同理CF ∥平面ADE ， 又∵BC∩CF=C ， ∴平面BCF ∥平面ADE ， 而BF ⊂平面BCF ， ∴BF ∥平面ADE ． （2）∵CD ⊥AD ，CD ⊥DE∴∠ADE 即为二面角A-CD-F 的平面角， ∴∠ADE=60° 又∵AD∩DE=D ， ∴CD ⊥平面ADE ， 又∵CD ⊂平面CDEF ∴平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO ⊥DE 于O ，则AO ⊥平面CDEF ．过O 作EH OH ⊥于H,连接BH,易得BHO ∠是锐二面角D EG B --的平面角 因为3=BO ，易求得55=OH 取CF 中点M,易知OHG ∆与EMG ∆相似，设x OG =（x>0），则EGEMOG OH =，即2)2(9355x x -+=，解得21=x 或2213-=x （舍）因此存在符合题意的点G,使得CG=23.。
湖北省武汉市江岸区2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版).doc
2016-2017学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，B={x||x+2|≤3}，则A∩B=（）A．{x|﹣5≤x＜﹣1} B．{x|﹣5≤x＜5} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|1≤x＜5}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：（x+1）（x﹣6）＜0，解得：﹣1＜x＜6，即A={x|﹣1＜x＜6}，由B中的不等式解得：﹣5≤x≤1，即B={x|﹣5≤x≤1}；则A∩B={x|﹣1＜x≤1}故选：C．2．已知复数为实数，则实数m的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化简，然后由虚部等于0求解m的值．【解答】解：由=，∵复数为实数，∴，解得m=﹣．故选D．3．“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由充要条件的定义和对数的运算，以及等差数列的知识可得．【解答】解：由lgx，lgy，lgz成等差数列可得2lgy=lgx+lgz，故可得lgy2=lgxz，故可得y2=xz；而由y2=xz不能推出lgx，lgy，lgz成等差数列，比如当x和z均为负数时，对数无意义．故“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的充分不必要条件．故选：A4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱，底面直径为2，高为1，上面是圆锥，母线为2的简单组合体．【解答】解：由三视图知，该几何体为圆柱上面加上一个圆锥，圆柱底面直径为2，高为1，圆锥母线为2，高为，所以体积为=π+π．故选D．5．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A．0 B．1 C．4 D．6【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（1，﹣1），此时z=1×2﹣1=1，故选：B6．执行如图的程序框图，若输入的i=1，那么输出的n=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，i=2，m=1，n=；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，i=3，m=2，n=；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环后，i=4，m=3，n=；当i=4时，不满足进行循环的条件，故输出的n值为；故选：C．7．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，分别求出对应区间[15，20）和[25，30）上的频率即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，对应区间[15，20）和[25，30）上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选：D．8．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则ω的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由题意利用正弦函数的单调性，可得，由此求得ω的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在[﹣，]上是增函数，∴，求得ω≤，则ω的最大值为，故选：C．9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|=|PF|，则△PMF的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】如图所示，F（2，0），过点P作PN⊥l，垂足为N．由|PM|=|PF|，|PF|=|PN|，可得|PM|=|PN|，设P，则±t=+2，基础即可得出．【解答】解：如图所示，F（2，0），过点P作PN⊥l，垂足为N．∵|PM|=|PF|，|PF|=|PN|，∴|PM|=|PN|，设P，则±t=+2，解得t=±4．∴△PMF的面积===8．故选；B．10．已知函数f（x）=x3﹣3x2+1，g（x）=则函数h（x）=g（f（x））﹣a（a为正常数）的零点个数最多为（）A．2 B．4 C．9 D．8【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令t=f（x），则g（t）=a，解得t的值，求函数f（x）的导数f′（x），判断函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：令t=f（x），则g（t）=a，当t＞0时，由g（t）=a，得，即4t2﹣4t+5﹣a=0，即（2t﹣1）2=a﹣4，①当t≤0，由g（t）=a，得﹣t2﹣6t﹣8=a，即（t+3）2=a﹣1，即t=﹣3，②若0＜a＜1，①无解，②无解；若a=1，①无解，由②得t=﹣3；若1＜a＜4，①无解，由②得t=﹣3；若a=4，由①得t=，由②得t=﹣3；若4＜a＜5，由①得t=，由②得t=﹣3；若a=5，由①得t=1，由②得t=﹣1，t=﹣5；若5＜a≤10，由①得t=，由②得t=﹣3；若a＞10，由①得t=，由②得t=﹣3﹣．函数f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），由f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，此时函数单调递减，即当x=0时，函数取得极大值f（0）=1，当x=2时，函数取得极小值f（2）=﹣3，则当4＜a＜5时，此时t=或t=﹣3+∈（﹣3，1），函数h（x）=g（f（x））﹣a（a为正常数）的零点个数最多为9个．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．观察下列等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=．【考点】归纳推理．【分析】由已知中的等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，我们易得到等式左边是从一开始的奇数平方和减偶数平方和，右边式子的绝对值是一等差数列的前n项和，由此不难归纳出答案．【解答】解：由已知中等式：12=1=，12﹣22=﹣3=，12﹣22+32=6=，12﹣22+32﹣42=﹣10=，…由此我们可以推论出一个一般的结论：对于n∈N*，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=故答案为：12．利用计算机产生0﹣1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】求满足事件“3a﹣1＜0”发生的a的范围，利用数集的长度比求概率．【解答】解：由3a﹣1＜0得：a＜，数集（0，）的长度为，数集（0，1）的长度为1，∴事件“3a﹣1＜0”发生的概率为；故答案为：．13．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．【解答】解：向量，在向量方向上的投影相同，∴=•，∵A（a，1），B（2，b），C（3，4），∴3a+4=6+4b，∴3a﹣4b=2，故答案为：2．14．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面积S=4πR2=．故答案为：．15．已知两点M（﹣5，0）、N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“和谐直线”，给出下列直线：①y=x﹣1；②y=﹣x；③y=x；④y=2x+1．其中为“和谐直线”的是①②．（填全部正确答案的序号）【考点】直线的一般式方程．【分析】根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出双曲线的方程为﹣=1．再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有①②的直线上存在点P满足“和谐直线”的条件，由此可得答案．【解答】解：∵点M（﹣5，0），N（5，0），点P使|PM|﹣|PN|=6，∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线可得b2=c2﹣a2=52﹣32=16，双曲线的方程为﹣=1．∵双曲线的渐近线方程为y=±x∴直线y=x与双曲线没有公共点，直线y=2x+1经过点（0，1）斜率k＞，与双曲线也没有公共点．而直线①y=x﹣1、②y=﹣x都与双曲线﹣=1有交点因此，在①y=x﹣1、②y=﹣x上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，满足“和谐直线”的条件．只有①②正确．故答案是：①②．16．已知点P是直线l：kx+y﹣2=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A、B是切点．若四边形PACB的最小面积为，则k=．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y+1）2=1，∴圆心C（0，﹣1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为，∴PA=PB═，∴圆心到直线l的距离为d=．∵直线kx+y﹣2=0，∴=，解得k=±，所求直线的斜率为故答案为：．17．已知函数f（x）=其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=k（x+1）（k ＞0）有3个不同的实数根，则实数k的取值范围是[，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据[x]的定义，分别作出函数y=f（x）和g（x）=k（x+1）的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2．当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x．当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2设g（x）=k（x+1），则g（x）过定点（﹣1，0），坐标系中作出函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图：当直线y=g（x）绕着点（﹣1，0）从（2，1）到（3，1）时，图象有3个交点．由两点（﹣1，0）和（2，1）的斜率为=；两点（﹣1，0）和（3，1）的斜率为=．故实数k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足bcosC+bsinC=a+c．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b=，求2a﹣c的取值范围．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简求解角B；（Ⅱ）利用余弦定理以及正弦定理结合两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴．∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）．∴．化简，得．又sinC＞0，∴．∴．又0＜B＜π，∴．…（Ⅱ）∵，∴．由正弦定理，得，即a=2sinA，c=2sinC．所以==．∵，∴．∴，．所以2a﹣c的取值范围为．…19．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣2a n=2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）把已知数列递推式两边同时除以2n+1，可得{}是以为首项，1为公差的等差数列．求出等差数列的通项公式后可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）直接利用错位相减法求得数列{a n}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴．∴{}是以为首项，1为公差的等差数列．∴．则；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，∴．两式相减，得=．得．20．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，A1C1=B1C1=a，A1B1=A1A=2，点D，E分别为棱B1B，A1B1的中点．（Ⅰ）证明：AD⊥平面BEC1；（Ⅱ）当a为何值时，异面直线AD与BC所成的角为60°？【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明C1E⊥A1B1．C1E⊥AD．AD⊥BE．然后证明AD⊥平面BEC1．（Ⅱ）取C1C的中点F，连结DF，AF．说明∠ADF为异面直线AD与BC所成的角，在△ADF中，由余弦定理，解得a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为三棱柱是直棱柱，所以平面A1B1C1⊥平面A1B1BA．因为A1C1=B1C1，E为A1B1的中点，所以C1E⊥A1B1．所以C1E⊥平面A1B1BA．因为AD⊂平面A1B1BA，所以C1E⊥AD．因为A1B1=A1A=2，点D，E分别为棱B1B，A1B1的中点，所以AD⊥BE．因为C1E⊂平面BEC1，BE⊂平面BEC1，C1E∩BE=E，所以AD⊥平面BEC1．…（Ⅱ）取C1C的中点F，连结DF，AF．因为DF∥BC，所以∠ADF为异面直线AD与BC所成的角，即∠ADF=60°．在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，所以．在Rt△AFC中，AC=a，CF=1，所以．显然DF=BC=a．在△ADF中，由余弦定理，得．所以，解得．…21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：（+1）n＜e，n∈N*（其中e为自然对数的底数）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，确定函数的单调区间，得到f（x）的最大值；（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论a的符号，判断函数f（x）的单调区间，从而求出a的范围即可；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立，所以在（0，+∞）上恒成立，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．当a=1时，f（x）=ln（x+1）﹣x，．当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0；当x＞0时，f'（x）＜0．所以，函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数．所以，当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0．…（Ⅱ）解：．（1）若a≥1，则，f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0在（0，+∞）上恒成立；（2）若a≤0，则，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．（3）证明：若0＜a＜1，则，且．当时，f'（x）＞0，f（x）在上单调递增，此时f（x）＞f（0）=0，不符合题意．综上，所求a的取值范围[1，+∞）．…（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立，所以在（0，+∞）上恒成立．于是，所以．取，得．…22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点P（1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）AB是经过椭圆右焦点F的任一弦，问：在x轴上是否存在定点C，使得•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由在椭圆上，得．由，得，又a2=b2+c2，联立基础即可得出．（II）假设在x轴上存在定点C（n，0），使得为常数．设直线AB：x=my+1，联立方程，化为得（3m2+4）y2+6my﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系、数量积属于性质只要使得为常数即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由在椭圆上，得．由，得，即a=2c．又a2=b2+c2，∴a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C（n，0），使得为常数．设直线AB：x=my+1，联立方程，化为得（3m2+4）y2+6my﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．于是x1+x2=m（y1+y2）+2，．∴=====．∵与m无关，∴时，．故在x轴上存在定点，使为常数．2016年12月10日。
1617学年上学期高二期中考试数学试题(附答案)
平阴一中2016—2017学年度高二上学期期中检测数 学 试 题 2016.11第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设R a ∈，则1a >是11a< 的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．△ABC 中，已知===B b x a ,2,60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( )A ．2>xB ．2<xC ．3342<<x D ． 3342≤<x 3．在等差数列}{n a 中，)(3)(2119741a a a a a ++++=24，则前13项之和等于 （ ）A ．13B ．26C ．52D ．1564．已知点A （2，3）与B (1,2)-在直线20ax y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|2a a > B.{}|6a a <- C.{}|26a a a ><-或 D.{}|62a a -<<5. 各项均为正数的等比数列{}n a 中，且34129,1a a a a -=-=，则54a a +等于 （ ）A ．16B ．36C ．27D ．－276. 若△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，那么cosC=（ ） A ．14 B ．14- C ．23- D ．23 7．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．]2,2(-B ．]2,2[-C ．),2(+∞D ．]2,(-∞8. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4xxy e e-=+B ．4sin sin y x x=+（0x π<<）C ．4y x x=+D ．3log 4log 3x y x =+9. 在直角坐标系内，满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是（ ）10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n+1 =3S n （n ≥1），则a 6=A ．3 × 44B ．3 × 44+1C ．44D ．44+111．有下列四个命题： ①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为 （ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④12．设x ，y 满足条件20360,(0,0)0,0x y x y z ax by a b x y -+≥⎧⎪--≤=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12，则32a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．83C ．113D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．已知不等式20x ax b --<的解集为（2，3），则不等式210bx ax -->的解集为___________________.14．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，令n T =12nS S S n+++，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，已知数列100321,,,a a a a 的“理想数”为101，那么数列2，100321,,,a a a a 的“理想数”为___________.15．某船开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 .16.在直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是 _________ ．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分。
山东省菏泽市2016-2017学年高二数学上学期期中试卷 理(含解析)
2016-2017学年山东省菏泽高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a＞b，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．2a＞2b2．不等式≤0的解集为（）A．（﹣∞，1]∪（3，+∞）B． D．（﹣∞，1]∪ C．（1，11）D．（1，+∞）7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S=，则对△ABC的形状的精确描述是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形8．等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S2016=2016，且﹣=2000，则a1等于（）A．﹣2017 B．﹣2016 C．﹣2015 D．﹣20149．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC等于（）A．米B．米C．米D．米10．在数列{a n}中，a1=2，a n=a n﹣1+ln（1+）（n≥2）则{a n}=（）A．2+nlnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+lnn D．1+n+lnn11．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则+的最小值为（）A．2 B．4 C．D．12．已知a n=log n+1（n+2）（n∈N+），观察下列运算：a1•a2=log23•log34==2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log67•lg78==3；…．定义使a1•a2•a3•…•a k为整数的k（k∈N+）叫做希望数，则在区间内所有希望数的和为（）A．1004 B．2026 C．4072 D．22016﹣2二、填空题不等式kx2﹣kx+1＞0的解集为R，则实数k的取值范围为．14．△ABC中，AB=3，AC=4，BC=，则△ABC的面积是．15．《张邱建算经》是我国古代数学著作大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：“一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了5尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加尺．（一月按30天计）16．方程ax2+bx+2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则2a﹣b的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=6，△ABC的面积是9，求三角形边b，c的长．18．（12分）已知关于x的不等式x2﹣ax﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞b}（b＞﹣1）．（1）求a，b的值；（2）当m＞﹣时，解关于x的不等式（mx+a）（x﹣b）＞0．19．（12分）已知数列{a n}为单调递减的等差数列，a1+a2+a3=21，且a1﹣1，a2﹣3，a3﹣3成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=|a n|，求数列{b n}的前项n和T n．20．（12分）为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路，其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长米．（1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度；（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．21．（12分）设等比数列{a n}的前项n和S n，a2=，且S1+，S2，S3成等差数列，数列{b n}满足b n=2n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，若对任意n∈N+，不等式c1+c2+…+c n≥λ+2S n﹣1恒成立，求λ的取值范围．22．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的对称轴为x=1，g（x）=x+（x＞0）．（1）求函数g（x）的最小值及取得最小值时x的值；（2）试确定c的取值范围，使g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根；（3）若F（x）=﹣f（x）+4x+c，存在实数t，对任意x∈，使F（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省菏泽一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a ＞b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2a ＞2b【考点】不等式的基本性质．【分析】取a=2，b=﹣1时，即可判断出A ．B ．C 不成立；根据指数函数y=2x在R 上单调递增，即可判断出D 的正误．【解答】解：取a=2，b=﹣1时，A ．B ．C 不成立；对于D ．由指数函数y=2x在R 上单调递增，a ＞b ，可得2a＞2b． 故选：D ．【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．不等式≤0的解集为（ ）A ．（﹣∞，1]∪（3，+∞）B ． D ．（﹣∞，1]∪=2n+1，n=1时也成立． ∴a n =2n+1， ∴==．∴数列的前项n 和=++…+==．故选：A．【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，11） B．（1，11] C．（1，11）D．（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）=有意义，只需1﹣lg（x﹣1）≥0，且x﹣1＞0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数f（x）=有意义，只需1﹣lg（x﹣1）≥0，且x﹣1＞0，即为lg（x﹣1）≤1且x＞1，解得1＜x≤11，则定义域为（1，11]．故选：B．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方数非负，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S=，则对△ABC的形状的精确描述是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得a2+b2=c2，利用勾股定理可得C=，利用余弦定理，三角形面积公式化简可得sinB﹣cosB=0，可求sin（B﹣）=0，结合范围B∈（0，），可求B=A，即可得解三角形的形状．【解答】解：∵asinA+bsinB=csinC ，∴由正弦定理可得：sin 2A+sin 2B=sin 2C ，可得：a 2+b 2=c 2，∴C=，△ABC 是直角三角形．又∵S==acsinB ，∴×2accosB=acsinB ，解得：sinB ﹣cosB=0，可得：sin （B ﹣）=0，∴B ﹣=k π，可得：B=k π+，k ∈Z ，∵B ∈（0，），B ﹣∈（﹣，），∴B ﹣=0，可得：B=，A=π﹣B ﹣C=，∴△ABC 是等腰直角三角形． 故选：D ．【点评】本题主要考查了正弦定理，勾股定理，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．8．等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 2016=2016，且﹣=2000，则a 1等于（ ）A ．﹣2017B ．﹣2016C ．﹣2015D ．﹣2014 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由==n+，可知：数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：由==n+，可知：数列是等差数列，设公差为d ．∴﹣=2000=2000d ，解得d=1．∴1==+2015×1，解得a 1=﹣2014．故选：D ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC等于（）A．米B．米C．米D．米【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图由图可知，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）=2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：C．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．10．在数列{a n}中，a1=2，a n=a n﹣1+ln（1+）（n≥2）则{a n}=（）A．2+nlnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+lnn D．1+n+lnn【考点】数列递推式．【分析】根据条件，，即a n﹣lnn=a n﹣1﹣ln（n﹣1），故{a n ﹣lnn}是常数数列，所以a n﹣lnn=a1﹣ln1=2，即a n=2+lnn．【解答】解：∵=，（n≥2）∴a n=a n﹣1+lnn﹣ln（n﹣1），（n≥2）∴a n﹣lnn=a n﹣1﹣ln（n﹣1），（n≥2）∴{a n﹣lnn}是常数数列，∴a n﹣lnn=a1﹣ln1=2，∴a n=2+lnn．故选：C【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式和对数的运算性质，属于基础题．11．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则+的最小值为（）A．2 B．4 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，利用目标函数去最小值得到a，b的等式， +的最小值【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过C时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（2+）≥2；当且仅当a=b时等号成立；故选A．【点评】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值；关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．12．已知a n=log n+1（n+2）（n∈N+），观察下列运算：a1•a2=log23•log34==2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log67•lg78==3；…．定义使a1•a2•a3•…•a k为整数的k（k∈N+）叫做希望数，则在区间内所有希望数的和为（）A．1004 B．2026 C．4072 D．22016﹣2【考点】对数的运算性质．【分析】a n=log n+1（n+2）=，可得a1•a2•a3•…•a n==k，n=2k﹣2．即可得出．【解答】解：a n=log n+1（n+2）=，∴a1•a2•a3•…•a n=•…==k，∴n+2=2k．n∈，∴n=22﹣2，23﹣1，…，210﹣2，∴在区间内所有希望数的和为=22﹣2+23﹣2+…+210﹣2=﹣2×9=2026，故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（2016秋•寿光市期中）不等式kx2﹣kx+1＞0的解集为R，则实数k的取值范围为，利用余弦定理可求，结合基本不等式可求x+y ≤120，从而可求观光道路总长度最长值．【解答】解：（1）在△ABC中，由已知及正弦定理得，即，∴．（2）设CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，在△ABC中，AB2=AC2+CB2﹣2AC•CB•cos120°，即，∴，故x+y≤120，当且仅当x=y=60时，x+y取得最大值，∴当A、B两点各距C点60米处时，观光道路总长度达到最长，最长为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21．（12分）（2016秋•寿光市期中）设等比数列{a n}的前项n和S n，a2=，且S1+，S2，S3成等差数列，数列{b n}满足b n=2n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，若对任意n∈N+，不等式c1+c2+…+c n≥λ+2S n﹣1恒成立，求λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由S1+，S2，S3成等差数列，可得，化简为，又因为，解得a1和q，即可求出等比数列{a n}的通项公式；（2）因为{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，而c n=a n b n，故利用错位相减法即可求出T n=c1+c2+…+c n，将T n和S n代入不等式，并整理得，记f（n）=，利用作差法可得f（n）关于n单调递减，则f（n）max=f（1）=1，故，即λ≤2．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）设数列{c n}的前项n和为T n，则T n=c1+c2+c3+…+c n，又，∴，，两式相减得，∴，又，∴对任意n∈N+，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，令，，∴f（n）关于n单调递减，∴，∴λ≤2，∴λ的取值范围为（﹣∞，2]．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减求和及利用数列的单调性求最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22．（12分）（2016秋•寿光市期中）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的对称轴为x=1，g（x）=x+（x＞0）．（1）求函数g（x）的最小值及取得最小值时x的值；（2）试确定c的取值范围，使g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根；（3）若F（x）=﹣f（x）+4x+c，存在实数t，对任意x∈，使F（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据基本不等式即可求出函数的最值；（2）根据对称轴求出a=﹣1，分别求出f（x）max=1+c，g（x）min=2，即1+c≥2，解得即；（3）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）2+2（x+t）≤3x，即h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x ∈恒小于0问题，考查h（x）的图象与性质，求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵x＞0，∴，∴，当且仅当，即x=1时“=”成立，即g（x）min=2，此时x=1．（2）f（x）的对称轴为x=1，∴a=﹣1，∴f（x）=﹣x2+2x+c，g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根，∴g（x）=f（x）至少有一个实根，即g（x）与f（x）的图象在（0，+∞）上至少有一个交点，f（x）=﹣（x﹣1）2+1+c，∴f（x）max=1+c，g（x）min=2，∴1+c≥2，∴c≥1，∴c的取值范围为，使（x+t）2+2（x+t）≤3x恒成立．∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0．令h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，∴，即，转化为存在t∈，使t2+（2m+2）t+m2﹣m≤0成立．令G（t）=t2+（2m+2）t+m2﹣m，∴G（t）的对称轴为t=﹣（m+1），∵m＞1，∴﹣（m+1）＜﹣2．①当﹣4＜﹣（m+1）＜﹣2，即1＜m＜3时，，∴，∴1＜m＜3．②当﹣（m+1）≤﹣4，即m≥3时，，∴，∴，∴3≤m≤8．综上，实数m的取值范围为（1，8]．【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用，解题时应讨论对称轴在区间内还是在区间左侧，还是区间右侧，从而确定函数的最值．。
2016-2017高二(上)期中
或
2
直棱柱
DE
A BC
中
D
,
E
,
M
分 别是 B C
,
CC ,
几 B 上 的点
若堡
EC
一
,
DC
旦旦 丅
m
.
且
K
平面
A
1M
C 则
器
=
高二 数 学
第3 X ( 共8 页 )
二丄 填空 题
13
14
( 本 大题 共
+
4
小 题 每小题
-
4
分 共
16
分)
直线 / 3 1
y
+
3
0
的 倾斜角 为
A
r
如 图 长方 体
2 0 16
2 0 17
学年第
学 期高
年级 阶段 性 测 评
数 学 试 卷
( 考试时 间 上 午
7
:
30
90
9
00
)
说 明 本试卷 为闭卷 笔 答 答 题 时 间
分 钟 满 分 10 0 分
偟
号
一 三
12
总 分
选 择题 ( 本 大题 共
小题 每 小题
3
分 共
36
分 在 每小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 有 且 只 有
.
积 的最大值为
三丄 解 答 题 ( 本 大 题 共 5 小题 共 4 8 分
17
解 答 应 写 出文 字 说 明 丄 证 明过 程 或 演 算 步 骤 )
( 本 小题
8
分)
l
已 知直线 l
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江苏省徐州市20162017学年度第一学期高二期中考试数学试题(含答案)
2016-2017学年度第一学期期中考试高二数学试题(考试时间120分钟，总分160分)参考公式：圆柱的体积公式：,Sh V =圆柱其中S 是圆柱的底面积，h 是高．锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.)1．过点)3,1(-A 且与直线012=+-y x 垂直的直线方程为 ． 2．过三点)0,4(A ，)2,0(-B 和原点)0,0(O 的圆的标准方程为 ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过)0,1(-A ,)2,1(B 两点直线的倾斜角为 ． 4．圆心在y 轴上，且与直线01032=-+y x 相切于点)2,2(A 的圆的方程是 ． 5. 对于任意的R x ∈，0|12|≥++m e x 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 6. 若直线02=++a y ax 和直线07)1(3=+-+y a ax 平行，则实数a 的值是 . 7. 经过点)1,2(，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为 . 8. 已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等.若 圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 .9. 在坐标系xOy 中，若直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆16)()1(22=-+-a y x 相 交于B A ,两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数a 的值是 . 10.已知点)1,1(-P 和点)2,2(Q ，若直线0:=++m my x l 与线段PQ 没有公共点， 则实数m 的取值范围是 ．11.设βα,为互不重合的平面，n m ,为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若n m ⊥，n 是平面α内任意的直线，则α⊥m ；②若βα⊥，m =βα ，α⊂n ，m n ⊥，则β⊥n ； ③若m =βα ，α⊂n ，m n ⊥，则βα⊥；④若α⊥m ，βα⊥，n m //，则β//n .其中正确命题的序号为 ． 12.在平面直角坐标系xOy 中，圆1)4(:22=+-y x C ，若直线3-=kx y 上至少存 在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最大值是 ．13.已知三棱锥ABC P -的所有棱长都相等，现沿PC PB PA ,,三条侧棱剪开，将 其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为6，则三棱锥ABC P -的体积为 ．14.已知实数y x ,满足y y x x -+=+-11，则y x +的取值范围是 . 二、解答题(本大题共6小题，共计90分.)15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，点N M ,分别为线段11AC B A ，的中点.(1)求证：//MN 平面C C BB 11；(2)若D 在边BC 上，1DC AD ⊥，求证：AD MN ⊥.16.(本小题满分14分)命题:p 实数x 满足03422<+-a ax x (其中0>a )，命题:q实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-0232|1|x x x . (1)若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.A BCDMNA 1B 1C 1（第15题）17.(本小题满分14分)如图，四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面BCE ，EC BE ⊥.(1)求证：平面⊥AEC 平面ABE ；(2)点F 在BE 上，若//DE 平面ACF ，求BEBF的值.18.(本小题满分16分)已知直线l 与圆:C 04222=+-++a y x y x 相交于B A ,两 点，弦AB 的中点为)1,0(M .(1)求实数a 的取值范围以及直线l 的方程； (2)若圆C 上存在动点N 使MN CN 2=成立，求实数a 的取值范围.ABCDEF(第17题图）O19.(本小题满分16分)设直线:l 032=++my x ，圆:O 222r y x =+(0>r ). (1)当m 取一切实数时，直线l 与圆O 都有公共点，求r 的取值范围； (2)当5=r 时，求直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围.(3)当1=r 时，设圆O 与x 轴相交于Q P ,两点，M 是圆O 上异于Q P ,的任意 一点，直线PM 交直线3:='x l 于点P '，直线OM 交直线l '于点Q '. 求证：以Q P ''为直径的圆C 总经过定点，并求出定点坐标.20.(本小题满分16分)已知O 为坐标原点，设动点),2(t M )0(>t .(1)若过点)34,0(P 的直线l 与圆:C 0822=-+x y x 相切，求直线l 的方程； (2)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程； (3)设)0,1(A ，过点A 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ， 求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值.2016～2017学年度第一学期期中考试高二数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.210x y +-=； 2.22(2)(1)5x y -++=； 3.4π；4.()22113x y ++=； 5.[)∞+，1-； 6..0=a 或7=a ； 7．30x y +-=或01=--y x ； ； 9. -1； 10. 32-<m 或21>m ； 11.①②； 12．247；13.98； 14.]15,2[+. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）证明：(1)如图，连结A 1C ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∴侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又N 为线段AC 1的中点， ∴A 1C 与AC 1相交于点N ， 即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．……… 2分 ∵为M 为线段A 1B 的中点， ∴MN ∥BC ． ……………… 4分 又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分 (2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ． 又AD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AD ． ……………… 8分 ∵AD ⊥DC 1，DC 1⊂平面BB 1C 1C ， CC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 10分 又BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥BC ． ……………… 12分 又由（1）知，MN ∥BC ，∴MN ⊥AD ． ………… 14分A BCDMNA 1B 1C 1（第15题）16.（本小题满分14分）解：【答案】(1)由03422<+-a ax x 得()()03<--a x a x ，又0>a ，所以a x a 3<<， 当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的取值范围是31<<x ，……………2分由⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-02321x x x 得⎩⎨⎧>-≤≤≤-2331x x x 或，解得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x ，……………4分 若q p ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是()3,2. ………………………6分 (2)由(1)知p ：3a x a <<，则p ⌝：x a ≤或3x a ≥， …………8分q ：23x <≤，则q ⌝：2x ≤或3x >，………………………10分 因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， 则p q ⌝⇒⌝，且q p ⌝⇒⌝/， 所以02,33,a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤，故实数a 的取值范围是(1,2]． ……………………………14分17. （本小题满分14分）解：（1）证明：∵ ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC ．∵面ABCD ⊥面BCE ，面ABCD ∩面BCE ＝BC ，AB ⊂面ABCD ， ∴AB ⊥面BCE ． ……………… 3分 ∵CE ⊂面BCE ，∴CE ⊥AB ． ∵CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ， BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，∴CE ⊥平面ABE ． ………………………… 6分ABCDEF(第17题图）O∵CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABE ． … 8分 （2）连结BD 交AC 于点O ，连结OF ．∵DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ， 平面ACF ∩平面BDE ＝OF ， ∴DE （本小题满分16分）解：（1）圆22:(1)(2)5,(1,2),5(5)C x y a C r a a ++-=--=-< …… 2分据题意：253CM a a =<-⇒< …… 4分 因为,1,11CM AB CM AB CM AB k k k k ⊥⇒=-=-⇒=所以直线l 的方程为10x y -+= …… 6分（2）由CN =2MN ，得983231-x 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛y , …… 10分依题意，圆C 与圆22128()()339x y -+-=有公共点，故2253a --≤4232253a+-≤， …… 13分解得3739a -≤≤. …… 15分 又因为由（1）知3a <，所以33a -<≤ …… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）直线l 过定点)0,32(-，当m 取一切实数时，直线l与圆O 都有公共点等价于点)0,32(-在圆O 内或在圆O 上， 所以2220)32(r ≤+-． ………………………2分 解得32≥r ．所以r 的取值范围是),32[+∞； ……………4分 （2）设坐标为)0,32(-的点为点A ，则32||=OA ．则当直线l 与OA 垂直时，由垂径定理得直线l 被圆O 截得的弦长为132)32(52||22222=-=-OA r ； ……………6分当直线过圆心时，弦长最大，即x 轴被圆O 截得的弦长为102=r ； 所以l 被圆O 截得的弦长的范围是]10,132[．………8分 （3）对于圆O 的方程122=+y x ，令1±=x ，即)0,1(-P ，)0,1(Q ．设),(t s M ，则直线PM 方程为)1(1++=x s ty ． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧++==)1(13x s ty x ，得)14,3(+'s t P ， 同理可得：)12,3(-'s tQ ． …………… 10分 所以)13,3(2--s tst C ，半径长为132--s t st ， 又点),(t s M 在圆上，所以122=+t s ． 故)31,3(tsC -，半径长为t s -3，所以圆C 的方程为222)3()31()3(ts t s y x -=--+-，………12分 即0)3()31()31(2)3(222222=---+--+-ts t s t y s y x ， 即0)1(8)31(2)3(2222=-+--+-ts t y s y x ， 又122=+t s ，故圆C 的方程为08)31(2)3(22=---+-tys y x ， ………14分 令0=y ，则8)3(2=-x ，所以圆C 经过定点，0=y ，则223±=x ，所以圆C 经过定点且定点坐标为)0,223(±. ……………16分20. （本小题满分16分）解：(1)圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意； ……………2分 当斜率存在时，设直线:43,430,l y kx kx y =+-+=即 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4， 2|443|34,1k k k+==+解得所以直线3:43,3120.3l y x x y =-++-=即 故所求直线0,3120.l x x =+-=为或 ……………5分（2）以OM 为直径的圆的方程为222(1)()124t t x y -+-=+其圆心为(1,)2t,半径214t r =+………………………7分 因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2 所以圆心到直线3450x y --=的距离21d r =-2t=, ……9分 所以32552t t--=，解得4t = 所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=, …………………10分 （3）方法一：由平几知：2ON OK OM =⋅,直线OM ：2t y x =，直线AN ：2(1)y x t=--, ………………12分 由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+22222411(1)224444K M t t t ON t ∴=++=+⋅⋅=+所以线段ON 2. ………………………………16分 方法二:设00(,)N x y ，则),1(00y x FN -=，),2(t OM =， ),2(00t y x MN --=，),(00y x ON =，0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+=又∵ON MN ⊥，∴0)()2(0000=-+-t y y x x ，即22002020=+=+ty x y x ， 所以，22002ON x y =+=为定值.。
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2015-2016学年高二（上）期中数学模拟试卷一．填空题（本大题共13小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）1．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为．2．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为．3．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）4．已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．5．两平行直线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离是．6．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．7．已知两点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于．8．“0＜a＜3”是“双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）9．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A在椭圆上，且|AF2|=6，则△AF1F2的面积是．10．已知椭圆﹣=1的离心率e=，则m的值为：．11．过直线y=2x上的一点P作⊙M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线l1，l2，A，B两点为切点．若直线l1，l2关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为．12．已知x∈R，若“4﹣2a≤x≤a+3”是“x2﹣4x﹣12≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．13．已知直线l的方程是x+y﹣6=0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形（O为坐标原点），则△OAB外接圆的方程是．二、解答题14．若椭圆+=1与双曲线x2﹣=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P（，y），求椭圆及双曲线的方程．15．设椭圆M的方程为： +=1．（1）求M的长轴长与短轴长；（2）若椭圆N的焦点为椭圆M在y轴上的顶点，且椭圆N经过点A（﹣，），求椭圆N的方程．16．已知p：4x2+12x﹣7≤0，q：a﹣3≤x≤a+3．（1）当a=0时，若p真q假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此时点P的坐标．2015-2016学年高二（上）期中数学模拟试卷参考答案与试题解析一．填空题1．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为∀x∈R，x2＞0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为：∀x ∈R，x2＞0．故答案为：∀x∈R，x2＞0．2．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为18．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意知a=5，b=3，c=4，从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8．【解答】解：由题意作图如右图，∵椭圆的标准方程为+=1，∴a=5，b=3，c=4，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8，∴△PF1F2的周长为10+8=18；故答案为：18．3．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义，求出m的范围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可．【解答】解：若“方程+=1表示在y轴上的椭圆”，则，解得：1＜m＜，故“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．4．已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7．【考点】椭圆的定义．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P 到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：75．两平行直线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离是．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】根据题意，将直线3x﹣4y﹣3=0化为6x﹣8y﹣6=0，利用平行线间的距离公式求解．【解答】解：3x﹣4y﹣3=0可化为6x﹣8y﹣6=0．∴两平行直线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离：d==．故答案为：．6．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．【解答】解：设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到，即为的最大值．故答案为：7．已知两点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于﹣或﹣．【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：∵两点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，∴，化为|3a+3|=|6a+4|．∴6a+4=±（3a+3），解得或．故答案为：或．8．“0＜a＜3”是“双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2”的充要条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】双曲线双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2，a＞0，可得e=＞2，解得0＜a＜3．即可判断出．【解答】解：双曲线双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2，a＞0，可得e=＞2，解得0＜a＜3．∴“0＜a＜3”是“双曲线双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2”的充要条件．故答案为：充要9．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A在椭圆上，且|AF2|=6，则△AF1F2的面积是24．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆方程求得离心率及右准线方程，根据椭圆的第二定义，求得A点横坐标，代入椭圆方程求得纵坐标，根据三角形面积公式△AF1F2的面积是•2c•|y A，即可求得△AF1F2的面积．【解答】解：椭圆+=1，a=7，b=2，c==5，由离心率e==，右准线方程为x==，|AF2|=ed=e（﹣x A）=a﹣ex A=6，即为7﹣x A=6，可得x A=，y A=±=±，则△AF1F2的面积是•2c•|y A|=5•=24．故答案为：24．10．已知椭圆﹣=1的离心率e=，则m的值为：﹣3或﹣．【考点】椭圆的简单性质．【分析】分两种情况加以讨论：当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆离心率为e==，解之得m=﹣3；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣．最后综上所述，得到正确答案．【解答】解：将椭圆﹣=1化成标准形式为：①当椭圆的焦点在x轴上时，a2=5，b2=﹣m∴椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣3②当椭圆的焦点在y轴上时，a2=﹣m，b2=5∴椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣综上所述，可得m的值为：﹣3或﹣故答案为：﹣3或﹣11．过直线y=2x上的一点P作⊙M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线l1，l2，A，B两点为切点．若直线l1，l2关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】本题考查了直线和圆的有关问题，结合对称性，可以判断出MP和直线y=2x对称，利用切线长相等，可以求出两个全等的三角形的面积．【解答】解：直线l1，l2关于直线y=2x对称，所以PM与直线y=2x垂直，由点到直线的距离公式可得PM==，因为切线长相等，△PAM≌△PBM，所以四边形的面积为：2×．故答案为：．12．已知x∈R，若“4﹣2a≤x≤a+3”是“x2﹣4x﹣12≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是a＞3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出不等式x2﹣4x﹣12≤0的解集，再结合充分必要条件的定义得到不等式组，解出即可．【解答】解：解不等式x2﹣4x﹣12≤0得：﹣2≤x≤6，若“4﹣2a≤x≤a+3”是“x2﹣4x﹣12≤0”的必要不充分条件，则，解得：a＞3，故答案为：a＞3．13．已知直线l的方程是x+y﹣6=0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形（O为坐标原点），则△OAB外接圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．【考点】圆的标准方程．【分析】取AB中点D，连结OD，由已知得圆心在OD上，且半径为=2，由此能求出圆的方程．【解答】解：取AB中点D，连结OD，则D点坐标为（3，3），则OD=3，由已知得圆心在OD上，且半径为=2，∴圆心为（2，2），∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．故答案：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．二、解答题14．若椭圆+=1与双曲线x2﹣=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P（，y），求椭圆及双曲线的方程．【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【分析】求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到m，b的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出b的值，得到椭圆及双曲线的方程．【解答】解：由题意可知10﹣m=1+b，，，解得，m=1，b=8，所以椭圆的方程为；双曲线的方程为．15．设椭圆M的方程为： +=1．（1）求M的长轴长与短轴长；（2）若椭圆N的焦点为椭圆M在y轴上的顶点，且椭圆N经过点A（﹣，），求椭圆N的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求出椭圆M的a，b，即可得到长轴长2a，短轴长2b；（2）求出椭圆M的短轴的顶点，可设椭圆N的方程为+=1（m＞n＞0），由焦点坐标和A点满足椭圆方程，解方程可得所求．【解答】解：（1）椭圆M的方程为： +=1的a=3，b=，可得M的长轴长为6，短轴长为2；（2）由椭圆M可得y轴上的顶点为（0，±），设椭圆N的方程为+=1（m＞n＞0），由题意可得，m2﹣n2=5，+=1，解得m=3，n=2，即有椭圆N的方程为+=1．16．已知p：4x2+12x﹣7≤0，q：a﹣3≤x≤a+3．（1）当a=0时，若p真q假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）将a=0代入q，求出x的范围即可；（2）根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：由4x2+12x﹣7≤0，解得：﹣≤x≤，q：a﹣3≤x≤a+3．（1）当a=0时，q：﹣3≤x≤3，若p真q假，则﹣≤x＜﹣3；（2）若p是q的充分条件，则，解得：﹣≤x≤﹣，（“=”不同时取到）．17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得x M、x N、x P及x Q的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（1）由题意可知：e===，且2ab=4，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，∴椭圆的标准方程：，（2）由（1）可知，A（0，﹣），则直线AM的方程为y=kx﹣，将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=，直线AN的方程y=﹣﹣，同理可得：x N=﹣，解得x P=k，同理可得x Q=﹣，∴==丨丨==，即3k4﹣10k2+3=0，解得k2=3或k2=，所以=或﹣，故存在直线l：y=x，y=﹣x，满足题意．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得a，b，c值，可得椭圆C的方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l 的方程y=kx+代入+x2=1，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值．【解答】解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，故所求椭圆C的方程为+x2=1．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l 的方程y=kx+代入+x2=1，并整理，得（k2+4）x2+2 kx﹣1=0．（*）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以•=0，即x1x2+y1y2=0．又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，于是﹣﹣+3=0，解得k=±，经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．19．已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此时点P的坐标．【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．【分析】（Ⅰ）根据题意写出圆C的方程，整理后分别令y=0与x=0求出对应的x与y的值，确定出A与B坐标，求出三角形AOB面积，即可得证；（Ⅱ）根据|OM|=|ON|，得到O在MN的中垂线上，设MN中点为H，得到CH与MN垂直，进而确定出C，H，O共线，求出直线OC斜率，得到t的值确定出圆心C坐标，即可得到圆C的方程；（Ⅲ）找出B关于x+y+2=0的对称点B′坐标，利用三角形两边之和大于第三边求出|PB|+|PQ|的最小值，以及此时直线B′C的方程，即可求出交点P坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，化简得x2﹣2tx+y2﹣y=0，当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B（0，），=|OA|•|OB|=×|2t|×||=4为定值；∴S△AOB（II）∵|OM|=|ON|，∴原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k===，∴t=2或t=﹣2，∴圆心C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∵当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去；∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；（Ⅲ）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=3﹣=2，∴|PB|+|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y=x，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣，﹣）．2016年11月1日。