四边形的存在性

四边形的存在性

内容分析

本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线，考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．

知识结构

模块一：平行四边形的存在性

知识精讲

平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系．

【例1】 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =24 cm ，BC =26 cm ，动点

P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm /s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．

（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形； （2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3， 0)，点B 的坐标为A (0， 4)．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；

（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点 的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

例题解析

【例3】 如图已知点A (m ，6)和点B (6，2)（点B 在点A 的右侧）在反比例函数的图像上，

直线BC //x 轴，与y 轴交于点C ． （1）求m 的值及直线AC 的解析式；

（2）如果点D 在x 轴的正半轴上，点E 在反比例函数的图像上，当四边形ACDE 是平行四边形时，求CD 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例4】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴

交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ． （1）求直线l 的表达式；

（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行 四边形，求点D 的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例5】如图，已知直线l1经过点A(－5，－6)且与直线l2：

3

6

2

y x

=-+平行，直线l2与x

轴、y轴分别交于点B、C．

（1）求直线l1的表达式及其与x轴的交点D的坐标；

（2）判断四边形ABCD是什么四边形．并证明你的结论；

（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案．【难度】★★

【答案】

【解析】

【例6】直线

3

6

4

y x

=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同

时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A

→→运动．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

（3）当

48

5

S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形

的第四个顶点M的坐标．【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例7】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠B 是锐角，AF ⊥BC 于点F ， CH ⊥AD 于

点H ， 在AB 边上取点E ，使得AE ＝AH ，在CD 边上取点G ，使得CG ＝CF ．联结EF 、FG 、GH 、HE ．

（1）求证：四边形EFGH 是矩形；

（2）当∠B 为多少度时，四边形EFGH

是正方形．并证明．

【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例8】 如图所示，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，正比例函数y =kx （x 为自变量）的

图像与双曲线2

y x

=-（1）求k 的值；

（2）将直线y =kx （x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ，如点D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

A

B

C

D

E

F

G

H

【例9】 在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，将一个30°角的顶点P 放在AB

边上滑动，保持30°角的一边平行于BC ，且交边AC 于点E ，30°的另一边交射线BC 于点D ，连ED ．

（1）如图，当四边形PBDE 为等腰梯形时，求AP 长；

（2）四边形PBDE 有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE 为平行四边形时，AP 的长，若不可能，说明理由；

（3）若点D 在BC 边上（不与B 、C 重合），试写出线段AP 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

A

B

C

D

E P