图乘法及其应用

2
2
2
FP
l 2
B k
A
l
C
2
FP=1
l 2
B k
FP B
F = P 2
F = B
1 2
MP
显然，按弹簧刚度定义， 显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为 由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为
MMP Fk FPk = ∑∫ ds + ∑ EI k FP FP FP 因此， 。因此，弹簧对位移的贡献为 FB = 。 2k 2k 4k
b c 取 负 值
(4) 阶梯形截面杆
ωj yj Mi MK ω1 y1 ω2 y2 ω3 y3 dx = + + =∑ ∫ EI E1I1 E2I2 E3I3 Ej I j
四、应用举例 为常数， 例 1. 设 EI 为常数，求 Cy 和 θB 。
l
2
l
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
q A
4. 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移； 利用位移计算公式求静定结构的位移； 3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即: 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式 即
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FP N F = P 2
D
A
l
C
2
FP B
l 2
a
1 F = N 2 1 A C
l 2 l 2
l 4
D
a
B
2 1 l FPl 2 l 1 1 FP FPl 3 FPa )× × ] + = [( × × × × ×a = + EI 2 2 4 3 4 EA 2 2 48EI 4EA
一、图乘法
MMP ds ∫ EI 1 = ∫ MMPds EI 1 = ∫ x tanα MPdx EI tanα = ∫ xMPdx EI tanα 1 = ω xc = ωyc EI EI
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 于 年提出的， 图乘法是 年提出的 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。 二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FPl/2 FPl/2 FPl/2 FP FPl/4
MP 图
EI 2EI
M 图
FPl/4
在
M
图求面积， 图取竖标， 图求面积，在 MP图取竖标，有：
ωyc
1 l FPl 1 3l FPl Ay = ∑ = × ×l × ×l × × EI EI 2 2 2EI 2 4 FPl 3 = ( ↓) 16EI
2
l 2
1
M图
C
例 6. 已知 CD、BD杆的 E1 A和AC杆的 E2I2 、 杆的 杆的 1 为常数， 为常数，求 Dy 。 解：作荷载和单位荷载的内力图 a F
E1 A 1
P
D
+ FP
FP
+1
2
1
a
B
E1 A 1
FP a
2FP
a
a
Dy
E2I2 A
FNFNPl ωyc 1× FP ×a + ( 2)( 2FP ) 2a =∑ +∑ = E1 A E2I2 E1 A 1 1
请对计算结果 M lM P aF F P FPl 3 12aI N N Cy = ∫0 ds + ∫0 ds 进行适当讨论！ ) (1 + 3 Cy = EI EA 48EI l A
MP
Fl P 4
M
讨论:如果B支座处为刚度k的弹簧， 讨论:如果B支座处为刚度k的弹簧，该如何 计算？ 计算？
A
l
C
Fl P 4
M
l 4
为常数， 例 5. 已知 EI 为常数，求 Cy 。 q
A
l2
C
B
l2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2 2
A
ql 2 8
C
l 2
B A
1
MP 图
ql 2 2
A
M图
ql 2 8
C
2
一种算法： 一种算法：
结果正确否？ 结果正确否？
2
B
l 1 1 l 3ql 1 l ql 3 l × × + × × × × ) Cy = ( × EI 2 8 2 2 3 2 8 4 2 1 ql 4 3ql 4 5ql 4 = ( + ( ↓) )= EI 64 128 128EI ?
(2) 梯-梯同侧组合 梯同侧组合
ω1
ω2
(2c + d) y1 = 3 ∫ Mi MKdx = ω1 y1 +ω2 y2 (c + 2d) y2 = 3
(3) 梯-梯异侧组合 梯异侧组合
A a C
ω1
ω2
y2
B b D d
MK 图
y1
c
M图
(2c + d) y1 = 3 ∫ Mi MKdx = ω1 y1 +ω2 y2 (c + 2d) y2 = 3
kFQFQds FNFNds MMPds +∑∫ +∑∫ P = ∑∫ EI EA GA
这部分主要内容： 这部分主要内容：
MMP ds 1. 图乘法； ∫ 图乘法； EI
ω
C
MP
MMP ωyc ds = ∫ EI EI
yC
M
2. 几种常见图形的面积和形心 位置的确定方法； 位置的确定方法； 3. 注意事项； 注意事项； 4. 应用举例。 应用举例。
绘制变形图时， 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的 凹凸方向，注意反弯点的利用。 凹凸方向，注意反弯点的利用。如：
FPl/2
FPl/2
FPl/2 FP FP
FPl/4
MP 图
FPl/4
已知： 、 、 为常数 为常数， 例 4. 已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
FP A C B
a
l
2
l
2
yc 应取自直线图中。 应取自直线图中。 ω 2. 若 ω 与 yc 在杆件的同侧， yc取正值； 在杆件的同侧， 取正值；
（3） ） 反之，取负值。 反之，取负值。 3. 如图形较复杂，可分解为简单图形 如图形较复杂，可分解为简单图形.
例如
(1) 曲-折组合 折组合
∫ Mi MKdx = ω1 y1 +ω2 y2 +ω3 y3 = ∑ω j y j
为常数，求刚架C、 两点 例 2. 已知 EI 为常数，求刚架 、D两点 距离的改变 CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
p117
2
yc = h
1 2 ql 2 = × × ×l ×h CD = ∑ EI EI 3 8 qhl 3 = (→←) 12EI
ωyc
为常数，求刚架A点的竖向位 例 3. 已知 EI 为常数，求刚架 点的竖向位 并绘出刚架的变形曲线。 移 Ay ，并绘出刚架的变形曲线。
ql 4
ql 2 M= 8 2
ql 2 8
解法二、 解法二、
ql 2 2
ql 2 8
ql 2 2
A
ql 2 32
ql 2 8
1 1 l ql l × ) Cy = [( × × EI 2 2 2 3 A 2 1 l ql l +( × × × ) 2 2 8 6 2 4 2 l ql l 17ql ( × × × )] = ( ↓) 3 2 32 4 384EI
对吗？ 对吗？
B A C
FP=1 B
MP 图
Βιβλιοθήκη Baidu
1 2 ql 8
应分段！ 应分段！
M图
l 4
1 2 l 1 2 5 l Cy = [( × × ql )×( × )]×2 8 4 EI 3 2 8 4 5 ql = ( ↓) 384 EI
q A B A
1 2
C B
1
MP 图
1 2 ql 8
M图
1 2 1 2 1 θB = [( ×l × ql )× ] EI 3 8 2 1 ql 3 = 24 EI （ ）
解法一、 解法一、
ql 2 2
A
q
ql 2 8
C A B
l2
C
B
l2
FQ = ql 2
q MP 图 1 l ql 2 l A Cy = [( × × ) ql 2 EI 2 8 4 8 2 1 l ql l +( × × × ) A 2 2 4 3 1 l ql 2 3 l 17ql 4 +( × × × × )] = ( ↓) 3 2 8 4 2 384EI
顶点指曲 顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl ω= n +1
h
C
( n + 1)l n+2
l n+2
三、注意事项： 注意事项： 1. 图乘法的应用条件： 图乘法的应用条件： 为常数； （1）等截面直杆，EI为常数； ）等截面直杆， 为常数 图中应有一个是直线； （2）两个 图中应有一个是直线； ）两个M图中应有一个是直线
1 FPa2 2a (1+ 2 2)FPa 4FPa3 + ( × + FPa2 ×a) = + ( ↓) E2I2 2 E1 A 3 3E2I2 1
为常数， 例 7. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
解：作荷载和单位荷载的内力图
返回 MP
分解
M
Cy
1 1 ql l 3l 1 ql l = [( × × )× + ( × × l )× EI 3 8 2 8 2 8 3 2 ql 2 l ql 4 ( × ×l )× ] = ( ↓) 温 3 8 4 128EI 度