2017年中考数学专题复习开放性问题

开放性问题

【专题点拨】

开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.

【解题策略】

在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.

【典例解析】

类型一：条件开放型问题

例题1：（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题；函数及其图象．

【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．

（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．

（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．

【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，

∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，

∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），

令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．

（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，

∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，

∴点E的横坐标为﹣7或5，

∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），

∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．

（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN==，

∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．

②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，

线段AC的垂直平分线为y=x，

∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．

③当点A为顶点的等腰三角形不存在．

综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．

【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：

（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．

（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

类型二：结论开放型问题

例题2：（2016·湖北随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜

y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．

（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．

（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．

（4）错误．利用函数图象即可判断．

（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．

【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，

∴4a+b=0．故正确．

（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，

∴9a﹣3b+c＜0，

∴9a+c＜3b，故（2）错误．

（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），

∴解得，

∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，

∵a＜0，

∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．

（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），

∵﹣2=，2﹣（﹣）=，

∴＜

∴点C离对称轴的距离近，

∴y3＞y2，

∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，

∴y1＜y2

∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．

（5）正确．∵a＜0，

∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，

即（x+1）（x﹣5）＞0，

故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．

∴正确的有三个，

故选B．

变式训练2：

（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；

③3a+c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3

⑤当x＜0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

类型三：解题策略开放型

例题3：(2014 年湖北襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.

(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)

（2）选择其中的成立条件进行证明。

【解析】：(1)①②；①③.

(2)选①②证明如下：

∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，

∴△BOE≌△COD(AAS)．

∴BO＝CO.∴∠OBC＝∠OCB.

∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB.