三维导体回路互感系数的另一种计算方法

[收稿日期]2001-01-20

[作者简介]粟琼(1964-),女,贵州剑河人,黔东南民族师专物理系高级实验师.

第19卷　第6期

黔东南民族师专学报

V ol.19N o.6

2001年12月 Journal of S outheast G uizhou National T eacher ′s C ollege Dec.2001

三维导体回路互感系数的另一种计算方法

粟　琼

(黔东南民族师范高等专科学校物理系贵州凯里556000)

[摘　要]从法拉第电磁感应定律出发,推广到有一定横截面积的电流回路,得到互感系数的另一种计算方法.[关键词]导体;互感系数;计算方法

[中图分类号]O441.3　[文献标识码]A [文章编号]1002-6991(2001)06-0008-02

对两个细导线载流回路,它们间的互感系数的计算通常有两种方法,一是利用磁场能量w m 与互感系数M 间的关系

w m =

MI 1I 2

(1)

求出M .二是求出回路1(或2)的电流I 1(或I 2)所产生而和回路2(或1)相交链的磁链Ψ21(或Ψ12),由

M =

Ψ21

I 1

=

Ψ12

I 2

(2)

求出M .本文试图从法拉第电磁感应定律出发,将其推广到有一定横截面积的电流回路,并得到互感系数的另一种计算方法———平均磁通法.

对细导线回路而言,法拉第电磁感应定律具有非常简洁的形式

ε=d φ

d t

.

(3)

现考虑在线性媒质中粗细不均的导体回路L 1和L 2,如图,假设两回路内部的电流都满足似稳条件,并具有共同的时间变化规律,且各点的电流密度方向不随时间而变,具有稳定的流线.任一点P 的电流密度矢量为

j _

(p ,t )=j 0_

(p )f (t ).

(4)

对稳恒电流j _

(p ,t )=j _

0(p ),频率为ω的交变电流j _

(p ,t )=j _

0(p )e i ω

t .

在回路中任取一横截面S ,S 上任一点P 均可作一电流线l ,与l 相邻的所有电流线构成一无限小的电流管.设它在S 上的截面为d s ,则通过该电流管的元电流强度d I 为

回路L 1:d I 1=j _

1(p ,t )・d s _

′;(5)回路L 2:d I 2=j _

2(p ,t )・d s _

′;

(6)

将电流管看成细导线回路,应用法拉第电磁感应定律,d I 1在回路L 2中产生的感应电动势为

ε21=-d φ21

d t

,(7)

式中ε21为l 2中的互感电动势,φ21为d I 1产生的通过l 2所围面积的磁通.将(6),(7)两式相乘,得

ε21d I 2=-d φ21d t

j _

2・d s _.(8)

(8)式左端为单位时间内电流管中感应电动势所做的元功,对(8)式沿S 面积分,就得到单位时间内感应电动势所做的

总功

∫

S

ε21d I 2=-

∫

S

j _2(p ,t )・d s

_

d φ21

d t

.(9)

从功能观点看,整个有横截面积的导体回路L 1在L 2中产生的总的互感电动势为

E 21=

1

I 2

∫

S

ε21d I 2

,(10)

8

式中

I 2(t )=

∫S

d I 2=

∫

S

j _2(p ,t )・d s _

=

∫

S

j _20(p )・d s _

f (t )=I 20f (t )

为整个三维导体回路L 2的电流强度,将(9)代入(10),即可得到

E 21=-

∫

S

j d φ21d t j _2・d s _I 2=-d d t ∫

S φ21

j _2・d s _

I 2,(11)

令

Ф21=

∫

S

φ21

j _

2・d s

_

I 2

=∫

S

φ21

d I 2I 2

,(12)

(11)式化为

E 21=-

d Φ21d t

.(13)

从(12)式可看出,Φ21即为通过L 2回路中各电流线回路所围面积的磁通对截面电流I 2的平均值.

(13)式的数学形式与(3)式完全一样,故它可看成在所给条件下法拉第电磁感应定律从一维导体推广到二维导体,

如果导体内的电流是均匀分布的,取S 与电流线正交,则对电流的平均就是对于横截面的平均,于是(12)式化为

Φ21=1

S

∫

S

φ21

d s .(14)

这一方法是建立在(13)式的基础上的,只要按(12)或(14)算出平均磁通Φ21,就可立即求出导体间互感系数了

M =

Φ21

I 1

=

Φ12

I 2

.(15)

从(12)式看出,平均磁通依赖于电流分布j _

2(p ),而电流分布又决定于频率.因此,三维导体互感系数与频率有关.

[参考文献]

[1]赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].下册.第二版.北京:高等教育出版社,1999.[2]冯鹚璋.电磁场(电工原理Ⅱ

)[M].北京:人民教育出版社,1981.9

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