同济大学第五版高数63059

1 x2 arctan x
1
x2
1
1 x2
dx
1 x2 arctan x 1 dx
1 x2 令 x tan t
1
1 x2dx
1 sec2 tdt
1Fra Baidu bibliotek tan2 t
sec tdt
ln(sec t tan t) C ln( x 1 x2 ) C
x
arctan 1 x2
x2 2
cos x
x2 2
sin
xdx
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
例2 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
(x2 a2 )a2 dx
x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx a2
dx x2 a2
∴
原式
=
1 2
x
x2 a2 a2 ln ( x 2
x2 a2 ) C
例10. 求
解:
令
u
ln cos
x,
v
1 cos2
x
,则
u tan x, v tan x
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
分部积分公式
例1 求积分 x cos xdx .
解（一） 令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos xdx
2
2
例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
数或反三角函数为 u.
例5 求积分 sin(ln x)dx.
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
例7 求积分 x arctan x dx.
1 x2
解 1 x2 x , 1 x2
x
arctan 1 x2
x
dx
arctan
xd
1 x2
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
x
2 x
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x)]
C.
例6 求积分 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e xd cos x)
1. 使用原则 : v易求出, uv dx易积分
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u v
后 3. 题目类型 :
分部化简 ; 循环解出;
4. 计算格式 : u u
v
v
递推公式
第四章 第四节
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;
分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容:
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2 xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2
x
2e
x
2
ex2
C.
例9. 求
解: 令 u
x2 a2 , v 1, 则 u
x , vx
x2a2
x2 a2 dx x x2 a2
x2 x2 a2
dx
x
x2 a2
x
dx
1 x2 arctan x ln( x 1 x2 ) C .
例 8 已知 f ( x)的一个原函数是ex2 , 求 xf ( x)dx .
解 xf ( x)dx xdf ( x) xf ( x) f ( x)dx,
f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C ,
高等数学
李苹 计算机科学学院
第四章 第三节
分部积分法
由导数公式 (uv) uv uv
积分得: uv uvdx uvdx
uvdx uv uv dx 或 udv uv v du
分部积分公式
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
一、基本内容
问题 xe xdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
tan x lncos x tan x x C
例11. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
内容小结
分部积分公式 u vdx u v uv dx
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）u x, e xdx dv
x2e x 2( xe x e x ) C.
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函
数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx.