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中考数学复习一次函数压轴题练习

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滨州市数学初中九年级一次函数易错题压轴难题专项综合训练

滨州市数学初中九年级一次函数易错题压轴难题专项综合训练

滨州市数学初中九年级一次函数易错题压轴难题专项综合训练一、易错压轴选择题精选：一次函数选择题1．如图，直线l 分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 分别作CE x ⊥轴于点E ，作CF y ⊥轴于点F ，若四边形OECF 的周长为6，则直线l 的解析式为（ ）A ．6y x =-+B ．6y x =+C ．3y xD ．3y x =-+2．若一次函数y x m =-+的图像经过点()12-，，则不等式2x m -+≥的解集为（ ） A ．0x ≥B ．0x ≤C ．1≥xD ．1x ≤-3．点(),P x y 在第一象限，且6x y +=，点A 的坐标为()4,0，设OPA ∆的面积为S ，则下列图像中，能反映S 与x 之间的函数关系式的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．直线1:l y kx a =+如图所示，则下列关于直线2:2l y ax a =+的说法错误的是（ ）A ．直线2l 一定经过点(2,0)-B ．直线2l 经过第一、二、三象限C ．直线2l 与坐标轴围成的三角形的面积为2D ．直线2l 与直线3:2l y ax a =-+关于y 轴对称 5．如图，一次函数1y ax b 与一次函数24y kx =+的图象交点()1,3P ，则下列说法正确的个数是（ ）①1x =是方程3ax b +=的一个解； ②方程组4y ax b y kx =+⎧⎨=+⎩的解是31x y =⎧⎨=⎩；③不等式4ax b kx +>+的解集是1x >； ④不等式44ax b kx +<+<的解集是01x <<．A ．1B ．2C ．3D ．4 6．下列函数中y 随x 的增大而增大，且图象与x 轴交点在y 轴左侧的是（ ） A ．21y x =-B ．21y x =+C ．21y x =-+D ．21y x =--7．已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应y 的取值范围是19y ≤≤，则k b ⋅的值为（ ） A ．14B ．6-C ．6-或21D ．6-或148．如果一次函数的图象与直线32y x =平行且与直线y =x -2在x 轴上相交，则此函数解析式为（ ） A ．332y x =- B ．332y x =-- C ．332y x =+ D ．332y x =-+ 9．已知直线y 1=kx+1（k ＜0）与直线y 2=mx （m ＞0）的交点坐标为（12，12m ），则不等式组mx ﹣2＜kx+1＜mx 的解集为（ ） A ．x>12B ．12<x<32C ．x<32D ．0<x<3210．如图，直线y=-x+2分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，点D 在BA 的延长线上，OD 的垂直平分线交线段AB 于点C ．若△OBC 和△OAD 的周长相等，则OD 的长是( )A ．2B ．22C ．52D ．4 11．如图，在平面直角坐标系中，函数2y x =和y x =-的图象分别为直线1l ，2l ，过点()1,0作x 轴的垂线交1l 于点1A ，过点1A 作y 轴的垂线交2l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交1l 于点3A ，过点3A 作y 轴的垂线交2l 于点4A ，…，依次进行下去，则点2018A 的坐标为（ ）．A ．()100910092,2B ．()100910092,2-C ．()100910102,2--D ．()100910102,2-12．如图，点A ，B ，C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）A ．1B ．3C ．3(1)m -D ．3(2)2m -13．如图所示，已知点A(﹣1，2)是一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象上的一点，则下列判断中正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而减小B ．k ＞0，b ＜0C ．当x ＜0时，y ＜0D ．方程kx+b ＝2的解是x ＝﹣114．已知直线2y x =与y x b =-+的交点的坐标为(1，a )，则方程组2y xy x b =⎧⎨=-+⎩的解是( ) A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=⎩C ．23x y =⎧⎨=⎩D ．13x y =⎧⎨=⎩15．已知点()()()1222,,1,,1,y y y -- 都在直线y=-3x+m 上，则 123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．321y y y >>16．一次函数y ＝kx －(2－b)的图像如图所示，则k 和b 的取值范围是( )A ．k>0，b>2B ．k>0，b<2C ．k<0，b>2D ．k<0，b<2 17．在一次函数y ＝kx +1中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第（ ）象限A ．四B ．三C ．二D ．一18． 如图,直线l:33y x =,过点A(0,1)作y 轴的垂线交直线l 于点B,过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1,过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…按此作法继续下去,则点A 2015的坐标为( )A ．(0，20154)B ．(0, 20144)C ．(0, 20153)D ．(0, 20143)19．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为(1,1)A ，(3,1)B ，(2,2)C ，当直线3y kx =+与ABC ∆有交点时，k 的取值范围是（ ）A ．2132k -≤≤- B ．223k -≤≤-C ．223k -<<-D ．122k -≤≤-20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （―3，6）、B （―9，一3），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ）A ．（―1，2）B ．（―9，18）C ．（―9，18）或（9，―18）D ．（―1，2）或（1，―2）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错压轴选择题精选：一次函数选择题 1．C 【分析】设点C 的坐标为（x ，y ），根据矩形的性质得到CF+CE=3，得到直线l 的表达式． 【详解】解：设点C 的坐标为（x ，y ）， ∵四边形OECF 的周长为6， ∴CF+CE=3，∴|x|+|y|=3，即y=x+3， ∴直线l 的表达式为y=x+3， 故选：C ． 【点睛】本题考查的是一次函数解析式的求法，灵活运用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 2．D 【分析】将（-1，2）代入y=-x+m 中求得m ，然后再解不等式2x m -+≥即可． 【详解】解：∵把（-1，2）代入y=-x+m 得1+m=2，解得m=1 ∴一次函数解析式为y=-x+1， 解不等式12x -+≥得1x ≤- 故答案为D ． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看就是找出使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0时目变量x 的取值范围． 3．B 【分析】先用x 表示出y ，再利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点P(x ，y)在第一象限内，且x+y=6， ∴y=6-x （0＜x ＜6，0＜y ＜6）． ∵点A 的坐标为(4，0)， ∴S=12×4×(6-x)=-2x+12（0＜x ＜6）， ∴B 符合． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意x ，y 的取值范围． 4．C 【分析】取2x =-，代入计算2y ax a =+求得y 值，可判断A ；由直线1l 可得到0a >，推出直线2l 所经过的象限，即可判断B ；求得直线2l 与坐标轴围成的面积，可判断C ；分别求得直线2l 和直线3l 与与坐标轴的交点坐标，即可判断D ．【详解】A 、当2x =-时，220y a a =-+=，所以直线2l 一定经过点(-2，0)，选项A 正确；B 、由直线1l 的图象知：0a >，则直线2l 经过第一、二、三象限，选项B 正确；C 、直线2l 与x 轴相交于点(-2，0)，与y 轴相交于点(0，2a )，则直线2l 与坐标轴围成的三角形的面积为12222a a ⨯⨯=，选项C 错误，符合题意； D 、直线2l 与x 轴相交于点(-2，0)，与y 轴相交于点(0，2a )，直线3l 与x 轴相交于点(2，0)，与y 轴相交于点(0，2a )，而点(-2，0)与点(2，0)关于y 轴对称，则直线2l 与直线3l 关于y 轴对称，选项D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键． 5．C 【分析】根据函数图象上点的特征和方程及不等式的关系可以直接作出判断． 【详解】解：①如图所示，一次函数1y ax b 与一次函数24y kx =+的图象交于点(1,3)P ，则点(1,3)P 位于直线1y ax b 上，所以1x =是方程3ax b +=的一个解，故①说法正确．②如图所示，一次函数1y ax b 与一次函数24y kx =+的图象交于点(1,3)P ，则方程组4y ax b y kx =+⎧⎨=+⎩的解是13x y =⎧⎨=⎩，故②说法错误． ③如图所示，一次函数1y ax b 与一次函数24y kx =+的图象交于点(1,3)P ，则不等式4ax b kx +>+的解集是1x >，故③说法正确．④如图所示，一次函数1y ax b 与一次函数24y kx =+的图象交于点(1,3)P ，且直线24y kx =+与y 轴的交点是(0,4)，则不等式44ax b kx +<+<的解集是01x <<，故④说法正确．综上所述，说法正确的个数是3， 故选：C ． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y kx b =+的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y kx b =+在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．6．B 【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的函数解析式，可以判断哪个选项中的函数y 随x 的增大而增大，且图象与x 轴交点在y 轴左侧，本题得以解决． 【详解】解：函数y=2x-1，y 随x 的增大而增大，与x 轴的交点是（0.5，0），在y 轴右侧，故选项A 不符题意；函数y=2x+1，y 随x 的增大而增大，与x 轴的交点是（-0.5，0），在y 轴左侧，故选项B 符题意；函数y=-2x+1，y 随x 的增大而减小，与x 轴的交点是（0.5，0），在y 轴右侧，故选项C 不符题意；函数y=-2x-1，y 随x 的增大而减小，与x 轴的交点是（-0.5，0），在y 轴左侧，故选项D 不符题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 7．D 【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：由一次函数性质知，当k>0时，y 随x 的增大而增大，所以得319k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得27k b =⎧⎨=⎩，即kb=14；当k<0时，y 随x 的增大而减小，所以得391k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得23k b =-⎧⎨=⎩，即kb=-6．∴k b ⋅的值为6-或14． 故选D ． 【点睛】此题考查一次函数的性质,要注意根据一次函数图象的性质解答． 8．A 【分析】设所求的直线的解析式为y kx b =+，先由所求的直线与32y x =平行求出k 的值，再由直线y kx b =+与直线y =x －2在x 轴上相交求出b 的值，进而可得答案． 【详解】解：设所求的直线的解析式为y kx b =+， ∵直线y kx b =+与直线32y x =平行，∴32 k，∵直线y=x－2与x轴的交点坐标为（2，0），直线32y x b=+与直线y=x－2在x轴上相交，∴3202b⨯+=，解得：b=﹣3；∴此函数的解析式为332y x=-．故选：A．【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点以及利用待定系数法求一次函数的解析式，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．9．B【分析】由mx﹣2＜（m﹣2）x+1，即可得到x＜32；由（m﹣2）x+1＜mx，即可得到x＞12，进而得出不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为12＜x＜32．【详解】把（12，12m）代入y1=kx+1，可得1 2m=12k+1，解得k=m﹣2，∴y1=（m﹣2）x+1，令y3=mx﹣2，则当y3＜y1时，mx﹣2＜（m﹣2）x+1，解得x＜32；当kx+1＜mx时，（m﹣2）x+1＜mx，解得x＞12，∴不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为12＜x＜32，故选B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．10．B【分析】根据直线解析式可得OA和OB长度，利用勾股定理可得AB长度，再根据线段垂直平分线的性质以及两个三角形周长线段，可得OD=AB．【详解】当x=0时，y=2∴点B（0,2）当y=0时，-x+2=0解之：x=2∴点A（2,0）∴OA=OB=2∵点C在线段OD的垂直平分线上∴OC=CD∵△OBC和△OAD的周长相等，∴OB+OC+BC=OA+OD+AD∴OB+BC+CD=OA+OD+ADOB+BD=OA+OD+AD即OB+AB+AD=OB+OD+AD∴AB=OD在Rt△AOB中=故选B【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点坐标特征、线段垂直平分线的性质、以及勾股定理．11．B【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2018=504×4+2即可找出点A2018的坐标．【详解】解：当x=1时，y=2，∴点A1的坐标为（1，2）；当y=-x=2时，x=-2，∴点A2的坐标为（-2，2）；同理可得：A3（-2，-4），A4（4，-4），A5（4，8），A6（-8，8），A7（-8，-16），A8（16，-16），A9（16，32），…，∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）．∵2018=504×4+2，∴点A2018的坐标为（-2504×2+1，2504×2+1），即（-21009，21009）．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．12．B【分析】根据横坐标分别求出A,B,C的坐标,利用坐标的几何性质求面积即可.【详解】解：当x=-1时y=-2×(-1)+m=2+m,故A点坐标(-1,2+m);当x=0时,y=-2×0+m=m,故一次函数与y轴交点为(0,m);当x=1时,y=-2×1+m=-2+m,故B点坐标(1,-2+m);当x=2时,y=-2×2+m=-4+m,故C点坐标(2,-4+m),则阴影部分面积之和为1112m m22⨯⨯+-+×1×[m-(-2+m)]+12×1×[(-2+m)-(-4+m)]=1+1+1=3,故选B.【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质,中等难度,利用坐标表示底和高是解题关键.13．D【分析】根据一次函数的性质判断即可．【详解】由图象可得：A、y随x的增大而增大；B、k＞0，b＞0；C、当x＜0时，y＞0或y＜0；D、方程kx+b＝2的解是x＝﹣1，故选：D．【点睛】考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象与系数的关系，正确的识别图象是解题的关键．14．A【解析】将交点（1,a)代入两直线：得：a=2，a=-1+b，因此有a=2，b=a+1=3，即交点为(1，2)，而交点就是两直线组成的方程组2y x y x b =⎧⎨=-+⎩的解， 即解为x=1，y=2，故选A.15．A【分析】根据在y=-3x+m 中，-3＜0，则y 随x 的增大而减小，然后根据一次函数的增减性解答即可．【详解】∵直线3y x m =-+ 中30-< ，∴ y 随 x 的增大而减小，又∵点 ()()()1232,,1,,1,y y y -- 都在直线上，且211-<-<．∴y 1＞y 2＞y 3故答案为A ．【点睛】本题考查了一次函数的增减性，灵活运用一次函数的性质是正确解答本题的关键． 16．B【分析】根据一次函数的图象经过一、三、四象限列出b 的不等式，求出b 及k 的取值范围即可．【详解】∵一次函数y=kx-（2-b ）的图象经过一、三、四象限，∴k>0，-（2-b ）<0，解得b<2．故选B ．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 17．A【分析】利用一次函数的性质得到k ＞0，则可判断直线y ＝kx+1经过第一、三象限，然后利用直线y ＝kx+1与y 轴的交点为（0，1）可判断直线y ＝kx+1不经过第四象限．【详解】∵y ＝kx+1，y 随x 的增大而增大，∴k ＞0，∴直线y ＝kx+1经过第一、三象限，而直线y ＝kx+1与y 轴的交点为（0，1），∴直线y＝kx+1经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选A．【点睛】本题考查了一次函数的性质：对于一次函数y＝kx+b，当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．18．A【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2015标即可．【详解】解：∵直线l的解析式为：y x=，∴直线l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO=30°，∵OA=1，∴∵A1B⊥l，∴∠ABA1=60°，∴AA1=3，∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…，∴A2015纵坐标为：42015，∴A2015（0，42015）．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．19．B【分析】把A点和B点坐标分别代入y=kx+3中求出对应的的值，即可求得直线y=kx+3与△ABC有交点时k的临界值，然后再确定k的取值范围．【详解】解：把A（1,1）代入y=kx+3得1=k+3，解得k=-2把B（3,1）代入y=kx+3得1=3k+3，解得：k=2 3 -所以当直线y=kx+3与△ABC有交点时，k的取值范围是223k-≤≤-．故答案为B．【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系,将A、B点坐标代入解析式确定k的边界点是解答本题的关键．20．D【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA' OA＝1 3.∴A EAD'＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.。

(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《一次函数》专题训练(含答案解析)

(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《一次函数》专题训练(含答案解析)

中考数学二轮复习：《一次函数》压轴专题训练1．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点（不与点A、点B重合）．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C 落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．初步探究（1）当AP＝4时①直接写出点E的坐标；②求直线EF的函数表达式．深入探究（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．拓展应用（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．2．已知直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，四边形OBCD的面积为36．（1）求直线AB的解析式；（2）点P为线段OD上一点，连接CP，点H为CP上一点，连接BH，且BH＝BC，过点H作CP的垂线交CD、OB于E、F，连接AE、AC，设点P的横坐标为t，△ACE的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，连接OH，过点F作FK⊥OH交x轴于点K，若PD＝PK，求点P的坐标．3．如图（1）所示，在A，B两地间有一车站C，甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地，两车速度相同．如图（2）是两辆汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．（1）填空：a＝km，b＝h，AB两地的距离为km；（2）求线段PM、MN所表示的y与x之间的函数表达式（自变量取值范围不用写）；（3）求行驶时间x满足什么条件时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小？4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于分别交于点C、点D，直线AB的解析式为y＝﹣x+5，直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），两直线交于点E（m，），且OB：OC＝5：4．（1）求直线CD的解析式；（2）将直线CD向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，求四边形AEDF 的面积．5．小明从家去李宁体育馆游泳，同时，妈妈从李宁体育馆以50米/分的速度回家，小明到体育馆后发现要下雨，立即返回，追上妈妈后，小明以250米/分的速度回家取伞，立即又以250米/分的速度折回接妈妈，并一同回家．如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象．（注：小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走，图象上A、C、D、F四点在一条直线上）（1）求线段OB及线段AF的函数表达式；（2）求C点的坐标及线段BC的函数表达式；（3）当x为时，小明与妈妈相距1500米；（4）求点D坐标，并说明点D的实际意义．6．如图1，已知直线AC：y＝﹣x+b1和直线AB：y＝kx+b2交于x轴上一点A，且分别交y轴于点C、点B，且OB＝2OC＝4．（1）求k的值；＝9时，在线段AC上取一点F，使（2）如图1，点D是直线AB上一点，且在x轴上方，当S△ACD得CF＝FA，点M，N分别为x轴、轴上的动点，连接NF，将△CNF沿NF翻折至△C′NF，求MD+MC′的最小值；（3）如图2，H，P分别为射线AC，AO上的动点，连接PH，PC是否存在这样的点P，使得△PCH 为等腰三角形，△PHA为直角三角形同时成立．请直接写出满足条件的点P坐标．7．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB 的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，直线BC：y＝x+交x轴于点B，点A在x轴正半轴上，OC为△ABC的中线，C的坐标为（m，）（1）求线段CO的长；（2）点D在OC的延长线上，连接AD，点E为AD的中点，连接CE，设点D的横坐标为t，△CDE 的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点F为射线BC上一点，连接DB、DF，且∠FDB＝∠OBD，CE＝，求此时S值及点F坐标．9．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2相交于点P，分别与y轴交于A、B两点．（1）求点P的坐标；（2）求△ABP的面积；（3）M、N分别是直线y＝﹣x+1和y＝x﹣2上的两个动点，且MN∥y轴，若MN＝5，直接写出M、N 两点的坐标．11．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．12．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T（x，y）是点D 和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为；（2）求点T（x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（，）和B（2，0），且与y轴交于点D，直线OC与AB交于点C，且点C的横坐标为．（1）求直线AB的解析式；（2）连接OA，试判断△AOD的形状；（3）动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．15．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．①求点C的坐标；②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．参考答案1．解：（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即a2＝（8﹣a）2+16，解得：a＝5，故点E（0，5），故答案为：（0，5）；②过点F作FR⊥y轴于点R，折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，∴∠EFR+∠FER＝90°，而∠FER+∠AOP＝90°，∴∠AOP＝∠EFR，而∠OAP＝∠FRE，RF＝AO，∴△AOP≌△FRE（AAS），∴ER＝AP＝4，OR＝EO﹣OR＝5﹣4＝1，故点F（8，1），将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线EF的表达式为：y＝﹣x+5；（2）证明：∵PE＝OE，∴∠EOP＝∠EPO．又∵∠EPH＝∠EOC＝90°，∴∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP．即∠POC＝∠OPH．又∵AB∥OC，∴∠APO＝∠POC．∴∠APO＝∠OPH；（3）解：如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APO＝∠OPH，在△AOP和△QOP中，∠APO＝∠OPH，∠A＝∠OQP，OP＝OP，∴△AOP≌△QOP（AAS）．∴AP＝QP，AO＝OQ．又∵AO＝OC，∴OC＝OQ．又∵∠C＝∠OQH＝90°，OH＝OH，∴△OCH≌△OQH（SAS）．∴CH＝QH．∴△PHB的周长＝PB+BH+PH＝AP+PB+BH+HC＝AB+CB＝16；故答案为：16．2．解：（1）∵将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，∴OB＝BC，∠OBC＝90°，∵CD⊥x轴于点D，∴∠CDO＝90°，∵∠BOD＝90°，∴四边形OBCD为正方形，∵四边形OBCD的面积为36．∴OB＝6，∵直线y＝2x+b与y轴交于点B，∴b＝6，∴直线AB的解析式为y＝2x+6；（2）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A，∴A（﹣3，0），如图1，过点B作BL⊥CP，垂足为L，交CD于点M，∵BH＝BC，∴CL＝HL，∵BL⊥CP，EF⊥CP，∴BM∥EF，∴CM＝ME，∵∠CBM+∠BMC＝∠BMC+∠MCL＝90°∴∠CBM＝∠PCD，∵∠BCM＝∠PDC，BC＝CD，∴△BCM≌△CDP（ASA），∴CM＝PD，∴PD＝CM＝ME＝6﹣t，∴CE＝2CM＝2（6﹣t），∵AD＝OA+OD＝9，∴S＝＝＝﹣9t+54（0≤t≤6）；（3）设PD＝a，如图2，∵BF∥CD，BM∥EF，∴四边形BFEM是平行四边形，∴BF＝EM＝PD＝a，连接FP，设FK与OH交于A'，∴∠OFP＝45°，∵∠FOP+∠FHP＝180°，∴F、O、P、H四点共圆，∴∠OFP＝∠OHP＝45°，∴∠OHF＝45°，∵FK⊥OH，∴∠FA'H＝90°，∴∠EFK＝45°，如图3，过点E作ER⊥EF交射线FK于点R，∴△EFR为等腰直角三角形，∴EF＝ER，过点F作FG⊥CD于点G，过点R作x轴的平行线交y轴于点Q，交CD的延长线于点N，连接KE、∴∠RNE＝∠FGE＝90°，∠FEG＝∠ERN，∴△EFG≌△REN（AAS），∴EN＝FG，EG＝RN＝PD＝a，∵CG＝BF＝a，GE＝a，∴DN＝CE＝2a＝OQ，OF＝a+b，∵PD＝PK＝a，OD＝CD＝2a+b，∴OK＝b，∵OK∥QR，∴，即，∴b（3a+b）＝（a+b）2，∴a＝b，∴3a＝6，∴a＝2，∴P（4，0）．3．解：（1）两车的速度为：300÷5＝60km/h，a＝60×（7﹣5）＝120，b＝7﹣5＝2，AB两地的距离是：300+120＝420，故答案为：120，2，420；（2）设线段PM所表示的y与x之间的函数表达式是y＝kx+b，，得，即线段PM所表示的y与x之间的函数表达式是y＝﹣60x+300；设线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝mx+n，，得，即线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝60x﹣300；（3）设DE对应的函数解析式为y＝cx+d，，得，即DE对应的函数解析式为y＝﹣60x+120，设EF对应的函数解析式为y＝ex+f，，得，即EF对应的函数解析式为y＝60x﹣120，设甲、乙两车距离车站C的路程之和为skm，当0≤x≤2时，s＝（﹣60x+300）+（﹣60x+120）＝﹣120x+420，则当x＝2时，s取得最小值，此时s＝180，当2＜x≤5时，s＝（﹣60x+300）+（60x﹣120）＝180，当5≤x≤7时，s＝（60x﹣300）+（60x﹣120）＝120x﹣420，则当x＝5时，s取得最小值，此时s＝180，由上可得，行驶时间x满足2≤x≤5时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小．4．解：（1）将点E（m，）代入直线AB的解析式y＝﹣x+5，解得m＝，∴点E的坐标为（，），OB：OC＝5：4，OB＝5，∴OC＝4，∴点C坐标为（﹣4，0），将点E（，），点C（﹣4，0），代入直线CD的解析式y＝kx+b中，解得所以直线CD解析式为y＝x+2．（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝8，所以A点坐标为（8，0），∵直线CD向下平移一定的距离，平移后的直线经过A点，且与y轴交于点，∴设直线AF的解析式为y＝x+d，把A（8，0）代入得d＝﹣4，所以直线AF 的解析式为y ＝x ﹣4． 所以点F 的坐标为（0，﹣4）． 如图，作EG ⊥x 轴于点G ， 所以四边形AEDF 的面积为： S 梯形ODEG +S △AEG +S △AOF ＝（2+）×+××（8﹣）+4×8＝32．答：四边形AEDF 的面积为32． 5．解：（1）设OB 的函数表达式为y ＝kx ， 30k ＝3000，得k ＝100，即线段OB 的函数表达式为y ＝100x （0≤x ≤30）； 点F 的横坐标为：3000÷50＝60， 则点F 的坐标为（60，0），设直线AF 的函数表达式为：y ＝k 1x +b 1，，得，即直线AF 的函数表达式为y ＝﹣50x +3000； （2）当x ＝45时，y ＝﹣50×45+3000＝750， 即点C 的坐标为（45，750）， 设线段BC 的函数表达式为y ＝k 2x +b 2，，得，即线段BC 的函数表达式是y ＝﹣150x +7500（30≤x ≤45）；（3）当小明与妈妈相距1500米时，﹣50x +3000﹣100x ＝1500或100x ﹣（﹣50x +3000）＝1500或（﹣150x +7500）﹣（﹣50x +3000）＝1500， 解得：x ＝10或x ＝30，∴当x 为10或30时，小明与妈妈相距1500米． 故答案为：10或30；（4）∵750÷250＝3（分钟），45+3＝48， ∴点E 的坐标为（48，0）∴直线ED 的函数表达式y ＝250（x ﹣48）＝250x ﹣12000， ∵AF 对应的函数解析式为y ＝﹣50x +3000， ∴，得，∴点D 的坐标为（50，500），实际意义：小明将在50分钟时离家500米的地方将伞送到妈妈手里． 6．解：（1）OB ＝2OC ＝4，则点B 、C 的坐标分别为：（0，﹣4）、（0，2），将点C 的坐标代入AC ：y ＝﹣x +b 1并解得： AC 的表达式为：y ＝﹣x +2，令y ＝0，则x ＝6，故点A （6，0），将点B 、A 的坐标代入y ＝kx +b 2得：，解得：，故直线AB 的表达式为：y ＝x ﹣4，即k ＝；（2）由点B 、C 的坐标得，BC ＝6，S △ACD ＝S △BCD ﹣S △BCA ＝×BC ×（x D ﹣x A ）＝×6（x D ﹣6）＝9，解得：x D ＝9， 当x ＝9时，y ＝x ﹣4＝2，故点D （9，2）；CF ＝FA ，即CF ＝AC ＝＝，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，由直线AC的表达式知，∠OCA＝60°，则HF＝CF sin60°＝＝，CH＝，故点F（，），作点D关于x轴的对称点D′（9，﹣2），连接C′D′，当D′、C′、F三点共线时，MD+MC′最小，MD+MC′最小值为D′F﹣F′C′＝D′F﹣CF＝﹣＝﹣；（3）由直线AC的表达式知，∠CAO＝30°，AC＝＝4；①当∠PHA＝90°时，则△PHC为等腰直角三角形，设HP＝CH＝a，则AP＝2HP，HA＝＝a，AC＝CH+HA＝a a＝4，解得：a＝6﹣2，AP＝2a＝12﹣4，则AP＝6﹣（12﹣4）＝4﹣6，故点P（4﹣6，0）；②当∠CPH＝90°时，则CPH为等腰三角形，则HP＝CP，设HP＝CP＝a，则在Rt△PHA中，HA＝2HP＝2a，∵∠CPH＝90°，∴HP∥OC，则，即＝，解得：a＝，PA＝＝a＝4，故点P（2，0）；综上，点P的坐标为：（2，0）或（4﹣6，0）．7．解：（1）直线BC的解析式为y＝kx﹣2，则点C（0，﹣2），将点C的坐标代入y＝﹣x+b得：﹣2＝b，解得：b＝﹣2，故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2；△BOC的面积＝OB•CO＝2×OB＝6，解得：OB＝6，故点B（6，0），将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝6k﹣2，解得：k＝；故k＝，b＝﹣2；（2）将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，则点D（0，2），由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝x+2；过点B作点B关于直线AD的对称点B′，连接B′C交AD于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求点，点C是点D关于x轴的对称点，则MC＝MD，而NB＝NB′，故DM+MN+NB＝MC+MN+NB′＝B′C为最小，直线AD的倾斜角为45°，BB′⊥AC，则AB＝AB′＝8，直线AB′与AD的夹角也为45°，故直线AB′⊥AB，故点B′（﹣2，8），由点B′、C的坐标得，直线B′C的表达式为：y＝﹣5x﹣2，令y＝0，即﹣5x﹣2＝0，解得：x＝﹣，故点M（﹣，0），DM+MN+NB最小值为B′C＝＝2；（3）设△AOD沿着直线AC向右平移m个单位，向下平移m个单位得到△A′O′D′，则点A′（m ﹣2，﹣m），设直线A′D′的表达式为：y＝x+b′，将点A′的坐标代入上式得：﹣m＝m﹣2+b′，解得：b′＝2﹣2m，则直线A′D′的表达式为：y＝x+2﹣2m，令y＝0，则x＝2m﹣2，故点P（2m﹣2，0），而点A′（m﹣2，﹣m），点D（0，2），则A′P2＝2m2，A′D2＝（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝2m2+8，PD2＝（2m﹣2）2+4；当A′P＝A′D时，2m2＝2m2+8，解得：方程无解；当A′P＝PD时，同理可得：m＝2；当A′D＝PD时，同理可得：m＝0（舍去）或4，综上，点P（2，0）或（6，0）．8．解：（1）∵直线BC：y＝x+交x轴于点B，∴点B坐标（﹣8，0），∵C的坐标为（m，）∴＝x+，∴m＝﹣，∴点C坐标为（﹣，）∴CO＝＝5；（2）如图，∵OC为△ABC的中线，∴BO＝AO＝8，∴S＝×8×＝10，△ACO∵点C坐标为（﹣，），点O坐标（0，0）∴直线CO解析式为：y＝﹣x，∴点D （t ，﹣t ），∴S △AOD ＝×8×（﹣t ）＝﹣4t ，∴S △ACD ＝S △AOD ﹣S △AOC ＝﹣4t ﹣10，∵点E 为AD 的中点， ∴S ＝S △ACD ＝﹣2t ﹣5；（3）∵点D （t ，﹣t ），点A （8，0），点E 是AD 中点，∴点E 坐标（，﹣t ），∵CE ＝，∴（﹣﹣）2+（+t ）2＝13，∴t 1＝﹣6，t 2＝﹣8， ∴点D （﹣6，）或（﹣8，8）， 当t 1＝﹣6时，则点D （﹣6，），S ＝﹣2×（﹣6）﹣5＝7，延长DF 交x 轴于点H ，设点H （x ，0） ∵∠FDB ＝∠OBD ， ∴DH ＝BH ， ∴x +8＝∴x ＝20， ∴点H （20，0），设直线DH 的解析式为：y ＝kx +b ， ∴∴∴直线DH的解析式为：y＝﹣x+，∴x+＝﹣x+，∴x＝，∴点F（，），当t2＝﹣8，点D（﹣8，8），S＝﹣2×（﹣8）﹣5＝11，∵点D（﹣8，8），点B（﹣8，0），∴∠DBO＝90°，∵∠FDB＝∠OBD＝90°，∴DF∥BO，∴点F的纵坐标为8，∴8＝x+，∴x＝，∴点F（，8）．综上所述：点F坐标为（，）或（，8）．9．解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S＝BF（x C﹣x D）＝＝4；△BCD（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．10．解：（1）∵直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2相交于点P∴，解之得：，∴P点坐标为：，（2）∵直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2分别交y轴于A、B两点∴A（0，1），B（0，﹣2），∴AB＝3，由（1）知P∴S △ABP ＝＝；（3）设M （m ，﹣m +1），则N （m ，m ﹣2）， ∵MN ＝5，∴|﹣m +1﹣（m ﹣2）|＝5， 解得m ＝﹣1或m ＝4，∴M （4，﹣3），N （4，2）或M （﹣1，2），N （﹣1，﹣3）． 11．解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：，解得：，故直线l 的表达式为：；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 2＝OA 2+OB 2＝32+22＝13 ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴S △ABC ＝AB 2＝；（3）连接BP ，PO ，PA ，则： ①若点P 在第一象限时，如图1：∵S △ABO ＝3，S △APO ＝a ，S △BOP ＝1， ∴S △ABP ＝S △BOP +S △APO ﹣S △ABO ＝，即，解得；②若点P 在第四象限时，如图2：∵S △ABO ＝3，S △APO ＝﹣a ，S △BOP ＝1， ∴S △ABP ＝S △BOP +S △APO ﹣S △ABO ＝，即，解得a ＝﹣3；故：当△ABC 与△ABP 面积相等时，实数a 的值为或﹣3．12．解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6， ∴x +2＝6， 解得，x ＝4，∴点E 的坐标是（4，6），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点， ∴x ＝＝，y ＝＝2，∴点T 的坐标为（，2）， 故答案为：（，2）；（2）设点E 的坐标为（a ，a +2）， ∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点， ∴x ＝，y ＝，解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2， ∴3x ﹣3＝3y ﹣2， 整理得，y ＝x ﹣；（3）设点E 的坐标为（a ，a +2），则点T的坐标为（，），当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）．13．解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣x+联立，解得：，故：．14．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+2；（2）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，则点D（0，2），由点A、B、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，故△AOD为直角三角形；（3）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，故点C（，1），则OC＝2，则直线AB的倾斜角为30°，即∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°故点C（，1），则OC＝2，则点C是AB的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，①当OP＝OM时，如图1，则∠OMP＝∠MPO＝（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，过点P作PH⊥y轴于点H，则OH＝OP＝（2﹣t），由勾股定理得：PH＝（2﹣t）＝QH，OQ＝QH+OH＝（2﹣t）+（2﹣t）＝t，解得：t＝；②当MO＝MP时，如图2，则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，故OQ＝OP，即t＝（2﹣t），解得：t＝；③当PO＝PM时，则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，故这种情况不存在；综上，t＝或．15．解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．。

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。

中考数学总复习《一次函数》专项测试卷(带有答案)

中考数学总复习《一次函数》专项测试卷(带有答案)

中考数学总复习《一次函数》专项测试卷(带有答案)时间：45分钟满分：100分学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．(2023·鄂州)象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(－2，－1)的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ( )第1题图A．y＝x＋1 B．y＝x－1C．y＝2x＋1 D．y＝2x－12．(2023·无锡)将函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是( )A．y＝2x－1 B．y＝2x＋3C．y＝4x－3 D．y＝4x＋53．(2023·兰州)一次函数y＝kx－1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是( )A．2 B．1 C．－1 D．－24．(2023·陕西)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a为常数，a＜0)的图象可能是( )A BC D5．(2023·荆州)如图，直线y ＝－32x ＋3分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，将△OAB绕着点A 顺时针旋转90°得到△CAD，则点B 的对应点D 的坐标是( )第5题图A ．(2，5)B ．(3，5)C ．(5，2)D ．(13，2)6．(2023·苏州)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则k 2－b 2＝ ．7．(2023·天津)若直线y ＝x 向上平移3个单位长度后经过点(2，m)，则m 的值为 ．8．(2023·南充)如图，直线y ＝kx －2k ＋3(k 为常数，k ＜0)与x ，y 轴分别交于点A ，B ，则2OA ＋3OB的值是 ．第8题图9．(2023·迎江区三模)如图，直线y＝kx＋b与直线y＝－x相交于点A，则关于x的不等式0＜－x＜kx＋b的解集为．第9题图10．(2022·东营改编)如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，是等边三角形，直线y＝33x＋2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…，在x轴上，则点A2 024的横坐标是．第10题图11．(2023·眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(－8，6)，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝－2x－6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝－2x－6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为．第11题图12．(2023·绥化)某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A，B两型客车(每种型号的客车至少租用一辆)．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5 500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？(3)在这次活动中，学校除租用A，B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象．根据图象信息，求甲、乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．第12题图参考答案1．(2023·鄂州)象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(－2，－1)的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ( A)第1题图A．y＝x＋1 B．y＝x－1C．y＝2x＋1 D．y＝2x－12．(2023·无锡)将函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是( A)A．y＝2x－1 B．y＝2x＋3C．y＝4x－3 D．y＝4x＋53．(2023·兰州)一次函数y＝kx－1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是( D)A．2 B．1 C．－1 D．－24．(2023·陕西)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a为常数，a＜0)的图象可能是( D)A BC D5．(2023·荆州)如图，直线y ＝－32x ＋3分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，将△OAB绕着点A 顺时针旋转90°得到△CAD，则点B 的对应点D 的坐标是( C )第5题图A ．(2，5)B ．(3，5)C ．(5，2)D ．(13，2)6．(2023·苏州)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则k 2－b 2＝－6．7．(2023·天津)若直线y ＝x 向上平移3个单位长度后经过点(2，m)，则m 的值为5．8．(2023·南充)如图，直线y ＝kx －2k ＋3(k 为常数，k ＜0)与x ，y 轴分别交于点A ，B ，则2OA ＋3OB的值是1．第8题图9．(2023·迎江区三模)如图，直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝－x 相交于点A ，则关于x 的不等式0＜－x ＜kx ＋b 的解集为－2＜x ＜0．第9题图10．(2022·东营改编)如图，△AB 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，是等边三角形，直线y ＝33x ＋2经过它们的顶点A ，A 1，A 2，A 3，…，点B 1，B 2，B 3，…，在x 轴上，则点A 2 024的横坐标是(22 025－2)3．第10题图11．(2023·眉山)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(－8，6)，过点B 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为点C ，点A ，直线y ＝－2x －6与AB 交于点D ，与y 轴交于点E ，动点M 在线段BC 上，动点N 在直线y ＝－2x －6上，若△AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为(－8，6)或(－8，23)．第11题图12．(2023·绥化)某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A ，B 两型客车(每种型号的客车至少租用一辆)．A 型车每辆租金500元，B 型车每辆租金600元．若5辆A 型和2辆B 型车坐满后共载客310人；3辆A 型和4辆B 型车坐满后共载客340人．(1)每辆A 型车、B 型车坐满后各载客多少人？(2)若该校计划租用A 型和B 型两种客车共10辆，总租金不高于5 500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用A ，B 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象．根据图象信息，求甲、乙两车第一次相遇后，t 为何值时两车相距25千米．第12题图解：(1)设每辆A 型车坐满后载客x 人，每辆B 型车坐满后载客y 人根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝310，3x ＋4y ＝340，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝55，∴每辆A 型车坐满后载客40人，每辆B 型车坐满后载客55人； (2)设租用A 型车m 辆，则租用B 型车(10－m)辆 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧500m ＋600（10－m ）≤5 500，40m ＋55（10－m ）≥420， 解得5≤m ≤823∵m 是正整数 ∴m 可取5，6，7，8 ∴共有4种方案 设总租金为w 元根据题意，得w ＝500m ＋600(10－m)＝－100m ＋6 000 ∵－100＜0∴w 随m 的增大而减小∴m ＝8时，w 最小为－100×8＋6 000＝5 200(元)； ∴租用A 型车8辆，租用B 型车2辆最省钱； (3)设s 甲＝kt ，把(4，300)代入，得 300＝4k 解得k ＝75 ∴s 甲＝75t设s 乙＝k 1t ＋b ，把(0.5，0)，(3.5，300)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0.5k 1＋b ＝0，3.5k 1＋b ＝300， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝100，b ＝－50，∴s 乙＝100t －50∵两车第一次相遇后，相距25千米 ∴100t －50－75t ＝25或300－75t ＝25解得t ＝3或t ＝113∴在甲乙两车第一次相遇后，当t ＝3小时或113小时时，两车相距25千米．。

一次函数压轴题精选(含详细答案)

一次函数压轴题精选(含详细答案)

一次函数压轴题精选（含详细答案答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：；点B的坐标：；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG 折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G的坐标．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．（1）点C的坐标为，点B的坐标为；（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m ＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．8．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2．类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求点D的坐标；（2）点P在移动的过程中，点D是否在直线y=x﹣2上？请说明理由；（3）连接OB交AD于点G，求证：AG=DG．10．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y 轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（Ⅰ）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（Ⅱ）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD上寻找点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．11．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．12．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，3），点O（0，0）（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△A′OP，连接BA′，当BA′取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（4，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．14．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B 分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P 的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）直线AB：y=mx+n与直线OB：y=kx相交于点B，不解关于x，y的方程组，请你求出它的解；（2）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？（3）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．16．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF=45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．17．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B 坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．18．平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．（1）当k=1时，求点P的坐标；（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．19．如图，直线y=kx+k交x轴，y轴分别于A，C，直线BC过点C交x轴于B，OC=3OA，∠CBA=45°．（1）求直线BC的解析式；（2）动点P从A出发沿射线AB匀速运动，速度为2个单位/秒，连接CP，设△PBC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在AB的延长线上运动时，过点O作OD⊥PC 于D，交BC于点E，连接AE，当∠EAB=∠CPA时，在坐标轴上有点K，且KC=KP，求点K的坐标．20．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B，过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，点P从D出发，沿着射线ED的方向向上运动，设PD=n．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）若以P为直角顶点，PB为直角边在第一象限作等腰直角△BPC，请问随着点P的运动，点C是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．21．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE=EF．（2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．①在点E滑动过程中，AE=EF是否一定成立？请说明理由；②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y=﹣2x+6上，求此时点F的坐标．22．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l 与OP交于点M，与对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．23．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．（1）当t=时，求直线DE的函数表达式：（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当OD2+DE2取最小值时，求点E的坐标．24．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC 上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线OA的函数表达式为y=2x，直线AB的函数表达式为y=﹣3x+b，点B的坐标为．点P沿折线OA﹣AB运动，且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m，△OPB的面积为S．（1）请直接写出b的值．（2）求点A的坐标．（3）求S与m之间函数关系，并直接写出对应的自变量m的取值范围．（4）过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的m的值．26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．（1）判断△AOB的形状；（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若QO=QA，求P点的坐标．（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．28．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ；直线AB 与直线y=x 交于点A ，连接CD ，直线CD 与直线y=x 交于点Q ．（1）求证：OB=OC ；（2）当点C 坐标为（0，3）时，求点Q 的坐标；（3）当△OPC ≌△ADP 时，直接写出C 点的坐标．29．如图1，直线AB ：y=﹣x ﹣b 分别与x ，y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴与C ，且OB ：OC=3：1．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）直线EF ：y=x ﹣k （k ≠0）交直线AB 于E ，交直线BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．（3）如图2，P 为x 轴上A 点右侧的一动点，以P 为直角顶点，BP 为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA 并延长交y 轴于点K ．当P 点运动时，K 点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为m．（1）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=5：13时，求m的值；（2）若∠ACP′=60°，试用m的代数式表示n；（3）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．31．如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN 的长；（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．32．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x 对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于y=2x+2，分别令x与y为0求出A与B坐标，根据CO=CD=4，求出D坐标，确定出直线AD解析式即可；（2）存在，如图所示，设出P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时；当BP3=BD时；当BP4=DP4，分别求出P坐标即可．【解答】解：（1）对于直线y=2x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣1，∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣1，0），又∵CO=CD=4，∴点D的坐标为（﹣4，4），设直线AD的函数表达式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=﹣x+2；（2）存在，设P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时，可得（﹣1+4）2+（0﹣4）2=（p﹣4）2，解得：p=9或p=﹣1，此时P1（﹣4，9），P2（﹣4，﹣1）；当BP3=BD时，则有（﹣1+4）2+（0﹣p）2=（﹣1+4）2+（0﹣4）2，解得：p=﹣4，此时P3（﹣4，﹣4）；当BP4=DP4时，（﹣1+4）2+（0﹣p）2=（p﹣4）2，解得：p=，此时P4（﹣4，），综上，共有四个点满足要求．分别是P1（﹣4，9），P2（﹣4，﹣4），P3（﹣4，﹣1），P4（﹣4，）．【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：（4，0）；点B的坐标：（0，2）；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG 折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G的坐标．【分析】（1）在y=﹣x+2中，令别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标；（2）利用t可表示出OM，则可表示出S，注意分M在y轴右侧和左侧两种情况；（3）由全等三角形的性质可得OM=OB=2，则可求得M点的坐标；（4）由折叠的性质可知MG平分∠OMN，利用角平分线的性质定理可得到=，则可求得OG的长，可求得G点坐标．【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，令y=0可求得x=4，令x=0可求得y=2，∴A（4，0），B（0，2），故答案为：（4，0）；（0，2）；（2）由题题意可知AM=t，①当点M在y轴右边时，OM=OA﹣AM=4﹣t，∵N（0，4），∴ON=4，∴S=OM•ON=×4×（4﹣t）=8﹣2t；②当点M在y轴左边时，则OM=AM﹣OA=t﹣4，∴S=×4×（t﹣4）=2t﹣8；（3）∵△NOM≌△AOB，∴MO=OB=2，∴M（2，0）；（4）∵OM=2，ON=4，∴MN==2，∵△MGN沿MG折叠，∴∠NMG=∠OMG，∴=，且NG=ON﹣OG，∴=，解得OG=﹣1，∴G（0，﹣1）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、角平分线的性质定理及分类讨论思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴交点的方法，在（2）中注意分两种情况，在（3）中注意全等三角形的对应边相等，在（4）中利用角平分线的性质定理求得关于OG的等式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，但难度不大．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．（1）点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣4，2）；（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．【分析】（1）设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3中得y=3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=﹣4代入y=x+3中得y=2，即可求出B点的坐标；（2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD=∠MCD，故MD=CD，所以CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可．【解答】解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线y=x+3经过点B、C，设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3x+3中得y=3，∴C（0，3）；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=4代入y=x+3中得y=2，∴B（﹣4，2）；故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；（2）①证明：∵AB∥y轴，∴∠OCM=∠CMD．∵∠OCM=∠MCD，∴∠CMD=∠MCD，∴MD=CD，∴CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP==3，∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，∴点M的坐标是（﹣4，1）．设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得，解得，故直线l的解析式为y=x+3．【点评】此题考查了一次函数综合题，需要综合利用勾股定理，等腰三角形的判定与性质，对称的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度不是很大，但是需要学生对所学知识有一个系统的掌握．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=8，BC=4，AC=4；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出OA=4，OC=8，进而得出AB=8，BC=4，利用勾股定理即可得出AC；（2）A、①利用折叠的性质得出BD=8﹣AD，最后用勾股定理即可得出结论；②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；B、①利用折叠的性质得出AE，利用勾股定理即可得出结论；②先判断出∠APC=90°，再分情况讨论计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，∴A（4，0），C（0，8），∴OA=4，OC=8，∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB=OC=8，BC=OA=4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC==4，故答案为：8，4，4；（2）A、①由（1）知，BC=4，AB=8，由折叠知，CD=AD，在Rt△BCD中，BD=AB﹣AD=8﹣AD，根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2，即：AD2=16+（8﹣AD）2，∴AD=5，②由①知，D（4，5），设P（0，y），∵A（4，0），∴AP2=16+y2，DP2=16+（y﹣5）2，∵△APD为等腰三角形，∴Ⅰ、AP=AD，∴16+y2=25，∴y=±3，∴P（0，3）或（0，﹣3）Ⅱ、AP=DP，∴16+y2=16+（y﹣5）2，∴y=，∴P（0，），Ⅲ、AD=DP，25=16+（y﹣5）2，∴y=2或8，∴P（0，2）或（0，8）．B、①、由A①知，AD=5，由折叠知，AE=AC=2，DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，DE==，②、∵以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等，∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，∴∠APC=∠ABC=90°，∵四边形OABC是矩形，∴△ACO≌△CAB，此时，符合条件，点P和点O重合，即：P（0，0），如图3，过点O作ON⊥AC于N，易证，△AON∽△ACO，∴，∴，∴AN=，过点N作NH⊥OA，∴NH∥OA，∴△ANH∽△ACO，∴，∴，∴NH=，AH=，∴OH=，∴N（，），而点P2与点O关于AC对称，∴P2（，），同理：点B关于AC的对称点P1，同上的方法得，P1（﹣，），即：满足条件的点P的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，对称的性质，解（1）的关键是求出AC，解（2）的关键是利用分类讨论的思想解决问题．5．如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；（2）设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=（m﹣）2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B（0，6），A（﹣8，0），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD=CO，∵BC=BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4，∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC=5，∴OC=OA﹣AC=3，∴C（﹣3，0），∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO，∠EBD=∠ABO，∴△EBD≌△ABO，∴BE=AB=10，∴OE=BE﹣OB=4，∴E（0，﹣4），设直线CE的解析式为y=kx﹣4，∴﹣3k﹣4=0，∴k=﹣，∴直线CE的解析式为y=﹣x﹣4，（2）解：存在，（﹣，），如图，∵点P在直线y=x+6上，∴设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2=m2+（﹣m+6）2=（m﹣）2+，∴当m=时，MN2有最小值，则MN有最小值，当m=时，y=﹣x+6=﹣×+6=，∴P（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C的坐标，解（2）的关键是得出MN2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．6．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）【分析】（1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，分别列出方程即可解决问题；（3）分三种情形①如图1中，当点P在线段CD上时．②如图2中，当点P在AB上时．③如图3中，当点P在线段AD上时．分别求解即可；【解答】解：（1）∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P坐标为（3，4）．（2）①当点P在边AD上时，∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1上，∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1上时，∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1上，∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1上，∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，∴NM′==2，在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2=GM′2，∴22+（2+m）2=m2，解得m=﹣，∴P（﹣，4）根据对称性可知，P（，4）也满足条件．②如图2中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG=∠M′GR，推出M′R=M′G=GM，设M′R=M′G=GM=x．∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，∴R（﹣1，0），在Rt△OGM′中，有x2=22+（x﹣1）2，解得x=，∴P（﹣，3）．点P坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）．【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x 轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m ＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E点的坐标，进而得出AE所在直线与x 轴交点的坐标；（2）由（1）中所求可得出F点坐标，进而得出过D，F的直线解析式；（3）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=CB=10，AB=DC=6，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，由折叠对称性：AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，BF===8，∴CF=2，设EC=x，则EF=6﹣x，在Rt△ECF中，22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，∴E点坐标为：（10，），∴设AE所在直线解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴AE所在直线解析式为：y=﹣x+6，当y=0时，x=18，故折痕AE所在直线与x轴交点的坐标为：（18，0）；（2）设D，F所在直线解析式为：y=kx+c，。

中考数学压轴题提升训练一次函数与反比例函数综合题含解析

中考数学压轴题提升训练一次函数与反比例函数综合题含解析

一次函数与反比例函数综合题【例1】。

如图，直线l：y=ax+b交x轴于点A（3，0）,交y于第一象限的点P，点P的轴于点B(0,-3），交反比例函数y kx横坐标为4.的解析式；（1）求反比例函数y kx（2)过点P作直线l的垂线l1,交反比例函数y k的图象于x点C,求△OPC的面积.【答案】见解析。

【解析】解：（1）∵y=ax+b交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B（0，-3)，∴3a+b=0，b=－3,解得：a=1,即l1的解析式为:y=x－3，当x=4时，y=1，即P（4，1），将P点坐标代入y k得：k=4，x；即反比函数的解析式为：y4x（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点E,D，∵OA=OB=3,∴∠OAB=∠OBA=45°，∵l⊥l1，∴∠DPB=90°，∴∠ODP=45°，设直线l1的解析式为：y=－x+b,将点P(4,1）代入得：b=5，联立:y=－x+5，y4x，解得：x=1，y=4或x=4，y=1，即C(1，4），∴S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE=12×5×5－12×5×1－12×5×1=152.【变式1—1】.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4，2）,直线y=–12x+3交AB,BC于点M，N，反比例函数kyx的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2)若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵B(4,2)，四边形OABC为矩形，∴OA=BC=2，在y=–12x+3中，y=2时，x=2，即M(2,2),将M（2，2）代入kyx=得：k=4，∴反比例函数的解析式为：4yx=.（2）在4yx=中，当x=4时，y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC－S△AOM－S△CON=4×2－12×2×2－12×4×1=4,∴S△OPM=4,即12·OP·OA=4，∵OA=2，∴OP=4,∴点P 的坐标为（4,0）或(－4，0)。

一次函数压轴题精选30题专项练习

一次函数压轴题精选30题专项练习

一次函数压轴题精选30题专项练习1．小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．（1）求大卷和小卷壁纸的单价；（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．2．为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B 市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距km，m＝，n＝；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．3．如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．（1）求k的值；（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动设运动时间为t秒．①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②若设△OED的面积为S，求s关于t的函数关系式，并求出t为多少时，s的值最大？4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数y＝x的图象交于点A，点A的横坐标为4．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若动点M在线段OA和射线AC上运动，当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，求点M的坐标；（3）若点P（m，1）在三角形AOB的内部（包括边界），则m的取值范围是．5．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB斜边OB在x轴正半轴上，B（6，0），A在第一象限，直线y＝x与AB相交于点C．动点P（m，0）从原点出发，沿线段OB向右运动（0≤m＜6）．过点P 作OB的垂线与直线OC相交于点F，与△AOB的边OA或AB相交于点E．以EF为直角边、点E为直角顶点，在EF的左侧作等腰直角△EFG，连接AP．（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）当以点P、E、A为顶点的三角形为等腰三角形时，求m的值；（3）当△EFG与△AOB的重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出m的取值或取值范围．6．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A 重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；（2）若BC＝BA，求m的值；（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．7．已知直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．（1）求∠ABO的度数；（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．8．如图，直线y＝﹣3x+12分别交x轴、y轴于点A，B，以AB为斜边向左侧作等腰Rt△ABD，延长BD 交x轴于点C，连接DO，过点D作DE⊥DO交y轴于点E．（1）求证：∠1＝∠2．（2）求OE的长．（3）点P在线段AB上，当PE与∠COD的一边平行时，求出所有符合条件的点P的坐标．9．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（﹣3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E．（1）求点C的坐标；（2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）．11．如图，直角坐标系xOy中，过点A（6，0）的直线l1与直线l2：y＝kx﹣1相交于点C（4，2），直线l2与x轴交于点B．（1）k的值为；（2）求l1的函数表达式和S△ABC的值；（3）直线y＝a与直线l1和直线l2分别交于点M，N，（M，N不同）①直接写出M，N都在y轴右侧时a的取值范围；②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE，边DE恰好在x轴上，直接写出此时a的值．12．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B．（1）求点B的坐标；（2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；（3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围．13．如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．14．如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点Dl2上．（1）①直接写出点C的坐标为；②求直线l2的解析式；（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．15．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A（6，0）、B（0，2）两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D 作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）求经过A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标．（不用写过程）16．如图，直线y＝﹣x+4，与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C与点B关于原点对称．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）在线段OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q．求证：PQ＝PB；（3）在（2）的条件下，过点P作PM⊥AC于点M，直接写出的值．17．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，OA在x轴负半轴，OC在y轴正半轴，点D在边OC上，连接BD，将△BCD沿BD折叠，得到△BDE，使点E落在矩形OABC内部，过点E作EF⊥AB于F，直线CF交x轴于点M，若点E（﹣3，9），F恰为AB中点．（1）如图1，直线CM的解析式；（2）如图2，点P为x轴上的动点，过P作x轴的垂线，分别交直线CM、BD于点N、Q，若NQ＝2CD，求点P坐标；（3）点H为直线BD上动点，若△AEH以AE为直角边的直角三角形，是否存在点H？如果存在，直接写出点H坐标；不存在，请说明理由！18．如图1，直线y＝x和直线y＝﹣x+5相交于点A，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y＝x于点Q．（1）点A的坐标为；（2）当QP＝OA时，求Q点的坐标及△APQ的面积；（3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP平分线交x轴于点M．①直接写出点M的坐标；②点N在直线y＝x的上方，当△OQN和△OQM全等时直接写出N点坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线y＝﹣x交于点C，点P的坐标是（t，0），过点P作x轴的垂线l，与射线CO，CB分别交于点D，E，以DE为边向右作正方形DEFG．（1）点C的坐标是；（2）当点F在y轴上时，求t的值；（3）设正方形DEFG与△BOC重合部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围．20．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由．21．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x 轴上，点C在y轴上，OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为OE．（1）求点G的坐标，并求直线OG的解析式；（2）若直线l：y＝mx+n平行于直线OG，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与坐标轴交于A，B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．点C为直角顶点，连接OC．（1）A点坐标为，B点坐标为．（2）请你过点C作CE⊥y轴于E点，试探究并证明OB+OA与CE的数量关系．（3）如图2，将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，延长DO交直线y＝x+5于点P，求点P的坐标．23．直线AB：y＝﹣x+6分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC ＝3：1．（1）求直线BC的解析式；（2）在直线BC上是否存在点D（点D不与点C重合），使得S△ABD＝S△ABC？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．24．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式和点A的坐标．（2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标．（3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点B，与y 轴交于点C，与直线y＝2x+6交于点D．（1）求点D的坐标；（2）将△BOC沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t．①当点G在直线y＝2x+6上时，求△DCG的面积；②当△EFG与四边形AOCD重合部分的面积为2时，请直接写出t的值．26．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别交y轴，x轴于A、B两点，点C在线段AB上，连接OC，且OC＝BC．（1）求线段AC的长度；（2）如图2，点D的坐标为（﹣，0），过D作DE⊥BO交直线y＝﹣x+3于点E．动点N在x 轴上从点D向终点O匀速运动，同时动点M在直线y＝﹣x+3上从某一点向终点G（2，1）匀速运动，当点N运动到线段DO中点时，点M恰好与点A重合，且它们同时到达终点．i）当点M在线段EG上时，设EM＝s、DN＝t，求s与t之间满足的一次函数关系式；ii）在i）的基础上，连接MN，过点O作OF⊥AB于点F，当MN与△OFC的一边平行时，求所有满足条件的s的值．28．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标；②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+＝0．（1）求A点的坐标为（，），B点的坐标为（，）；（2）若点M为直线y＝mx在第一象限上一点，且△ABM是以AB为腰的等腰直角三角形，求m的值；（3）如图过点A的直线y＝nx﹣2n交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过N点的直线y＝x+c 交AP于点M（3，n），（i）试用含n的式子表示c；（ii）给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点A（6，m），过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点A作y轴的垂线，垂足为点C．∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发．以每秒个单位长度的速度向点B运动．点P，Q 同时开始运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s），且t＞0．（1）求m与k的值；（2）当点P运动到点D时，求t的值；（3）连接DQ，点E为DQ的中点，连接PE，当PE⊥DQ时，请直接写出点P的坐标．参考答案与试题解析1．小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．（1）求大卷和小卷壁纸的单价；（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．【解答】解：（1）设大卷壁纸单价为m元/卷，小卷壁纸单价为n元/卷，由题意得：，解得：，答：大卷壁纸单价为400元/卷，小卷壁纸单价为250元/卷；（2）①购买大卷壁纸x卷，购买小卷壁纸（40﹣x）卷，则y＝400x+250（40﹣x）＝150x+10000，∴y与x的函数关系式为y＝150x+10000；②∵y≤15000，∴150x+10000≤15000，解得：x≤，x为整数，设贴墙壁的面积为S，则S＝10x+5（40﹣x）＝5x+200，∵5＞0，∴S随x的增大而增大，∵x最大值为33，∴S max＝5×33+200＝365，答：可贴墙壁的最大面积为365平方米．2．为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B 市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距360km，m＝5，n＝6；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．【解答】解：（1）由函数图象可知，AB两市相距360km，则m＝+1＝5（h），n＝＝6（h），故答案为：360，5，6；（2）设乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝k+b，将点（1，0）和点（5，360）代入得：，解得：，则乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝90x﹣90，由（1）可知，m＝5，则1≤x≤5；（3）设甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝cx，将点（6，360）代入得：6c＝360，解得：c＝60，则甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝60x，联立，解得：，即当甲车行驶3h时，两车相遇，由题意，分以下两种情况：①当甲、乙两车未相遇前，即1≤x＜3时，则60x﹣（90x﹣90）＝30，解得：x＝2，符合题设；②当甲、乙两车相遇后，即3≤x＜5时，则90x﹣90﹣60x＝30，解得：x＝4，符合题设；综上，在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，x的值为2或4．3．如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．（1）求k的值；（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动设运动时间为t秒．①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②若设△OED的面积为S，求s关于t的函数关系式，并求出t为多少时，s的值最大？【解答】解：（1）直线y＝kx+3，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，∵∠AOB＝90°，且sin∠OAB＝，∴＝，∵AB＝OB＝×3＝5，∴OA＝＝4，∴A（4，0），把A（4，0）代入y＝kx+3得0＝4k+3，解得k＝．（2）①不存在，理由如下：在OA上取一点F（，0），连接BF，当0＜t＜时，如图1，OD＝t，OE＝2t，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠DOE＝∠FOB，∴△ODE∽△OFB，∴∠ODE＝∠OFB，∴DE∥BF，当t＝时，DE与BF重合，∴当0＜t≤时，不存在DE∥OB；当＜t＜4时，如图2，AF＝4＝，AD＝4﹣t，AE＝8﹣2t，∵＝＝，＝，∴＝，同理可证DE∥BF，∴此时不存在DE∥OB，综上所述，不存在DE∥OB．②当0＜t≤时，如图1，S△OED＝OD•OE＝t×2t＝t2，∴S＝t2，∵a＝1＞0，∴S随t的增大而增大，∴当t＝时，S最大＝（）2＝；当＜t＜4时，如图2，作EG⊥x轴，则EG∥BO，∴△AGE∽△AOB，∴＝，∴GE＝•AE＝（8﹣2t），∴S△OED＝OD•GE＝×t（8﹣2t）＝t2+t，∴S＝t2+t，∵S＝t2+t＝（t﹣2）2+，且＜0，＜2＜4，∴当t＝2时，S最大＝，∵＞，∴当t＝2时，S的最大值为，综上所述，S＝，当t＝2时，S的最大值为．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数y＝x的图象交于点A，点A的横坐标为4．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若动点M在线段OA和射线AC上运动，当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，求点M的坐标；（3）若点P（m，1）在三角形AOB的内部（包括边界），则m的取值范围是2＜m＜5．【解答】解：（1）∵点A在正比例函数y＝x的图象上，且点A的横坐标为4．∴点A（4，2），∴2＝﹣4+b，∴b＝6，∴一次函数解析式为y＝﹣x+6，∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，∴点B（6，0），点C（0，6）；（2）由（1）可知：OC＝6，x A＝4，∴S△OAC＝×OC×x A＝×6×4＝12，∵S△OMC＝S△OAC＝4，∴S△OMC＝×OC×|x M|＝4，∴|x M|＝，∴x M＝±，分情况讨论：①当动点M在线段OA上时，x＞0，则当x＝时，y＝，∴此时M点的坐标为（，），②动点M射线AC上运动时：a．若x＞0，则当x＝时，y＝﹣+6＝，故此时M点的坐标为（，），b．若x＜0，则当x＝﹣时，y＝+6＝，故此时M点的坐标为（﹣，），综上，M点的坐标为（，）或（，）或（﹣，）；故答案为：（，）或（，）或（﹣，）；（3）∵点P（m，1）在△AOB的内部（不包括边界），∴当y＝1时，代入正比例函数中得：1＝x，解得：x＝2，当y＝1时，代入一次函数中得：1＝﹣x+6，解得：x＝5，∴2＜m＜5．故答案为：2＜m＜5．5．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB斜边OB在x轴正半轴上，B（6，0），A在第一象限，直线y＝x与AB相交于点C．动点P（m，0）从原点出发，沿线段OB向右运动（0≤m＜6）．过点P 作OB的垂线与直线OC相交于点F，与△AOB的边OA或AB相交于点E．以EF为直角边、点E为直角顶点，在EF的左侧作等腰直角△EFG，连接AP．（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）当以点P、E、A为顶点的三角形为等腰三角形时，求m的值；（3）当△EFG与△AOB的重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出m的取值或取值范围．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，如图1，作AH⊥OB于点H，∵AB＝AO，∴OH＝BH＝OB＝×6＝3，∴H（3，0），∵∠OAB＝90°，∴AH＝OB＝3，∴A（3，3），把A（3，3）、B（6，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；由得，∴C（5，1）．（2）如图1，点E在OA上，AE＝PE，∵PE⊥OB，∴∠OPE＝90°，∵∠AOB＝∠ABO＝45°，∴∠POE＝∠PEO＝45°，∵P（m，0），∴PE＝OP＝AE＝m，∴OE＝＝＝m，∵AB＝AO＝＝＝3，∴m+m＝3，解得m＝6；如图2，点E在AB上，AE＝PE，∵∠BPE＝90°，∠PBE＝45°，∴∠PEB＝∠PBE＝45°，∴AE＝PE＝PB＝6﹣m，∵BE＝＝＝PB＝（6﹣m），∴6﹣m+（6﹣m）＝3，解得m＝3，综上所述，m的值为6或3．（3）当点E在OA边上，如图1，设FG交OA于点M，∵EF＝EG，∠FEG＝90°，∴∠MFE＝∠G＝45°，∴∠MEF＝∠MFE＝45°，∴ME＝MF，∴△MEF是轴对称图形，此时0＜m≤3；如图3，点E在AC上，EG交OA于点N，FG交OA于点M，EN＝MN，连接FN，∵∠FEG＝∠EPB＝90°，∴EG∥OB，∴∠MNG＝∠AOB＝∠G＝45°，∴∠GMN＝90°，∴FG⊥OA，∵∠FEN＝∠FMN＝90°，FN＝FN，EN＝MN，∴Rt△EFN≌Rt△MFN（HL），∴四边形MFEN是轴对称图形，MF＝EF，作CQ⊥OB于点Q，则Q（5，0），∴BQ＝CQ＝1，∵∠BQC＝90°，∴BC＝＝＝，∴AC＝3﹣＝2，∵P（m，0），∴F（m，m），∵PE＝PB＝6﹣m，∴EF＝6﹣m﹣m＝6﹣m，∵∠GMN＝∠A＝90°，∴MF∥AC，∴△OMF∽△OAC，∴＝，∴＝＝＝，设MF＝2n，则OM＝3n，∴OF＝＝＝n，∴＝＝，∵∠OPF＝90°，OP＝m，PF＝m，∴OF＝＝m，∴MF＝OF＝×m＝m，∴m＝6﹣m，解得m＝；当点G与点M重合时，则MF＝GF＝＝＝EF，∴m＝（6﹣m），解得m＝，如图4，当≤m＜5时，△EFG与△AOB的重叠部分为等腰直角△EFG，是轴对称图形；如图5，点E在BC上，FG交AB于点I，∵∠GEF＝∠OPF＝90°，∴GE∥OB，∴∠IEG＝∠ABO＝45°，∴∠IEG＝∠G＝45°，∴IG＝IE，∴△IGE是轴对称图形，此时5＜m＜6，综上所述，m的取值范围是0＜m≤3或m＝或≤m＜5或5＜m＜6．6．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A 重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；（2）若BC＝BA，求m的值；（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+4，得到y＝4．把y＝0代人y＝﹣2x+4，得x＝2．∴A（2，0），B（0，4），若∠APB＝45°，则点P在轴的负半轴上，且OP＝OB＝4．∴P（﹣4，0），设PB所在直线的解析式y＝kx+b，∴，解得．∴PB所在直线的解析式为y＝x+4；（2）若BC＝BA，∵BO⊥CA，∴CO＝OA，∵A（2，0），∴C（﹣2，0），∴AC＝4，CO＝OA＝2，∵BC是△ABP的中线，∴PC＝AC＝4，∴OP＝OC+PC＝2+4＝6，∴点P（﹣6，0），∴m＝﹣6；（3）0＜m＜2．理由：当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P 在点O，A之间时，点C在x轴下方．∴0＜m＜2．7．已知直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．（1）求∠ABO的度数；（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．【解答】解：（1）∵|a+b|+（b﹣4）2＝0，∴a＝﹣4，b＝4，∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），∴AO＝BO＝4，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO的度数为45°；（2）△COD是等腰直角三角形．证明：如图1：∵BE⊥AC，OA⊥OB，∴∠EFB+∠EBF＝∠OF A+∠OAF，又∵∠OF A＝∠EFB，∴∠EBF＝∠OAF，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠DOC，∴∠DOC＝∠AOB＝90°，∴△COD为等腰直角三角形；（3）过点C作CK⊥OB交AB于K，∵∠ACP＝90°，∴∠BCP＝∠OAC，∵OA＝OB，∴∠OAC+∠CAF＝∠OAB＝45°，∴∠OBA＝∠F+∠BCF＝45°，∵AC＝CF，∴∠CAF＝∠F，∴∠BCF＝∠OAC＝∠BCP，即OB平分∠PCF，∵△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，∴CA＝CP，∵AC＝CF，∴CP＝CF，∵CB＝CB，∴△BCF≌△BCP（SAS），∴BF＝BP，∵∠OBA＝45°，CK⊥OB，∴△BCK为等腰直角三角形，∴△ACF和△BCK均为等腰三角形，∵CQ⊥AF，∴FQ＝AQ，BQ＝QK，∴BF＝AK，∵△BCK为等腰直角三角形，∴BQ＝QK＝CQ，∴＝＝＝2．8．如图，直线y＝﹣3x+12分别交x轴、y轴于点A，B，以AB为斜边向左侧作等腰Rt△ABD，延长BD 交x轴于点C，连接DO，过点D作DE⊥DO交y轴于点E．（1）求证：∠1＝∠2．（2）求OE的长．（3）点P在线段AB上，当PE与∠COD的一边平行时，求出所有符合条件的点P的坐标．【解答】（1）证明∵△ABD是以AB为斜边向左侧作等腰直角三角形，∠BDA＝∠CDA＝∠BOC＝90°，∴∠1＝90°﹣∠BCO，∠2＝90°﹣∠BCO，∴∠1＝∠2；（2）解：如图：∵DB⊥DA，DE⊥DO，∴∠3+∠4＝90°，∠5+∠4＝90°，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠2，且DB＝DA，∴△BDE≌△ADO（ASA），∴BE＝OA，又∵直线y＝﹣3x+12分别交x轴、y轴于点A，B，∴OB＝12，OA＝4，∴BE＝OA＝4，∴OE＝OB﹣BE＝12﹣4＝8；（3）解：∵点P在直线y＝﹣3x+12上，∴设点P的坐标为（x，﹣3x+12）．∵直线PE与∠COD的一边平行，∴分两种情况．①若PE∥OC，如图，∴点P的纵坐标等于点E的纵坐标＝8，∴﹣3x+12＝8，解得x＝，∴点P的坐标为（，8）；②若PE∥OD（如图），延长EP交x轴于点Q，由（2）知：△BDE≌△ADO，∴DO＝DE，∵∠ODE＝90°，∴∠DOE＝45°＝∠DOC＝∠EQO，∴OQ＝OE＝8，∴Q（8.0）．设直线EP为：y＝kx+8，则0＝8k+8，解得k＝﹣1，∴直线EP为y＝﹣x+8，联立直线AB，得，解得：，∴点P的坐标为（2.6），综上所述：符合条件的点P的坐标为（，8）或（2，6）．9．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（﹣3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b，则，∴，∴直线AB的函数解析式为：y＝﹣3x+3；（2）设E（0，t），∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴S△AOB＝，∵S△BCE＝2S△AOB，∴S△BCE＝3，∴，解得t＝1，∴E（0，1），设直线CE的函数解析式为：y＝mx+n，将C、E的坐标代入得：，∴，∴直线CE的函数解析式为：y＝x+1，当x+1＝﹣3x+3时，∴x＝，则y＝，∴D（），（3）猜想：CE＝AB，CE⊥AB，理由如下：∵OE＝OA＝1，OC＝OB＝3，∠COE＝∠BOA＝90°，∴△COE≌△BOA（SAS），∴CE＝AB，∠OCE＝∠OBA，∵∠OBA+∠BAO＝90°，∴∠OCE+∠BAO＝90°，∴∠CDA＝90°，∴CE⊥AB；（4）在射线CD上存在两个F点，使∠DBF＝45°，如图，当点F在线段CD上时，过点D作GH∥y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，∵CD⊥AB，∠DBF＝45°，∴∠DBF＝∠DFB＝45°，∴BD＝DF，∵∠BDG+∠FDH＝90°，∠BDG+∠DBG＝90°，∴∠FDH＝∠DBG，又∵∠G＝∠H∴△BDG≌△DFH（AAS），∴FH＝DG＝3﹣＝，DH＝BG＝，∴点F（﹣，），当点F在CD的延长线上时，由对称性可知F（，），综上点F的坐标为：（﹣，）或（，），10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E．（1）求点C的坐标；（2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）（不包括这两个三角形重合的情况）．【解答】解：（1）由得，A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵∠AOB＝90°，由勾股定理得，AB＝5，∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，∴AD＝AB＝5，∴OD＝2，设OD＝x，则BC＝4﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴C（0，）；（2）由（1）得直线CD的解析式为y＝x+，∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠BCE＝∠DCO，∴∠BEC＝∠COD＝90°，①当点D与P重合时，OP＝2，OC＝，CP＝，则△CPQ与△CBE全等，∴P（﹣2，0）；②当CQ＝BC＝时，则点Q的纵坐标为﹣1时，点Q与直线CD之间的距离为2，则△CPQ与△CBE全等，∴P（﹣）；③当PC＝BE＝2时，得点P（2，3），综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）．故答案为：（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）．11．如图，直角坐标系xOy中，过点A（6，0）的直线l1与直线l2：y＝kx﹣1相交于点C（4，2），直线l2与x轴交于点B．（1）k的值为；（2）求l1的函数表达式和S△ABC的值；（3）直线y＝a与直线l1和直线l2分别交于点M，N，（M，N不同）①直接写出M，N都在y轴右侧时a的取值范围；②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE，边DE恰好在x轴上，直接写出此时a的值．【解答】解：（1）将点C（4，2）代入y＝kx﹣1得，2＝4k﹣1，解得，故答案为：；（2）设直线l1的表达式为y＝k1x+b将点A（6，0），C（4，2）代入得，，解得，∴直线l1的表达式为y＝﹣x+6，当y＝0时，，解得x＝，∴点B的坐标为（，0），∴AB＝6﹣＝，∴S△ABC＝；（3）①当x＝0时，y＝x﹣1＝﹣1，y＝﹣x+6＝6，∴M，N都在y轴右侧时a的取值范围是：﹣1＜a＜6且a≠2．②当y＝a时，x﹣1＝a，则x＝，∴点N的坐标为（，a），当y＝a时，﹣x+6＝a，则x＝6﹣a，∴点M的坐标为（6﹣a，a）∴MN＝|6﹣a﹣|＝||，∵四边形MNDE为正方形，∴||＝|a|，解得：或，∴或．12．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B．（1）求点B的坐标；（2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；（3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，∴m＝﹣1﹣2＝﹣3．∴点A的坐标为（1，﹣3），∴点A向上平移5个单位长度得到点B的坐标为（1，2）；（2）存在，①当∠B＝90°时，如图，∵B（1，2），C点在y＝﹣x﹣2上，∴2＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣4，∴C（﹣4，2），∴BC＝5，∵点A向上平移5个单位长度得到点B，∴AB＝BC＝5，∴∠CAB＝45°，②当∠ACB＝90°时，作CG⊥AB于G，∵∠CAB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴G为AB中点，∵点A的坐标为（1，﹣3），点B的坐标为（1，2），∴G（1，﹣0.5）∵点C在y＝﹣x﹣2上，∴﹣0.5＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣1.5，∴C（﹣1.5，﹣0.5）．综上，存在一点C，使得△ABC是直角三角形，C点坐标为（﹣4，2）或（﹣1.5，﹣0.5）；（3）当直线y＝kx﹣2过点A（1，﹣3）时，得﹣3＝k﹣2，解得k＝﹣1．当直线y＝kx﹣2过点B（1，2）时，得2＝k﹣2，解得k＝4．如图，若一次函数y＝kx﹣2与线段AB有公共点，则k的取值范围是﹣1≤k≤4且k≠0．13．如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．【解答】解：（1 ）∵OA＝4，∴A（4，0），把A（4，0）代入，得：b＝﹣3，过点D作DH⊥AB于点H，则DH＝DO，BH＝BO，∵当x＝0时，y＝3，∴B（0，﹣3），∴OA＝4，BO＝BH＝3，∴，AD＝DO+OA＝DH+4，∵，∴，解得：DH＝6，∴OD＝6，∴点D的坐标为（﹣6，0），（2）过点P作PE⊥OD于点E，则△DPE∽△DBO，∵点P在直线BD上，且点P的横坐标为t，∴DE＝t+6，∵OD＝6，OB＝3，∴，∵△DPE∽△DBO，∴，∴，解得：，∵PC⊥BD，∴△PDC∽△ODB，∴，∴，∴，∴；（3）作PH垂直于x轴于点H，设射线EP绕点E逆时针旋转45°交x轴于点K，顺时针旋转45°交x轴于点G．∵∠BPC＝90°，∠BOC＝90°∴B，P，C，O四点共圆，∴∠POC＝∠PBC＝45°，∴PH＝HO，∴DH＝6﹣HO＝6﹣PH，∴，得PH＝2，∴HC＝CG＝1，∴OE＝2，∵∠KEP＝∠DBC，∠PEB＝∠BDC，∴∠KEP+∠PEB＝∠DBC+∠BDC，即∠KEO＝∠BCO，∴OE：GK＝CO：BO＝1：3，∴GK＝6，∴K（﹣6，0），∴直线KE为：y＝﹣x﹣2，联立方程组：，解得x＝12，y＝﹣6，∴F1（12，﹣6），∵∠KEP+∠PEG＝90°，∴∠DEG＝90°，∴∠OEG＝∠ODE，∴OG：OE＝OE：OD＝1：3，∴OG＝；∴G（，0），∴直线EG的解析式为：y＝3x﹣2，联立方程组：，解得x＝，y＝2，∴F2（，2），综上所述：F的坐标为（12，﹣6）或（，2）．14．如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点Dl2上．（1）①直接写出点C的坐标为（2，1）；②求直线l2的解析式；（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．【解答】解（1）①∵y＝kx﹣2k+1经过定点C，∴点C的坐标与k的取值无关，∴x＝2时，y＝1，∴C（2，1），故答案为：（2，1）；②设l2的解析式为：y＝ax，把C（2，1）代入y＝ax得：a＝，∴l2的解析式为y＝，（2）如图，取OB的中点H，连接CH，。

一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练

一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练

一次函数综合题通用的解题思路：(1)一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．(2)一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．(3)用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．1(2024•鼓楼区一模)如图，直线y =-3x +6与⊙O 相切，切点为P ，与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点．⊙O 与x 轴负半轴交于点C ．(1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【分析】(1)由OP =OA ⋅sin60°，即可求解；(2)由图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC ，即可求解．【解答】解：(1)对于直线y =-3x +6，令y =-3x +6=0，则x =23，即OA =23，由一次函数的表达式知，OB =6，则tan ∠BAC =OB AO =623=3，则∠BAC =60°连接OP ，则OP ⊥AB ，则OP =OA ⋅sin60°=23×32=3；(2)过点P 作PH ⊥AC 于点H ，∵∠POH =30°，则∠POC =150°，PH =12OP =32，则图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC =150°360°×π×32-12×3×32=15π-94．【点评】本题考查了一次函数和圆的综合运用，涉及到圆切线的和一次函数的性质，解直角三角形，面积的计算等，综合性强，难度适中．2(2023•宿豫区三模)如图①，在平面直角坐标系中，直线l 1:y =x +1与直线l 2:x =-2相交于点D ，点A 是直线l 2上的动点，过点A 作AB ⊥l 1于点B ，点C 的坐标为(0,3)，连接AC ，BC ．设点A 的纵坐标为t ，ΔABC 的面积为s ．(1)当t =2时，求点B 的坐标；(2)s 关于t 的函数解析式为s =14t 2+bt -54t -1或t 5 a t +1 t -5 (-1<t <5)，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出a 与b 的值；(3)在直线l 2上是否存在点A ，使得∠ACB =90°，若存在，请求出此时点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)解法一：先根据t =2可得点A (-2,2)，因为B 在直线l 1上，所以设B (x ,x +1)，利用y =0代入y =x +1可得G 点的坐标，在Rt ΔABG 中，利用勾股定理列方程可得点B 的坐标；解法二：根据可以使用y =x +1与x 轴正半轴夹角为45度来解答；(2)先把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中计算得b 的值，计算在-1<t <5范围内图象上一个点的坐标值：当t =2时，根据(1)中的数据可计算此时s =94，可得坐标2,94，代入s =a (t +1)(t -5)中可得a 的值；(3)存在，设B (x ,x +1)，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．【解答】解：(1)解法一：如图1，连接AG ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，在y =x +1中，当x =0时，y =1，∴G (0,1)，∵AB ⊥l 1，∴∠ABG =90°，∴AB 2+BG 2=AG 2，即(x +2)2+(x +1-2)2+x 2+(x +1-1)2=(-2)2+(2-1)2，解得：x 1=0(舍)，x 2=-12，∴B -12，12；解法二：如图1-1，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过点A 作AH ⊥BE 于H ，当x =0时，y =1，当y =0时，x +1=0，则x =-1，∴OF =OG =1，∵∠GOF =90°，∴∠OGF =∠OFG =45°，∴BE =EF ，∵∠ABD =90°，∴∠ABH =∠BAH =45°，∴ΔABH 是等腰直角三角形，∴AH =BH ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，∴x +2=2-(x +1)，∴x =-12，∴B -12，12 ；(2)如图2可知：当t =7时，s =4，把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中得：494+7b -54=4，解得：b =-1，如图3，过B 作BH ⎳y 轴，交AC 于H ，由(1)知：当t =2时，A (-2,2)，B -12，12 ，∵C (0,3)，设AC 的解析式为：y =kx +n ，则-2k +n =2n =3 ，解得k =12n =3 ，∴AC 的解析式为：y =12x +3，∴H -12，114，∴BH =114-12=94，∴s=12BH⋅|x C-x A|=12×94×2=94，把2,9 4代入s=a(t+1)(t-5)得：a(2+1)(2-5)=94，解得：a=-1 4；(3)存在，设B(x,x+1)，当∠ACB=90°时，如图5，∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AB=BD，∵A(-2,t)，D(-2,-1)，∴(x+2)2+(x+1-t)2=(x+2)2+(x+1+1)2，(x+1-t)2=(x+2)2，x+1-t=x+2或x+1-t=-x-2，解得：t=-1(舍)或t=2x+3，RtΔACB中，AC2+BC2=AB2，即(-2)2+(t-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-t)2，把t=2x+3代入得：x2-3x=0，解得：x=0或3，当x=3时，如图5，则t=2×3+3=9，∴A(-2,9)；当x=0时，如图6，此时，A(-2,3)，综上，点A的坐标为：(-2,9)或(-2,3)．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023•溧阳市一模)如图1，将矩形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为(0,4)，点B坐标为(5,0)，点P是x轴正半轴上的动点，连接AP，ΔAQP是由ΔAOP沿AP翻折所得到的图形．(1)当点Q落在对角线OC上时，OP=　165　；(2)当直线PQ经过点C时，求PQ所在的直线函数表达式；(3)如图2，点M是BC的中点，连接MP、MQ．①MQ的最小值为；②当ΔPMQ是以PM为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)通过Q 点在OC 上，可以通过∠BOC 的三角函数和∠OAP 的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果；(2)通过直角ΔAQC 中，得到QC 的长度，然后通过OP =PQ =x ，可以在Rt ΔBCP 中，得到对应的x 值然后求出结果；(3)通过QA =OA =4，可得出Q 点的运动轨迹，是以A 点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，MA 的连线上的Q 点为最短的MQ 长度，通过分类讨论，PM =PQ ，PM =QM ，PQ =QM 来求得对应的P 的坐标．【解答】解：(1)如图1，∵∠OAP +∠AOE =90°，∠BOC +∠AOE =90°，∴∠OAP =∠BOC ，又∵∠AOP =∠OBC =90°，∴ΔOAP ∽ΔBOC ，∴OP BC =OA OB ，即OP 4=45，∴OP =165，故答案为：165；(2)如图，∵AQ ⊥PQ ，∴∠AQC =90°，∴QC =AC 2-AQ 2=52-42=3，∵AQ =AO =4，设OP =PQ =x ，则CP =3+x ，PB =5-x ，∴CP 2=BP 2+BC 2，(3+x )2=(5-x )2+42，x =2，∴P 点的坐标为(2,0)，将P (2,0)和C (5,4)代入y =kx +b 中，0=2k +b 4=5k +b ，解得：k =43b =-83，∴PQ 所在直线的表达式为：y =43x -83；(3)如图，①∵AQ =AO =4，∴Q 点的运动轨迹，是以A 为圆心，4为半径的圆弧，∴MQ 的最小值在AM 的连线上，如图，MQ ′即为所求，∵M 是BC 中点，CM =12BC =2，∴AM =52+22=29，MQ ′=MA -AQ ′=29-4，故答案为：29-4；②如图，设OP =PQ =x ，BP =5-x ，∴PM 2=(5-x )2+22=x 2-10x +29，当PM =PQ 时，PM 2=PQ 2，∴x 2-10x +29=x 2，x =2910，∴P 2910，0，当MP =MQ 时，如图，若点Q 在AC 上，则AQ =OA =4，∵MP =MQ ，MB =MC ，∠PBM =∠QCM ，∴ΔPMB ≅ΔQMC (HL )，∴PB =QC ，QC =AC -AQ =5-4=1，∴PB =1，∴OP =BO -PB =5-1=4，∴P (4,0)；若点Q 在AC 上方时，由对称性可知OM =MQ ，∵MQ =MQ ，∴MO =MP ，∴P (10,0)；当MQ =PQ 时，不符合题意，不成立，故P 点坐标为P 2910，0或P (4,0)或(10,0)．【点评】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．4(2022•启东市模拟)我们知道一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)互为“M ”函数．(1)请直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)如果一对“M ”函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象交于点A ，且与x 轴交于B ，C 两点，如图所示，若∠BAC =90°，且ΔABC 的面积是8，求这对“M ”函数的解析式；(3)在(2)的条件下，若点D 是y 轴上的一个动点，当ΔABD 为等腰三角形时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)根据互为“M ”函数的定义，直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)现根据已知条件判断ΔABC 为等腰直角三角形，再根据互为“M ”函数的图象关于y 轴对称，得出OA =OB =OC ，再根据函数解析式求出点A 、B 、C 的坐标，再根据ΔABC 的面积是8求出m 、n 的值，从而求出函数解析式；(3)ΔABD 为等腰三角形，分以A 为顶点，以B 为顶点，以D 为顶点三种情况讨论即可．【解答】(1)解：根据互为“M ”函数的定义，∴函数y =2x +5的“M ”函数为y =-2x +5；(2)解：根据题意，y =mx +n 和y =-mx +n 为一对“M 函数”．∴AB =AC ，又∵∠BAC =90°，∴ΔABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC =∠ACB =45°，∵OB =OC ，∴∠BAO =∠CAO =45°，∴OA =OB =OC ，又∵S ΔABC =12×BC ×AO =8且BC =2AO ，∴AO =22，∵A 、B 、C 是一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象于坐标轴的交点，∴A (0,n )，B -n m ，0 ，C n m ，0，∵OA =OB =n ，∴n m=22，∴m =1，∴y =x +22和y =-x +22；(3)解：根据等腰三角形的性质，分情况，∵AO =BO =22，∴AB =4，由(2)知，A (0，22)，B (-22，0)，C (22，0)，∴①以A 为顶点，则AB =AD ，当点D 在点A 上方时，AD =22+4，当点D 在点A 下方时，AD =22-4，∴D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，②以B 为顶点，则BA =BD ，此时点D 在y 轴负半轴，∴D 3(0,-22)，③以D 为顶点，则DA =DB ，此时D 为坐标原点，∴D 4(0,0)．∴D 点坐标为D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，D 3(0,-22)，∴D 4(0,0)．【点评】本题考查一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题．5(2024•新北区校级模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =4，NH =1，点G 的坐标为(8,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为　85　；AB AD的值为；(2)如果OM =15．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得S ≥154？若存在，求出t 的取值范围：若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =15，AB =CD =53AD =10，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②设FG 所在的曲线的数解析式为S =a (t -6)2+k (a ≠0)，把F 5,154，G (8,0)代入解析式求得a ，k 值即可求解答；③利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =154时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =4，NH =1，G (8,0)，∴N (4,0)，H (5,0)，由图象可知：t =4时，Q 与E 重合，t =5时，P 与B 重合，t =8时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 5，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB5DE 4=AB 5⋅4DE =85，∵P 从A 到B 用了5秒，从B 到C 用了3秒，∴AB =5v 1，BC =3v 1，∴AB =53BC ，∴AB :AD 的值为53，故答案为：85，53；(2)①∵OM =15，∴M (0,15)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =15，∵AB :AD =53，DE =12AB ，∴DE =56AD ，∴12AD ⋅56AD =15，∴AD =BC =6(舍去负值)，∴AB =CD =53AD =10，∴v 2=DE 4=54，当t =5时，DQ =v 2t =54×5=254，∴QE =DQ -DE =254-5=54，此时P 与B重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×54×6=154，∴F 5,154 ，设直线NF 的解析式为S =kt +b (k ≠0)，将N (4,0)与F 5,154 代入得：4k +b =05k +b =154，∴k =154b =-15 ，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =154t -15(4<t ≤5)；②设FG所在的曲线的数解析式为S=1254t-5(16-2t)=-54t2+15t-40，∴FG所在的曲线的函数解析式为S=-54t2+15t-40(5≤t≤8)；③存在，分情况讨论如下：当Q在DE上，P在AB上时，∵直线MN经过点M(0,15)，N(4,0)，可求得直线MN的解析式为S=-54t+15(0≤t≤4)，当s=154时，-154t+15=154，∴x=3，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤3时，S≥154，当Q在CE上，P在BC上时，直线NF的解析式为S=154t-15(4<t≤5)；由F5,15 4知：当t=5时，S=154，当S=154时，-54t2+15t-40=154，∴t=7或5，由图象知：当5≤x≤7，x的取值范围为0≤t≤3或5≤t≤7．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．6(2024•梁溪区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =-ax 2+3ax +4a 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴交于点C ，直线y =12x 交于第一象限内的D 点，且ΔABC 的面积为10．(1)求二次函数的表达式；(2)点E 为x 轴上一点，过点E 作y 轴的平行线交线段OD 于点F ，交抛物线于点G ，当GF =5OF 时，求点G 的坐标；(3)已知点P (n ,0)是x 轴上的点，若点P 关于直线OD 的对称点Q 恰好落在二次函数的图象上，求n 的值．【分析】(1)在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得A (-1,0)，B (4,0)，根据ΔABC 的面积为10，即得OC =4，C (0,4)，用待定系数法即得二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，由GF =5OF ，可得-m 2+52m +4=5×52m ，即可解得G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，设Q (r ,s )，可得K n +r 2，s 2 ，即得s 2=12×n +r 2，n +r =2s ①，又r 2+s 2=n 2，(n +r )(n -r )=s 2②，可解得r =35n ，s =45n ，故Q 35n ，45n ，代入y =-x 2+3x +4得45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209．【解答】解：(1)如图：在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得-ax 2+3ax +4a =0，解得x =4或x =-1，∴A (-1,0)，B (4,0)，∴AB =5，∵ΔABC 的面积为10，∴12AB ⋅OC =10，即12×5⋅OC =10，∴OC =4，∴C (0,4)，把C (0,4)代入y =-ax 2+3ax +4a 得：4a =4，∴a =1，∴二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)如图：设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，∴OF =m 2+12m 2=52m ，GF =-m 2+3m +4-12m =-m 2+52m +4，∵GF =5OF ，∴-m 2+52m +4=5×52m ，解得m =2或m =-2(舍去)，∴G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，如图：∵P (n ,0)关于直线对称点为Q ，∴OQ =OP =|n |，K 是PQ 中点，设Q (r ,s )，∴K n +r 2，s 2，∵K 在直线y =12x 上，∴s 2=12×n +r 2，整理得：n +r =2s ①，∵OT 2+QT 2=OQ 2，∴r 2+s 2=n 2，变形得：(n +r )(n -r )=s 2②，把①代入②得：2s (n -r )=s 2，∵s ≠0，∴n -r =s2③，由①③可得r =35n ，s =45n ，∴Q 35n ，45n ，∵Q 在抛物线y =-x 2+3x +4上，∴45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209，答：n 的值为5或-209．【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含n 的代数式表示Q 的坐标．7(2023•邗江区校级一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线l :y =-33x +43分别与x 轴、y 轴交于点A 点和B 点，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，以OD 为边构造等边ΔEDF (F 点在x 轴的正半轴上)．(1)求A 、B 点的坐标，以及OD 的长；(2)将等边ΔEDF ，从图1的位置沿x 轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t (s )，同时点P 从E 出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED -DF 运动(如图2所示)，当P 点到F 点停止，ΔDEF 也随之停止．①t =3或6(s )时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点；②当点P 在线段DE 上运动，若DM =2PM ，求t 的值；③当点P 在线段DF 上运动时，若ΔPMN 的面积为3，求出t 的值．【分析】(1)把x =0，y =0分别代入y =-33x +43，即可求出点A 、B 的坐标，求出∠BAO =30°，根据直角三角形的性质，即可得出OD =12OA =6；(2)①当直线l 分别过DE 、DF 、EF 的中点，分三种情况进行讨论，得出t 的值，并注意点P 运动的最长时间；②分点P 在直线l 的下方和直线l 上方两种情况进行讨论，求出t 的值即可；③分点P 在DN 之间和点P 在NF 之间两种情况进行讨论，求出t 的值即可．【解答】解：(1)令x =0，则y =43，∴点B 的坐标为(0,43)，令y =0，则-33x +43=0，解得x =12，∴点A 的坐标为(12,0)，∵tan ∠BAO =OB OA=4312=33，∴∠BAO =30°，∵OD ⊥AB ，∴∠ODA =90°，∴ΔODA 为直角三角形，∴OD =12OA =6；(2)①当直线l 过DF 的中点G 时，∵ΔDEF 为等边三角形，∴∠DFE =60°，∵∠BAO =30°，∴∠FGA =60°-30°=30°，∴∠FGA =∠BAO ，∴FA =FG =12DF =3，∴OF =OA -FA =9，∴OE =OF -EF =9-6=3，∴t =3；当l 过DE 的中点时，∵DE ⊥l ，DG =EG ，∴直线l 为DE 的垂直平分线，∵ΔDEF 为等边三角形，∴此时点F 与点A 重合，∴t =12-61=6；当直线l 过EF 的中点时，运动时间为t =12-31=9；∵点P 从运动到停止用的时间为：6+62=6，∴此时不符合题意；综上所述，当t =3s 或6s 时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点，故答案为：3或6；②∵OE =t ，AE =12-t ，∠BAO =30°，∴ME =6-t2，∴DM =DE -EM =t2，∵EP =2t ，∴PD =6-2t ，当P 在直线l 的下方时，∵DM =23DP ，∴t 2=23(6-2t )，解得：t =2411；当P 在直线l 的上方时，∵DM =2DP ，∴t2=2(6-2t )，解得t =83；综上所述：t 的值为2411或83；③当3<t ≤6时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DN -DP =t -(2t -6)=6-t ，∵∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =3-12t ，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 3-12t =3，整理得：t 2-6t +8=0，解得t =2(舍)或t =4当点P 在NF 之间时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DP -DN =2t -6-t =t -6，∵∠DNM =30°，∴∠FNA =∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =12t -3，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 12t -3 =3，解得t =3+17(舍)或t =3-17(舍)，综上所述，t 的值为4s ．【点评】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．8(2023•武进区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|；若|x 1-x 2|<|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|．例如：点P 1(1,2)，点P 2(3,5)，因为|1-3|<|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点)．(1)已知点A -12，0，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知C 是直线y =34x +3上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．【分析】(1)①根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为(0,y )．由“非常距离”的定义可以确定|0-y |=2，据此可以求得y 的值；②设点B 的坐标为(0,y )．因为-12-0 ≥|0-y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为-12-0 =12；(2)①设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ．根据材料“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”知，C 、D 两点的“非常距离”的最小值为-x 0=34x 0+2，据此可以求得点C 的坐标；②根据“非常距离”的定义，点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且C 与E 的横纵坐标差相等时，点C 与点E 的“非常距离”取最小值，据此求出C 与E 的坐标及“非常距离”的最小值．【解答】解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0,y )．∵-12-0 =12≠2，∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2；∴点B 的坐标是(0,2)或(0,-2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．(2)①如图2，当点C 与点D 的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|．即AC =AD ，∵C 是直线y =34x +3上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，∴设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，∴-x 0=34x 0+2，此时，x 0=-87，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=87，此时C -87，157；②如图3，当点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且CF =EF 时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设E (x ,y )(点E 位于第二象限)．则y x=-43x 2+y 2=1 ，解得x =-35y =45，故E -35，45．设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，-35-x 0=34x 0+3-45，解得x0=-8 5，则点C的坐标为-8 5，95，点C与点E的“非常距离”的最小值为1．【点评】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．9(2023•海安市一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d(P,W)，即d(P,W)=M-m，已知点A(2,1)，B(-2,1)(1)求d(O,AB)；(2)点C为直线y=-1上的一个动点，当d(C,AB)=1时，点C的横坐标是　(2-5)或(5-2，)　；(3)点D为函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，当d(D,AB)≤2时，直接写出b的取值范围．【分析】(1)画出图形，根据点P到图形W的“差距离”的定义即可解决问题．(2)如图2中，设C(m,-1)．由此构建方程即可解决问题．(3)如图3中，取特殊位置当b=6时，当b=-4时，分别求解即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，∵A(2,1)，B(-2,1)，∴AB⎳x轴，∴点O到线段AB的最小距离为1，最大距离为5，∴d(O,AB)=5-1．(2)如图2中，设C(m,-1)．当点C在y轴的左侧时，由题意AC-2=1，∴AC=3，∴(2-m)2+22=9，∴m=2-5或2+5(舍弃)，∴C(2-5，-1)，当点C在y轴的右侧时，同法可得C(5-2，-1)，综上所述，满足条件的点C的坐标为(2-5，-1)或(5-2，-1)．故答案为：(2-5，-1)或(5-2，-1)．(3)如图3中，当b=6时，线段EF:y=x+6(-2≤x≤2)上任意一点D，满足d(D,AB)≤2，当b=-4时，线段E′F′:y=x-4(-2≤x≤2)上任意一点D′，满足d(D′,AB)≤2，观察图象可知：当b≥6或b≤-4时，函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，满足d(D,AB)≤2．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点P到图形W的“差距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考创新题型．10(2022•姑苏区校级模拟)平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M(4,1)，N(-2,3)，点P(m,n)．(1)①若m=2，n=4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为；②若m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；(2)若点P在直线y=-2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，-2≤m≤-1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【分析】(1)①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；(2)①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，5，点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．【解答】解：(1)①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3=18，面积为3×6=18；故答案为：18，18．②∵M(4,1)，N(-2,3)，∴|x M-x N|=6，|y M-y N|=2．又∵m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n=-1或5．(2)如图，①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+5，可得x分别为1，2；结合图象可知：1≤m≤2；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，4；∴点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点(-1,1)，(1,1)，(3,3)，∴a -b +c =1a +b +c =19a +3b +c =3，a =14b =0c =34，∴y =14x 2+34，同理抛物线经过点(-1,3)，(1,3)，(3,1)，可求得抛物线的解析式为y =-14x 2+134，∴抛物线的解析式y =14x 2+34或y =-14x 2+134．【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．11(2022•太仓市模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =3，NH =1，点G 的坐标为(6,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为　32　；AB :AD 的值为；(2)如果OM =2．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②是否存在某个时刻t ，使得S ≥23？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =23时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =3，NH =1，G (6,0)，∴N (3,0)，H (4,0)，由图象可知：t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB4DE 3=AB 4⋅3DE =AB 4⋅312AB =32，∵P 从A 到B 用了4秒，从B 到C 用了2秒，∴AB =4v 1，BC =2v 1，∴AB =2BC ，∴AB :AD 的值为2，故答案为：32,2；(2)①∵OM =2，∴M (0,2)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =2，∵AB :AD =2，∴AD =DE =12AB ，∴12AD 2=2，∴AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，∴v 2=DE 3=23，当t =4时，DQ =v 2t =23×4=83，∴QE =DQ -DE =83-2=23，此时P 与B 重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×23×2=33，∴F 4,23，设直线NF 的解析式为S =kx +b (k ≠0)，将N (3,0)与F 4,23 代入得：3k +b =04k +b =23 ，∴k =23b =-2，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =23x -2(3<x ≤4)；②存在，分情况讨论如下：当Q 在DE 上，P 在AB 上时，∵直线MN 经过点M (0,2)，N (3,0)，同理求得直线MN 的解析式为S =-23x +2(0≤x ≤3)，当s =23时，-23x +2=2，∴x =2，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤2时，S≥23，当Q在CE上，P在AB上时，直线NF的解析式为S=23x-2(3<x≤4)，由F4,2 3知：当x=4时，S=23，当Q在CE上，P在BC上时，SΔEPQ=12EQ⋅CP，∵DQ=v2t=23t，∴EQ=DQ-DE=23t-2，∵v1=AB4=44=1，∴AB+BP=v1t=t，∵AB+BC=4+2=6，∴CP=6-t，∴S=1223t-2(6-t)=-13t2+3t-6(4<x≤6)，当S=23时，-13t2+3t-6=23，∴t=4或5，由图象知：当4<x≤5时，S≥2 3，综上，S≥23时，x的取值范围为0≤x≤2或4≤x≤5．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．12(2022•邗江区校级一模)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k=PSST(PS<PT)PTST(PS≥PT) ．(1)已知点A(0,1)，B(1,0)．①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=　22　；②点C(0,c)关于线段AB的线段比k=2，求c的值．(2)已知点M(m,0)，点N(m+2,0)，直线y=x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤14，直接写出m的取值范围．【分析】(1)①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；②方法同①，分c>0和c≤0讨论；(2)分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M(N)为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．【解答】解：(1)①∵A(0,1)，B(1,0)，Q(2,0)，∴AB=2，QA=5，QB=1，根据线段比定义点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=QBAB=22；故答案为：22；②∵A (0,1)，B (1,0)，C (0,c )，∴AB =2，AC =|1-c |，BC =1+c 2，AC 2=1+c 2-2c ，BC 2=1+c 2，当c >0时，AC 2<BC 2，即AC <BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：|1-c |2=2，解得c =3或c =-1(舍去)，∴c =3，当c ≤0时，AC 2≥BC 2，即AC ≥BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：1+c 22=2，解得c =3(舍去)或c =-3，∴c =-3，综上所述，点C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2，c =3或c =-3；(2)∵直线y =x +2与坐标轴分别交于E ，F 两点，∴E (-2,0)，F (0,2)，∵点M (m ,0)，点N (m +2,0)，∴MN =2，N 在M 右边2个单位，当线段EF 上的点到N 距离较小时，分两种情况：①当M 、N 在点E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴NE MN≤14，即-2-(m +2)2≤14，解得：m ≥-92，②当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，过M 作MG ⊥EF 于G ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴GM MN ≤14，即GM 2≤14，∴GM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴GM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[(m +2)-(-2)]≤12，解得m ≤-4+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到N 距离较小时，-92≤m ≤-4+22，当线段EF 上的点到M 距离较小时，也分两种情况：①当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴ME MN≤14，即-2-m 2≤14，解得m ≥-52，②当M 、N 在点E 右侧时，过M 作MH ⊥EF 于H ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴HM MN ≤14，即HM 2≤14，∴HM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴HM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[m -(-2)]≤12，解得：m ≤-2+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到M 距离较小时，-52≤m ≤-2+22，综上所述，线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，则-92≤m ≤-4+22或-52≤m ≤-2+22．【点评】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．13(2022•泰州)定义：对于一次函数y 1=ax +b 、y 2=cx +d ，我们称函数y =m (ax +b )+n (cx +d )(ma +nc ≠0)为函数y 1、y 2的“组合函数”．(1)若m =3，n =1，试判断函数y =5x +2是否为函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，并说明理由；(2)设函数y 1=x -p -2与y 2=-x +3p 的图像相交于点P ．①若m +n >1，点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图像的上方，求p 的取值范围；②若p ≠1，函数y 1、y 2的“组合函数”图像经过点P ．是否存在大小确定的m 值，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变？若存在，请求出m 的值及此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，可知函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得P (2p +1,p -1)，当x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p-1)(m +n )，根据点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，有p -1>(p -1)(m +n )，而m +n >1，可得p <1；②由函数y 1、y 2的“组合函数” y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，知p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，即(p -1)(1-m -n )=0，而p ≠1，即得n =1-m ，可得y =(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，即(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，即可得m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【解答】解：(1)函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，理由如下：∵3(x +1)+(2x -1)=3x +3+2x -1=5x +2，∴y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，∴函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得x =2p +1y =p -1 ，∴P (2p +1,p -1)，∵y 1、y 2的“组合函数”为y =m (x -p -2)+n (-x +3p )，∴x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p -1)(m +n )，∵点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，∴p -1>(p -1)(m +n )，∴(p -1)(1-m -n )>0，∵m +n >1，∴1-m -n <0，∴p -1<0，∴p <1；②存在m =34时，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)，理由如下：由①知，P (2p +1,p -1)，∵函数y 1、y 2的“组合函数”y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，∴p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，∴(p -1)(1-m -n )=0，∵p ≠1，∴1-m -n =0，有n =1-m ，∴y =m (x -p -2)+n (-x +3p )=m (x -p -2)+(1-m )(-x +3p )=(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，变形整理得：(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，∴当3-4m =0，即m =34时，12x -32=0，∴x =3，∴m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．14(2024•钟楼区校级模拟)在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．(1)下列图形中两个三角形不是“共边全等”是③；AB，点E、F分别在AC、BC边(2)如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD=13上，满足ΔBDF和ΔEDF为“共边全等”，求CF的长；(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+12分别与直线y=x、x轴相交于A、B两点，点C是OB 的中点，P、Q在ΔAOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与ΔPCB“共边全等”时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】(1)由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；(2)DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形(将图③的两条最长边重合形成)，分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到ΔADE为等边三角形，计算边长即可求得；(3)由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成ΔPCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．【解答】解：(1)①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，∴答案是③；(2)①如图1，当ΔBDF≅ΔEFD，且是共边全等时，∠BFD=∠EDF，∴DE⎳BC，∵ΔABC是等边三角形，∴ΔADE是等边三角形，AB=2，∵AD=13∴DE=AE=BF=2，∴CF=BC-BF=4，②如图2，当ΔBDF≅ΔEDF，且是共边全等时，BD=DE=6-AD=4，∠DEF=∠B=60°，EF=BF，∴∠AED+∠FEC=120°，又∠AED+∠EDA=120°，。

中考数学复习一次函数与反比例函数压轴题专项练习

中考数学复习一次函数与反比例函数压轴题专项练习

中考数学复习一次函数与反比例函数压轴题专项练习1、如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y=的图象在第二象限交与点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．（1）求点C的坐标；（2）求一次函数的解析式．2、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（2，﹣1），B（，n）两点，直线y=2与y轴交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积．3、如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．4、如图所示，反比例函数y＝4x的图象与一次函数y＝kx－3的图象在第一象限内相交于点A (4，m)．（1）求m的值及一次函数的解析式；（2）若直线x ＝2与反比例和一次函数的图象分别交于点B 、C ，求线段BC 的长．5、如图，在平面直角坐标系x0y 中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数()0my m x=≠的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为（6，n ）。

线段OA=5，E 为x 轴上一点，且sin ∠AOE=45。

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOC 的面积。

6、如图，已知反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+b 都经过点A （1，4），且该直线与x 轴的交点为B ．（1）求反比例函数和直线的解析式；（2）求△AOB的面积．7、如图，直线y=2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D（a，1）是反比例函数y=（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于B 和A ，与反比例函数的图象交于C 、D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO =，OB =4，OE =2．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式； （2）求△OCD 的面积．9、如图，在C ∆AB 中，C C A =B ，x AB ⊥轴，垂足为A ．反比例函数ky x=（0x >）的图像经过点C ，交AB 于点D ．已知4AB =，5C 2B =．（1）若4OA =，求k 的值；（2）连接C O ，若D C B =B ，求C O 的长．10、如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x ＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．11、如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。

中考数学总复习《一次函数》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《一次函数》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《一次函数》专项提升练习题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________命题点1一次函数的图象与性质 1(2022株洲)在平面直角坐标系中,一次函数y=5x+1的图象与y 轴的交点的坐标为( )A.(0,-1)B.(-15,0) C.(15,0) D.(0,1) 2(2022凉山州)一次函数y=3x+b (b ≥0)的图象一定不经过 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D .第四象限3(2022广安)在平面直角坐标系中,将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度,所得的函数的解析式是( )A.y=3x+5B.y=3x-5C.y=3x+1D.y=3x-1 4(2022邵阳)在直角坐标系中,已知点A (32,m ),点B (√72,n )是直线y=kx+b (k<0)上的两点,则m ,n 的大小关系是( )A .m<nB .m>nC .m ≥nD .m ≤n5(2022抚顺)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的图象分别为直线l 1和直线l 2,下列结论正确的是( )A.k 1·k 2<0B.k 1+k 2<0C.b 1-b 2<0D.b 1·b 2<06(2022河南)请写出一个y 随x 的增大而增大的一次函数的表达式: . 7(2022德阳)如图,已知点A (-2,3),B (2,1),直线y=kx+k 经过点P (-1,0).试探究:直线与线段AB 有交点时k 的变化情况,猜想k 的取值范围是 .8(2022北京)在平面直角坐标系xOy 中,函数y=kx+b (k ≠0)的图象过点(4,3),(-2,0),且与y 轴交于点A.(1)求该函数的解析式及点A 的坐标;(2)当x>0时,对于x 的每一个值,函数y=x+n 的值大于函数y=kx+b (k ≠0)的值,直接写出n 的取值范围.命题点2一次函数与方程、不等式结合9(2022陕西)在同一平面直角坐标系中,直线y=-x+4与y=2x+m 相交于点P (3,n ),则关于x ,y 的方程组{x +y -4=0,2x -y +m =0的解为 ( )A.{x =−1,y =5B.{x =1,y =3C.{x =3,y =1D.{x =9,y =−5 10(2022鄂州)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,一次函数y=kx+b (k ,b 为常数,且k<0)的图象与直线y=13x 都经过点A (3,1),当kx+b<13x 时,根据图象可知,x 的取值范围是( )A.x>3B.x<3C.x<1D.x>111(2021嘉兴)已知点P (a ,b )在直线y=-3x-4上,且2a-5b ≤0,则下列不等式一定成立的是( )A.a b ≤52B.a b ≥52C.b a ≥25D.b a ≤25命题点3一次函数的实际应用 角度1行程问题12(2021陕西)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出发,1 min 后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“猫”抓着“鼠”沿原路返回.“鼠”“猫”距起点的距离y (m)与时间x (min)之间的关系如图所示.(1)在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是m/min;(2)求AB的函数表达式;(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.13(2022湖州)某校组织学生从学校出发,乘坐大巴前往基地进行研学活动.大巴出发1小时后,学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶.已知大巴行驶的速度是40千米/时,轿车行驶的速度是60千米/时.(1)轿车出发后多少小时追上大巴?此时,两车与学校相距多少千米?(2)如图,图中OB,AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时间t(小时)的函数关系的图象.试求点B的坐标和AB所在直线的解析式.(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶,轿车行驶了1.5小时追上大巴,求a的值.角度2方案选取问题14(2021宁波)某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案,如下表:A方案B方案C方案每月基本费用/元20 56 266每月免费使用流1 024 m无限量/兆超出后每兆收费/n n元A,B,C三种方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系如图所示.(1)请直接写出m,n的值.(2)在A方案中,当每月使用的流量不少于1 024兆时,求每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系式.(3)在这三种方案中,当每月使用的流量超过多少兆时,选择C方案最划算?角度3最值问题15(2022云南)某学校要购买甲、乙两种消毒液,用于预防新型冠状病毒.若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液,则一共需要615元;若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液,则一共需要780元.(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元?(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶,其中购买甲消毒液a桶,且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶,又不超过乙消毒液的数量的2倍,怎样购买,才能使总费用W最少?并求出最少费用.16(2022福建)在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中,八年级(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元,吊兰每盆6元.(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰, 问可购买绿萝和吊兰分别多少盆.(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案,请求出购买两种绿植总费用的最小值.17(2022南充)南充市被誉为中国绸都,本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种商品,它们的进价和售价如下表.用15 000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件.(利润=售价-进价)种类真丝衬衣真丝围巾进价/(元/件) a80售价/(元/件) 300 100(1)求真丝衬衣进价a的值.(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件,据市场销售分析,真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大?最大利润是多少元?(3)按(2)中最大利润方案进货与销售,在实际销售过程中,当真丝围巾销量达到一半时,为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%,衬衣售价不变,余下围巾降价销售,每件最多降价多少元?角度4其他问题18(2022哈尔滨)一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示,如果这辆汽车每千米的耗油量相同,当油箱中剩余的油量为35 L时,那么该汽车已行驶的路程为()A.150 kmB.165 kmC.125 kmD.350 km19(2022吉林)李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水,甲壶比乙壶加热速度快,在一段时间内,水温y(℃)与加热时间x(s)之间近似满足一次函数关系,根据记录的数据,画函数图象如图所示.(1)加热前水温是℃.(2)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式.(3)当甲壶中水温刚达到80 ℃时,乙壶中水温是℃.20(2022绍兴)一个深为6米的水池积存着少量水,现在打开水阀进水,下表记录了2小时内5个时刻的水位高度,其中x表示进水用时(单位:时),y表示水位高度(单位:米).x0 0.5 1 1.5 2y 1 1.5 2 2.5 3为了描述水池水位高度与进水用时的关系,现有以下三种函数模型供选(k≠0).择:y=kx+b(k≠0),y=ax2+bx+c(a≠0),y=kx(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,再选出最符合实际的函数模型,求出相应的函数表达式,并画出这个函数的图象.(2)当水位高度达到5米时,求进水用时x.命题点4一次函数与几何知识的综合21(2022泸州)如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10,4),四边形ABEF 是菱形,且tan ∠ABE=43.若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分,则直线l 的解析式为( )A.y=3xB.y=-34x+152 C.y=-2x+11 D .y=-2x+1222(2021扬州)如图,一次函数y=x+√2的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ,则线段AC 长为( )A .√6+√2B .3√2C .2+√3D .√3+√223(2021成都)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=√33x+2√33与☉O 相交于A ,B 两点,且点A 在x 轴上,则弦AB 的长为 .分类训练7 一次函数1.D 【解析】 当x=0时,y=5x+1=1,故该一次函数图象与y 轴的交点坐标为(0,1).2.D3.D4.A 【解析】 对于一次函数y=kx+b ,∵k<0,∴y 随x 的增大而减小.又∵32>√72,∴m<n.5.D 【解析】 由题图可得k 1>k 2>0,b 1>0>b 2,∴k 1·k 2>0,k 1+k 2>0,b 1-b 2>0,b 1·b 2<0,故选D .6.y=2x+3(答案不唯一)7.k ≤-3或k ≥13 【解析】 当直线y=kx+k 经过点A (-2,3)时,-2k+k=3,解得k=-3;当直线y=kx+k 经过点B (2,1)时,2k+k=1,解得k=13.分析可知,当直线与线段AB 有交点时,k ≤-3或k ≥13.8.【参考答案】 (1)把(4,3),(-2,0)分别代入y=kx+b 得{4k +b =3,-2k +b =0,解得{k =12,b =1,∴该函数的解析式为y=12x+1. 对于y=12x+1,当x=0时,y=1∴A (0,1). (2)n ≥1.解法提示:函数y=12x+1的图象如图所示,易知当直线y=x+n 与y 轴的交点与点A 重合或在点A 上方时符合题意,故n ≥1.9.C 【解析】 把(3,n )代入y=-x+4,可知n=1,故关于x ,y 的方程组{x +y -4=0,2x -y +m =0的解为{x =3,y =1.故选C .10.A11.D 【解析】 ∵点P (a ,b )在直线y=-3x-4上,∴-3a-4=b.又∵2a-5b ≤0,∴2a-5(-3a-4)≤0,解得a ≤-2017.易得a=b+4-3,∴b ≥-817.易知当b=0时,ab 无意义,故A,B 错误.∵2a-5b ≤0,∴2a -5b a≥0,即2-5·b a≥0,∴b a ≤25.故选D .12.【参考答案】 (1)1解法提示:由题图可知,“鼠”的平均速度为30÷6=5(m/min) “猫”的平均速度为30÷(6-1)=6(m/min)故“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是6-5=1(m/min).(2)设AB 的函数表达式为y=kx+b (k ≠0),则{30=7k +b ,18=10k +b ,解得{k =−4,b =58,∴y=-4x+58.(3)令y=0,则-4x+58=0,∴x=14.5. 14.5-1=13.5(min)∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5 min .13.【参考答案】 (1)设轿车行驶的时间为x 小时,则大巴行驶的时间为(x+1)小时. 根据题意,得60x=40(x+1) 解得x=2则60x=60×2=120.答:轿车出发2小时后追上大巴,此时两车与学校相距120千米. (2)∵轿车追上大巴时,大巴行驶了3小时∴点B 的坐标是(3,120).由题意,得点A 的坐标为(1,0).设AB 所在直线的解析式为s=kt+b则{3k +b =120,k +b =0,解得{k =60,b =−60,∴AB 所在直线的解析式为s=60t-60.(3)由题意,得40(a+1.5)=60×1.5解得a=34 ∴a 的值为34.14.【参考答案】 (1)m=3 072,n=0.3.(2)设函数关系式为y=kx+b (k ≠0)把(1 024,20),(1 144,56)代入y=kx+b得{20=1024k +b ,56=1144k +b ,解得{k =0.3,b =−287.2, ∴y 关于x 的函数表达式为y=0.3x-287.2(x ≥1 024).(注:x 的取值范围对考生不作要求)(3)3 072+(266-56)÷0.3=3 772(兆).由题中图象得,当每月使用的流量超过3 772兆时,选择C 方案最划算.15.【参考答案】 (1)设每桶甲消毒液的价格为x 元,每桶乙消毒液的价格为y 元根据题意,得{9x +6y =615,8x +12y =780,解得{x =45,y =35.答:每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是45元、35元.(2)由题意,得W=45a+35(30-a )=10a+1 050. 根据题意,得{a ≥30−a +5,a ≤2(30−a ),解得17.5≤a ≤20 ∴a 的取值范围是17.5≤a ≤20,且a 是正整数.∵10>0,∴W 随a 的增大而增大∴当a=18时,W 的值最小,最小值为1 230此时30-a=12.答:当购买甲消毒液18桶、乙消毒液12桶时,总费用最少,最少费用是1 230元.16.【参考答案】 (1)设购买绿萝x 盆,吊兰y 盆.根据题意,得{x +y =46,9x +6y =390,解得{x =38,y =8.因为38>2×8,所以答案符合题意.答:可购买绿萝38盆,吊兰8盆.(2)设购买绿萝m盆,吊兰(46-m)盆,购买两种绿植的总费用为W元则W=9m+6(46-m)=3m+276.根据题意,得m≥2(46-m),解得m≥923.因为3>0,所以W随m的增大而增大.又m为整数,所以m取最小值31时,W的值最小.当m=31时,W=3×31+276=369.答:购买两种绿植总费用的最小值为369元.17.【参考答案】(1)根据题意,得50a+25×80=15 000.解得a=260.(2)设购进真丝衬衣x件,销售利润为y元,则购进真丝围巾(300-x)件.根据题意得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)化简得y=20x+6 000.∵300-x≥2x,x≥0,∴0≤x≤100.∵20>0,∴y随x的增大而增大∴当x=100时,y有最大值,为20×100+6 000=8 000.故购进真丝衬衣100件,真丝围巾200件时,获得的利润最大,最大利润为8 000元.(3)设余下围巾每件降价m元,根据题意得100×40+100×20+100×(20-m)≥8 000×90%解得m≤8故余下围巾每件最多降价8元.18.A【解析】设y与x的函数关系式为y=kx+b,将(0,50),(500,0)分别代入,得{b=50,500k+b=0,解得{b=50,k=−110,故y=-110x+50.当y=35时,-110x+50=35,解得x=150.故选A.一题多解500÷50=10(km/L),故该汽车每行驶10 km耗油1 L.由题可知汽车已耗油50-35=15(L),故该汽车已行驶的路程为15×10=150(km).19.【参考答案】(1)20(2)由甲壶比乙壶加热速度快,可知乙壶中水温y关于加热时间x的函数图象经过点(0,20),(160,80).设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=kx+b将(0,20),(160,80)分别代入得{b =20,160k +b =80,解得{k =38,b =20,故乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式为y=38x+20.(3)65解法提示:由甲壶中水温y 关于加热时间x 的函数图象经过点(0,20),(80,60) 易求得甲壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式为y=12x+20.令12x+20=80,解得x=120 将x=120代入y=38x+20中,得y=38×120+20=65.故当甲壶中水温刚达到80 ℃时,乙壶中水温是65 ℃.20. 【参考答案】 (1)画图略.选择y=kx+b ,将(0,1),(1,2)代入得{b =1,k +b =2,解得{k =1,b =1, ∴y=x+1(0≤x ≤5).(2)当y=5时,x+1=5∴x=4.答:当水位高度达到5米时,进水用时x 为4小时.21.D 【解析】 连接OB ,AC 交于点M ,连接AE ,BF 交于点N ,则直线MN 为符合条件的直线l ,如图.∵四边形OABC 是矩形,∴OM=BM.∵点B 的坐标为(10,4),∴M (5,2),AB=10,BC=4.∵四边形ABEF 为菱形,∴BE=AB=10.过点E 作EG ⊥AB 于点G.在Rt △BEG 中,∵tan ∠ABE=43,∴EG BG =43.设EG=4k ,则BG=3k ,∴BE=√EG 2+BG 2=5k ,∴5k=10,∴k=2,∴EG=8,BG=6,∴AG=4,∴E (4,12).又∵A (0,4),点N 为AE 的中点,∴N (2,8).设直线l 的解析式为y=ax+b ,则{5a +b =2,2a +b =8,解得{a =−2,b =12,∴直线l 的解析式为y=-2x+12.22.A 【解析】 当x=0时,y=√2;当y=0时,x=-√2.∴A (-√2,0),B (0,√2),∴OA=OB ,∴△OAB 为等腰直角三角形,∴∠ABO=∠BAO=45°,AB=√(√2)2+(√2)2=2.如图(1),过点C 作CD ⊥AB ,垂足为点D ,∵∠CAD=∠OAB=45°,∴△ACD 为等腰直角三角形.设CD=AD=m ,∴AC=√AD 2+CD 2=√2m.由旋转可知∠ABC=30°,∴BC=2CD=2m.在Rt △BCO 中,BC 2=OC 2+OB 2,即(2m )2=(√2+√2m )2+(√2)2,解得m=1+√3(负值不合题意,已舍去),∴AC=√2m=√2(√3+1)=√6+√2.故选A .图(1) 一题多解当x=0时,y=√2.当y=0时,x=-√2.∴A (-√2,0),B (0,√2),∴OA=OB ,∴△OAB 为等腰直角三角形,∴∠ABO=∠BAO=45°.由旋转可知,∠ABC=30°,∴∠BCO=15°.如图(2),作线段BC 的垂直平分线,交OC 于点E ,连接BE ,则BE =CE ,∴∠EBC=∠ECB=15°,∴∠BEO=30°,∴BE=2BO=2√2,OE=√3OB=√6,∴AC=CE+OE-OA=2√2+√6-√2=√6+√2.图(2)23.2√3 【解析】 如图,设☉O 与x 轴的另一个交点为点C ,AB 交y 轴于点D ,连接BC.对于y=√33x+2√33,当x=0时,y=2√33,当y=0时,x=-2,∴A (-2,0),D (0,2√33),∴AC=4,tan ∠OAD=OD OA =2√332=√33,∴∠OAD=30°.∵AC 为☉O 的直径,∴∠ABC=90°,∴AB=AC cos 30°=4×√32=2√3.。

中考数学压轴题专项训练一次函数含解析

中考数学压轴题专项训练一次函数含解析

2021年中考数学压轴题专项训练《一次函数》1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时)之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题:（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式;(2）求乙出发后几小时追上甲车？解：（1）设乙对应的函数关系式为y＝kx+b将点（4,300)，（1，0）代入y＝kx+b得：解得:，∴乙对应的函数关系式y＝100x﹣100；（2）易得甲车对应的函数解析式为y＝60x，联立，解得:,2。

5﹣1＝1.5（小时)，∴乙车出发后1。

5小时追上甲车．2．如图①所示，甲、乙两车从A地出发，沿相同路线前往同一目的地，途中经过B地．甲车先出发，当甲车到达B地时,乙车开始出发．当乙车到达B地时，甲车与B地相距km设甲、乙两车与B地之间的距离为，y1（km)，y2（km），乙车行驶的时间为x（h），y1,y2与x的函数关系如图②所示．（1）A，B两地之间的距离为20km；（2）当x为何值时，甲、乙两车相距5km?解：（1）A，B两地之间的距离为20km．故答案为：20;（2）乙车的速度为：20÷＝120(km/h），甲车的速度为：＝100（km/h),甲比乙早出发的时间为:20÷100＝0.2(h），相遇前：（20+100x)﹣120x＝5,解得x＝0。

75;相遇后：120x﹣(20+100x）＝5，解得x＝1.25；答：当x为0.75或1.25时，甲、乙两车相距5km．3．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为(0，3)，点E是线段AB上的一点,以DE 为腰在第二象限内作等腰直角△DEF，∠EDF＝90°．（1）请直接写出点A，B的坐标：A(﹣2,0），B（0，2）；（2)设点F的坐标为（a，b),连接FB并延长交x轴于点G，求点G的坐标．解：（1）∵直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B,∴点A(﹣2，0）,点B(0，2）故答案为：（﹣2，0）,(0，2）（2）如图,过点F作FM⊥y轴，过点E作EN⊥y轴，∴∠FMD＝∠EDF＝90°∴∠FDM+∠DFM＝90°,∠FDM+∠EDN＝90°,∴∠DFM＝∠EDN，且FD＝DE，∠FMD＝∠END＝90°，∴△DFM≌△EDN(AAS）∴EN＝DM，FM＝BN,∵点F的坐标为(a，b)，∴FM＝DN＝﹣a，DM＝b﹣3，∴点E坐标(﹣b+3,3+a），∵点E是线段AB上的一点，∴3+a＝﹣b+3+2∴a+b＝2，∴点F（a，2﹣a）设直线BF的解析式为y＝kx+2，∴2﹣a＝ka+2∴k＝﹣1,∴直线BF的解析式为y＝﹣x+2，∴点G（2，0）4．某学校甲、乙两名同学去爱国主义教育基地参观，该基地与学校相距2400米．甲从学校步行去基地，出发5分钟后乙再出发，乙从学校骑自行车到基地．乙骑行到一半时，发现有东西忘带，立即返回,拿好东西之后再从学校出发．在骑行过程中，乙的速度保持不变,最后甲、乙两人同时到达基地．已知，乙骑行的总时间是甲步行时间的．设甲步行的时间为x （分），图中线段OA表示甲离开学校的路程y（米)与x（分)的函数关系的图象．图中折线B﹣C﹣D和线段EA表示乙离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象．根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）甲步行的速度和乙骑行的速度;（2)甲出发多少时间后,甲、乙两人第二次相遇？(3）若s(米）表示甲、乙两人之间的距离，当15≤x≤30时,求s(米）关于x（分)的函数关系式．解：(1）由题意得：（米/分)，＝240(米/分）；(2）由题意可得：C（10,1200)，D（15，0)，A(30,2400），设线段CD的解析式为:y＝kx+b，则，解得∴线段CD的解析式为：y＝﹣240x+3600,易知线段OA的解析式为:y＝80x，根据题意得240x+3600＝80x,解得：x＝，∴甲出发分后，甲、乙两人第二次相遇；（3)∵E（20，0），A（30,2400),设线段EA的解析式为:y＝mx+n，，解得，∴线段EA的解析式为：y＝240x﹣4800，∴当15≤x≤20时,s＝y OA﹣0＝80x，当20＜x≤30时，s＝y OA﹣y EA＝80x﹣(240x﹣4800）＝﹣160x+4800,∴．5．对于给定的△ABC,我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M 关于△ABC的最大内半圆．若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合)，则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中,将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆．（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2,①如图1，点D在边BC上,且CD＝1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长;（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(3，0），点P 在直线y＝x上运动（P不与O重合)，将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围．解:（1）①如图1，过D作DE⊥AC于E,∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠C＝∠B＝45°，∵CD＝1，∴BD＝2﹣1＞CD,∴D到AC的距离小于到AB的距离，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE＝，即点D关于△ABC的最大内半圆的半径长是;②当D为BC的中点时，BC关于△ABC的内半圆为⊙D,如图2，∴BD＝BC＝，同理可得:BC关于△ABC的内半圆半径DE＝1．（2)过点E作EF⊥OE，与直线y＝x交于点F，设点M是OE 上的动点，i）当点P在线段OF上运动时(P不与O重合），OE关于△OEP 的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，连接PM，∵直线OF:y＝x∴∠FOE＝30°由（1)可知：当M为线段中点时,存在OE关于△OEP的内半圆,∴当R＝时,如图3，DM＝，此时PM⊥x轴,P的横坐标t＝OM＝；如图4,当P与F重合时，M在∠EFO的角平分线上，⊙M分别与OF,FE相切，此时R＝1,P的横坐标t＝OE＝3；∴当≤R≤1时,t的取值范围是≤t≤3．ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆,如图5．∴当R＝1 时，t的取值范围是t≥3．iii)当点P在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图6．∵∠FOE＝∠OPE+∠OEP＝30°，∴∠OEP＜30°，∴OM＜1，当R＝时,如图6，过P作PA⊥x轴于A，N是切点，连接MN，MN⊥PE,此时OM＝MN＝，ME＝3﹣＝，∴EN＝＝＝，Rt△OPA中，∠POA＝30°，OA＝﹣t，∴PA＝﹣t，∵∠ENM＝∠EAP＝90°,∠MEN＝∠AEP，∴△EMN∽△EPA，∴,即＝解得：t＝﹣，∴当≤R＜1时，t的取值范围是t≤﹣．综上,点P在直线y＝x上运动时（P不与O重合)，当≤R ≤1时，t的取值范围是t≤﹣或t≥．6．已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．(1）求点A，点B的坐标．（2）若S△AOC＝S△BCP,求点P的坐标．（3)若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标．解：（1）一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B,则点A、B的坐标分别为:（8，0）、（0，6）；（2）联立y＝﹣x+6、y＝x并解得：x＝3，故点C（3，)，S△AOC＝8×＝15＝S△BCP＝BP×(yP﹣yC）＝BP×（6﹣），解得:BP＝，故点P（，6）或（﹣，6)（3）设点E（m，m)、点P（n，6）；①当∠EPA＝90°时，如左图，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE,∵△EMP≌△PNA（AAS)，则ME＝PN＝6，MP＝AN，即|m﹣n｜＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝或16，故点E(,）或（14，）；②当∠EAP＝90°时,如右图，同理可得:△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6,即m＝n﹣8，｜8﹣m｜＝6,解得：m＝2或14，故点E(2，）或（16，20）；上，E（,）或(14,）或；(2，）或（16，20）．7．如图,A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b 过点B，与x轴交于点C．(1）求A,B,C三点的坐标;（2）当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB 的和最小，画出点E的位置，并求E点的坐标．（3）若点D是折线A﹣B﹣C上一动点，是否存在点D，使AACD 为直角三角形，若存在,直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）在y＝x+4中,令x＝0，得y＝4，令y＝0,得x＝﹣4，∴A（﹣4，0）,B（0，4）．把B（0，4）代入，y＝﹣2x+b,得b＝4∴直线BC为：y＝﹣2x+4．在y＝﹣2x+4中，令y＝0,得x＝2，∴C点的坐标为(2，0）；(2）如图点E为所求点D是AB的中点，A（﹣4，0），B(0,4）．∴D（﹣2,2）．点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．设直线DB1的解析式为y＝kx+b．把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入一次函数表达式并解得:故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．令y＝0，得E点的坐标为．（3)存在，D点的坐标为（﹣1,3）或．①当点D在AB上时，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D点的坐标为(﹣1，3）；②当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．在△AOF与△BOC中，∠FAO＝∠CBO，∠AOF＝∠BOD，AO＝BO，∴△AOF≌△BOC（ASA)．∴OF＝OC＝2，∴点F的坐标为（0，2），易得直线AD的解析式为,与y＝﹣2x+4组成方程组并解得：x＝，∴交点D的坐标为．8．（1）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA,直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；(2）模型应用：①如图2，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为腰在第一象限内作等腰直角三角形ABC,则C点的坐标为C(4,6）或C(6，2）(直接写出结果)②如图3，在△ABC和△DCE中,CA＝CB,CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝45°,连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD 交于点N，求证：N是BD的中点．解:(1)∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD＝∠CAD＝90°,∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△BEC和△CDA中,∴△BEC≌△CDA(AAS)；（2）①根据题意可得点C的坐标为C（4，6）或C（6，2）；故答案为:C(4，6）或C（6，2）；②如图，作BP⊥MN交MN的延长线于P,作DQ⊥MN于Q∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，∵∠BCA＝∠AMC，∴∠BCP＝∠CAM，在△CBP与△ACM中,，∴△CBP≌△ACM(AAS），∴MC＝BP，同理，CM＝DQ，∴DQ＝BP在△BPN与△DQN中，,∵△BPN≌△DQN（AAS），∴BN＝ND,∴N是BD的中点．9．如图，在平面直角坐标系xOy中,直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点,点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上(不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N，连接FM．（1）求tan∠ABO的值；（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；(3）若MD＝MN，求点D的坐标．解：（1)直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，则点A、B的坐标分别为：(0，4)、（3，0）；tan∠ABO＝＝＝tanα；(2）DE与FM的位置关系为相互垂直，理由：点C是AB的中点，则∠COB＝∠CBO＝∠EDF＝α，∠ONF＝∠DNM,∴∠DMN＝∠DFO,∴O、F、M、D四点共圆,∴∠DMF+∠DOF＝180°，∴∠DOF＝90°,即:DE⊥FM;（3）MD＝MN，∴∠MDN＝∠MND＝α，而∠COB＝α,∠DNM＝∠ONF＝α，即△OCF为以ON为底,底角为α的等腰三角形,则tan∠NFO＝＝＝tanβ,则cosβ＝（证明见备注）；设OF＝m,则DF＝FB＝3﹣m，cos∠DFO＝cosβ＝，解得:m＝，OD2＝DF2﹣OF2＝(3﹣m）2﹣m2＝;则OD＝，故点D(0，）．备注：如下图，过点N作HN⊥OF于点H，tanα＝，则sinα＝，作FM⊥ON 于点M，设FN＝OF＝5a，则FN＝4a,则ON＝6a，同理可得:NH＝，tan∠NFO＝＝＝tanβ,则cosβ＝．10．如图，直线l1：y＝x+与y轴的交点为A，直线l1与直线l2：y＝kx的交点M的坐标为M（3，a）．（1）求a和k的值；(2）直接写出关于x的不等式x+＜kx的解集；（3）若点B在x轴上,MB＝MA，直接写出点B的坐标．解：（1）∵直线l1与直线l2的交点为M（3，a）,∴M（3，a）在直线y＝x+上,也在直线y＝kx上，∴a＝×3+＝3，∴M（3，3），∴3＝3k，解得k＝1；（2）不等式x+＜kx的解集为x＞3；（3）作MN⊥x轴于N，∵直线l1：y＝x+与y轴的交点为A，∴A（0，），∵M(3，3），∴AM2＝(3﹣0）2+(3﹣）2＝，∵MN＝3，MB＝MA，∴BN＝＝，∴B(，0）或B（，0）．11．如图,长方形OBCD的OB边在x轴上,OD在y轴上，把OBC 沿OC折叠得到OCE，OE与CD交于点F．（1)求证：OF＝CF；(2）若OD＝4，OB＝8,写出OE所在直线的解析式．解：（1）∵四边形OBCD为矩形，∴DO＝BC，∠OBC＝∠ODC．由翻折的性质可知∠E＝∠OBC，CE＝BC，∴OD＝CE，∠E＝∠ODC．在△ODF和△CEF中，∴△ODF≌△CEF（AAS）,∴OF＝CF．（2）∵OF＝CF．设DF＝x,则OF＝CF＝8﹣x．在Rt△ODF中，OD＝4，根据勾股定理得，OD2+DF2＝OF2，∴42+x2＝（8﹣x）2,解得x＝3,∴F（3，4），设直线OE的解析式为y＝kx,把F（3，4）代入得4＝3k，解得k＝,∴OE所在直线的解析式y＝x．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m过点A（5，﹣2）且分别与x轴、y轴交于点B、C，过点A画AD∥x轴，交y轴于点D．（1）求点B、C的坐标;（2）在线段AD上存在点P，使BP+CP最小，求点P的坐标．解：(1)∵y＝﹣x+m过点A（5，﹣2)，∴﹣2＝﹣5+m,∴m＝3，∴y＝﹣x+3，令y＝0，∴x＝3，∴B(3，0)，令x＝0,∴y＝3，∴C（0，3）；(2）过C作直线AD对称点Q,可得Q（0,﹣7），连结BQ，交AD与点P可得直线BQ：，令y′＝﹣2,∴,∴．13．如图,直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1）,直线l1与l2交于点C(m,3）．（1）求点D和点C的坐标；（2)求直线l2的函数表达式；（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．解：(1）在y＝3x﹣2中令y＝0,即3x﹣2＝0 解得x＝，∴D（，0），∵点C（m,3)在直线y＝3x﹣2上，∴3m﹣2＝3，∴m＝，∴C(，3）;（2）设直线l2的函数表达式为Y＝KX+B(K≠0），由题意得:,解得：，∴y＝﹣x+；（3）由图可知，二元一次方程组的解为．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x 轴交于点A(﹣3，0），与y轴交于点B,且与正比例函数y＝x 的图象交点为C（m，4)．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2)求△BOC的面积；（3)若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D 的坐标为（﹣2，5)或(﹣5，3）或（，）．解:(1）∵点C在正比例函数图象上，∴m＝4，解得：m＝3,∵点C（3,4)、A（﹣3，0）在一次函数图象上，∴代入一次函数解析式可得，解这个方程组得,∴一次函数的解析式为y＝x+2；（2）在中，令x＝0，解得y＝2，∴B（0,2）∴S△BOC＝×2×3＝3；（3）过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，如图，∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形,∴AB＝BD2，∵∠D1BE+∠ABO＝90°,∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠EBD1,∵在△BED1和△AOB中，∴△BED1≌△AOB(AAS）,∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，即可得出点D的坐标为（﹣2，5）；同理可得出：△AFD2≌△AOB，∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，∴点D的坐标为（﹣5,3），∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，∴∠AD3B＝90°，∴D3（，），综上可知点D的坐标为（﹣2,5）或（﹣5，3）或(，）．故答案为：（﹣2,5)或（﹣5,3）或（,）．15．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M，点N,点P，如果将线段PM绕点P顺时针旋转90°能得到线段PN，就称点N是点M关于点P的“正矩点”．（1)在如图2所示的平面直角坐标系xOy中,已知S（﹣3,1），P （1，3），Q（﹣1，﹣3),M(﹣2,4）．①在点P,点Q中，点P是点S关于原点O的“正矩点"；②在S，P，Q，M这四点中选择合适的三点,使得这三点满足：点S是点P关于点M的“正矩点"，写出一种情况即可；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k＜0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A关于点B的“正矩点”记为点C,坐标为C(x c,y c)．①当点A在x轴的正半轴上且OA小于3时，求点C的横坐标x c的值；②若点C的纵坐标y c满足﹣1＜y c≤2，直接写出相应的k的取值范围．解：（1）①在点P，点Q中，点S绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P，故答案为点P；②点S是点P关于点M的“正矩点”(答案不唯一）;故答案为：S,P,M;(2）①如图1，作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F,∠BFC＝∠AOB＝90°，点B（0，3），点A（﹣，0），∵∠ABO+∠CBO＝90°,∠CBO+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABO,BC＝BA,∴△BCF≌△AOB(AAS），∴FC＝OB＝3，故点C的坐标为：（﹣3,3+），即点C的横坐标x c的值为﹣3；②点C（﹣3，3+），如图2，﹣1＜y c≤2，即：﹣1＜3+≤2,则﹣3≤k．。

专题01 一次函数 压轴题(十大题型)(原卷版)

专题01 一次函数 压轴题(十大题型)(原卷版)

(1)OC 的长为______，OD 的长为______；(2)如图，点()1,M a -是线段CD 上一点，连接OM ，作ON 并判断MON △的形状；(3)如备用图，若点()1,E b 为直线AB 上的点，点P 为y 轴上的点，是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时(1)求直线CD 的函数表达式和点D 的坐标；(2)点P 为线段DE 上的一个动点，连接BP ．①若直线BP 将ACD 的面积分为7:9两部分，试求点②点P 是否存在某个位置，将BPD △沿着直线BP 翻折，使得点在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型2：取值范围问题(1)求点A 的坐标；(2)若点C 在第二象限，ACD ①求点C 的坐标；②直接写出不等式组4x kx +>③将CAD 沿x 轴平移，点C(1)求点C 的坐标及直线BC 的表达式；(2)在点E 运动的过程中，若△DEF 的面积为5，求此时点(3)设点E 的坐标为（0，m ）；①用m 表示点F 的坐标；②在点E 运动的过程中，若△DEF 始终在△ABC 的内部（包括边界）题型3：最值问题5．已知一次函数()134502y kx k k =++≠．的坐标为(),a a ，求CM MP +的最小值．6．如图1，在平面直角坐标系xoy 中，直线1:1l y x =+与x 轴交于点A ，直线2:33l y x =-与x 轴交于点B ，与1l 相交于C 点，过x 轴上动点(),0E t 作直线3l x ⊥轴分别与直线1l 、2l 交于P 、Q 两点．(1)①请直接写出点A ，点B ，点C 的坐标：A ______，B ______，C ______．②若2PQ =，求t 的值；(2)如图2，若E 为线段AB 上动点，过点P 作直线PF PQ ⊥交直线2l 于点F ，求当t 为何值时，PQ PF -最大，并求这个最大值．题型4：旋转问题7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象交y 轴于点()0,1A -，交x 轴交于点B ，且2OB OC OA ==，过点C 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ．(1)求点D 的坐标；(2)点E 是线段CD 上一动点，直线BE 与y 轴交于点F ．①若BDF V 的面积为8，求点F 的坐标；②如图2，当点F 在y 轴正半轴上时，将直线BF 绕点B 顺时针旋转45︒后的直线与线段CD 交于点M ，连接FM ，若1OF MF =+，求线段MF 的长．备用图(1)求直线1l 的表达式；(2)过M 作y 轴的平行线，分别交直线1l ，直线2l 于点D ，E ，连接DE ，①当3m =时，求DE 的长；(1)求n 的值及直线2l 的表达式；(2)在直线2l 上是否存在点E ，使BO ABE A S S =△△若存在，则求出点(3)如图2，点P 为线段AD 上的一个动点，一动点H(1)求直线AB 的表达式；(2)由图象直接写出关于x 的不等式102x kx b <<+的解集；(3)如图②所示，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt BPM 直线MA 交y 轴于点Q ．当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长度是否发生变化？若不变，求出线段长度；若变化，求线段OQ 的取值范围．题型6：定值问题11．如图1所示，直线l ：10y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于(1)若点D坐标为(12，3)．①求直线BC的函数关系式；②若Q为RS中点，求点P坐标．(2)在点P运动的过程中，PQCR的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．题型7：新定义题型13．函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，表是探究过程中的部分信息：x…2-1-01232y x=-…4a2-14(1)a的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A．函数图像关于x轴对称x=时，函数有最小值，最小值为B．当0x>时，y随x的增大而增大C．当0③若12x -≤≤，则y 的取值范围为【拓展提升】18．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的数”．例如：对于函数12y x =和231y x =-，则函数1y ，2y 的“和函数”3y =(1)已知函数1y x =和2=y ①写出3y 的表达式，并求出当②函数1y ，2y 的图象如图①所示，则．．．．(2)已知函数4y x =和5y =，这两个函数的“和函数”记为6y ．按照上图的速度步行前往学校，记录下小东10天到达学校所用的时间，如表．上学日期4号5号6号7号8号11号到达学校所用时间（单位：min）2524.825.324.925.124.8某天早上7：20，小东按照上表的速度步行上学．t（0＜t≤10）分钟后，小明骑自行车以从小区出发，沿着相同的路线上学．骑行7分钟后，自行车因零件损坏无法继续骑行，小明只好将自行车停在路边非机动车停靠点（停车时间忽略不计），改用步行前往学校．为了赶时间，小明的步行速度不小于。

第六章一次函数(动点、全等、三角形存在性问题压轴)(原卷版)

第六章一次函数(动点、全等、三角形存在性问题压轴)(原卷版)

第六章 一次函数（压轴题专练）一、动点函数问题1．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以一定的速度，沿A B C D A ®®®®方向运动到点A 处停止（提示：当点P 在AB 上运动时，点P 到DC 的距离始终等于AD 和BC ）．设点P 运动的路程为x ，PCD V 的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．9C ．15D ．182．已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积 ()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（ ）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图1，四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线A -B-C -D 运动.设P 点的运动时间为ts ，PAD V 的面积为S ，当P 运动到BC 的中点时，PAD V 的面积为A ．7B ．7.5C ．84．如图，在长为形ABCD 中，5cm 16cm AB AD ==，，点3cm 4cm AM AE ==，，连线CE ，动点P 从点B 出发，以运动到点A 即停止运动，连接MP ，设点P 运动的时间为(1)如图1，线段CE = cm ；当10t =时，线段EP = cm ；(2)如图1，点P 在线段BC 上运动的过程中，连接EM EP ，，当EMP V 是以EM 为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(1)求线段OC的长；(2)若点E是点C关于y轴的对称点，求(3)已知y轴上有一点P，若以点标．(1)求n和b的值；△是直角三角形，求点P的坐标；(2)若ACP∠=∠，求点P的坐标．(3)当PBE BAC(1)求点D的坐标；(2)点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点i）若BDFV的面积为8，求点F的坐标；ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线接FM，若1OF MF=+，求线段MF的长．(1)求直线AB的解析式；(2)已知点D为直线BC上第三象限的一点，连接AD，设点D的横坐标为t 间的函数关系式（不要求写出变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，256S=，点D关于y轴的对称点为点E，点F在第一象限直线。

中考数学压轴题：一次函数压轴题

中考数学压轴题：一次函数压轴题

中考数学压轴题：一次函数压轴题的斜率为3，截距为6.点A(2，0)在直线l1上方，点B(0，－2)在直线l1下方，点C在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形，求直线l2的解析式。

解：设直线l2的解析式为y＝kx＋b。

由△ABC为等腰直角三角形可知，AB＝AC＝2，BC＝2√2。

点C的坐标为(2－√2，0)或(2＋√2，0)。

又因为点A在直线l1上方，点B在直线l1下方，故直线l2过点C，并且在直线l1的上方，即k＞3。

把点C的坐标代入直线l2的解析式，得y＝kx＋b＝k(x－2＋√2)当点C的坐标为(2－√2，0)时，点B在直线l 2上方，故直线l2的解析式为y＝k(x－2＋√2)；当点C的坐标为(2＋√2，0)时，点B在直线l 2下方，故直线l2的解析式为y＝k(x－2－√2)；综上所述，直线l2的解析式为y＝k(x－2＋√2)(k＞3)或y＝k(x－2－√2)(k＜－3)。

解：(1)设AC的两个端点为A(a,0)，C(c,0)，则由题意得a＋c＝14，ac＝48，解得a＝6，c＝8.由AB＝BO知B在以O为圆心，AB为半径的圆上，设B坐标为(x，y)，则x2＋y2＝AB2＝BO2＝64，且y＞0.又BC在x轴上，故C(x＋2，0).由△ACB的直角条件得y2＋(x－6)2＝y2＋x2－14x＋48＝(x－8)2＝64－16＝48，解得x＝12或4，由y＞0知x＝4时，B(4，4√3).设D(d,0)，则由∠ADC＝∠CAO知△ADC∽△CAO，故AD∥OC，即AD的斜率k＝0，故直线AD的解析式为y＝0.2)如图，设M(x，y)，则由△ABM的直角条件得y2＋(x－4)2＝AB2＝48，即y2＝－x2＋8x＋32.由AD∥OC得AM∥BC，故AM的斜率k＝0，即M在x 轴上，设M坐标为(M，0)，则有y＝0，即－x2＋8x＋32＝0，解得x＝4或x＝8.当x＝4时，M与B重合，△ABM不是直角三角形；当x＝8时，M在C的右侧，不在AD上，故不存在点M 使△ABM是直角三角形．综上所述，不存在点M使△ABM是直角三角形．第3题图1) 因为函数y＝2x＋2与x轴交于点A，所以A的坐标为(A,0)，代入函数得2A＋2＝0，解得A＝－1，所以A的坐标为(-1,0)；因为函数y＝2x＋2与y轴交于点C，所以C的坐标为(0,C)，代入函数得C＝2×0＋2＝2，所以C的坐标为(0,2)。

2024年中考数学压轴题型(广东专用)专题07一次函数与反比例函数综合问题(教师版)

2024年中考数学压轴题型(广东专用)专题07一次函数与反比例函数综合问题(教师版)

专题07一次函数与反比例函数综合问题通用的解题思路：1.三角形面积的解题步骤：类型一：三角形有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，以这边为底边，以该边所对的顶点的坐标的绝对值为高•底边平行于V轴，则以所对顶点的横坐标的绝对值为高，反之则以纵坐标的绝对值为高.类型二：三角形没有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，可以用公式水平宽X铅垂高求解.2.利用图象法解不等式解集的解题步骤：①求交点：联立方程求出方程组的解；②分区间：将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间；③比大小：图象谁在上方谁就大；④：写出对应区间自变量的取值范围.3.两线段和差的最值问题利用将军饮马模型：做对称，连定点，求交点.1.（2024广东东莞•一模）如图，一次函数y=+3的图象与'轴交于点,与反比例函数日的图象在第一象限内交于点瓦点B的横坐标为1,连接。

8,过点B作BClx轴于点C.⑴求一次函数和反比例函数的解析式；.....................................~4〜.......................⑵设点。

是x轴上一点，使得S^BCD=~S^AOB,求点Q的坐标.【答案】(1)必=2x+3,J=-x⑵点。

的坐标为(-1,0)或(3,0)【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.(1)把点代入一次函数了=心+3中，解得m=2,进而可得点B的坐标为(1,5),再利用待定系数法解答即可；(2)根据坐标求得S△朝=可知S%co=：S△皿=5,再根据S^cd=?CD・BC,得CD=2,即可求解.【详解】(1)解：把点｛―代入一次函数:Y=m+3中，，一3___——m+3=0,解得m=2,园一次函数的解析式为"2x+3.把点B的横坐标工二1代入y=2x+3中，得"5,国点B的坐标为(1,5),国点B为一次函数和反比例函数图象的交点，园把点8(1,5)代入反比例函数y=|中，得S5,园反比例函数的解析式为:y=-；(2)园jo],8(1,5),BClx轴，0OA=-,BC=5,C(l,0),S5aaob=-AO-BC=-x-x5=—,△如2224[?]Q=—V-^x—=5U*BCD3°AA(9B34，0S ABCn=-CD BC=-CD=5,园CD=2,M（l,0）,回点。

一次函数压轴题经典培优

一次函数压轴题经典培优

A B C O y 2y 1xyP 一次函数压轴题训练典型例题题型一、A 卷压轴题一、A 卷中涉及到的面积问题例1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1223y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线2 (0)y kx b k =+≠经过点C （1，0）且与线段AB 交于点P ，并把△ABO 分成两部分．（1）求△ABO 的面积； （2）若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等，求点P 的坐标及直线CP 的函数表达式。

练习1、如图，直线1l 过点A （0，4），点D （4，0），直线2l ：121+=x y 与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B 。

（1）、求直线1l 的解析式和点B 的坐标； （2）、求△ABC 的面积。

ABCODxy1l 2l2、如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别是y 1=x 和y 2=－2x+6，动点P （x ，0）在OB 上运动（0<x<3），过点P 作直线m 与x 轴垂直． （1）求点C 的坐标，并回答当x 取何值时y 1>y 2？（2）设△COB 中位于直线m 左侧部分的面积为s ，求出s 与x 之间函数关系式． （3）当x 为何值时，直线m 平分△COB 的面积？（10分）二、A 卷中涉及到的平移问题例2、 正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。

①直线y=43x-83经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式， ③若直线1l 经过点F ⎪⎭⎫⎝⎛-0.23且与直线y=3x 平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ∆的面积.练习1、如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：x y 34=与直线2l ：b kx y += 相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴于点B ，且OB OA 21=。

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2017年中考复习《一次函数》压轴题练习一、选择题1．小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（）．．． BC． AD2．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜03．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）．D ．． B ． CA4．已知一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=﹣x﹣2 B．y=﹣x﹣6 C．y=﹣x+10 D．y=﹣x﹣15．一次函数y=﹣5x+3的图象经过的象限是（）A．一，二，三 B．二，三，四 C．一，二，四 D．一，三，四6．下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）． A．B．C．D17．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为（）．D ．． B ． AC8．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点9.如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）A．凌晨4时气温最低为﹣3℃B．14时气温最高为8℃C．从0时至14时，气温随时间增长而上升D．从14时至24时，气温随时间增长而下降二、填空题10．已知y﹣3与x+1成正比例函数，当x=1时，y=6，则y与x的函数关系式为．211．已知一次函数y=﹣x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b= ．12．一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．小红根据图象得出下列结论：①l描述的是无月租费的收费方式；1②l描述的是有月租费的收费方式；2③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱．其中，正确结论的个数是（）13．如图，若直线y=kx+b经过A，B两点，直线y=mx经过A点，则关于x的不等式kx+b＞mx 的解集是．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是．三、解答题315．已知一次函数的图象经过（3，5）和（﹣4，﹣9）两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点（a，2）在这个函数图象上，求a的值．16．已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（﹣2，2），且一次函数的图象与y轴相交于点Q（0，4）．（1）求这两个函数的解析式．（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象．（3）求出△POQ的面积．17．小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：（1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？（2）何时开始第一次休息？休息时间多长？（3）小强何时距家21km？（写出计算过程）18．雅美服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6m，B种布料0.9m，可获利润45元；做一套N型号的时装需用A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利润50元．若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获得的总利润为y元．（1）请帮雅美服装厂设计出生产方案；（2）求y（元）与x（套）的函数关系，利用一次函数性质，选出（1）中哪个方案所获利润最大？最大利润是多少？19．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；4（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．参考答案一、选择题1．D2．D3．A4．C 5．C6．A7．B8．C9.A二、填空题x+．11． 16．12.2．13． x＞1．14． x=﹣2． 10． y=三、解答题15解：（1）设一次函数的解析式y=ax+b，∵图象过点（3，5）和（﹣4，﹣9），将这两点代入得：，解得：k=2，b=﹣1，∴函数解析式为：y=2x﹣1；（2）将点（a，2）代入得：2a﹣1=2，a=．解得：16．解：设正比例函数解析式为y=mx，一次函数解析式为y=nx+4，5将（﹣2，2）代入可得2=﹣2m，2=﹣2n+4，解得：m=﹣1，n=1，∴函数解析式为：y=﹣x；y=x+4．（2）根据过点（﹣2.2）及（0，4）可画出一次函数图象，根据（0，0）及（﹣2，2）可画出正比例函数图象．|=×2×|P4=4．（3）面积 =|OQ|?横坐标17．解：观察图象可知：（1）小强到离家最远的地方需要3小时，此时离家30千米；（2）10点半时开始第一次休息；休息了半小时；（3）点C（11，15），D（12，30），用待定系数可得DC的解析式：y=15x﹣150，当y=21时x=11.4，即11：24时；点E（13，30），F（15，0），用待定系数法可得EF的解析式：y=﹣15x+225，当y=21时x=13.6，即13：36时．∴小强在11：24时和13：36时距家21km．18．解：（1）设生产N型号的时装套数为x，则生产M型号的时装为（80﹣x），由题意，得，解得：40≤x≤44．6∵x为整数，∴x取40，41，42，43，44．∴有5种方案：方案1：M型号40套，N型号40套；方案2：M型号39套，N型号41套；方案3：M型号38套，N型号42套；方案4：M型号37套，N型号43套；方案5：M型号36套，N型号44套；（2）由题意，得y=45（80﹣x）+50x=5x+3600．∵k=5＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=44时，y=3820元．最大∴选择方案5所获利润最大．19．解：（1）由题意，得小明骑车的速度为：20÷1=20km/时，小明在南亚所游玩的时间为：2﹣1=1小时．（2）由题意，得=小时，分钟）×60=15小明从南亚所到湖光岩的时间为25﹣（2 ﹣．）=25km∴小明从家到湖光岩的路程为：20×（1+ =60km/时．∴妈妈的速度为：25÷ +，C=点横坐标为： 25）．C，（），由题意，得≠（的解析式为设直线CDy=kx+bk07，，解得：．110y=60xCD∴直线的解析式为﹣820XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。

努力实现教学创新，改革教学和学习方式，提高课堂教学效益，促进学校的内涵性发展。

同时，以新课程理念为指导，在全面实施新课程过程中，加大教研、教改力度，深化教学方法和学习方式的研究。

正确处理改革与发展、创新与质量的关系，积极探索符合新课程理念的生物教学自如化教学方法和自主化学习方式。

主要工作一、教研组建设方面：、深入学习课改理论，积极实施课改实践。

、以七年级新教材为“切入点”，强化理论学习和教学实践。

、充分发挥教研组的作用，把先进理念学习和教学实践有机的结合起来，做到以学促研，以研促教，真正实现教学质量的全面提升。

、强化教学过程管理，转变学生的学习方式，提高课堂效益，规范教学常规管理，抓好“五关”。

（）备课关。

要求教龄五年以下的教师备详案，提倡其他教师备详案。

要求教师的教案能体现课改理念。

（）上课关。

（）作业关。

首先要控制学生作业的量，本着切实减轻学生负担的精神，要在作业批改上狠下工夫。

（）考试关。

以确保给学生一个公正、公平的评价环境。

（）质量关。

、加强教研组凝聚力，培养组内老师的团结合作精神，做好新教师带教工作。

二、常规教学方面：加强教研组建设。

兴教研之风，树教研氛围。

特别要把起始年级新教材的教研活动作为工作的重点。

、教研组要加强集体备课共同分析教材研究教法探讨疑难问题由备课组长牵头每周集体备课一次，定时间定内容，对下一阶段教学做到有的放矢，把握重点突破难点、教研组活动要有计划、有措施、有内容，在实效上下工夫，要认真落实好组内的公开课教学。

、积极开展听评课活动，每位教师听课不少于20节，青年教师不少于节，兴“听课，评课”之风，大力提倡组内，校内听随堂课。

、进一步制作、完善教研组主页，加强与兄弟学校的交流。

我们将继续本着团结一致，勤沟通，勤研究，重探索，重实效的原则，在总结上一学年经验教训的前提下，出色地完成各项任务。

校内公开课活动计划表日期周次星期节次开课人员拟开课内容10月127四王志忠生物圈10月137五赵夕珍动物的行为12月114 五赵夕珍生态系统的调节12月 2818四朱光祥动物的生殖镇江新区大港中学生物教研组xx-20X 下学期生物教研组工作计划范文20X年秋季生物教研组工作计划化学生物教研组的工作计划生物教研组工作计划下学期生物教研组工作计划年下学期生物教研组工作计划20X年化学生物教研组计划20X年化学生物教研组计划中学生物教研组工作计划第一学期生物教研组工作计划20XX—019学年度第二学期高中英语教研组工作计划XX—XX学年度第二学期高中英语教研组工作计划一．指导思想：本学期，我组将进一步确立以人为本的教育教学理论，把课程改革作为教学研究的中心工作，深入学习和研究新课程标准，积极、稳妥地实施和推进中学英语课程改革。

以新课程理念指导教研工作，加强课程改革，紧紧地围绕新课程实施过程出现的问题，寻求解决问题的方法和途径。

加强课题研究，积极支持和开展校本研究，提高教研质量，提升教师的研究水平和研究能力。

加强教学常规建设和师资队伍建设，进一步提升我校英语教师的英语教研、教学水平和教学质量，为我校争创“三星”级高中而发挥我组的力量。

二．主要工作及活动：．加强理论学习，推进新课程改革。

组织本组教师学习《普通高中英语课程标准》及课标解度，积极实践高中英语牛津教材，组织全组教师进一步学习、熟悉新教材的体系和特点，探索新教材的教学模式，组织好新教材的研究课活动，为全组教师提供交流、学习的平台和机会。

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