有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍

有限差分，有限元，有限体积等等离散方法的区别介绍

一、区域离散化

所谓区域离散化，实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。实施过程是；把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积。节点：需要求解的未知物理量的几何位置；控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。一般把节点看成是控制容积的代表。控制容积和子区域并不总是重合的。在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。

大家都知道，常用的离散化方法有：有限差分法，有限元法，有限体积法。

1. 有限差分法是数值解法中最经典的方法。它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。这种方法发展比较早，比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。用它求解边界条件复杂、尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。

2. 有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。对椭圆型问题有更好的适应性。有限元法求解的速度较有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。目前的商用CFD软件中，FIDAP采用的是有限元法。

3. 有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。其中的未知数十网格节点上的因变量。子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。

4. 有限分析法：同有限差分法一样，用一系列网格线将区域离散，所不同的是每个节点与相邻8个邻点组成。在计算单元中把控制方程中的非线形项局部线形化，并对该单元上未知函数的变化型线作出假设，把所选定型线表达式中的系数和常数项用单元边界节点上未知的变量值来表示，这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一个定解问题，可以找出分析解；然后利用这一分析解，得出该单元中点及边界上8个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中点的离散方程。两种离散方法外节点法：节点在子域的四角，先定节点位置而计算相应的界面内节点法：节点在子域中心，子域与控制容积重合。计算时先定界面后算出节点位置。

5. 边界元法(Boundary Element Method，BEM)上面四种方法都必须对整个区域作离散化处理，用分布在整个区域上的有限个节点上函数的近似值来代替连续问题的解。在边界元方法中应用格林函数公式，并通过选择适当的权函数把空间求解域的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程，它把求解区中任一点的求解变量(如温度)与边界条件联系了起来。通过离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的未知值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。边界元法的最大优点是，可以使求解问题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及所需计算机容量大大减小。边界元法推广应用的一个最大限制是，需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解。虽然对不少偏微分方程这种基本解业已找出，但对Navier-Stoles方程这样的非线性偏微分方程，至今尚未找到其基本解。目前的一种处理方式是，把Navier-Stokes方程中的非线性项看作是扩散方程的源项并通过迭代的方式来求解，但一般只能获得Re较低情形的解。最近文献中采用高阶涡量—流函数方程的边界元方法，已使获得顶盖驱动流稳定解的Re高达10000。

格子—Boltzmann方法(Lattice-Boltzmann method，LBM)格子—Boltzmann方法是基于分子运动论的一种模拟流体流动的数值方法。在上述各种数值方法中，把本质上是离散的介质先假定是连续的，在此基础上建立起了N-S方程，然后又再把它离散化。在LBM中不再基于连续介质的假设，而是把流体看成是许多只有质量没有体积的微粒所组成，这些微粒可以向空间若干个方向任意运动。通过其质量、动量守恒的

原理，建立起表征质点在给定的时刻位于空间某一个位置附近的概率密度函数。再通过统计的方法来获得质点微粒的概率密度分布函数与宏观运动参数间的关系。格子—Boltzmann方法是20世纪80年代中期出现并迅速发展起来的一种新的流体数值模拟方法。因其算法简单、计算效率高、并行性好以及能够模拟复杂边界条件等优点而受到广泛关注，并且已经在众多的领域取得了成功的运用——从简单的层流到复杂的湍流、多相流、热流动。与以宏观连续方程的离散化为基础的传统数值方法不同，LBM是以分子运动论和统计力学为理论基础，从微观的粒子尺度出发，构造一个简化的运动论模型，此简化模型能够反映微观或细观过程的物理本质，并使其宏观统计特性遵循所期望的宏观守恒方程，如质量、动量和能量守恒方程。在宏观流体流动中应用这些简化运动论方法的基本前提是，流体的宏观动力学特性是众多微观粒子行为的统计平均的结果，并且宏观动力特性对微观物理特性的某些内在细节是不敏感的。通过简化的运动论方程，既可以避免求解如完整Boltzmann方程等复杂的动力学方程，又可避免对每个流体颗粒的分子动力学模化。格子—Boltzmann方法的应用与发展近况格子—Boltzmann方法在最近10年中发展得十分迅速。1991年Frisch撰文指出，格子—Boltzmann方法可以看成是Navier-Stokes方程差分法逼近的一种无限稳定的格式．至今，不仅稳态单相强制对流等温流动的领域已有许多成功的算例，而且还包括多相流，相界面及相变、多孔介质中的流动、自然对流换热等热交换现象、有自由表面的流动、流动的分歧、低Knudsen数的流动、互溶液体扩散系数的预测、非稳态流动，以及各向同性的湍流脉动等。另一方面这10年中格子—Boltzmann方法在数值计算处理的方法与技巧上也有相应的进展，这包括：不规则几何形状的处理、边界条件的处理、非均分格子及稳定性的分析等。

二、有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以T aylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

三、有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法(Galerkin)、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个