2020届甘肃省高三第二次高考诊断考试数学(文科)试题
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4．定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则函数 的零点个数为（）
A．4B．3C．2D．1
5．命题“ ”的否定为（）
A． B．
C． D．
6．2021年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（）
参考公式： ，
20．已知圆 与圆 相外切，且与直线 相切．
（1）记圆心 的轨迹为曲线 ，求 的方程；
（2）过点 的两条直线 与曲线 分别相交于点 和 ，线段 和 的中点分别为 .如果直线 与 的斜率之积等于1，求证：直线 经过定点．
21．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
利用向量的坐标运算，可得 ，再由模的运算即可得解.
【详解】
向量 ，
则 ，
则 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，向量模的求法，属于基础题.
4．B
【分析】
根据奇函数定义可得零点 ，结合函数单调性及函数零点定义可得函数 的其他零点，即可得解.
【详解】
由奇函数定义可知，当定义域为 时， ，
当 时， ，由 单调递增且 可知当 时有1个零点，
A．5B．6C．7D．8
二、填空题
13．已知函数 定义域为 ，值域为 ，则 ______．
14．数列 中，已知 ，则 ______.
15．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ______．
16．“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为 ，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，则 ______．
根据奇函数性质可知，当 时也为单调递增，且 ，
综上可知， 有3个零点，分别为0， ，1.
故选：B.
【点睛】
本题考查了奇函数意义，函数零点的意义及求法，属于基础题.
5．A
【分析】
根据全称量词命题的否定即可得解.
【详解】
根据全称量词命题的否定可知，
“ ”的否定为 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了含有量词命题的否定，属于基础题.
2020届甘肃省高三第二次高考诊断考试数学（文科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若 ，则 =（）Baidu Nhomakorabea
A． B．0C． D．
3．已知向量 ，则 （）
A． B．1C．5D．25
A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
7．记 为等差数列 的前n项和，若 ，则 的值为（）
A．9B．1C． D．
8．在棱长均相等的四面体 中， 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为（）
6．C
【分析】
根据指标雷达图，分别判断各选项即可.
日期
1月1日
1月2日
1月3日
1月4日
1月5日
1月6日
温差 （摄氏度）
10
11
12
13
8
9
发芽数 （粒）
26
27
30
32
21
24
他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据1月2，3，4，5日的数据求出 关于 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠.
22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 和曲线 的直角坐标方程；
（2）若点 坐标为 ，直线 与曲线 交于 两点，且 ，求实数 的值．
23．已知函数
（1）解不等式 ；
（2）若关于 的不等式 在 上无解，求实数 的取值范围．
A． B． C． D．
9．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为 的面团经过第一次拉伸成长为100cm的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为 的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（）（单位：cm．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）
A． B． C． D．
参考答案
1．A
【分析】
根据集合交集的运算即可得解.
【详解】
集合 ， ，
根据集合交集运算可知 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了集合交集的简单运算，属于基础题.
2．D
【分析】
利用复数的除法运算，化简即可得解.
【详解】
，
则由复数除法运算可得
，
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，属于基础题.
3．C
【分析】
10．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点， ，若双曲线的左支上有一点 ，满足 ，则该双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
11．定义在 上的函数 在 上单调递减，且 是偶函数，则使 成立的 的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群中男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是（）
三、解答题
17．已知 是矩形， 分别是线段 的中点， 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若在棱 上存在一点 ，使得 平面 ，求 的值．
18．在 中，角A，B，C的对边分别为 且满足 ．
（1）求角 ；
（2）若 的面积 ，其外接圆的半径 ，求 的周长．
19．某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如下：
A．4B．3C．2D．1
5．命题“ ”的否定为（）
A． B．
C． D．
6．2021年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（）
参考公式： ，
20．已知圆 与圆 相外切，且与直线 相切．
（1）记圆心 的轨迹为曲线 ，求 的方程；
（2）过点 的两条直线 与曲线 分别相交于点 和 ，线段 和 的中点分别为 .如果直线 与 的斜率之积等于1，求证：直线 经过定点．
21．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
利用向量的坐标运算，可得 ，再由模的运算即可得解.
【详解】
向量 ，
则 ，
则 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，向量模的求法，属于基础题.
4．B
【分析】
根据奇函数定义可得零点 ，结合函数单调性及函数零点定义可得函数 的其他零点，即可得解.
【详解】
由奇函数定义可知，当定义域为 时， ，
当 时， ，由 单调递增且 可知当 时有1个零点，
A．5B．6C．7D．8
二、填空题
13．已知函数 定义域为 ，值域为 ，则 ______．
14．数列 中，已知 ，则 ______.
15．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ______．
16．“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为 ，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，则 ______．
根据奇函数性质可知，当 时也为单调递增，且 ，
综上可知， 有3个零点，分别为0， ，1.
故选：B.
【点睛】
本题考查了奇函数意义，函数零点的意义及求法，属于基础题.
5．A
【分析】
根据全称量词命题的否定即可得解.
【详解】
根据全称量词命题的否定可知，
“ ”的否定为 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了含有量词命题的否定，属于基础题.
2020届甘肃省高三第二次高考诊断考试数学（文科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若 ，则 =（）Baidu Nhomakorabea
A． B．0C． D．
3．已知向量 ，则 （）
A． B．1C．5D．25
A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
7．记 为等差数列 的前n项和，若 ，则 的值为（）
A．9B．1C． D．
8．在棱长均相等的四面体 中， 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为（）
6．C
【分析】
根据指标雷达图，分别判断各选项即可.
日期
1月1日
1月2日
1月3日
1月4日
1月5日
1月6日
温差 （摄氏度）
10
11
12
13
8
9
发芽数 （粒）
26
27
30
32
21
24
他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据1月2，3，4，5日的数据求出 关于 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠.
22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 和曲线 的直角坐标方程；
（2）若点 坐标为 ，直线 与曲线 交于 两点，且 ，求实数 的值．
23．已知函数
（1）解不等式 ；
（2）若关于 的不等式 在 上无解，求实数 的取值范围．
A． B． C． D．
9．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为 的面团经过第一次拉伸成长为100cm的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为 的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（）（单位：cm．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）
A． B． C． D．
参考答案
1．A
【分析】
根据集合交集的运算即可得解.
【详解】
集合 ， ，
根据集合交集运算可知 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了集合交集的简单运算，属于基础题.
2．D
【分析】
利用复数的除法运算，化简即可得解.
【详解】
，
则由复数除法运算可得
，
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，属于基础题.
3．C
【分析】
10．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点， ，若双曲线的左支上有一点 ，满足 ，则该双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
11．定义在 上的函数 在 上单调递减，且 是偶函数，则使 成立的 的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群中男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是（）
三、解答题
17．已知 是矩形， 分别是线段 的中点， 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若在棱 上存在一点 ，使得 平面 ，求 的值．
18．在 中，角A，B，C的对边分别为 且满足 ．
（1）求角 ；
（2）若 的面积 ，其外接圆的半径 ，求 的周长．
19．某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如下：