(完整版)新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案
新人教版八年级数学下册二次根式教案(14篇)
新人教版八年级数学下册二次根式教案（14篇）篇1：新人教版八年级数学下册二次根式教案1.二次根式：式子( ≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：(1)( )2= ( ≥0); (2)5.二次根式的运算：(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.= ? (a≥0，b≥0); (b≥0，a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1) ，其中是二次根式的是_________(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) ;(2)例3、在根式1) ，最简二次根式是( )A.1) 2)B.3) 4)C.1) 3)D.1) 4)例4、已知：例5、 (龙岩)已知数a，b，若 =b-a，则 ( )A. a>bB. a2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )A. ;B. - ;C. - ;D.例2. 把(a-b)-1a-b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a= ，b= .例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、比较数值(1)、根式变形法当时，①如果，则;②如果，则。
人教版八年级数学下册16.1二次根式(教案)
一、教学内容
本节课选自人教版八年级数学下册第16.1节，主题为“二次根式”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.二次根式的概念与性质：理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质，如乘除法则、平方差公式等。
2.二次根式的化简与运算：学会化简二次根式，掌握二次根式的加减乘除运算方法，并能解决实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念。二次根式是形如$\sqrt{a}$的表达式，其中$a$为非负实数。它是解决非整数平方问题的重要工具，广泛应用于数学和实际生活。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，计算矩形的对角线长度，通过二次根式的应用，我们可以轻松解决这一问题。
（5）实际应用：运用二次根式解决实际问题，如计算面积、体积等。
2.教学难点
（1）理解二次根式的定义：部分学生可能对根号下的数必须为非负实数这一点理解不透彻，需要通过实例进行解释。
（2）掌握二次根式的性质：乘除法则、平方差公式等性质的理解和运用是难点，如$\sqrt{a^2}=|a|$，学生容易忽略绝对值符号。
（4）二次根式的化简方法，如：$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
（5）二次根式的加减运算，如：$\sqrt{3}+\sqrt{5}$，$\sqrt{3}-\sqrt{5}$等；
（6）运用二次根式解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的数学抽象能力：通过二次根式的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学表达式，理解数学符号的含义，提高数学表达与交流能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如二次根式的化简和运算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版初中数学八年级下册第十六章：二次根式(全章教案)
第十六章二次根式教材简析本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值．教学指导【本章重点】二次根式的性质和运算．【本章难点】灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则．2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论．3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值．课时计划16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件．【教学难点】求二次根式中字母的取值范围．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．3．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45B．－3C．a2＋3D．2 3环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？11，－5，(－7)2，313，15－16，3－x(x≤3)，－x(x≥0)，(a－1)2，－x2－5，(a－b)2(ab≥0)．【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．【解答】因为11，(－7)2，15－16＝130，3－x(x≤3)，(a－1)2，(a－b)2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数都小于0，所以不是二次根式．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．【例2】当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．活动2巩固练习(学生独学)1．下列式子中，是二次根式的是(A)A．－7B．3 7C．x D．x 2．使式子－(x－5)2有意义的未知数x有(B) A．0 个B．1 个C．2 个D．无数个3．当x是多少时，2x＋3x＋x2在实数范围内有意义？解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，x ≠0.∴当x ≥－32且x ≠0时，2x ＋33＋x 2在实数范围内没有意义．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x 、y 满足y ＞x －2＋6－3x ＋3，求|y －3|－(x －y )2的值．【互动探索】要求|y －3|－(x －y )2的值，需确定出x 、y 的取值范围．根据式子y ＞x －2＋6－3x ＋3，可以确定出x 、y 的取值范围．【解答】由题意，得x －2≥0且6－3x ≥0， 解得x ＝2，则y ＞3.故|y －3|－(x －y )2＝y －3－y ＋2＝2－3＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x 的值，从而确定y 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件——被开方数是非负数练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解a (a ≥0)是一个非负数、(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．【过程与方法】在明确(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识．【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的性质． 【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)当a >0时，a 表示a ；(2)当a ＝0时，a 表示0概括：一般地，a (a ≥0)是一个非负数．2．教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空： (1)(4)2＝4； (2)2＝2；⎝⎛⎭⎫132＝13； (0)2＝0. (2)一般地，(a )2＝a (a ≥0)． 3．教材P4“探究”，填空： (1)22＝2；0.012＝0.01； ⎝⎛⎭⎫232＝23； 02＝0.(2)一般地，a 2＝a (a ≥0)．教师点拨：二次根式的三个性质：(1)a (a ≥0)是一个非负数；(2)(a )2＝a (a ≥0)；(3)a 2＝a (a ≥0)．4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式． 5．计算：0.019 6×22 500＝21；549＝73. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)( 1.5)2； (2)(25)2； (3)16； (4)(－5)2.【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)()1.52 ＝1.5. (2)(25)2＝22×(5)2＝4×5＝20. (3)16＝(42)＝4. (4)()－52＝52＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，a 2＝||a ＝⎩⎨⎧a ()a ≥0；－a()a <0.【例2】化简下列二次根式． (1)8a 3b (a ≥0，b ≥0)； (2)(－36)×169×(－9).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简．注意：二次根式的结果是最简二次根式．【解答】(1)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝(2a )2·2ab ＝2a 2ab . (2)(－36)×169×(－9)＝36×169×9＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式正确的是( D ) A ．(－4)×(－9)＝－4×－9 B ．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×92．计算：(1)(9)2； (2)－(3)2； (3)64； (4)a 2＋2a ＋1. 解：(1)9. (2)－3. (3)8. (4)a 2＋2a ＋1＝()a ＋12＝||a ＋1.当a ≥－1时，原式＝a ＋1；当a <－1时，原式＝－a－1.3．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a ＋1)2＋2(b －1)2－|a －b |.解：从数轴上a 、b 的位置关系，可知－2＜a ＜－1,1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0，原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简(a ＋b ＋c )2－(b ＋c －a )2＋(c －b －a )2. 【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可．【解答】∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的性质⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0(a ≥0)(a )2＝a (a ≥0)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)a (a <0)练习设计请完成本课时对应训练！16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．【过程与方法】经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则．【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)16×25＝20，16×25＝20；(3)25×36＝30，25×36＝30.a≥0，b≥0.规律：一般地，二次根式的乘法法则是a·b＝ab()2．把a·b＝ab反过来，就得到ab＝a·b，利用它可以进行二次根式的化简．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)3×5； (2)13×27； (3)9×27； (4)12× 6. 【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【解答】(1)3×5＝15. (2)13×27＝13×27＝9＝3. (3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3. (4)12×6＝12×6＝ 3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．【例2】化简：(1)9×16； (2)16×81； (3)81×100； (4)4a 2b 3； (5)54.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？【解答】(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)4a 2b 3＝4·a 2·b 3＝2·a ·b 2·b ＝2ab b . (5)54＝9×6＝32×6＝3 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1 C ．－1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤－12．计算： (1)12×3； (2)23×315； (3)23×3512×5936. 解：(1)6. (2)310. (3)18.3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)(－4)×(－9)＝－4×－9； (2)41225×25＝4×1225×25＝4×1225×25＝412＝8 3. 解：(1)不正确．改正：(－4)×(－9)＝4×9＝36＝6. (2)不正确． 改正：41225×25＝11225×25＝11225×25＝112＝47. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】比较大小：(1)35与53； (2)－413与－511.【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．【解答】(1)35＝9×5＝45， 53＝25×3＝75. 因为45<75，所以35<5 3. (2)－413＝－16×13＝－208， －511＝－25×11＝－275.因为208<275，所以－208>－275，所以－413>－511.【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．【教学难点】二次根式商的算术平方根的运用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)二次根式的除法1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.规律：一般地，二次根式的除法法则是ab＝ab()a≥0，b>0.2．把ab＝ab反过来，就得到ab＝ab()a≥0，b>0，利用它可以进行二次根式的化简．(二)最简二次根式1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如22，310，2aa等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．【解答】(1)原式＝123＝4＝2 .(2)原式＝32÷18＝32×8＝3×4＝2 3.(3)原式＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)原式＝648＝8＝2 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．【例2】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)35；(4)22－1.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．【解答】(1)原式＝364＝38.(2)原式＝64b29a2＝8b3a.(3)原式＝35＝3×55×5＝155.(4)原式＝2×()2＋1()2－1()2＋1＝2＋22－1＝2＋ 2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算113÷213÷125的结果是( A ) A ．27 5B ．27C ． 2D ．272．如果xy(y >0)是二次根式，那么化为最简二次根式是( C ) A ．xy(y >0) B ．xy (y >0) C ．xyy(y >0) D ．以上都不对3．化简： (1)483； (2)0.7； (3)23－1； (4)6－56＋5. 解：(1)4. (2)7010. (3)3＋1. (4)11－230. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x 的取值范围→化简所求式子【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6，∴6<x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8， ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4(x ＋1)＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式＝4×9＝6.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减教学目标一、基本目标【知识与技能】通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．【过程与方法】在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．二、重难点目标【教学重点】会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．【教学难点】运用二次根式的加减运算解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．计算下列各式．(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.解：(1)原式＝(2＋3)2＝5 2.(2)原式＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)原式＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4) 原式＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算： (1)27＋13＋12； (2)32＋48－8＋3； (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223；(4)()6－222＋()23－1()23＋1.【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？【解答】(1)27＋13＋12＝33＋33＋23＝1633. (2)32＋48－8＋3＝32＋43－22＋3＝2＋5 3. (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223＝26－2＋62－223＝326－53 2.(4)()6－222＋()23－1()23＋1＝6－412＋8＋()12－1＝25－8 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．【例2】已知a －5－2＋b －5＋2＝0，求a 2＋b 2＋7的值．【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a ＝5＋2，b ＝ 5－2，然后再代入求值即可．【解答】由题意，得a －5－2＝0，b －5＋2＝0，解得a ＝5＋2，b ＝5－2，a 2＋b 2＋7＝5＋4＋45＋5＋4－45＋7＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算32－2的值是( D ) A ．2 B ．3 C ． 2D ．2 22．若最简二次根式3a －8与17－2a 可以合并，则a ＝5. 3．计算： (1)348－913＋312； (2)(48＋20)＋(12－5)． 解：(1)＝15 3. (2)63＋ 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求23x 9x ＋y 2x y 3－x 21x －5x yx的值． 【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x －1)2＋(y －3)2＝0，即可求出x 、y 的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．【解答】∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝4x 2－4x ＋1＋y 2－6y ＋9＝(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3. 原式＝23x 9x ＋y 2x y3－x 21x＋5x y x＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6xy . 当x ＝12，y ＝3时，原式＝12×12＋632＝24＋3 6. 【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的混合运算教学目标一、基本目标 【知识与技能】掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用． 【过程与方法】复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算． 【情感态度与价值观】理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力． 【教学难点】正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P14的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 3．计算： (1)13×27； (2)35； (3)80－45； (4)(25－2)2. 解：(1)3. (2)155. (3) 5. (4)22－410. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3.【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？ 【解答】(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝ 2. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5. (3)原式＝2－3＋23＝2－1－233.【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【例2】计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．【解答】(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋6 2.(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算：①(2)2＝2；② (－2)2＝2；③(－23)2＝12；④(2＋3)( 2－3)＝－1.其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＝ 6，b ＝ 4. 3．计算： (1)(6＋8)×3； (2)(46－32)÷22； (3)(5＋6)(3－5)； (4)(10＋7)(10－7)．解：(1)32＋2 6.(2)23－32.(3)13－3 5.(4)3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】先化简，再求值：1x＋y＋1y＋yx x＋y，其中x＝5＋12，y＝5－12.【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算【解答】1x＋y＋1y＋yx(x＋y)＝xyxy(x＋y)＋x(x＋y)xy(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝xy＋x(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝(x＋y)2xy(x＋y)＝x＋y xy.当x＝5＋12，y＝5－12时，x＋y＝5，xy＝1，所以原式＝ 5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以根据式子特点，整体代入进行计算．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．练习设计请完成本课时对应训练！。
人教版数学八年级下册16章《二次根式》单元整体教学设计
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将引导学生回顾本节课所学内容，总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
1.回顾总结：请学生回顾本节课所学的内容，总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
2.归纳提升：引导学生发现数学规律，提高数学思维能力。
3.反馈评价：教师对学生的学习情况进行反馈，给予鼓励和指导，激发学生的学习动力。
-学会化简二次根式，包括分解质因数、提取平方因子等方法，使二次根式达到最简形式。
2.学会解决实际问题中涉及二次根式的计算，如长度、面积和体积的计算等。
-能够将实际问题转化为数学问题，建立二次根式相关的数学模型。
-运用二次根式的运算方法解决实际问题，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
3.了解二次根式在几何图形中的应用，如勾股定理等。
4.运算讲解：详细讲解二次根式的乘除法运算规则，通过例题使学生熟练掌握运算方法。
（三）学生小组讨论
在小组讨论环节，我将组织学生进行合作学习，共同探讨二次根式的性质、化简和运算规则。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选一个组长，负责组织讨论。
2.讨论主题：每组针对二次根式的性质、化简方法和运算规则进行讨论，探讨解决实际问题的方法。
3.拓展应用：
-探究题：让学生自主探索二次根式在几何图形中的其他应用，如圆的面积、体积计算等，并撰写探究报告。
-研究性学习：小组合作，选择一个与二次根式相关的研究主题，如二次根式在建筑、工程中的应用，进行深入研究，并制作PPT进行课堂分享。
-数学阅读：推荐阅读相关数学历史资料，了解二次根式的历史背景和发展过程，拓宽学生的数学视野。
五、作业布置
为了巩固学生对二次根式的理解和应用，作业布置将包括基础巩固、能力提升和拓展应用三个层次，确保学生在课后能够自主复习、巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
人教版八年级数学下册第16章二次根式(教案)一
-教学难点2举例：对比\(\sqrt{8}\)和\(\sqrt{6}\)，解释为什么\(\sqrt{8}\)可以化简为\(2\sqrt{2}\)，因为8是2的平方的倍数，而6则不是任何整数的平方的倍数，因此不能化简。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念。二次根式是形如√a（a≥0）的表达式，它是表示非负数平方根的一种数学表达方式，对于解决实际问题和某些数学问题具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式在几何中的应用，例如计算非整数边长的正方形面积。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的概念：强调根号下的数必须是非负数，以及二次根式的书写规范。
-二次根式的性质：掌握二次根式的非负性、乘除法运算法则，如\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)。
-二次根式的化简：学会将二次根式化简至最简形式，如\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)。
3.增强学生数学建模素养，培养学生运用二次根式解决实际问题的能力，如对二次根式的估算，使学生能够将数学知识应用于生活实际。
4.培养学生直观想象能力，通过二次根式的图形表示，使学生能够形象地理解二次根式的概念及其运算规律，提高数学思维品质。
5.培养学生数学抽象素养，使学生能够从具体的二次根式实例中抽象出一般性规律，形成数学的一般概念。
新人教版八年级数学下册二次根式教案
新人教版八年级数学下册二次根式教案篇1：新人教版八年级数学下册二次根式教案1.二次根式：式子( ≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根变换成最简单的二次根后，如果根的个数相同，那么这些二次根就是相似的二次根。
4.二次根式的性质：(1)( )2= ( ≥0); (2)5.二次根式的运算：(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.= ? (a≥0，b≥0); (b≥0，a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1) ，其中是二次根式的是_________(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) ;(2)例3、在根式1) ，最简二次根式是( )a.1) 2)b.3) 4)c.1) 3)d.1) 4)例4、已知：例5、 (龙岩)已知数a，b，若 =b-a，则 ( )a. a>bb. a2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )a. ;b. - ;c. - ;d.例2. 把(a-b)-1a-b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a= ，b= .例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、比较数值(1)、根式变形法当时，①如果，则;②如果，则。
新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案
新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案Lesson 1: The Concept of Quadratic Radicals1.Knowledge and Skills: Understand the concept of quadratic radicals and use the meaning of a (a≥0) to answer specific ns。
2.Process and Method: Raise ns for n。
analyze and summarize the concept。
analyze the XXX。
draw important ns。
and use XXX3.ns。
Attitudes。
and Values: Develop students' ability to observe。
analyze。
XXX quadratic radicals。
Learning Focus: XXX in the form of a (a≥0)。
solving specific problems using "a (a≥0)"。
preparing basic XXXXXX-XXX:Analysis of Student n: Students XXX。
Activity Content:1.XXX een positive square roots and negative square roots is that they are expressed as ±a。
2.What is the arithmetic square root of a number。
What is the meaning of a in a (a≥0)。
Review of Knowledge: What is the square root of a number。
人教版数学八年级下册教案 16.1《 二次根式 》
人教版数学八年级下册教案 16.1《二次根式》一. 教材分析人教版数学八年级下册第16.1节《二次根式》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。
本节内容为后续学习二次根式的应用和二次方程等知识打下基础。
教材通过引入二次根式，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了实数、有理数和无理数的基本知识，具备一定的代数运算能力。
但学生对二次根式这一概念的理解和应用尚存困难，因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实例认识二次根式，感悟数学与生活的联系，激发学习兴趣。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算，提高学生的数学运算能力。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式，让学生感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：引导学生探究二次根式的性质和运算方法，培养学生的独立思考能力。
3.小组合作学习：学生进行小组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的概念、性质和运算方法。
2.练习题：准备适量练习题，巩固学生对二次根式的理解和应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如求物体长度、面积等，引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义，让学生通过实例理解二次根式。
3.操练（15分钟）让学生进行二次根式的基本运算，如加减乘除，巩固学生对二次根式的掌握。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，检查学生对二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的性质，如二次根式的乘除法、化简等，引导学生运用性质解决问题。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，让学生明确二次根式的概念、性质和运算方法。
(完整版)八年级数学下册电子版教案
老师结合学生的回答 ， 强调二次根式的非负性．
当 a＞ 0 时， a表示 a 的算术平方根 ，因此 a＞ 0；
当 a＝ 0 时， a表示 0 的算术平方根 ， 因此 a＝ 0.
也就是说 ，当 a≥ 0 时 ， a≥ 0.
三、例题讲解
【例】 当 x 是怎样的实数时 ， x－ 2在实数范围内有意义？ 解：由 x－2≥ 0， 得 x≥ 2.
8＝ 2a
2 a
a；
(4)
xx23y＝
xy y.
教师点评：上面这些式子的结果具有如下两个特点：
1． 被开方数不含分母．
2． 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
师：我们把满足上述两个条件的二次根式 ， 叫做最简二次根式． (教师板书 )
教师强调：在二次根式的运算中 ， 一般要把最后结果化为最简二次根式．
重点 最简二次根式的运用． 难点 会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
一、复习导入
( 学习活动 )请同学们完成下列各题． ( 请四位同学上台板书 )
计算： (1)
2； (2)2 6；(3)
3
18
8 ； (4) 2a
x3
x2
. y
教师点评：
(1)
2＝ 3
36；
2 (2)
6＝ 18
2
3 3； (3)
二、新课教授
所以当 x≥2 时 ， x－ 2在实数范围内有意义．
四、巩固练习
1． 已知 a－ 2＋
b＋
1＝ 2
0，
求－
a2b
的值．
【答案】 a－ 2≥ 0， b＋21≥0， 又∵它们的和为 1
2， b＝－ 2. ∴－ a2b＝－ 22× (－12)＝2.
人教版数学八年级下册16.1.2二次根式的性质(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
-复杂化简：对于\( \sqrt{\frac{24}{3}} \)的化简，学生可能会直接得到\( \sqrt{8} \)，而忽视\( \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} \)中的正确步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
3.培养学生的数学建模能力：引导学生将实际问题转化为二次根式的数学模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的数学抽象素养：通过对二次根式性质的探究，使学生理解数学概念的本质，提高数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的性质：理解并掌握二次根式的乘法、除法、平方和开方性质，能熟练应用于解题。
其次，我发现有些学生对乘法性质和除法性质容易混淆，尤其是在应用时。为了帮助学生更好地掌握这两个性质，我计划在下一节课中增加一些对比练习，让学生通过实际操作，感受两者之间的区别和联系。
此外，关于二次根式的化简，我觉得在讲解过程中需要更加注重步骤的详细解释。有些学生对于多层嵌套的二次根式化简感到困惑，我将在以后的课堂中多举例，并引导学生逐步分解和化简，以提高他们的解题能力。
-二次根式的化简：掌握运用性质对二次根式进行化简的方法，提高解题效率。
-实际问题的建模：学会将实际问题转化为二次根式的数学模型，培养数学应用能力。
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除(教案)
（1）根号内乘除运算的简化：在二次根式乘除运算过程中，学生往往难以把握根号内乘除运算后的简化步骤。
-难点解释：如\(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8}\)，需简化根号内的结果为\(\sqrt{16}\)，进而得到最终答案4。
（2）混合运算中乘除法则的运用：在二次根式乘除混合运算中，学生容易混淆乘除法则，导致计算错误。
-练习：计算\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)、\(\sqrt{12} \times \sqrt{27}\)等。
2.二次根式的除法法则：理解二次根式除法的运算规律，能够熟练进行除法运算。
-例子：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（其中\(b \neq 0\)，\(a \geq 0\)，\(b > 0\)）
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版数学八年级下册16.2节，主要内容包括：
1.二次根式的乘法法则：掌握二次根式乘法的运算规律，能够正确进行乘法运算。
-例子：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（其中\(a \geq 0\)，\(b \geq 0\)）
-练习：计算\(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\)、\(\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{9}}\)等。
3.二次根式的乘除混合运算：学会运用乘除法则，解决二次根式的乘除混合运算问题。
-例子：\(\sqrt{18} \div \sqrt{2} \times \sqrt{12}\)
5.设计不同难度的练习题，帮助学生巩固所学知识，逐步突破难点。
人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.激发学生的自主学习与合作探究：鼓励学生在课堂中积极参与讨论，学会与他人合作探究，培养自主学习和团队协作能力。
本节课将紧扣核心素养目标，关注学生能力的全面发展，提高学生数学学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的定义及其性质：理解二次根式的概念，掌握其性质，如√a（a≥0）。
-二次根式的加减法则：熟练运用加减法则进行同类项合并和不同类项化简，如√a±√a=±2√a。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我尝试了多种方法来帮助学生理解二次根式的加减。首先，通过日常生活中的实例导入新课，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在实际操作中，我发现同学们对这个问题产生了浓厚的兴趣，这为后续的学习打下了良好的基础。
在理论介绍环节，我尽量用简洁明了的语言解释二次根式的定义和性质，让学生易于理解。然而，我也注意到，部分学生在理解不同类项的化简和符号处理上还存在一定的困难。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，通过设计更多有针对性的练习和实例，帮助他们突破这个难点。
在新课讲授的案例分析环节，我选取了一个与学生生活密切相关的例子，希望能够让他们更好地体会到二次根式在实际中的应用。从学生的反馈来看，这个案例确实帮助他们加深了对二次根式加减的理解。但在实践活动和小组讨论中，我也发现部分学生在将理论知识应用到实际问题解决时，仍然显得有些吃力。这可能是因为他们对二次根式的掌握还不够熟练，需要在今后的教学中加强练习。
人教版八年级下册16.1二次根式教案
-化简复杂二次根式：对于一些复杂的二次根式，如√(50)或√(108)，学生需要找到其中的平方因子，进行分解和化简。
-合并不同底数的二次根式：例如合并√(2)和√(8)，需要先将√(8)化简为2√(2)，然后再与√(2)合并。
-二次根式的乘除运算中的符号问题：在二次根式的乘除运算中，符号的处理是一个难点，如√(a^2) = |a|而不是a。
1.加强学生对基本概念的掌握，通过大量练习题巩固知识；
2.注重直观教学，利用图像、实例等手段帮助学生理解难点；
3.结合生活实际，设计更多有趣的例题和练习，激发学生的学习兴趣；
4.关注个体差异，对学习有困难的学生进行个别辅导，提高他们的自信心。
希望通过不断反思和改进，能够使学生们在二次根式的学习中取得更好的成绩，为他们今后的数学学习打下坚实基础。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念。二次根式是表示一个数的平方根的数学表达式，它是代数表达式中的一种特殊形式，可以简化非整数平方根的计算。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个非标准矩形（如长为2，宽为1的矩形）的对角线长度，展示二次根式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的化简和合并同类项这两个重点。对于难点部分，如复杂二次根式的化简，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和直角三角形模型来测量对角线长度，并计算其二次根式的值。
本章节的核心素养目标旨在帮助学生从多角度理解和运用二次根式，提高学生的数学综合素质，为今后的学习和生活打下坚实基础。
人教版八年级数学下册第十六章 二次根式(全章)教案
16．1 二次根式[学习目标]理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．教学重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念教学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题．教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:学法：1、类比的方法、2、阅读的方法、3、分组讨论法4、练习法[学习过程]一、板书课题（一）讲述：同学们，我们来学习 16．1 二次根式二、出示目标（一）过渡语：要达到什么教学目标呢？请看投影：（二）屏幕显示学习目标理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．三、指导自学（一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学.（二）出示自学自导自学指导认真看课本P2全部内容：1.思考“思考1、2”中的问题，完成思考1中的问题，理解二次根式的概念及二次根式有无意义的条件。
2.注意例题1的格式和步骤。
3.讨论回答思考2中的问题。
.如有疑问，可请教同桌或举手问老师.5分钟后，比谁能做对与例题类似的题.四、先学（一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难.（二）过渡语：同学们，看完的请举手？懂了的请举手？好，下面就比一比，看谁能正确做出检测题.（三）检测 : P.3 练习1、2题。
学生练习，教师巡视。
（收集错误进行二次备课）五、后教教师引导学生评议、订正。
归纳小结：1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．五、当堂训练：一、选择题1．下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥一定是二次根式的有（）个。
A . 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若，则b的值为（）A．0 B．0或1 C．b≤3 D．b≥33．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A .5BC D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根．三、综合提高题1．若+有意义，则=_______．2.使式子有意义的未知数x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？4. 已知y=++5，求的值．教学反思：16.1 二次根式(2)[学习目标]理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．教学重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．教学难点：导出（a≥0）是一个非负数；•用探究（）2=a（a≥0）．教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:学法：1、类比的方法2、阅读的方法3、分组讨论法4、练习法[学习过程]一、板书课题：16.1 二次根式(2)讲述：同学们，我们来学习16.1 二次根式(2)二、出示目标（一）过渡语：要达到什么教学目标呢？请看投影：（二）屏幕显示学习目标理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．三、指导自学（一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学.（二）出示自学自导自学指导认真看课本P.3“探究”至例2结束。
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课题：16.1二次根式1 课型:新授 一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的______, 记为_____,a 一定是____数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为=__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）合作交流（小组互助） (1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 ,4a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2)（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2.练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35 (2)在实数范围内因式分解72-x 4a 2-11（三）展示提升（质疑点拨）例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？解：由02≥-x ，得2≥x当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。
练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③ 2、（1有意义，则a 的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数3、(1)在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________.(2)已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________.(3)已知233--+-=x x y ,则x y = _____________。
________)(2=a 2)3(x--21（四）达标检测 (一)填空题：1、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛253 2、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。
3、当x =时，代数式有最小值，其最小值是 。
4、在实数范围内因式分解：（1）-=-229x x ( )2=（x + ）(y - )（2）-=-223x x ( )2=（x + ）(y - ) （二）选择题：1、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为（ ）A 、3+aB 、3-aC 、3+aD 、32+a2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ） A 、 a ＜l B 、a ≤1 C 、a ≥1 D 、a ＞1 2、已知03=+x 则x 的值为A 、 x >-3B 、x <-3C 、x =-3D 、 x 的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A 、3= 2)3( B 、 0.5=2)5.0( C 、6.06.02= D 、35)75(2=课题：16.1二次根式2 课型:新授一、学习目标：1、掌握二次根式的基本性质：a a =22、能利用上述性质对二次根式进行化简.二、学习重点、难点重点：二次根式的性质a a =2．难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式52-x 有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：-=-226x x ( )2=（x + ）(y - ) （二）合作交流（小组互助） 1、计算：=24= =220观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时2、计算：-2)4(=观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 3、计算：=20 当==2,0a a 时（三）展示提升（质疑点拨） 1、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：⎪⎩⎪⎨⎧<->==00002a a a a a a2、化简下列各式：（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0( （3）、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ）3、请大家思考、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
1、化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 4x2、化简下列各式 （1）)3()3(2≥-a a （2）()232+x （x ＜-2）（四）达标检测A 组1、填空：（1）、2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_________.（2）、2)4(-π=（3）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________.2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x xB 组3、 已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+xx4、把()212--x x 的根号外的()x -2适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2B 、2-x C 、x --2 D 、2--x5、 x -4│-│7-x │。
课题：16.2二次根式乘法 课型:新授 一、学习目标a ≥0，b ≥0）（a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）1．填空：（1=____；（2=____；（3．（二）合作交流（小组互助） 1、 学生交流活动总结规律．2、一般地，对二次根式的乘法规定为反过来例1、计算（1 （2（3）×（4 例2、化简（1（2（3（4（5巩固练习（1）计算： ①②55×215 ③312a ·231ay（2）化简（三）展示提升（质疑点拨）判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。
（四）达标检测 A 组 1、选择题（1）等式1112-=-•+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1（2）下列各等式成立的是（ ）．A ．45×25=85 B ．53×42=205C ．43×32=75D ．53×42=206（3）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ）A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 2、化简与计算：（1）360； （2）432x ； （3）3018⨯； （4）7523⨯B 组1、选择题（1）若04144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ••2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1 （2）下列各式的计算中，不正确的是（ ） A ．64)6()4(-⨯-=-⨯-=（-2）×（-4）=8B ．2222442)(244a a a a =⨯=⨯=C ．5251694322==+=+D ．12512131213)1213)(1213(121322⨯=-⨯+=-+=-2、计算：（1）68×（-26）； （2；3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -332 (2) aa 212-课题：16.2二次根式除法 课型:新授 一、学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）1、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯2、填空： （1； 规律：（2=____；（3；（4=____．一般地，对二次根式的除法规定：（二）合作交流（小组互助）1、计算：（1（2（3 （42、化简：（1（2 （3 （4注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。
（三）展示提升（质疑点拨）阅读下列运算过程：3==5==数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1)=_________(３=_____ ___ (４=___ ___ （四）达标检测 A组1、选择题（1）．A．27．27CD（2的结果是（）A．．．．2、计算：（1）482（2）xx823（3）16141÷（4B组用两种方法计算：（1（2）346课题：16.2最简二次根式 课型:新授 一、学习目标1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式．3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用。
难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）1、化简（1）496x = （2=（3= (4= （5= （二）合作交流（小组互助）观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、化简:(1) 2083、计算： 521312321⨯÷4、比较下列数的大小 （1）8.2与432（2）7667--与注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。