材料现代研究方法X射线分析
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第三章 X射线衍射线束的强度
1. 一个电子对X射线的散射 2. 一个原子对X射线的散射 3. 一个单胞对X射线的散射 4. 一个小晶体对X射线的散射 5. 5. 粉末多晶体的HKL面的衍射强
度
衍射的两个要素
衍射方向：与晶胞参数（形状、大小）关联，由晶胞
间散射的X射线所决定。符合 Bragg(布拉 格)方程。 布拉格方程确定衍射方向
衍射强度： 与原子性质（成分）及晶胞内原子分布（点
阵形式）关联，由晶胞内原子间散射的x射 线决定。 复杂点阵存在系统消光
3.1 一个电子和一个原子对X射线的散射
1. 一个电子对X射线的散射
入射线在O处电子散射后，在OA方向X射线强度Ie：
e4 1co22s
Ie I0 R2m2C4
2
A R
若只考虑电子本身的散射本领，R＝1，
结论：体心点阵，当H+K+L为偶数时才能产生衍射
• 体心立方点阵： (110)、 (200)、 (211)、(220)、 (222)、…
• sin2θi/sin2θ1比例数列：2：4：6：8：10：12： 14：16…，或等于1：2：3：4：5：6：8…， 缺14、30
• 简单点阵比例数列中缺7、15、23。
3.3 几种点阵对X射线的衍射
面心点阵，每个晶胞中有4个同类原子
F h k lf[1 e i(k h ) e i(h l) e i(l k)]
f[1 c o s(h k) c o s(h l) c o s(k l)]
当H、K、L全为奇数或偶数时， FHKL=16f2； 其它情况 FHKL=0。
e ( h k l ) i c o s ( h k l ) i s i n ( h k l ) c o s ( h k l )
F h k l fN a [ 1 c o s (h k l)]
当H+K+L为偶数时，FHKL2=4f2 当H+K+L为奇数时， FHKL=0
通过系统消光, 可推断点阵形式和部分微观对称元素
3.2 一个晶胞对X射线的散射
单晶胞对X射线散射是晶胞所有原子对X射线的散射波叠加
n
该晶胞散射振幅(电场)： Ab Ae fj eij j1
引入参数称结构因子：
FHKL A Abe
n
j1
fj eij
或常写成： FHKLA A b ejn 1 fj(cojsisinj)
Fhk
2 l
f
co2s(0h0k0l)f
co2s(12h12k0l)2
f sin2(0h0k0l)f sin2(12h12k0l)2
f 21cosh(k)2
底心点阵分析：
当H+K为偶数时，即H，K全为奇数或全为偶数：
当H+K为奇数时，即H、K中有一个奇数和一个偶数：
• 面心立方点阵： (111)、 (200)、 (220)、 (222)、…
• sin2θi/sin2θ1比例数列：1：1.33：2.67：3.67： 4：…
结论：在底心点阵中，FHKL不受L的影响，只有 当H、K全为奇数或全为偶数时才能产生衍射
3.3 几种点阵对X射线的衍射
3. 体心点阵
每个晶胞中有2个同类原子(如钠)，坐标为000和1/2 1/2 1/2 ，其原子散射因子相同
F h k l f N a e 0 f N a e 2 i( 1 2 h 1 2 k 1 2 l) f N a [ 1 e ( h k l)i]
2θ
O
Байду номын сангаасIe
I0
e4 1co2s2
m2C4 2
2. 一个原子对X射线的散射
当X射线照射晶体, 原子随X射线电磁场作受迫振动, 核振 动忽略. 电子受迫振动作为波源辐射球面波. 在空间某点, 一
个电子辐射强度Ie , 一个原子 Z个电子辐射强度: Ia=Ie Z 2
（Z个电子集中在原子中心，实际并非如此）
波程差： j2 j2rS S02r* r
2 ( H K a L b )u c ( * a v* b w *c )
位向差：
j 2(HuK vL)w
图3-1 两阵点的相干散
FHKL是复数, 其模量|FHKL|称为结构振幅.
晶胞中（H K L）晶面衍射强度： I|FHK|L2Ie
Φj—晶胞中各原子相对原点原子经（h k l）晶面反射后的
位向差
φ= 2π(hu+ vk+ lw)
证明：φ= 2π(hu+ vk+ lw)
• 设：入射波和散射波矢量S0、S，原子A的坐标（u v w），点阵矢量为rj，则经（h k l）晶面反射后与原点
处原子（000）的波程差：
rj(SS0)
结构消光。
3.3 几种点阵对X射线的衍射
1. 简单点阵对X射线的衍射
简单点阵，每个阵胞中只包含一个原子，坐标为 000，原子散射因子为fa
结论：在简单点阵的情况下，FHKL不受HKL的影 响，即HKL为任意整数时，都衍射
3.3 几种点阵对X射线的衍射
2. 底心点阵
每个晶胞中有2个同类原子，坐标分别为000、1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都为fa
原子散射能力（代表元素）用散射因子f 表示：
f Aa (Ia )1/2 Ae Ie
Aa、Ae—原子和电子散射波的振幅
(fZ )
Ia = Ie f 2
f 随 sin 的增大而减小，θ=0 ，f=Z
系统消光
晶胞顶点上的阵点在满足 Bragg 方程衍射都是加 强的. 当为复晶胞时, 非顶点上的阵点散射的 X 射 线与顶点上阵点散射的 X 射线发生相互干涉. 结 果 可能加强, 或减弱, 甚至使某些按 Bragg 方程出 现的衍射消失, 这种现象称为系统消光.
按欧拉公式：
2
2 n
FHKL fj cos2 Huj Kvj Lwj
j1
n
2
fj sin2 Huj Kvj Lwj
j1
3.3 点阵对X射线的衍射
产生衍射的充分条件：
满足布拉格方程，且FHKL≠0。
由于FHKL＝0 而使衍射线消失的现象称为系统消光。 分为：点阵消光(点阵结构造成的消光称 )
1. 一个电子对X射线的散射 2. 一个原子对X射线的散射 3. 一个单胞对X射线的散射 4. 一个小晶体对X射线的散射 5. 5. 粉末多晶体的HKL面的衍射强
度
衍射的两个要素
衍射方向：与晶胞参数（形状、大小）关联，由晶胞
间散射的X射线所决定。符合 Bragg(布拉 格)方程。 布拉格方程确定衍射方向
衍射强度： 与原子性质（成分）及晶胞内原子分布（点
阵形式）关联，由晶胞内原子间散射的x射 线决定。 复杂点阵存在系统消光
3.1 一个电子和一个原子对X射线的散射
1. 一个电子对X射线的散射
入射线在O处电子散射后，在OA方向X射线强度Ie：
e4 1co22s
Ie I0 R2m2C4
2
A R
若只考虑电子本身的散射本领，R＝1，
结论：体心点阵，当H+K+L为偶数时才能产生衍射
• 体心立方点阵： (110)、 (200)、 (211)、(220)、 (222)、…
• sin2θi/sin2θ1比例数列：2：4：6：8：10：12： 14：16…，或等于1：2：3：4：5：6：8…， 缺14、30
• 简单点阵比例数列中缺7、15、23。
3.3 几种点阵对X射线的衍射
面心点阵，每个晶胞中有4个同类原子
F h k lf[1 e i(k h ) e i(h l) e i(l k)]
f[1 c o s(h k) c o s(h l) c o s(k l)]
当H、K、L全为奇数或偶数时， FHKL=16f2； 其它情况 FHKL=0。
e ( h k l ) i c o s ( h k l ) i s i n ( h k l ) c o s ( h k l )
F h k l fN a [ 1 c o s (h k l)]
当H+K+L为偶数时，FHKL2=4f2 当H+K+L为奇数时， FHKL=0
通过系统消光, 可推断点阵形式和部分微观对称元素
3.2 一个晶胞对X射线的散射
单晶胞对X射线散射是晶胞所有原子对X射线的散射波叠加
n
该晶胞散射振幅(电场)： Ab Ae fj eij j1
引入参数称结构因子：
FHKL A Abe
n
j1
fj eij
或常写成： FHKLA A b ejn 1 fj(cojsisinj)
Fhk
2 l
f
co2s(0h0k0l)f
co2s(12h12k0l)2
f sin2(0h0k0l)f sin2(12h12k0l)2
f 21cosh(k)2
底心点阵分析：
当H+K为偶数时，即H，K全为奇数或全为偶数：
当H+K为奇数时，即H、K中有一个奇数和一个偶数：
• 面心立方点阵： (111)、 (200)、 (220)、 (222)、…
• sin2θi/sin2θ1比例数列：1：1.33：2.67：3.67： 4：…
结论：在底心点阵中，FHKL不受L的影响，只有 当H、K全为奇数或全为偶数时才能产生衍射
3.3 几种点阵对X射线的衍射
3. 体心点阵
每个晶胞中有2个同类原子(如钠)，坐标为000和1/2 1/2 1/2 ，其原子散射因子相同
F h k l f N a e 0 f N a e 2 i( 1 2 h 1 2 k 1 2 l) f N a [ 1 e ( h k l)i]
2θ
O
Байду номын сангаасIe
I0
e4 1co2s2
m2C4 2
2. 一个原子对X射线的散射
当X射线照射晶体, 原子随X射线电磁场作受迫振动, 核振 动忽略. 电子受迫振动作为波源辐射球面波. 在空间某点, 一
个电子辐射强度Ie , 一个原子 Z个电子辐射强度: Ia=Ie Z 2
（Z个电子集中在原子中心，实际并非如此）
波程差： j2 j2rS S02r* r
2 ( H K a L b )u c ( * a v* b w *c )
位向差：
j 2(HuK vL)w
图3-1 两阵点的相干散
FHKL是复数, 其模量|FHKL|称为结构振幅.
晶胞中（H K L）晶面衍射强度： I|FHK|L2Ie
Φj—晶胞中各原子相对原点原子经（h k l）晶面反射后的
位向差
φ= 2π(hu+ vk+ lw)
证明：φ= 2π(hu+ vk+ lw)
• 设：入射波和散射波矢量S0、S，原子A的坐标（u v w），点阵矢量为rj，则经（h k l）晶面反射后与原点
处原子（000）的波程差：
rj(SS0)
结构消光。
3.3 几种点阵对X射线的衍射
1. 简单点阵对X射线的衍射
简单点阵，每个阵胞中只包含一个原子，坐标为 000，原子散射因子为fa
结论：在简单点阵的情况下，FHKL不受HKL的影 响，即HKL为任意整数时，都衍射
3.3 几种点阵对X射线的衍射
2. 底心点阵
每个晶胞中有2个同类原子，坐标分别为000、1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都为fa
原子散射能力（代表元素）用散射因子f 表示：
f Aa (Ia )1/2 Ae Ie
Aa、Ae—原子和电子散射波的振幅
(fZ )
Ia = Ie f 2
f 随 sin 的增大而减小，θ=0 ，f=Z
系统消光
晶胞顶点上的阵点在满足 Bragg 方程衍射都是加 强的. 当为复晶胞时, 非顶点上的阵点散射的 X 射 线与顶点上阵点散射的 X 射线发生相互干涉. 结 果 可能加强, 或减弱, 甚至使某些按 Bragg 方程出 现的衍射消失, 这种现象称为系统消光.
按欧拉公式：
2
2 n
FHKL fj cos2 Huj Kvj Lwj
j1
n
2
fj sin2 Huj Kvj Lwj
j1
3.3 点阵对X射线的衍射
产生衍射的充分条件：
满足布拉格方程，且FHKL≠0。
由于FHKL＝0 而使衍射线消失的现象称为系统消光。 分为：点阵消光(点阵结构造成的消光称 )