人教版高中数学《导数》

导数的背景

教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2

2

1gt s =

（其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.

从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量：

222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ∆+∆=⨯-∆+=-∆+=∆

从而，t t

s

v ∆+=∆∆=

-

-9.44.29. 从上式可以看出，t ∆越小，t s ∆∆越接近29.4米/秒；当t ∆无限趋近于0时，

t

s

∆∆无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ∆趋向于0时，t

s

∆∆的极限是29.4.

当t ∆趋向于0时，平均速度t

s

∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做

瞬时速度.

一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ∆）这段时间

内的平均速度为t t s t t s t s ∆-∆+=

∆∆)()(. 如果t ∆无限趋近于0时，t

s

∆∆无限趋近于某个常数a ，就说当t ∆趋向于0时，t s

∆∆的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t

的瞬时速度. 2. 切线的斜率

问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

析：设点Q 的横坐标为1＋x ∆，则点Q 的纵坐标为（1＋x ∆）2，点Q 对于点P

的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(x x x y ∆+∆=-∆+=∆， 所以，割线PQ 的斜率x x

x x x y k PQ

∆+=∆∆+∆=∆∆=2)(22. 由此可知，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，x ∆变得越来越小，PQ k 越来越接近2；当点Q 无限接近于点P 时，即x ∆无限趋近于0时，PQ k 无限趋近于2. 这表明，割线PQ 无限趋近于过点P 且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：12-=x y .

一般地，已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，P （00,y x ），Q （y y x x ∆+∆+00,）是曲线C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即x ∆趋向于0时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时，割线PQ 的斜

率x

y

k PQ ∆∆=

无限趋近于切线PT 的斜率k ，也就是说，当x ∆趋向于0时，割线PQ 的斜率x

y

k PQ ∆∆=的极限为k.

3. 边际成本 问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：

222)(3300)10503(10)50(3)50()50(q q q C q C C ∆+∆=+⨯-+∆+=-∆+=∆.

产量变化q ∆对成本的影响可用：

q q C ∆+=∆∆3300来刻划，q ∆越小，q

C

∆∆越接近300；当q ∆无限趋近于0时，

q

C

∆∆无限趋近于300，我们就说当q ∆趋向于0时，q

C

∆∆的极限是300. 我们把

q

C

∆∆的极限300叫做当q ＝50时103)(2+=q q C 的边际成本.

一般地，设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比

q

q C q q C q C ∆-∆+=∆∆)

()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，

q

C

∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）. 二、小结

瞬时速度是平均速度t

s

∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率

x

y

∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当

q ∆趋近于0时的极限.

三、练习与作业：

1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度.

2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本.

4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.

5. 判断曲线221x y =在（1，2

1

）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.

导数的概念（5月4日）

教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：

上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课：

1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数

)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比

x

y

∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即

x

y

∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0

/x x y =，即

x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(000

0/

注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。

3.

x

y

∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。