习题五及答案

习题五 电磁感应
一 选择题 1.(D)；2.(B)；3.A
1.在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为的正方向，则代表线圈内自感电动势
随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)
中的哪一个？[D]
2. 在圆柱形空间内有一磁感强度为B 的均匀磁场，如图所示，B
的大小以速率d B /d t 变
化．有一长度为l 0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1(ab )和2(a ＇b ＇)，则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为 ［B ］
(A) ε2＝ε1≠0． (B) ε2>ε1． (C) ε2<ε1． (D) ε2＝ε1＝0．
3．如图所示，一矩形线圈以一定的速度ν穿过一均匀磁场，若规定线圈中感应电动势ε沿顺时针方向为正值，则下面哪个曲线图正确表示了线圈中的ε和x 的关系[ A ]
二 填空题
1.用导线制成一半径为r =10 cm 的闭合圆形线圈，其电阻R =10 ，均匀磁场垂直于线圈平面．欲使电路中有一稳定的感应电流i = 0.01 A ，B 的变化率应为d B /d t =_______________________________． 3.18 T/s
2.一自感线圈中，电流强度在 0.002 s 内均匀地由10 A 增加到12 A ，此过程中线圈内自感电动势为 400 V ，则线圈的自感系数为L =____________．0.400 H
3.自感系数L =0.3 H 的螺线管中通以I =8 A 的电流时，螺线管存储的磁场能量W =________．9.6 J
t
I t 0 t
t 0
t 0
(A)
(B)
(C)
(D)
(b)
(a)
a a'
O
b b'l 0
B
4.半径为a 的无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为n ，通以交变电流i =I m sin t ，则围在管外的同轴圆
形回路(半径为r )上的感生电动势为______________．t a nI m cos 2
5．真空中两只长直螺线管1和2，长度相等，单层密绕匝数相同，直径之比d 1 / d 2 =1/4．当它们通以相同电流时，两螺线管贮存的磁能之比为W 1 / W 2=___________．1∶16
6.四根辐条的金属轮子在均匀磁场B 中转动，转轴与B
平行，轮子和辐条都是导体，辐条长为R ，轮子转速为n ，则轮子中心O 与轮边缘b 之间的感应电动势为_______ BnR 2 ，电势最高点是在_______O 处．
7.有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形线圈的中心轴OO ′上，则直导线与矩形线圈间的互感系数为__________．0
8．金属杆AB 以匀速v =2 m/s 平行于长直载流导线运动，导线与AB 共面且相互垂直，如图所示．已知导线载有电流I = 40 A ，则此金属杆中的感应电动势i =____________
伏特．(ln2 = 0.69) 1.11×10-5
三 计算题
1.长为L ，质量为m 的均匀金属细棒，以棒端O 为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L 的金属环上滑动．棒端O 和金属环之间接一电阻R ，整个环面处
于均匀磁场B 中，B
的方向垂直纸面向里，如图．设t =0时，初角速度为 0．忽
略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻．求 (1) 当角速度为 时金属棒内的动生电动势的大小．(2) 棒的角速度随时间变化的表达式．
解∶(1) 2d d v 20
0L B r B r r B L
L
i E
(2)
M t J
d d ① 23
1
mL J ② 2
21d BIL r BI r M L
R L B L R L B B 4)2(214222
t Rm
L B d 43d 2
2
)43ex p(2
20t Rm
L B 其中 exp(x ) =e x
B
2. (*选做)如图所示，一半径为r 2电荷线密度为的均匀带电圆环，里边有一半径为r 1总电阻为R 的导体环，两环共面同心(r 2 >> r 1)，当大环以变角速度 t )绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中的感应电流．其方向如何？
解：大环中相当于有电流 2)(r t I 这电流在O 点处产生的磁感应强度大小
)(2
1
)2/(020t r I B
以逆时针方向为小环回路的正方向，
210)(2
1
r t
∴ t
t r t i d )
(d 21d d 2
10
E t
t R r R i i
d )
(d 2210 E
方向：d (t ) /d t >0时，i 为负值，即i 为顺时针方向． d (t ) /d t <0时，i 为正值，即i 为逆时针方向．
3.两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b 的金属杆CD 与两导线共面且垂直，相对位置如图．CD 杆以速度v
平行直线电流运动，求CD 杆中的感应电动势，并判断C 、D 两端哪端电势较高？ 解：建立坐标(如图)则：
21B B B
x
I
B 201 ， )
(202a x I
B
x
I
a x I
B
2)
(200 ， B
方向⊙
d
x x
a x I x B d )1
1(
2d 0
v
v
x x
a x I b
a d )1
1(
2v
d 22a
0 E b a b a I 2)(2ln 20v
感应电动势方向为C →D ，D 端电势较高．
t r 1
r 2
O
a a b
I
I C
D
v
2a
x +d x 2a +b
I
I C D
v
x
O
x
4．载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半
圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度 v
平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN 两端的电压U M U N （提示：可引入一条辅助线MN ，构成闭合回路MeNM , 闭合回路总电动势为零）
解：动生电动势 MN
d )v (l B MeN
E
为计算简单，可引入一条辅助线MN ，构成闭合回路MeNM , 闭合回路总电动势
0 NM MeN E E E 总 MN NM MeN E E E
x x I l B b
a b
a MN
d 2v d )v (0MN
E b a b a I ln
20v 负号表示MN E 的方向与x 轴相反．
b
a b
a I MeN
ln
2v
0 E 方向N →M
b
a b
a I U U MN N M
ln 2v 0 E
5．(*选做)如图所示，一磁感应强度为B 的均匀磁场充满在半径为R 的圆柱形体内，有一长为l 的金属棒放在磁场中，如果B 正在以速率dB/dt 增加，试求棒两端的电动势的大小，并确定其方向。

解：取棒元dl ，其两端的电动势为
cos 2r dB
d E dl dl dt
r r g
整个金属棒两端的电动势
cos 2l l r dB E dl dl dt r r
22
()2l
l
R r dB
dl
22()22dB l l R dt 方向由a 指向b .
6.如图所示，一电荷线密度为的长直带电线(与一正方形线圈共面并与其一对边平行)以变速率v =v (t )沿
着其长度方向运动，正方形线圈中的总电阻为R ，求t 时刻方形线圈中感应电流i (t )的大小(不计线圈自身的自感)．
解:长直带电线运动相当于电流 )(t I v ．
正方形线圈内的磁通量可如下求出
d d 2I a x a x
000d ln 222a x Ia Ia a x
0d d ln 2d 2d i a I
t t
2ln d )(d 20t t a
v 0
d ()
()ln 22d i
t i t a
R
R
t
v
b
M e
a
I O
v
a a a
v (t )
l R
o a
b l R o a
b
r E。