轴向受力细长压杆临界力与形变状态的数学分析[1]

F d 2 M ( x) cr 2 ds EI EI
将该式两边对 s 取导数，并注意到
d sin ，其中 为挠曲线转角则有： ds
F d 2 cr sin 2 ds EI
由上式可得挠度 与压力之间的近似关系式

2 2l

1 F F 1 1 ( 1) Fcr 2 Fcr
（1 ）
式 （1 ） 可由图 1-2 中曲线 AB 表示， 即曲线在 A 点处切线是水平的， 当 压杆在微变平衡状态，压力 F 与挠度存在一一对应。
F Fcr
时，
F
B
F
Fcr A
Fcr

图 1-2 图 1-3

由压杆的形变过程显然可知，当压杆两端点重合处于平衡状态，即 F=F2 时，压 杆中间点的挠率最大。 式（1）两边对 F 求导，得
模型二最后给出的是一个挠度与压力之间近似的关系式，其算出的结果不可避
6
dz 1 x " EI d 2
免会有较大误差，为了给出关于 Fx 的精确值，我们利用变分法和第一类全椭圆 积分建立有限挠曲模型，来确定侧向挠曲的幅值。利用这个模型，我们可以得 到压杆在整个过程中每个状态角度与挠度的对应关系，定性地分析挠度与角度 的关系式，并结合图 2 进行形状观察知， ( ) 变化趋势是先增大后减小的，因 此存在一个极大值，而这个极值对应的正是题目要求的两端点重合时的状态。 此 时可以回代解出 F2。
或 积分上式，有
dy 2k sin d
y 2k cos C2

2 ，由上式得出 C 2 =0. 当
x L 2 时， 0 ， y ymax ，由上式
当 y=0 时， 有 2 k 或
10

2k


2k kL /2 d P EI 1 k 2 sin 2 0
将其代入通解式，可解得
B 0 ， A sin kl 0
上式中，若 A=0，则 0 ；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态， 这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有 sin kl 0 满足条件的 kl 值为
kl n (n 0,1,2,)
则有
k
于是，压力 F 为
一、问题重述
对于细长压杆， 在棒的两端施加方向相反大小相等的轴向压力。 把压杆从直 线形式的稳定平衡开始转变为不稳定的轴向压力值，称为压杆的临界力，记为 F1。该力值对于保持细长压杆的微弯构形是恰好有效的，当轴向压力超过压杆的 临界力时，压杆将突然变弯，丧失其原有的稳定性。由稳定的平衡状态变为不稳 定的平衡状态的现象，称为失稳。 失稳后，继续施加轴向压力，压杆不断形变。根据平面弯曲的理论，此时压 杆产生的连续、光滑而平坦的曲线，称之为挠曲线或弹性曲线。随着轴向压力的 增加，压杆的挠曲线越来越弯曲，当压力 F 近似增加到临界力 F1 的两倍时，压
（4）
(
d 2 ) 2 2 cos C1 ds
（5）
d 0 （初始倾斜） 当 x=0 时， ，y=0；因此，有（2）式可有 ds =0.于是，由（5）
式，有
0 2 2 cos0 C1
d 2 cos cos 0 ds
亦即
（6）
此处取负平方根是因为 d 始终是负的。上式可变换为
（17）
至此，有限挠曲理论模型建立完毕。
各个量求解算法： 1． 设 F1 为 1，则 F2/F1=F2，因此我们只用求 F2 即可。
我们已知挠度和 K 的关系（17） ，而 挠度与杆长的比值。
k sin
0
2 ,因此对于每一个转角均可算得其
2. 设定端杆转角的取值范围和步长，循环算的每个转角对应的挠度与杆长的比 值，画出曲线，并记录最大比值与比值最大点处的的转角值，此时压杆处于 题目要求所求状态，最大比值已知，再根据下图所示端杆转角值和夹角关系 即可求出夹角，问题 2-2，2-3 解决。
图2 在具体实现上，我们利用数值模拟的思想，编写 Matlab 程序，画出 ( ) 函数的 图形并找到极值点，最后求出 F2.
下面给出有限挠曲模型的推导： 引入角坐标 和弧长 S，作为对 x,y 的补充
图4
变形杆放大后的图 5-1 更清楚地表明角坐标，注意到 d ( ) 是负的，我们研究由 两个相邻界面限定的弧长元素 ds ,加载前是彼此平行的， 但是在杆发生侧向挠
n l
F k 2 EI
n2 2 EI l2
n 1 得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力 Fcr 于是可得临界力为
Fcr
2 EI
l2
问题二：F2 / F1 的精确的理论比值；高度与棒长之比 分析：
3
模型一解决了临界力的问题，但存在这明显的局限性，由于模型一是建立在 微小的弯曲变形这一假设下的，而当压杆失稳后，形变逐渐变得非常明显，不满 足微变假设条件，这使我们寻找新的、普适的模型。为此，我们引入角坐标 θ 和 弧长坐标 s，建立挠曲线的精确微分方程。 建立模型二解决： 采用挠曲线的精确微分方程建立模型：
d 2 sin 2 0 sin 2 ds 2 2
下面引入一个变量置换，令
(7)
sin

2
k sin
（8）
式中 是一个变量，且假设当 x=0 时，


2；
x
L 2 时， =0，因此
k sin
0
2
（9）
那么
2arcsin(k sin )
d 2k cos d 1 k 2 sin 2
（12）式的右端项是代有模数 k 和变量 的第一类完全椭圆积分。对于任意给定 的 ，可以得到一系列积分结果，用程序进行数值模拟，画出关系曲线。为了确 定相应于
0 的数值，有方程（9）确定 k。为了确定相应于 0 假定值的轴向力 F，
2
可将（12）式重写为如下形式
/2 4 EI d F 2 L 0 1 k 2 sin 2
4
令
，解得
代入式（1）得
问题三：宽度与棒长之比；端点重合处的夹角
细长弹性棒变形后的挠曲线是一条连续而光滑的曲线， 挠度和转角随截面位 置而变化，于是挠曲线和转角方程可分别表示为 ，
挠曲线上任一点A的切线与x轴的夹角等于A点所在横截面的转角ɑ。 于是在小 变形条件下有
即挠曲线上任一点处切线的斜率， 等于该点处横截面的转角。 对细长弹性棒， 剪力对棒变形影响很小，因此其纯弯曲的曲率公式为
（10）
且 由（7） （8 ） （9） （10）式，有
d 1 k 2 sin 2
ds
（11）
积分（11）式并记忆 的定义与在端点处数值
9

L /2
ds
0
0
d 1 k 2 sin 2 d
/2
.
或
L 2
/2

0
1 k 2 sin 2
轴向受力细长压杆临界力与大挠度形变状态的数学分析
摘要
在工程实践中，受压杠件是很常见的。研究受压杆件特别是受轴向力压杆 的临界力及失稳之后的形变状态，从而更好得保证受压杆件的正常使用， 增强其 稳定性， 是受压杆件研究的重要课题。 本篇文章针对这一问题， 建立了四种模型， 旨在用不同的精确的模型来分析压杆的稳定和失稳后的各个状态， 从而为压杆生 产和使用提供很好的指导意义。 我们借助数学模型的建立和 Matlab， Maple 等数学软件，对轴向受力压杆 进行了详细的分析和模拟仿真， 为此我们采取针对不同问题 “各个击破” 的思路， 对于不同的问题需求， 我们建立了不同的模型来分别满足之。 我们模型的建立思 路和改进可分为以下几步： 第一步：建立微变弯曲变形条件下的压杆模型（模型一） 。这种模型是基于侧向 绕度非常小这一假设， 根据这一假设， 我们利用微小变形的挠曲线近似常微分方 程推导出欧拉公式，以求出欧拉临界力。 第二步：模型一中的假设建立在微小的弯曲变形条件下，而当压杆失稳后，形变 逐渐变得非常明显，不满足微变假设条件，这使我们寻找新的、普适的模型。为 此，我们引入角坐标θ 和弧长坐标 s，建立挠曲线的精确微分方程，推导出挠度 与压力之间的一个近似关系式（模型二） 。在此模型下，可以完整地模拟处轴向 受力压杆的形变状态，并可以求出挠度与棒长的比值。 第三步：根据题目要求，我们不但需要求出失稳后的轴向压力，还需要分析平 衡状态曲线的几何特征。而且模型二提供的是一个近似的关系式。为此我们利 用变分法和椭圆积分，构建一个精确度很高有限挠曲模型（模型三） 。并且我们 利用数值模拟的方法，利用Matlab计算出一定角度范围的数值特征变化趋势， 加以分析求出高精度下高度与棒长之比、压力F2和夹角。 最后，我们将对接触的结果进行分析，然后对各个模型进行评价。 关键词：轴向受力 大挠度 型 数值模拟 临界力 微分方程 第一类椭圆积分 有限挠曲模
1
杆的两端点重合（见图 1） ，在此平衡状态下压杆满足一系列的几何特征。
图1
二、问题假设
1、假设在所有形变过程中，压杆的长度保持不变。 2、假设 3、假设忽略剪力对压杆形变的影响。
三、符号说明
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四、模型建立
式中，(x)为棒上任一点变形后的曲率半径，M(x)为相应截面的弯矩。 平面曲线的曲率可写成
弯矩方程
代入曲率公式
令
于是原方程化为
d F 2 1 dF F F 1 1 lM (
,即 。
。
d
5
，即z表示棒上任一点切线的斜率。
利用Maple解得
考虑小变形时，v’远小于1，且v”的正负号与弯矩正负号相同，曲率公式 则表示成
（1 ） 如果令
2
P EI ，那么 d 2 y ds
（2）
将上式再微分一次，
d 2 dy 2 2 sin 2 ds ds
（3）
d 此式适用于大的， 有限的侧向挠度，为了求解（3）式， 双方乘积分因子 2（ ds ） ，
8
2
积分上式，有
d d 2 d 2 2 (sin ) 2 ds ds ds
问题一：求临界力 F1 的表达式； 建立模型一求解：
在棒的弯曲变形非常微小这一假设下， 在建立弹性挠曲线近似微分方程曲率可以 近似看成
d 2 ,于是可以建立利用微小形变挠曲近似常微分方程建立模型一，并 dx 2
进一步推导出临界力.
设两端铰支中心受压的直杆如图 1-1 所示。 设压杆处于临界状态，即具有微弯的 平衡形式。建立 ω -x 坐标系，任意界面 x 处的弯矩绝对值为 Fω ,当ω 为正时，M 为正；ω 为负时，M 为负，即 M 与ω 符号相同，建立以下模型：
7
曲后， 这些截面的情况如图 5-2 所示。这个圆弧微段中两个截面的对弧角为 d 。 得到与中性层相距 y 处的法应变。
图 5-1
图 5-2

yd ds E
其中 是作用在纤维上的纵向应力。有

My I ，于是
yd My ds EI
因为 M Py ，有
d Py ds EI
（13）
为了得到发生在
x
L 2 处的最大挠度，有几何学，有 dy sin 来自百度文库 2sin cos ds 2 2
（14）
由（11）式，可有
dy 1 k 2 sin 2 dy ds d
令（14）和（15）右端项相等，有
dy 1 k 2 sin 2 2k (sin ) 1 k 2 sin 2 d
即我们所称的挠曲线近似微分方程。 由式（）两边积分得
固定端处挠度和转角均为零，即
将其代入式（）（）得
将C、D值代入式（）（）得
设微段dx弯曲变形后为ds，在截面处引起的轴向位移为d△，由于ds在中性 层上，所以有ds=dx;d△=dx-dscos ≈dx· 2/2,由此得
当
时，解得
。
建立有限挠曲理论模型(模型三)解决：
M F
EI M ( x) F

l
2
令
k2
F EI
得到：
k 2 0
该模型中微分方程的通解为 v A sin kx B cos kx 式中 A、B——积分常数，可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为
x 0 和 x l 时， 0