第二章逻辑代数基础及基本逻辑门电路
第2章 逻辑代数基础
A B
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。 运用分配律 变并 相 和 包 量成 同 反 含 Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC 的一 时 变 同 若 因项 ， 量 一 两 BC BC B(C C ) B 子， 则 ， 个 个 。并 这 而 因 乘 运用分配律 消两其子积 去项他的项 Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 互可因原中 ABC ABC A( BC BC) A 为以子变分 反合都量别 运用摩根定律
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规 则称为反演规则。例如：
Y AB CD E
Y A B C D E
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
证明： A A B ( A A)(A B)
分配率 A+BC=(A+B)(A+C)
1 ( A B)
互补率A+A=1
数电 第2章 逻辑代数基础
“异或”运算的符号：
异或逻辑的真值表及其逻辑表达式：
A B 0 0 1 1 0 1 0 1
F 0 1 1 0
F A B AB AB
第2章 逻辑代数基础
A B A B A B
F F
异或门的逻辑符号
＋ 1
F
第2章 逻辑代数基础
“同或”逻辑与“异或”逻辑相反，它表示当两个输入 变量相同时输出为1；相异时输出为0。 “同或”运算的符号：⊙ “同或”逻辑的真值表及其逻辑表达式：
必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改
变， 且式中的非号也保持不变。 前面逻辑代数基本定律和公式，都是成对出现，而且都 是互为对偶的对偶式。 例如，已知 A(B+C)=AB+AC
则有
A+BC=(A+B)(A+C)
第2章 逻辑代数基础
2.2.3 若干常用公式
1. 合并律
AB AB A
V1 A B
&
F
( c) 中国标准
V2
二极管与门
与门的逻辑符号
第2章 逻辑代数基础
2. 或运算(逻辑加)
逻辑关系：？
或逻辑运算真值表:
A B E F
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
F 0 1 1 1
或逻辑实例
或逻辑可以用逻辑表达式表示：
F=A＋B
第2章 逻辑代数基础
实现或逻辑的单元电路称为“或门”，其逻辑符号如左下 图所示，其中图 (a)为国际流行符号，图 (b)为 IEEE标准符号，
的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
A B C A B C A B C
第2章 逻辑代数基础
第二章 逻辑代数基础
A B A B
______
A (B C) A (B C) A B C
__________ _____
A ( B C ) A B C A B C
________
3.反演定理
对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所有的“•”换成 “＋”， “＋”换成“•”，0换成1，1换成0，原变量 __ 换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 Y
2、非逻辑真值表 A 0 1 Y
3 、非逻辑函数式
Y=A 或： Y A
1
0
4、 非逻辑符号
A
1
Y
或： 5 、 非逻辑运算 0=1 1=0
四、 几种最常见的复合逻辑运算
1 、 与非 Y=A B A B & Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 1 1 0
3 、 同或 Y= AB+A B =A⊙B A B Y
（还原律）
证明： A B A B A ( B B ) A 1 A
4.
A ( A B) A
（吸收律）
证明： A ( A B) A A A B A A B A (1 B) A 1 A
5. A B A C B C A B A C
c. 非非律： ( A) A
A+A=A
d. 吸收律：A + A B = A
A (A+B) = A
A AB A B
e. 摩根定律： ( AB) A B
A .B A B 反演律（摩根定律）： A B A B
数字电路第2章逻辑代数基础及基本逻辑门电路
（5）AB＋A B = A （6）（A＋B）（A＋B ）＝A 证明： （A＋B）（A＋B ）＝A＋A B＋AB＋0 A（ ＋B＋B） = 1 JHR A =
二、本章教学大纲基本要求 熟练掌握： 1.逻辑函数的基本定律和定理； 门、 2.“与”逻辑及“与”门、“或”逻辑及“或”
“非”逻辑及“非”门和“与”、“或”、“非” 的基本运算。 理解：逻辑、逻辑状态等基本概念。 三、重点与难点 重点：逻辑代数中的基本公式、常用公式、 基本定理和基本定律。
JHR
难点：
JHR
1.具有逻辑“与”关系的电路图
2.与逻辑状态表和真值表
JHR
我们作如下定义： 灯“亮”为逻辑“1”，灯“灭”为逻辑“0” 开关“通”为逻辑“1”，开关“断”为逻辑 “0” 则可得与逻辑的真值表。 JHR
3.与运算的函数表达式 L＝A·B 多变量时 或 读作 或 L＝AB L＝A·B·C·D… L＝ABCD… 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
与非逻辑真值表
Z = A• B
3.逻辑真值表
逻辑规律：有0出1 全1 出0
JHR
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Z 1 1 1 0
二、或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
Z = A+ B
先或后非
3.逻辑真值表
JHR
三、与或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
1.代入规则 在任一逻辑等式中，若将等式两边出现的同 一变量同时用另一函数式取代，则等式仍然成立。
JHR
代入规则扩大了逻辑代数公式的应用范围。例如摩 根定理 A＋B = A ⋅ B 若将此等式两边的B用B＋C 取代，则有
《数字逻辑电路》课件02逻辑代数与门电路
Karnaugh Map(卡诺图)
逻辑函数，真值表，卡诺图(真值图)
真值表转换成方格图
将自变量纵横排列，自变量每种状态对应一个小方 格，并将变量的取值组合按循环码规则排列构成方 格矩阵
A
B
0
1
A
A
0
B
F = A⋅B
1
1
=A+B B
20
21
Karnaugh Map
卡诺图(真值图) z行码、列码均按循环码排序
zCase2
C
` 电平低的信号源，输出阻抗高 B
A
` 电平高的信号源，输出阻抗低
F
F = A+B+C
Rb
Gnd
16
“线与”和“线或”
VCC VCC
信号源通过简单的 “并联”
Ra
Rb
( ) V0
=
⎜⎜⎝⎛
V1 R1
+
V2 R2
⎟⎟⎠⎞ ⋅
R1
R2
A B
F
R0 = R1 R2
zCase1
R1
` 电平低的信号源，输出阻抗低
VCC RT
F
F
RT
Gnd
18
“线与”和“线或”
“并联”
z上述结论适合任何器件 示例：并联的共射极电路
F= A⋅B⋅C
F= A+B+C
A
VCC
Rc F
B
C
19
3
Boolean Algebra
基本运算
z与、或、非
逻辑代数
z又称布尔代数 z分析逻辑电路的工具 z逻辑电路设计的基础 z便于用代数方法研究逻辑问题
第2章 逻辑代数基础(完整版)
2
A BC ( A B)( A C )
方法二：真值表法
[解]
方法一：公式法
右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C
A AC AB BC A(1 C B) BC
A BC 左式
A (B C) A B A C 分配律： C ( A B) ( A C ) A B 缓一缓 ( A B)' A'B' ( A B)' A' B' 反演律(摩根定理）：
( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C ' ( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C '
互补律： A A' 1
A 1 1 A 0 0
A A' 0
等幂律： A A A
A A A
双重否定律: ( A' )' A
20
CopyRight @安阳师范学院物电学院_2013
2
3）基本运算规则
A B B A 交换律： A B B A ( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
A E 电路图 B Y
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合 功能表
灯Y 灭 灭 灭 亮
5
L=ABCopyRight @安阳师范学院物电学院_2013
数字电路知识点汇总
数字电路知识点汇总第1章数字逻辑概论一、进位计数制1.十进制与二进制数的转换2.二进制数与十进制数的转换3.二进制数与16进制数的转换二、基本逻辑门电路第2章逻辑代数表示逻辑函数的方法，归纳起来有：真值表，函数表达式，卡诺图，逻辑图及波形图等几种。
一、逻辑代数的基本公式和常用公式1）常量与变量的关系Ａ+0＝Ａ与Ａ=⋅1ＡＡ+1＝1与0⋅A0=A⋅＝0AA+＝1与A2）与普通代数相运算规律a.交换律：Ａ+Ｂ＝Ｂ+ＡA⋅⋅=ABBb.结合律：（Ａ+Ｂ）+Ｃ＝Ａ+（Ｂ+Ｃ）⋅A⋅B⋅⋅=(C)C()ABc.分配律：)⋅＝+A⋅B(CA⋅⋅BA C+A+=+）B⋅)(C)()CABA3）逻辑函数的特殊规律a.同一律：Ａ+Ａ+Ａb.摩根定律：BBA+=A⋅A+，BBA⋅=b.关于否定的性质Ａ＝A二、逻辑函数的基本规则代入规则在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边同时出现某一变量Ａ的地方，都用一个函数Ｌ表示，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则例如：C⋅+A⊕⊕⋅BACB可令Ｌ＝CB⊕则上式变成L⋅＝C+AA⋅L⊕⊕=LA⊕BA三、逻辑函数的：——公式化简法公式化简法就是利用逻辑函数的基本公式和常用公式化简逻辑函数，通常，我们将逻辑函数化简为最简的与—或表达式1）合并项法：利用Ａ+1A=⋅B⋅,将二项合并为一项，合并时可消去=+A=A或ABA一个变量例如：Ｌ＝B+BA=(C+)=ACACBBCA2）吸收法利用公式AA⋅可以是⋅+，消去多余的积项，根据代入规则BABA=任何一个复杂的逻辑式例如化简函数Ｌ＝EAB++DAB解：先用摩根定理展开：AB＝BA+再用吸收法Ｌ＝E+AB+ADB＝E B D A B A +++ ＝)()(E B B D A A +++ ＝)1()1(E B B D A A +++ ＝B A +3）消去法利用B A B A A +=+ 消去多余的因子 例如，化简函数Ｌ＝ABC E B A B A B A +++ 解： Ｌ＝ABC E B A B A B A +++ ＝)()(ABC B A E B A B A +++＝)()(BC B A E B B A +++＝))(())((C B B B A B B C B A +++++ =)()(C B A C B A +++ =AC B A C A B A +++ =C B A B A ++4)配项法利用公式C A B A BC C A B A ⋅+⋅=+⋅+⋅将某一项乘以（A A +），即乘以1，然后将其折成几项，再与其它项合并。
2.1基本逻辑运算和基本门电路
第二章逻辑代数与逻辑门电路基本要求：理解“与”逻辑及“与”门、“或”逻辑及“或”门、“非”逻辑及“非”门；理解正、负逻辑的概念，掌握逻辑代数的基本定律、基本规则和常用公式；理解复合逻辑的概念；了解集成门电路的分类；理解TTL、MOS门电路；理解逻辑函数的表示方法；掌握逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。
本章主要内容：介绍逻辑代数、集成逻辑门电路和逻辑函数化简。
逻辑代数是数字电路的理论基础，是组合逻辑和时序逻辑电路分析、设计中要用到的基本工具；集成逻辑门电路是组成数字逻辑电路的基本单元电路；逻辑函数化简是逻辑电路分析的基础。
本章重点：基本逻辑门电路和功能逻辑代数的基本定律及常用公式逻辑函数的代数化简法本章难点：基本定律、公式及化简法的正确与准确一、逻辑变量与逻辑函数：在逻辑代数中的变量称逻辑变量，用字母Ａ、Ｂ、Ｃ……来表示。
逻辑变量只能有两种取值：真和假。
常把真记作“1”，假记作“0”。
这里的“1”和“0”并不表示数量的大小，而是表示完全对立的两种状态。
在逻辑问题的研究中，涉及到问题产生的条件和结果。
表示条件的逻辑变量称输入变量，表示结果的逻辑变量称输出变量。
将输入变量和输出变量通过逻辑运算符连接起来的式子称逻辑函数，常用Ｆ、Ｌ表示。
基本的逻辑运算有“与”运算、“或”运算、“非”运算。
二、逻辑运算：逻辑运算的值要通过对逻辑变量进行逻辑运算来确定。
1.与运算及与门逻辑运算Ｆ与逻辑变量Ａ、Ｂ的逻辑与运算表达式是：Ｆ＝Ａ·Ｂ, 式中“·”为与运算符。
在逻辑电路中，把能实现与运算的基本单元叫与门，它是逻辑电路中最基本的一种门电路。
二极管构成的与门电路及逻辑符号如下：2.或运算及或门逻辑函数Ｆ与逻辑变量Ａ、Ｂ的逻辑运算表达式是：Ｆ＝Ａ＋Ｂ，式中“＋”为或运算符。
在逻辑电路中，把能实现或运算的基本单元叫或门。
二极管构成的或门电路及逻辑符号如下：3.非逻辑及非门对逻辑变量Ａ进行逻辑非运算的表达式是：Ｆ＝，这里的“－”是非运算符。
第二章 逻辑代数基础
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第2章
2.3 复 合 逻 辑
1.与非逻辑
F = AB
2.或非逻辑 F = A+B
3. 与或非逻辑
F = AB+CD
A &F
A
F
B
B
与非门
A
F
≥1
B
或非门
A
B&
F
C
D
与或非门
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第2章
2.3 复 合 逻 辑
4.异或逻辑—相同为‘0’，相异为‘1’
F = A B =A B + A B
A） F1= [( A+ B) •C + D]( A+ C)
B） F2= A•B •C •D •E
[例2] 求下列函数的对偶函数 A）F1= AB+ C •D + AC B） F2= A+ B + C + D + E
A） F1*=[( A+ B) •C + D]( A+ C)
B） F2*=A•B •C •D •E
n个变量有2n个最小项，记作mi 3个变量有23（8）个最小项
n个变量的最小项，有n个相邻项
最小项 ABC ABC ABC ABC A BC A BC AB C ABC
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
十进制数 0 1 2
3
45 67
编号
m0 m1 m2
m3
m4 m5
A⊕A⊕A⊕A⊕…⊕A = ? A (A的个数为奇数）
An-1⊕An-2⊕…⊕A0 = ?
0 (Ai中‘1’的个数为偶数) 1 (Ai中‘1’的个数为奇数）
逻辑代数基础
Y AC AB
AC( B B) AB(C C)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC m5 m6 m7
例1：画出 Y AC AB 的卡诺图
Y ABC ABC ABC m5 m6 m7
输入变量 BC 00 A 0 0 1 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
② 最小项的性质 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使 它的值为1，而在变量取其它各值时，这个 最小项的值都是零； 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取 值也不同； 对于变量的同一组取值，任意两个最小项 的乘积为零； 对于变量的同一组取值，所有最小项的逻辑 或为1。
第2章 逻辑代数基础
§2.1 逻辑代数 § 2.2 逻辑函数表达式的形式与变换 §2.3逻辑函数的化简
§2.1逻辑代数的基本规则和定理
逻辑代数（又称布尔代数），它是分析和 设计逻辑电路的数学工具。虽然它和普通代 数一样也用字母表示变量，但变量的取值只 有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻 辑 “1”。这里“0”和“1”并不表示数量的大小， 而是表示两种相互对立的逻辑状态。
③最小项的编号
注：下标与编码所对应的十进制数值相同
④函数的最小项表达式
将逻辑函数表达式化成一组最小项之和，称为 最小项表达式。任何一个函数均可表达成 唯一的 最小项之和。 如：
L( A, B, C ) ( AB AB C ) AB
( AB A B C ) AB AB ABC AB ABC A BC ABC ABC m3 m5 m 6 m 7 m(3,5,6,7)
基本逻辑电路的化简方法
基本逻辑电路的化简方法第二章逻辑代数基础2.1 逻辑代数运算提纲：⏹逻辑变量与逻辑函数，⏹逻辑代数运算，⏹逻辑代数的公理和基本公式，⏹逻辑代数的基本定理（三个），⏹逻辑代数的常用公式。
2.1.1 逻辑变量与逻辑函数采用逻辑变量表示数字逻辑的状态，逻辑变量的输入输出之间构成函数关系。
逻辑常量：逻辑变量只有两种可能的取值：“真”或“假”，习惯上，把“真”记为“1”，“假”记为“0”，这里“1”和“0”不表示数量的大小，表示完全对立的两种状态。
2.1.2 逻辑代数运算基本逻辑运算——与、或、非；复合逻辑运算。
描述方法：逻辑表达式、真值表、逻辑符号（电路图）。
定义：真值表——描述各个变量取值组合和函数取值之间的对应关系。
逻辑电平——正逻辑与负逻辑。
2.1.3 逻辑代数的公理和基本公式2.1.3.1 逻辑代数公理有关逻辑常量的基本逻辑运算规则，以及逻辑变量的取值。
(1) 常量的“非”逻辑运算(2~4) 常量的与、或逻辑运算(5) 逻辑状态只有”0”和”1”两种取值2.1.3.2 逻辑代数的基本公式（基本定律）所谓“公式”，即“定律”，如表2. 1：表2. 1 逻辑代数的公式（基本公式部分）组名称对偶的公式对备注1 01律变量与常量2 重叠律同一个变量3 互补律原变量与反变量之间的关系4 还原律5 交换律6 结合律7 分配律8 反演律DeMorgan 公式2.1.3.3 逻辑代数的三个基本定理所谓“定理”，即代数运算规则。
基本的三个定理：代入定理——在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外的逻辑式代入式中的所有．．A的位置，则等式依然成立。
，⏹反演定理，⏹对偶定理。
2.1.3.3.1 反演定理所谓“反演定理”，得到逻辑函数的“反”的定理。
定义（反演定理）：将函数Y式中的所有…⏹（基本运算符号）“与”换成“或”，“或”换成“与”；⏹（逻辑常量）“0”换成“1”，“1”换成“0”；⏹原变量换成反变量，反变量换成原变量；注意：●变换时要保持原式中逻辑运算的优先顺序；●不属于单个变量上的反号应保持不变；则，所得到的表达式是Y的表达式。
第2章逻辑代数基础
8/64
1. 与运算【AND Operation】
A闭合 A V
B B闭合
灯亮
L
描述：只有条件都具备，结果才发 生。（逻辑乘）
功能表
真值表
逻辑表达式：L=A• B=AB A B L
旧法：用 ∧或∩表示与运算 开 开 灭
ABL 000
逻辑符号
开合灭
实现与逻辑的电路称为与门 合 开 灭
真值表：
符号：
ABL
001
0
1
0
1
0
0
111
19/64
第2章
返回
各种逻辑运算汇总表
20/64
2－3 逻辑代数的基本公式和定理
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
公式
0·A=0 1·A=A A·A=A A·A=0 A·B=B·A A·(B·C)=(A·B)·C A·(B+C)=A·B+A·C A·B=A+B A=A
第二章 逻辑代数基础
主讲教师：栾庆磊
1/64
本章学习内容
1. 逻辑代数的公式和定理 2. 逻辑函数的表示方法 3. 逻辑函数的化简方法（重点）
第2章
2/64
第2章 逻辑代数基础
2-1． 概述
2-2． 逻辑代数中的三种基本运算
2-3． 逻辑代数中的基本公式和定理
2-4． 逻辑函数及其表示方法
2-5、逻辑函数的化简方法
逻辑表达式：L=A+B
ABL
ABL
开开灭
逻辑符号
开合亮
实现或逻辑的电路称为或门 合 开 亮
A ≥1 B
L=A＋B
合合亮
000 011 101 111
第2章 逻辑门电路
等式两边的真值表如表1.3所示： 等式两边的真值表如表1.3所示： 1.3所示
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
A⋅ B
1 1 1 0
A+ B
1 1 1 0
2. 常用公式
利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用的公式。 利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用的公式。
（1）吸收律
A+A·B = A
工作原理 请自行分析
◆ 多变量的函数表达式
● ● ● ● ●
与 或 与非 或非
F=A·B·C… F=A+B+C…
F = A⋅ B ⋅C
F = A+ B +C
等等 ◆ 运算的优先级别
与或非 F = AB + CD
括号→非运算→与运算→ 括号→非运算→与运算→或运算
2.3 逻辑变量与逻辑函数
F=A+B
当输入端A 当输入端A、B 的电平 状态互为相反时，输出端L 状态互为相反时，输出端L 一定为高电平；当输入端A 一定为高电平；当输入端A、 B的电平状态相同时输出L 的电平状态相同时输出L 一定为低电平。 一定为低电平。
4. 同或门
◆ 能够实现 同或” L = A ⋅ B + A ⋅ B = A⊙B “同或”逻辑关系的 电路均称为“同或门” 由非门、 电路均称为“同或门”。由非门、与门和或门组合而成的同或门 及逻辑符号如下图所示。 及逻辑符号如下图所示。
F = A ⋅ B ⋅C ⋅ D ⋅ E
1. 要保持原式中逻辑运算的优先顺序； 保持原式中逻辑运算的优先顺序； 原式中逻辑运算的优先顺序 2. 不是一个变量上的反号应保持不变，否则就要出错。 不是一个变量上的反号应保持不变，否则就要出错。 上的反号应保持不变
第二章逻辑代数基础
一个乘积项的部分因 二、常用公式
子是另一乘积项的补， 这个乘积项的部分因子 1. A+AB = A 是多余的。
在两个乘积项相加时，如果其 中一项是另一个项的一个因子， 则另一项可以被吸收。
2. A+A′B=
A+B
A(A′+B)= AB
A′+AB= A′+B
证明:
A′(A+B)= A′B
注: 红色变量被吸收 红色变量被吸收掉！ 统称 吸收律 掉！统称 吸收律
000 0 0 0 0 0 A0 B A C 0A ( B 0C )=AA+AB+AC+BC 001 1 0 分配律： 010 0 B C ( A B) ( A C ) 0 =A +AB+AC+BC 1 0 0 A 1 011 1 =A(1+B+C)+BC 1 1 1 100 0 1 1 1 ) ( A B1 A B 101 0 1 =A • 1 1 反演律（摩根定律）： 1+BC 1 110 0 1 1 A B 1 1 (=左边 ) A B 111 1 1 =A+BC 1 1 1
6.学会用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。
2.1
概述
数字电路主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关
系，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。 逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。 此时，0和1不再表示数量的大小， 只代表两种不同的状态。
2.2 逻辑代数的基本运算
逻辑代数基本运算有与、或、非三种
00 00 01 01 10 10 11 11 00 00 01 01 10 10 11 11
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第二节
“与”逻辑及“与”门
当决定一事件结果的所有条件都满足时，结果才
发生，这种条件和结果的关系称为逻辑“与” （AND）或者逻辑“乘”，在逻辑代数中称为与 运算。 1.具有逻辑“与”关系的电路图
2.与逻辑状态表和真值表
我们作如下定义： 灯“亮”为逻辑“1”，灯“灭”为逻辑“0” 开关“通”为逻辑“1”，开关“断”为逻辑 “0” 则可得与逻辑的真值表。 真值表：将所有输入组合及其对应的输出列成的表。
2.非逻辑状态表和真值表
我们作如下定义：
灯“亮”为逻辑“1”，灯“灭”为逻辑“0”
开关“通”为逻辑“1”，开关“断”为逻辑
“0”
则可得非逻辑真值表。
3.非运算逻辑函数表达式
L A
读作L等于A非，或A反。
4.“非”门电路 实现非逻辑的电路称作非门
5.“非”门电路符号
逻辑符号中用小圆圈“ 。”表示非运算，符号中的“ 1” 表示缓冲。
2.逻辑符号
3.逻辑真值表 运算规律： 相同出1
同或门逻辑真值表
相反出0
4.波形图
标准符号
A B C A B C A & F
惯用符号
A B C
A B C
+
Байду номын сангаас国外符号
A B C F
F
≥1
F
F
A B C
A
F
1
F
A
A B
F
F
A ＝1 F B
F
A B
F
第六节 逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式
（3）消因子公式
A AB A B
证明： A AB
A AB AB
A B( A A) A B
例如： A ABC DE A BC DE 被吸收
（4）消项公式
证明：
AB AC BC AB AC
1
AB AC BC
AB AC ( A A )BC
需说明的是，逻辑“1”、逻辑“0”与二进制数字“1”、 “0”有完全不同的概念，逻辑量无数值的大小，它 们只表示事物的正反两种逻辑状态。 逻辑问题的研究，涉及到问题产生的条件和结果。 表示条件的逻辑变量就是输入变量，表示结果的逻 辑变量就是输出变量，描述输入、输出变量之间的 逻辑关系的表达式称为逻辑函数或逻辑表达式。 数字电路的输入量和输出量之间的因果关系，可 用以实现各种逻辑关系，所以数字电路也称逻辑电 路。 基本的逻辑关系有“与”逻辑、“或”逻辑及 “非”逻辑三种。
6.逻辑“非”的基本运算法 则
0 1 1 0
由此推出：
7.波形图
第五节 复合逻辑函数
人们在研究实际逻辑问题时发现，事物的各个 因素之间的逻辑关系往往比单一的与、或、非复 杂得多，不过它们都可以用与、或、非的组合来 实现。 含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为 复合逻辑函数。如与非函数 ，是与运算 和非运算的组合，运算顺序是先与后非。 最常见的复合函数有： 与非、或非、与或非、异或和同或等
“或”逻辑及“或”门
在决定一事件结果的所有条件中，只要有一 个或一个以上满足时结果就发生，这种条件和结 果的关系称为逻辑“或”（OR）或者称逻辑 “加”，逻辑代数中称为或运算。 1.具有逻辑或的电路图
2.或逻辑状态表和真值表
我们作如下定义：
灯“亮”为逻辑“1”，灯“灭”为逻辑“0”
开关“通”为逻辑“1”，开关“断”为逻辑
(6) 证明:
A B AB AB AB AB ( A B)( A B) AB AB
利用基本公式可推导出更多的常用公式。
AB=AC
A+B=A+C
?
?
B=C B=C
请注意与普通代数的区别！
注意： A＋B＝A＋C 未必有B＝C A•B = A•C 未必有B＝C
逻辑代数中没有减法与除法。
数字逻辑
2015.9
第2章 逻辑代数基础及基本逻辑门电路
一、本章主要介绍内容： 1.逻辑、逻辑状态、逻辑变量、逻辑代数、 逻辑表达式的基本概念。
2.“与”、“或”、“非”三种基本逻辑关 系，“与” 门、“或”门、“非”门三种基本逻辑门。
3.逻辑代数的八个基本定律。 4.逻辑代数的四个常用公式。
二、本章教学大纲基本要求
三、逻辑代数的三条基本规则
1.代入规则
在任一逻辑等式中，若将等式两边出现的同 一变量同时用另一函数式取代，则等式仍然成立。
代入规则扩大了逻辑代数公式的应用范围。例如狄 摩根定理 A＋B A B 若将此等式两边的B用B ＋C取代，则有
A＋（B＋C） A B＋C A B C
另一种状态 低电位 无脉冲 断开 假
下 非
Z A＋B＋A（ C＋D） A B＋A C＋A D
使用反演规则时，要注意以下两点:保持原 函数中逻辑运算的优先顺序；不是单个变量 上的反号保持不变。 例如: 则
Z AB AC D Z (A B) A C D
（3）对偶规则
将原函数Z中所有符号：
（A· B）· C＝A· （B· C）
6.分配律 A· （B＋C）＝A· B＋A· C
普通代 A＋B· C＝（A＋B）· （A＋C） 数不适 用!
7.还原律
8.狄.摩根定理
AA
A B A B A B AB
多变量时
A B C A B C
A＋B＋C＋ A B C
0•1=0
1•0=0
1•1=1
A•A=A
若开关数量增加，则逻辑变量增加。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 0 0 0 0 0 0 0 1
Y＝A ·B ·C＝ABC
A、B、C全1， Y才为1。
7.波形图
8.使用注意事项
第三节
6.使用注意事项
与非门多余输入端的处理方法 (a) 接电源; (b) 通过R接电源; （c） 与使用输入端并联
二、或非逻辑
1.逻辑表达式
Z A B
先或后非
2.逻辑符号 3.逻辑真值表
4.波形图
5.使用注意事项
＋UCC ＋UCC
UI
≥1
UO
UI R
≥1
UO
≥1 UI
UO
(a )
(b )
“0”
则可得或逻辑真值表。
3.或运算逻辑函数表达式
L＝A＋B 读作 L等于A或B，逻辑加
多变量时
L＝A＋B＋C＋D＋… 4.或门电路 实现或逻 辑的电路 称作或门
5.“或”门电路符号 符号“≥1”表示或逻辑运算。
6.逻辑或的基本运算法则 0＋ 0＝ 0 0＋ 1＝ 1 规律“全0出0，有1出 1” 由此推得：A＋0＝A A＋1＝1
“＋”换成“·”
“·”换成“＋”
“0”换成“1”
“1”换成“0” 得到Z′，它为原函数Z的对偶函数。 例如 Z＝A· （B＋C） Z′＝A＋B· C 则
F2=A·B+A·C，
F2′=(A+B)·(A+C)
如果两个函数相等，则它们的对偶 函数亦相等。这就是对偶规则。 例如:已知 A·(B+C)=A·B+A·C， 则 A+B·C=(A+B)·(A+C)
一、与非逻辑 1.逻辑表达式
2.逻辑符号
与非逻辑真值表
3.逻辑真值表
逻辑规律：有0出1
全1 出0
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Z 1 1 1 0
4.波形图
5.常用TTL与非门电路芯片 VCC
GND TL7400四个两输入与非门集成电路
VCC
NC
GND TTL7420两个四输入与非门集成电路
1.逻辑表达式
Z＝AB ＋AB＝A B
2.逻辑符号 A B
异或逻辑由“与”逻辑、“或”逻辑和“非”逻辑复 合而成
3.逻辑真值表 逻辑规律：
异或门逻辑真值表
相同出0
相反出1
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Z 0 1 1 0
4.波形图
五、同或逻辑 同或逻辑又称为异或非逻辑。实现同或逻辑的电路 称为同或门（或称为异或非门）。 1.逻辑表达式 Z AB AB A B
根据逻辑与、或、非三种基本运算规则，可 推导出逻辑运算的基本公式。
1. 0－ 1律 0＋A＝A 1＋A＝1 1•A＝A 0•A＝0
常量与变 量的关系
2.
重迭律
A＋A＝A
A· A＝A
3. 互补律 4. 交换律 5. 结合律
A A 1 A A 0
A＋B＝B＋A A· B＝B· A
（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）
二、常用公式 （1）并项公式 证明：
A B＋A B A
A B＋A B A（ B＋B ） A 1 A （2）吸收公式 A＋A· B＝A
证明：A＋A· B＝A· （1＋B）＝A· 1＝ A
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如： AB CD ABD(E F) AB CD 被吸收
1＋ 0＝ 1
1＋ 1＝ 1
A＋A＝A
7.波形图
8.使用注意事项
第四节
“非”逻辑及“非”门
一事件结果的发生，取决于某个条件的否定，即 当条件成立结果不发生，条件不成立时结果发生。 这种条件和结果的关系称为逻辑“非”（NOT）或 者 逻辑“反”，在逻辑代数中称逻辑非运算。 1.具有逻辑非关系的电路图
AB AC ABC ABC AB AC