数据结构小论文

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二叉树及其遍历

XXX 2008XXXXXX XXXXXXXX 08XXXX 指导教师 XXX

摘 要 二叉树是另一种树形结构，它的特点是每个节点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的节点），并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。在二叉树的一些应用中，常常要求在数中查找具有某种特征的节点，或者对树中全部结点逐一进行某种处理。这就提出了一个遍历二叉树的问题，即如何按某条搜索路径巡访树中每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。 关键词 二叉树；遍历；结点 1二叉树的类型与定义 二叉树的五种基本形态：

介绍基本术语

二叉树的性质

性质 1 ：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点。 (i≥1)用归纳法证明：

归纳基：i = 1层时，只有一个根结点，

2i-1 = 20 = 1；

归纳假设：假设对所有的j，1≤j

归纳证明：二叉树上每个结点至多有两棵子树，

则第i 层的结点数 = 2i-2⨯ 2 = 2i-1 。

性质 2 ：深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点（k≥1）

证明：基于上一条性质，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为 20+21+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +2k-1 = 2k-1

n个叶子结点、2n个度为 2 的结性质 3 ：对任何一棵二叉树，若它含有0

n =2n +1

点，则必存在关系式：0

n= 0n+ 1n + 2n

证明：设二叉树上结点总数

b= 1n +22n

又二叉树上分支总数

b = n-1 =0n +1n + 2n - 1

而

n = 2n + 1

由此，0

两类特殊的二叉树：

性质 4 ：具有 n 个结点的完全二叉树的深度为⎣ log2n⎦ +1证明：设完全二叉树的深度为 k

则根据第二条性质得 2k-1≤ n < 2k

即 k-1 ≤ log2 n < k

因为 k 只能是整数，因此， k =⎣log2n⎦ + 1

2二叉树的遍历

对“二叉树”而言，可以有三条搜索路径：

1．先上后下的按层次遍历；

2．先左（子树）后右（子树）的遍历；

3．先右（子树）后左（子树）的遍历。遍历二叉树的递归算法定义

先序遍历二叉树的操作定义为：

若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）访问根结点；

（2）先序遍历左子树；

（3）先序遍历右子树。

中序遍历二叉树的操作定义为：

若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）中序遍历左子树；

（2）访问根结点；

（3）中序遍历右子树。

后序遍历二叉树的操作定义为：

若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）后序遍历左子树；

（2）后序遍历右子树；

（3）访问根结点。

例

参考文献

[1]严蔚敏.吴伟民.数据结构. 清华大学出版社，1997.

[2]姚诗赋.数据库系统基础.计算机工程与应用，1981.

[3]张乃孝.算法与数据结构.高等教育出版社，2005.