北师版数学高二北师大版必修5学案 等差数列(一)

2．1等差数列(一)

明目标、知重点 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．

1．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．

2．等差数列的通项公式

a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n＝a1，a n是关于n的常数函数；当d≠0时，a n＝dn＋(a1－d)，a n是关于n的一次函数，点(n，a n)分布在一条以d为斜率的直线上，是这条直线上的一群孤立的点．

3．等差中项

如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．4．等差数列的单调性

等差数列的公差d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列；d＝0时，数列为常数列．

[情境导学]

第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问题．

探究点一等差数列的概念

思考1下面我们来看这样的一些数列：

(1)0,5,10,15,20，….

(2)48,53,58,63.

(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.

(4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360.

以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论．

答共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．

思考2具有思考1中这些数列特点的数列，我们把它叫做等差数列，那么，如何给等差数列下个定义？

答如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．

思考3如何用数学语言来描述等差数列的定义？

答数学语言：a n－a n－1＝d(n≥2)或a n＋1－a n＝d(n≥1)．

思考4思考1中的四个等差数列的公差分别是什么？

答公差分别是5,5，－2.5,72.

小结对于一个数列，当a n－a n－1＝d(n≥2)中的d为常数时，该数列为等差数列，否则不是等差数列．

当d>0时，a n>a n－1，该数列为递增数列；当d＝0时，a n＝a n－1，该数列为常数列；当d<0时，a n

例1判断下列数列是否为等差数列．

(1)a n＝2n－1；(2)a n＝(－1)n.

解(1)由通项a n＝(－1)n，可知该数列为1,3,5,7，…

由a n＝2n－1，n∈N＋，知a n＋1＝2(n＋1)－1，

于是a n＋1－a n＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2.

由n的任意性知，这个数列是等差数列．

(2)由通项a n＝(－1)n，可知该数列为－1,1，－1,1，…

于是a2－a1＝1－(－1)＝2，a3－a2＝－1－1＝－2.

由于a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列．

反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n＋1－a n(n≥1)是不是一个与n无关

的常数．

跟踪训练1数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()

A．是公差为2的等差数列

B．是公差为5的等差数列

C．是首项为5的等差数列

D．是公差为n的等差数列

答案A

解析∵a n＋1－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，

∴{a n}是公差为2的等差数列．

探究点二等差数列的通项

思考1已知等差数列{a n}，a1＝1，d＝2，如何根据前几项猜想出该数列的的通项公式？答根据等差数列的定义，这个数列的前4项为

a1＝1，

a2＝a1＋2＝1＋2，

a3＝a2＋2＝(1＋2)＋2＝1＋22，

a4＝a3＋2＝(1＋22)＋2＝1＋32，

由以上的规律可猜想该数列的通项公式为a n＝1＋(n－1) 2.

小结若首项是a1，公差为d，则这个等差数列的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d.

思考2已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn＋q，其中p、q为常数，且p≠0，那么数列{a n}是否为等差数列？如果是，求其首项与公差．

答取数列{a n}的任意相邻两项a n和a n－1(n≥2)，

则a n－a n－1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.

∵p是一个与n无关的常数，∴{a n}是等差数列，且公差为p.

在通项公式a n＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p＋q.

于是{a n}的首项为p＋q，公差为p.

例2(1)求等差数列9,5,1，…的第10项；

(2)已知等差数列{a n}，a n＝4n－3，求首项a1和公差d.

解(1)由a1＝9，d＝5－9＝－4，

得a n＝9＋(n－1)(－4)＝13－4n.

当n＝10时，a10＝13－4×10＝－27.

(2)由a n＝4n－3知，a1＝4×1－3＝1，d＝a2－a1＝(4×2－3)－1＝4.

所以等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝4.

反思与感悟 在等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中有4个变量a n ，a 1，n ，d ，在这4个变量中可以“知三求一”．

跟踪训练2 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；

(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项？如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49；

(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.

由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， ∴－401是这个数列的第100项．

例3 已知等差数列{a n }中，a 5＝－20，a 20＝－35.试求出数列的通项公式． 解 设{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N ＋)， 由a 5＝a 1＋4d ＝－20，a 20＝a 1＋19d ＝－35， 可得一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组， 解方程组，得a 1＝－16，d ＝－1.

故等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－16＋(n －1)(－1)＝－15－n .

反思与感悟 像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想．

跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n .

解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.

解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n . 探究点三 等差中项

思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a ，b ；(4)0,0. 答 插入的数分别为3,2，a ＋b

2

，0.